因明篇第一
总论三十二条
三角形者一形而三边容有三角也
如上图甲乙丙为平面三角形丁戊己为球面三角形
三角形各以两边容一角此两边为角形之两腰第三边为角形之底如前甲乙丙形若以甲乙甲丙为两腰则容乙甲丙角【第二字为所指角】乙丙其底也余二同丁戊己亦同
各边向一角者名为对角
如前甲乙线向丙角者名为对丙角甲丙向乙名为对乙角
角以何为尺度一弧之心在交防从心引出线为两腰而弧在两腰之间此弧即此角之尺度
如上乙甲丙角其尺度则丁丙或戊己皆是其法甲为心其界或近如丁丙或逺如戊巳
大测法分圏三百六十为度度析百分【中厯】或六十分【逺西】分或百析为秒递析为百至纎而止【中厯】或析为六十秒递析为六十至十位而止【逺西】
圏愈大其度分亦愈大
两弧之分数等其圏等则弧亦等其圏不等弧亦不等
其不等之两弧名相似弧
如上丁丙虽小于戊己而同对甲角即同为若干度分之弧也
圏四分之一为九十度
有弧不足九十度则其外至九十者名余弧亦曰较弧亦曰差弧
如甲丁弧四十度则丁至丙五十度为余弧
有弧大于象限【在九十以上】名为过弧
如甲乙弧大于甲丁过九十度则丁乙为过弧
半圏界一百八十度
有弧小于半圏则其外至百八十度者名为半圏之较弧如甲乙弧小于甲乙丙半圏则乙丙为其较弧
凡交角俱相等
如甲与乙丙与丁皆交角相等【见防何第一卷十五题】如戊与己亦交角相等
角有二类一直角一斜角
凡直角其度皆九十
斜角有二类一鋭角一钝角
钝角者其度大于象限
鋭角者其度小于象限
角之余与弧同理【或曰较角或曰差角】
有两角并在一线上为同方角并之等于两直角
如上甲与乙丙与丁皆是
同方两角等于两直角故彼角为此角之较
如前乙角即甲之较甲亦乙之较
三角形或三边等或两边等或三不等
三角形两腰等其底线上两角亦等底上两角等则两腰亦等【见防何一卷第五】
三边形之三角等则三边亦等
三角形之角有二类一为直角三边形一为斜角三边形直角三边形形内止有一直角
直角三边形之对直角边名两腰名句股【逺西句股俱名垂线互用之】
斜角形其角皆斜
斜角形有二类一曰鋭角一曰钝角
钝角形止有一钝角
鋭角形三皆鋭角
三角形有二类一曰平面上形一曰球上形
论平面上三角形 十一条
平面上三角形有三种一直线一曲线一杂线大测所论皆直线也
凡等角两三边形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似边【防何六卷第四题】
凡两三角形其角两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等【防何六卷第五 此二题为大测之根本不用开方直以比例得之法至简用至大也】
如上图甲乙丙丁戊己两形甲与丁
乙与戊丙与己皆等角其旁各两腰
之比例等者十与六若五与三也更
之则十与五若六与三也反之则六与十若三与五也凡两形中各对相当等角之边皆相似之边如甲丙对乙丁己对戊而乙戊为等角者即甲丙丁己为相似之边也
三角形之外角与相对之内两角并等【防何一卷之三十二】如上甲乙丙形之乙甲两角并与甲丙丁角等
三角形之三角并等于两直角
如上图丁己庚直角与乙角等其甲
丙二角并与丁己戊角等
平面上三角形止有一直角或一钝角其余二必皆鋭角三边形内之第三角为前两角之余角何者为前两角不满二直角故
直角旁之两腰其能与等能等者谓两腰上两方形并与上方形等也【防何一卷之四七】
此理之用为先得二边以求第三边
如甲乙丙形先得甲乙乙丙两边而
求第三边法以甲乙三自之为九乙
丙四自之为十六并得二十五与甲丙之实等开方得甲丙五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙五而求乙丙则以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相减之较十六开方得乙丙四
直角形之两等边有数则其无数可推若有数则两等边无数可推
如上甲乙甲丙各三自之各九并之得十八乙丙上实十八开方得四余实二分之或为八分之二或为九分之二八分之二
则大于其真率九分之二则小于真率其乙丙真率无数可得更细分之亦复不尽
直角三边形之两鋭角彼鋭为此鋭之余
如乙丙二鋭角丙为余角为三角并等二直角此二鋭
应等一直角乙一角不足一直角故
丙角为乙角与直角相减之较
平边三角形在圏内其各角之度数皆为其对弧度数之半
如上甲乙丙形三边等分圏为三各
弧俱一百二十度本形之三角等二
直角并得一百八十则对弧百二十
度倍于对角六十也
平面两三角形在圏内同底两形之顶相连成一四边形此形内有两对角线则此形相对之各两边各相偕为两直角形并与两对角线相偕为直角形等
如上甲乙丙甲丁丙两三角形
在甲乙丁丙圏内甲丙同底其
顶乙丁相连成甲乙丁丙四边
形形内有甲丁乙丙两对角线
以此两线相偕为直角形次以
乙丁甲丙两相对边以甲乙丁丙两相对边各相偕为直角形题言后两形并与前一形等
其用为先得五线以求第六线【多罗某之法】
论球上三角形 二十条
凡球上三角形皆用大圏相交之角
大测所用三角形之各弧必小于大圏之半
球大圏分球为两平分离于两极各九十度
彼大圏过此大圏之极此两圏必相交为直角两大圏相
交为直角必彼大圏过此大圏之极如甲丙大圏其极乙丁有乙戊丁己大圏过两极其交处如戊如己各成四直角
球上角之处必从交引出为两弧各九十度而遇一象限之弧两遇处相去之度即此角之大
如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大为防何度分不得用己庚弧为其尺度必从甲引出至乙至丙各为一象限之弧而戊
丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧与甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大为甲角之大
球上角之两边引出之至相遇即两弧俱成半圏而两对角必等
如甲乙丙三角形从两腰各引出之至丁则甲丙丁甲乙丁两弧皆成半圏而甲与丁两角等
球上三角形有相对彼三角形与同底而对角等即彼形之两腰为此形两腰之余腰【初腰不足一百八十度故后腰为半圏之余】其彼此之同方两角亦等两直角而彼角为此角之余角如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底而甲丁两角等即乙丁为甲乙之余弧丙丁为甲丙之余弧丁乙丙角为甲乙丙之
余角【为甲乙丙不足两直角故】乙丙丁角为甲丙乙之余角
球上直角三边形或有一直角或二直角或三俱直角球上三边形有一直角者或有两鋭角或有两钝角或一钝一鋭角
如上甲乙丙形甲为直角其乙丙为两鋭角乙丁丙形丁为直角其乙丙为两钝角若丁戊己形则其戊为鋭角其己为钝角甲戊己
形则其戊为钝角其己为鋭角
球上直角三边形有两鋭角则其对直角之直角三边形有两钝角
如前图甲乙丙之甲直角与乙丁丙之丁直角相对者是
球上直角三边形有两鋭角其三弧皆小于象限如前甲乙丙是
球上直角三边形有两钝角其两腰皆大于象限而第三弧必小于象限
如前乙丁丙是
球上直角三边形有一鋭一钝角其鋭角之相对三角形亦有一直角两鋭角
如上图丁乙丙三边形丙为直角丁为鋭角乙为钝角即丁鋭角之相对乙丙戊形其丙为直角【与乙丙丁并等两直角】其乙与戊为两鋭角
球上三边形有多直角其对直角之各弧皆为一象限如甲为直角乙丙弧对之为一象限余二同【此图为三直角题言多者以该二直角也】
球上三边形有二直角若第三为鋭角即对角之弧小于象限若钝角即对角之弧大于象限
如上丁戊己形丁戊皆直角己为鋭
角即对己之丁戊弧小于象限甲乙
丙形甲丙皆直角乙为钝角则对乙
之甲丙弧大于象限
球上斜三角形有三类或俱鋭角或俱钝角或杂鋭钝角球上斜三角形俱鋭角者其相对三角形有两钝角一鋭
角
如上甲乙丙形三皆鋭角即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角丁为鋭角
球上三边形俱钝角者其相对三角形有两鋭角一钝角如上甲乙丙形三皆钝角即相对乙丙丁形其乙丙为鋭鋭角丁为钝角
球上三角形之三角并大于两直角
有二直角即大何况一直一钝以上
割圆篇第二
总论二十六条
三角形有六率三角三边是也测三角形者于六率中先得其三而测其余三也【测三角形者止测其线非测其容测或作推或作解下文通用】
测三角形必籍同比例法【亦曰三率法】同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分数欲明
三角形六率之比例其中用弧者最为难定何者圆线与直线之比例从古至今未有其法故
三角形何以有弧曰球上三角形其三边皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直线测者三边耳欲测其角非弧不得而弧为圆线无数可测故测弧者必求其与弧相当之直线
与弧相当之直线者割圆界而求其直线之分与弧分相当者是也
割圆之直线有四一曰一名通二曰半皆在圆界内三曰切线在圆界外四曰割线在圆界之内外
者直线在圏内从此防至彼防分圏为两分
凡皆对两弧一上一下
如上图甲乙为分甲丙乙丁圏为两分甲丁乙为大分甲丙乙为小分则甲乙上当甲丙乙小弧下当甲丁乙大弧
正弧者从弧作垂线至全径上
如上图从丁作甲乙之垂线若从丁直至戊则为通故丁丙为半
半又有二种有正有倒
正半是直线在半圏内从弧作垂线至径上分半圏为不等之两分一大弧一小弧此半当小弧亦当当大弧【当者为小弧之半亦为大弧之半】
如上图从己弧下至甲乙全径上作己庚垂线分甲丙乙半圏为不等两分乙己弧为小分己丙甲弧为大分则己庚为己乙
小弧之半又为己丙甲大弧之半
正半从一防作两半第一为前半第二为从半又为余弧又为较又为差
如前图先论己庚即为前半其己戊即为后半又为余为较者乙己丙弧九十度乙己不足九十度则己丙为余弧亦为较弧故己戊为其余较也
前后两半其能等于半径
如上图庚己为前当乙己弧己戊为后当己丙余弧戊己等于丁庚【防何一卷三十四】则丁己半径上方与庚己己戊上两方
并等故云两半之能等于半径
论曰两半互为垂线则己庚丁为直角而对直角之己丁上方与勾股上两方并等【防何一卷四十七】
系直角三边形内有半径亦有一半即可求后半法曰半径上方形实减半上方形实其较即后半上方形之实开方得后半
如丙乙半径十甲乙前半六而有丙
甲乙直角今求丙甲后半其法丙乙
自之为百甲乙自之为三十六相减余六十四即甲丙方之实平方开之得八
两正之较与纪限左右距等弧之半等【六十度为纪限】解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己
戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊
丁两弧等其两半一为己辛一为丁
庚两半之较为丁癸题言丁癸较与己壬半壬丁半各等
论曰试作一己子线则丁己子成三边等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子戊同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己两底亦等子丁己子己丁两角亦等又
丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十
度其乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁
既平行甲戊线截二线于子即内外角
等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与己与全子三角既等两直角【一卷三十二】则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
系题两弧各有其正半两半至弧之防在六十度之左右而距度防等其前两正半之较即后两半如前图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛简表先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚两半相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半【此设数半径一万】
倒者余与全数之较本名为矢
如上图甲丙径以乙丁正半分径为二分一为甲丁一为丁丙其丁丙即乙丁正半之倒也
矢有二有大有小
如上图甲丁为大矢与甲乙弧相当丁丙为小矢与乙丙弧相当
矢加于余半即半径
如上图乙己为乙丁正之余以加丁丙即半径为乙己与丁戊等故
切线者弧之外有线为径一端之垂线半径为底线而交于截弧之线【线者勾股之非弧矢之也】
如上图戊丙弧乙丙为半径从丙出垂线至丁又从乙出线截戊丙弧于戊而与丁丙线交于丁即丁丙为切线与戊丙弧相
当也
割线者从心过弧之一端而交于切线
如上图乙戊丁线为割线与戊丙弧相当也故戊丙弧在三角形内其句为半径其股为切线其为割线皆与戊丙弧相当
之直线
又戊丙一弧其相当之直线有四一丁丙切线一乙丁割线一戊己正半一己丙矢
定割圆之数当作割圆线之立成表【一名三角形表一名度数表今名大测表】大测表不过一象限
古用则须半周
如上图用则乙丙弧必得乙丙乃至乙庚弧必得乙庚故百八十度之弧必得百八十度之也因此术既繁且难后从简便
则以半当之为各半可当上下两弧故不过一象限而足也
如上图辛壬半当乙壬小弧亦当壬己甲大弧庚己半当乙己小弧亦当己甲大弧且一象限之外无切线亦无割线故
用半圏之全不如象限之半也
大测表不止有各弧之各度数亦有其各分数【欲极详亦可析分为十为六也但少用耳】
作大测表先定半径为若干分愈多愈细
凡割圆四线大抵皆不尽之数无论全数不尽即以畸零法命其分亦不能尽故大测表不得谓其不差但所差甚少不至半径全数中之一耳
假如半径为千万表中诸线中不至差千万分之一分自一以内或半或大或少不能无差而微乎微矣故作表中半径必用极大之数最少者一万以上或至百万千万或至万万可也【七位即千万八位即万万】
定半径之全数即可求一象限内各弧各度分之半以此半可求得其切线割线
凡半径用数少即差多【如用千则差千之一用万则差万之一】用极大之数即难推【如用万万以上数极繁矣】今定为防何则可曰凡半径之数其中之小分与半弧度分之小分大约相等而上之即是中数
假如欲测有分之弧问半径应定防何分曰一象限九十度毎度六十分则一象限五千四百分又古率圆与径之比例大畧为二十二与七则象限弧与半径之比例若十一与七
如上图周二十二四分之则一象限为五又半径七二分之则三又半此二比例有畸零之数故各倍之为十一与七也
今用同比例法【即三率法】以象限十一为第一数以半径七为第二数以象限五千四百分为第三数而求得第四数为三千四百三十六故半径分为三千四百三十六则半径之各分略象等于一象限之各分五千四百也故用大数最少一万为与五千相近用此乃可推有分之弧也
欲推弧分之秒亦用此法其象限为三十
二万四千秒依三率法十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二其半径细分与象限之分秒相等而上之必用百万
表原篇第三
表原者作表之原本也测圆无法必以直线直线与圆相准不差又极易见者独有六边一率而已古云径一围三是也然此六弧之非六弧之本数自此以外虽分至百千万亿皆耳故测弧必以愈细数愈宻其法仍由六边之一准率始自此又推得五率此六率皆相准不差但后五率其理难见推求乃得是名为六宗率其法先定半径为若干数【今用一千万】则作圏内六种多边形【俱见防何第四卷】推此六形各等边之数得此六数即为六通各当其本弧因以为作表原本
宗率一 圏内六边等切形求边数
防何原本四卷十五题言六边等形在圏内者其各边俱与半径等半径既定为千万即边亦千万凡边皆也圏分三百六十度此各相当之弧各六十度各与千万相当矣相当者千万即六十度弧之也如上乙丙圏内有六边等形其半径甲乙既定为千万即乙丙为六边形之一边亦千万而相当之乙丙弧六十度
宗率二 内切圏直角方形求边数
防何四卷第六言一线在圏内对一象限为方形边其上方形等于两半径上方形并【防何一卷四七】此句股法也故用两半径之实并而开方而得本形边
如上乙丙圏内方形甲乙为半径句股法甲乙甲丙上两方并与乙丙上方等即以之开方而得乙丙边今两半径上方形并
为二○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万万万旁作防者万也末○为单数】以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六此为乙丙弧之也乙丙弧为四分圏之一九十度则乙丙数为乙丙九十度弧相当之数
宗率三 圏内三边等切形求边数
防何十三卷十二题言三边等形内切圏其各边上方形三倍于半径上方形【丁乙方与丙丁丙乙两方等而四倍于 丙丁形则丙乙为丁乙四之三而三倍于丙丁】如上乙丙圏甲乙为半径乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半径上方为三○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万】
【万万有奇】开方得一千七百三十二万○五○八弱
宗率四圏内十边等切形求边数