Palestine avant le XIIIe siècle, et si complétement décrits par M. le
comte Melchior de Vogué dans son ouvrage sur la Terre Sainte[252], en
adoptant l'ogive pour les arcs, conservent cependant le système de la
structure romane, et dans aucun de ces édifices l'ogive n'intervient
pour modifier la voûte d'arête romaine, en berceau, ou la coupole. Mais
sitôt introduite dans les provinces françaises au nord de la Loire,
l'ogive se mêle à la voûte et la modifie. Voici d'abord comment le
mélange se fait. Soit (2), une coupole hémisphérique dont nous
présentons la projection horizontale en perspective; inscrivant un carré
_abcd_ dans le cercle et élevant deux plans verticaux sur les deux
diagonales _ad_, _bc_, on coupe l'hémisphère en quatre parties égales
_abe_, _ace_, _cde_, _dbe_. Un plan vertical élevé sur _ab_ coupera
l'hémisphère suivant un demi-cercle _abf_, et en supposant que ce
demi-cercle est un arc doubleau plein-cintre, ayant opéré de même sur
les quatre côtés du carré, on aura obtenu une calotte hémisphérique,
pénétrée par quatre cylindres se coupant à angle droit et formant quatre
pendentifs. Mais si nous voulons de cette voûte en calotte, portée sur
pendentifs, faire une voûte d'arêtes, au lieu des demi-cercles, sur les
côtés _ab_, _bd_, etc., élevons quatre arcs brisés _abg_, _bdh_, etc.,
réunissons les sommets _gh_ de ces arcs brisés au point _e_ nous
détachons de la calotte les arêtes diagonales _ae_, _be_, _de_, etc., et
nous obtenons des surfaces courbes _age_, _bge_, etc., qui peuvent être
des portions de berceaux engendrés par des arcs brisés et donnant par
leur pénétration dans les plans verticaux diagonaux _ad_, _bc_ des
demi-cercles _aed_, _bec_. Ainsi aura-t-on résolu déjà un problème
essentiel, savoir: de pouvoir faire des voûtes d'arêtes sur tous les
plans avec des arcs générateurs de hauteurs et de diamètres différents.
Les Romains, les Grecs byzantins, n'avaient tenté autre chose
jusqu'alors, que de couper la voûte hémisphérique par des plans
verticaux dont la section ne donnait toujours que des demi-cercles[253].
Nos architectes occidentaux procèdent de même, seulement ils ont vu
l'arc brisé, ils le posent à la place du demi-cercle donné par la
section verticale et relèvent les pans de la coupole sur cet arc brisé.
Leur opération est simple en principe, et peut être définie ainsi:
supposant une coupole hémisphérique en substance élastique, flexible,
faisant les quatre coupures verticalement sur les côtés d'un carré
inscrit dans le cercle, on relève quelque peu avec le doigt le bord
supérieur de chacune des coupures; les surfaces restantes de
l'hémisphère suivent ce relèvement et forment deux plis diagonaux qui se
perdent au sommet de la calotte. Pour obtenir un résultat si simple,
combien a-t-il fallu de siècles[254]? C'est dans le porche de l'église
abbatiale de Vézelay, bâti vers 1135, que nous constatons une
application déjà savante et raisonnée de ce principe.
Prenons d'abord une des voûtes des bas-côtés de ce porche, voûtes
établies sur plan carré (3). La forme génératrice de cette voûte est un
hémisphère. La preuve, c'est que les deux plans verticaux passant par
les diagonales _ab_, _cd_, donnent deux demi-cercles dont l'un est
rabattu en _abd_. Pour tracer les arcs doubleaux, au-dessus de l'arrase
formée par les tailloirs A des chapiteaux on a pris une distance AB pour
bien dégager la naissance de ces arcs. La ligne de niveau BC étant
tracée, la longueur de cette ligne étant _db_, côté du carré, cette
ligne a été divisée en quatre parties; élevant une perpendiculaire sur
le milieu de la ligne de naissance, cette perpendiculaire a été divisée
en deux parties et demie égales à chacune des divisions de la ligne de
naissance. On a ainsi tracé le triangle _ghf_. Du milieu de chacun des
côtés de ce triangle, élevant une perpendiculaire _ei_, les points de
rencontre _i_ de ces perpendiculaires avec la ligne _gh_ ont donné les
centres de l'arc brisé _gfh_. Réunissant le sommet _d'_ de la voûte avec
les sommets des quatre arcs, la voûte d'arête engendrée par une coupole
hémisphérique et par quatre ogives a été construite.
Le principe admis, les conséquences allaient s'ensuivre avec une
prodigieuse rapidité. Le grand embarras, pour les architectes romains,
n'était pas de faire des voûtes sur plan carré, mais sur plan barlong.
Les Romains, dans ce cas, avaient fait des berceaux avec pénétration ou
des voûtes d'arêtes _trichées_, c'est-à-dire engendrées par deux
cylindres de diamètres différents se pénétrant; les cylindres du plus
faible diamètre ayant leur naissance au-dessus de celle des cylindres de
grand diamètre, ce qui produit un très-mauvais effet. Mais dès que la
coupole devenait le point de départ de toute voûte, ces embarras
devaient disparaître. Nous avons expliqué, figure 2, comment d'une
calotte hémisphérique on pouvait faire une voûte d'arête sur plan carré,
en substituant aux sections semi-circulaires données par des plans
verticaux élevés sur les côtés du carré inscrit, des arcs brisés ou des
ogives. Les conséquences de cette innovation ne se firent pas attendre.
Soit (4) une coupole sur plan horizontal circulaire, dont le centre est
en A. La section verticale de cette coupole, faite sur le diamètre,
donne la courbe brisée BCD dont la flèche AD a deux parties et demie des
quatre divisant la base. Il s'agit de faire de cette voûte, présentant
la forme d'un mamelon, une voûte d'arête barlongue. Soit le plan
horizontal de cette voûte barlongue le parallélogramme rectangle BFEC
inscrit dans le cercle. Si la coupole était hémisphérique, les sections
verticales élevées sur BF, BE donneraient les demi-cercles BGF, BHE;
mais nous redoutons les poussées, nous avons admis l'arc brisé comme
moyen de rendre ces poussées moins puissantes pour nous conformer à un
système de proportions qui nous satisfait plus que le plein-cintre. Nous
divisons alors les lignes de base de nos sections BF, BE en trois
parties égales, et prenant les points II', KK' comme centres, les
longueurs IFI'B, KE, K'B comme rayons, nous décrivons les deux arcs
brisés BLF, BME, ogives qui sont les rabattements des arcs doubleaux sur
lesquels viendront reposer la voûte. Dès lors les diamètres BC, FE dont
le rabattement est donné par l'arc brisé BDC deviendront des arêtes, la
voûte sera d'arêtes bien que donnée par une coupole; de plus nous serons
les maîtres de donner aux arcs BF, BE les diamètres dont les longueurs
relatives sont arbitraires. C'est suivant ce principe qu'ont été
construites les voûtes hautes du porche de l'église abbatiale de
Vézelay. Mais constatons d'abord un fait essentiel, qu'on paraît avoir
négligé dans les recherches faites jusqu'à ce jour sur les théories des
voûtes d'arêtes du moyen âge; c'est que l'opération de tracé, au moment
de la transition, n'est pas établie à l'_intra-dos_ des arcs doubleaux
ou formerets, mais à l'_extra-dos_. Dans l'exemple, figure 3,
l'épaisseur des arcs doubleaux est indépendante du tracé, elle est
rapportée en contre-bas. C'est la concavité de la voûte à laquelle on
cherche d'abord à donner une forme solide, raisonnée et se prêtant à
toutes les combinaisons. Les arcs doubleaux viennent se sous-poser comme
un nerf, ou une décharge destinée à porter des constructions
supérieures. Aussi les arêtes diagonales n'apparaissent-elles pas
encore, leur présence n'étant point regardée comme absolument
nécessaire[255] tant que les voûtes dérivant de la coupole se portaient
par elles-mêmes. Voyons donc ces voûtes hautes du porche de Vézelay (5).
Les quatre piles étant tracées,--elles sont indiquées par des
hachures,--conformément à ce que nous venons de démontrer dans l'exemple
précédent, les diamètres de la coupole génératrice sont les deux
diagonales AB, CD; la section verticale de cette coupole faite sur son
diamètre donne la courbe (demie) BE, le diamètre ayant quatre parties et
la flèche FE deux et demie. L'extra-dos des arcs doubleaux part des
points DB, l'extra-dos des formerets des points AD. Cet arc doubleau,
rabattu, est ainsi tracé: les tailloirs des chapiteaux étant au niveau
G, la naissance, afin de se dégager, a été relevée en H. La ligne de
base _hi_, de l'extra-dos, a été divisée en quatre parties; sur le
milieu _k_ de cette ligne la perpendiculaire _kl_, étant élevée, a été
divisée en deux parties et demie de manière à ce que cette flèche _kl_
soit à la base comme 2 1/2 sont à 4. Établissant le triangle dont le
côté est _hl_, élevant sur le milieu une perpendiculaire, la rencontre
de cette perpendiculaire avec la ligne de base _hi_ donne le point _g_
centre de l'arc _hg'l_. Relevant la ligne de naissance des formerets de
la hauteur _op_ au-dessus du tailloir des chapiteaux, on a procédé de
même que pour l'arc doubleau; la ligne de base AD de ces formerets étant
à la flèche _pq_ comme 4 est à 2 1/2. La section verticale, sur le grand
axe _ot_ de la voûte, donne en S la clef E de la section verticale faite
sur AB; en T, l'extra-dos de la clef de l'arc formeret; en _l_,
l'extra-dos de l'arc doubleau. Si nous joignions le point T au point S
par une droite, nous ne pourrions dégager l'arête projetée en BXS; alors
nous cherchons sur la ligne de base en _s_ le centre d'un arc passant
par les points TS. Cette courbe est la section verticale de la ligne de
clefs F_t_. Quant au point _l_, il peut être réuni au point S par une
droite, ainsi que le fait voir la section verticale V faite sur FP.
L'épaisseur de l'arc doubleau _i_R étant fixée, il se trouve que la
ligne de naissance RH comprise entre l'intra-dos est divisée en trois
parties égales par les points _g_, _m_ centres de l'arc brisé. Alors cet
arc est un tiers point. On observe donc que tout le tracé est commandé
par les extra-dos des arcs, que cette voûte est un compromis entre la
coupole et la voûte d'arêtes, que l'introduction de l'arc brisé donne
une grande liberté au constructeur dans la disposition des voûtes sur
plan barlong, et que cependant l'artiste a soigneusement observé un
principe de proportions qu'il regardait non sans raisons comme bon,
puisqu'il résulte du triangle auquel les anciens donnaient une valeur
harmonique parfaite.
Une difficulté, purement matérielle et minime en apparence, obligea
bientôt les architectes à faire de nouveaux progrès dans le tracé des
voûtes et à étendre les applications de l'arc brisé. Vers la fin du XIIe
siècle on commençait des édifices religieux et civils d'une dimension
inusitée jusqu'alors. On portait la largeur des grandes nefs jusqu'à
quinze et seize mètres et même jusqu'à vingt[256]. L'art de
l'architecture était alors exclusivement tombé entre les mains des
laïques, et ceux-ci comprirent bientôt tout le parti qu'ils pouvaient
tirer du nouveau système de voûtes. Avec cette logique qui distingue
l'habitant des Gaules, les maîtres des oeuvres reconnurent que, puisque
de la coupole on ne conservait plus que deux diagonales, ou deux
sections faites sur les diagonales d'un parallélogramme inscrit dans le
cercle, base de cette coupole, il fallait franchement donner à ces deux
arcs croisés une fonction utile, indispensable; il fallait en faire
l'ossature de la voûte et porter sur cette ossature des voûtains
indépendants les uns des autres, pouvant ainsi s'incliner en tous sens,
se biaiser, s'allonger, devenir très-concaves ou presque plats. Les
voûtes des cathédrales de Paris, de Senlis, celles de beaucoup d'églises
de l'Île de France bâties de 1160 à 1200, présentent déjà une quantité
de combinaisons qui indiquent combien, en très-peu d'années, l'école
laïque s'était émancipée, tout en conservant le principe primitif issu
de la coupole et de l'arc brisé. Cependant,--car si rapidement que l'on
progresse, il y a toujours entre le point de départ et le point
d'arrivée des transitions,--la coupole considérée comme génératrice est
une tradition si puissante, que pour la construction des grandes voûtes,
les architectes n'osent pas encore se fier entièrement aux conséquences
du système que nous venons d'indiquer. Ils ont encore dans l'esprit la
configuration de la coupole, ils tâtonnent.
Les hautes voûtes du choeur de la cathédrale de Paris, qui étaient
terminées avant l'année 1190, nous fournissent à cet égard un sujet
d'études intéressantes. La date de leur construction est certaine, et
elles n'ont pas été modifiées plus tard ainsi que cela est arrivé pour
la plupart des absides du XIIe siècle.
Le souvenir de la coupole a évidemment inspiré le tracé de ces voûtes
(6). Un cercle dont le centre est en C et dont le rayon est CA a d'abord
été tracé. Ce cercle a été divisé en neuf parties. Des points 2 et 7,
deux lignes parallèles au grand axe AA' ont été tirées. Ces deux lignes
2B, 7D sont les nûs des murs du haut choeur au-dessus des piles. On voit
que les deux segments du cercle 2--3, 6--7 débordent le nû des deux
murs. Les points 2 et 7 ont été réunis par une ligne qui est la
projection horizontale de l'arc doubleau du sanctuaire. Des lignes E3,
E4, E5, E6, réunissant le milieu de l'arc doubleau 2--7 aux points
diviseurs de la circonférence, sont les projections horizontales des
arcs ogives, nerfs de la voûte du sanctuaire. Les lignes 3E, 6E,
prolongées jusqu'à leur rencontre avec les lignes de nûs 7D, 2B, sont
les projections horizontales des branches d'ogives contrebutant les arcs
rayonnants. Une ligne FG, perpendiculaire au grand axe et tangente au
cercle, donne la projection horizontale du dernier arc doubleau des
grandes voûtes d'arêtes. Ayant pris sur le grand axe une longueur 9H
égale à 9E, on a obtenu le centre, la clef de la voûte en arcs d'ogives
FGBD. Mais de même que le triangle GE6 est divisé par l'arc doubleau E7,
on a cru devoir diviser le triangle DHG par un arc doubleau IHK. Voilà
pour les projections horizontales. Pour le tracé des arcs, la méthode
suivie est celle-ci: l'arc doubleau BD, ou celui FG, ou celui 2--7, sont
engendrés par un triangle dont la base est quatre et la hauteur deux et
demi. Sur le milieu de la base ou naissance BD divisée en quatre, on a
élevé la perpendiculaire _ab_. Celle-ci ayant deux parties et demie
égales à chacune des divisions de la base, on a tracé le triangle BD_b_.
Portant sur la ligne de base de D en _e_ une épaisseur égale à celle des
claveaux de l'arc doubleau on a réuni le point _e_ au sommet _b_. Du
milieu de cette ligne _eb_, élevant une perpendiculaire jusqu'à sa
rencontre avec la ligne BD, on a obtenu en _t_ le centre de l'une des
branches de l'arc doubleau. Quant aux arcs-ogives, arcs-diagonaux qui
sont comme les derniers témoins de la coupole, ils sont plein-cintres,
ainsi que l'indique notre rabattement; leur point de centre étant relevé
en _g_, au-dessus du tailloir des chapiteaux, afin que la clef _h_ de
ces arcs se trouve à un niveau plus élevé que celui des clefs _b_ des
arcs doubleaux, car on tenait à avoir une pente dans la section de la
voûte, de H en _a_. Dès lors, il fallait que la clef des arcs doubleaux
intersecteurs IK se trouvât au niveau de la clef des arcs ogives. On a
donc relevé en _p_ le centre des branches de cet arc doubleau rabattu
sur notre figure. La projection verticale de l'arc doubleau 2--7 du
sanctuaire est exactement celle des arcs doubleaux BD, FG. Mais comme
les branches d'ogives rayonnantes du sanctuaire doivent aboutir à la
clef E de cet arc doubleau 2--7, ces branches sont excentriques, ne sont
pas les rayons du cercle dont le centre est C; donc la branche 3E est
plus courte que la branche 4E. Il a donc fallu un tracé particulier à
chacune de ces deux branches. Ces tracés sont rabattus sur notre figure;
les clefs _l_ et _m_ de ces branches atteignent, bien-entendu, le niveau
de la clef E de l'arc doubleau 2--7.
De tout ceci il résulte que les arcs ogives BG, FD, F6, G3, et les
branches 4E, 5E sont bien réellement des côtes de coupoles entre
lesquelles on a percé des formerets et des arcs doubleaux affectant la
courbe aiguë. Les architectes n'osaient même encore s'affranchir de la
configuration concave de la coupole, bien que le système admis l'eût
permis, car ils avaient le soin de tenir les clefs des arcs doubleaux et
des formerets plus basses que celles des arcs diagonaux, afin de
conserver à la structure cette forme de calotte qui leur semblait
nécessaire à la solidité.
Le principe de la coupole considérée comme génératrice des voûtes en
arcs d'ogives nous paraît trop important pour que nous n'insistions pas.
Ainsi (7), soit une voûte absidale en quart de sphère, et dont le plan
est ponctué en _aa_, voûte appelée _cul-de-four_ et si fréquemment
employée par les Romains et pendant la période romane. Supposons que
nous divisions ce cul-de-four en cinq parts (voir le plan A), que
réservant seulement des côtes _cbd_, nous enlevions, entre ces côtes,
les triangles _edb_, _ebb_, etc.; nous aurons la figure perspective
tracée en B. Il est clair que nous pouvons voûter les triangles vides,
soit au moyen d'un formeret plein-cintre _c_, soit au moyen d'un
formeret aigu D dont la clef E est en contre-bas de la clef F, soit au
moyen d'un formeret aigu dont la clef G est au niveau de celle F. Ce que
nous indiquons ici dans une seule figure, il a fallu quelques années
pour le faire. Les hautes voûtes de l'abside de l'église abbatiale de
Vézelay sont faites conformément au figuré C; elles datent de 1190
environ. Celles de la cathédrale de Paris sont faites d'après le tracé D
(1180). Celles des églises du commencement du XIIIe siècle, conformément
au tracé G[257]. Comme l'arc ogive (plein-ceintre) _bd_ est plus long
que l'arc doubleau _cd_, lorsqu'on a voulu avoir les clefs de ces arcs
doubleaux au niveau de celles des arcs ogives, il a fallu prendre la
forme aiguë pour les premiers, ainsi qu'on le voit en H. Il est évident
que sur ces côtes conservées de la coupole, on n'a pas immédiatement osé
faire porter tout le poids des voûtains. Les architectes, en laissant
les clefs des formerets à un niveau plus bas que celui des clefs des
arcs ogives, pensaient ainsi faire porter une partie du poids des
voûtains ou remplissages triangulaires sur les murs, et ils ne se
trompaient pas; mais ils reconnurent bientôt que cette structure avait
des inconvénients: elle tendait à déverser les formerets en dehors.
C'était un compromis entre la structure antique et celle nouvellement
inaugurée qui devait arrêter quelque temps les développements de l'art
du XIIIe siècle; d'ailleurs, il était plus simple de considérer les arcs
réservés de la coupole comme les points résistants, destinés à
transmettre les pesanteurs des voûtes, et de maintenir alors solidement
la poussée de ces côtes; c'est ce que l'on fit bientôt: 1º en adoptant
l'arc brisé pour les formerets; 2º en élevant les clefs de ceux-ci au
niveau des clefs des arcs ogives, comme l'indique la figure 7 en G.
Les projections des grandes voûtes du choeur de la cathédrale de Paris
que nous avons tracées (fig. 6) nous montrent en BDFG one voûte presque
carrée, composée de deux arcs ogives BG, DF, de deux arcs doubleaux BD,
FG, d'un arc doubleau intermédiaire KI et de quatre formerets BK, KF,
DI, IG. Ayant la disposition des voûtes sur plan carré des collatéraux,
des points d'appuis en B, K, F, D, I, G d'une part, et la tradition de
la coupole de l'autre, les constructeurs, cherchant à conserver de cette
coupole deux tranches diagonales BG, DF, sur lesquelles devaient reposer
les remplissages ou voûtains, ne pensaient pas que ces diagonales
dussent ne point se couper suivant des angles très-rapprochés de l'angle
droit, sinon droits. Ils franchissaient ainsi deux travées, faisant
porter ces arcs ogives ou diagonaux sur les points d'appuis, de deux en
deux; mais autant pour diminuer la surface des remplissages que pour
répartir leur poids sur toutes les piles, ces constructeurs recoupaient
la voûte en arcs d'ogives par un arc doubleau intermédiaire KI.
Voici donc ce que donnait cette combinaison (8). La coupole à projection
horizontale circulaire était encore la génératrice de cette voûte. En
effet (voir la projection horizontale A), les arcs ogives _ab_, _cd_, ne
sont autre chose que les tranches réservées de la coupole; seulement,
les murs de la nef étant sur les deux parallèles _ad_, _cb_, un arc
doubleau intermédiaire bandé de la pile _e_ à la pile _f_ permettait de
voûter chacun des triangles _adg_, _cbg_ au moyen de deux voûtains
_aeg_, _edg_, _cfg_, _fbg_. Au lieu de deux formerets _ad_, _cb_, on
obtenait quatre formerets _ae_, _ed_, _cf_, _fb_. Le figuré perspectif B
explique ce système. Là, le plan fictif de la coupole est visible. Les
deux arcs ogives CD, EF en sont les dernières traces; l'arc doubleau
intermédiaire GH, au lieu d'être, comme les arcs ogives, une tranche
séparée de la coupole, a été reporté de G' en G et de H' en H; son
sommet atteint le niveau de la clef I des arcs ogives; puis, l'ossature
ainsi établie, dans les triangles K restés vides on a bandé les voûtains
K', qui portent sur les arcs ogives, les arcs doubleaux, et qui sont
tracés par les formerets L. Ce système offrait encore l'avantage de
prendre des jours latéraux sous les formerets dans la hauteur même de la
voûte.
Mais il était peu logique, ayant des points d'appuis égaux en force, en
_aed_, de faire porter deux arcs ogives et un arc doubleau sur les piles
_ad_, tandis qu'on ne chargeait la pile _e_ que d'un seul arc doubleau.
On prit donc, vers 1230, le parti de faire des grandes voûtes par
travées, très-barlongues, et de charger également toutes les piles.
C'est ainsi que sont construites les voûtes hautes des nefs des
cathédrales d'Amiens et de Reims; la coupole en est cependant le
principe générateur comme pour les voûtes précédentes. Dans la
cathédrale d'Amiens les arcs diagonaux ou ogives sont des plein-cintres,
ou très-peu s'en faut; mais dans celle de Reims la coupole génératrice
des arcs ogives est tracée sur un triangle équilatéral, et l'épure de
ces voûtes est aussi simple que profondément raisonnée.
En A (9) est donnée la projection horizontale d'une de ces voûtes
hautes; les piles étant en _abcd_, l'axe de ces piles donne les points
de départ des deux arcs ogives _ad_, _bc_, ou plutôt les arcs ogives
sont les diagonales d'un parallélogramme rectangle dont les angles
tombent sur les axes des piles. Ces arcs ogives sont les tranches
réservées d'une coupole dont la trace horizontale est donnée par le
cercle _iji'j'_ et dont la section verticale est la courbe brisée
_klk'l'_, inscrivant un triangle dont la base est à la hauteur comme 13
est à 10.--On remarquera que le tracé est donné par
l'extra-dos.--L'extra-dos des arcs doubleaux rabattus en _efg_ inscrit
un triangle équilatéral; l'extra-dos des formerets rabattus en _hmn_
inscrit de même un triangle équilatéral; la clef _n_ de ces formerets
atteint le niveau de la clef _g_ des arcs doubleaux, de sorte que leur
naissance est relevée en _mh_. Ces formerets sont d'ailleurs les
archivoltes des fenêtres. Ainsi donc les conséquences du principe de la
voûte d'arête dite gothique se simplifiaient rapidement. Les épures
pouvaient être indiquées déjà vers 1230 par une simple formule. Le
triangle équilatéral est toutefois rarement employé pour tracer les
grands arcs doubleaux des voûtes, il est plutôt adopté pour les
formerets dont il fallait relever les naissances (voy. CONSTRUCTION).