I. On trouvera le nombre demandé en imaginant que les quatre as sont mis
à part, et que les 28 cartes restantes sont distribuées de toutes les
manières possibles en quatre groupes ou paquets: le premier du 8 cartes
pour le joueur en premier, le second de 12 cartes pour le joueur qui
donne, les deux autres de 5 et de 3 cartes pour le talon. Le nombre
cherché a donc pour expression une fraction ainsi composée:
Le numérateur est le produit de tous les nombres entiers consécutifs
depuis 1 jusqu'à 28. Le dénominateur est le produit de tous les nombres
entiers consécutifs depuis 1 jusqu'à 8, par ceux de 1 à 12, par ceux de
1 à 5, par ceux de 1 à 3.
Tout calcul fait, on trouve 24 925 367 263 600.
Le rapport de ce nombre à celui qui a été trouvé pour le premier
problème du dernier numéro est égal à 0,0137635; d'où l'on voit combien
le nombre des combinaisons est diminué par la restriction apportée dans
l'énoncé relativement au groupement des as.
II. Le jeu du _franc-carreau_ a été indiqué par Billion dans son _Essai
d'arithmétique morale_. Voici en quoi il consiste:
Sur un sol pavé de carreaux hexagones, réguliers et égaux, comme sont
ordinairement les carrelages de nos habitations, on projette au hasard
une pièce de monnaie, et un joueur parie pour franc-carreau,
c'est-à-dire pour que la pièce, après sa chute, repose tout entière sur
un seul carreau. L'adversaire parie qu'elle tombera sur un joint.
[Illustration.]
Pour déterminer les chances de chacun des joueurs, imaginons que dans
l'intérieur de chacun des carreaux nous ayons mené aux six côtés autant
de parallèles à une distance égale au demi-diamètre de la pièce de
monnaie. Nous aurons formé ainsi un second hexagone régulier intérieur
au premier.
Or, il est clair que le premier joueur gagnera lorsque le centre de la
pièce de monnaie tombera dans l'intérieur du plus petit hexagone; qu'il
perdra, au contraire, lorsque ce centre tombera entre les contours des
deux polygones. D'ailleurs, comme tous les compartiments du carrelage
ont été supposés égaux entre eux, il a suffi d'en considérer un seul. On
voit donc que la probabilité du gain du premier joueur est égale au
rapport de l'aire du petit hexagone à celle du grand.
La probabilité du gain du second joueur est égale à la fraction que l'on
obtient quand on retranche de l'unité le rapport ci-dessus. Sa
représentation géométrique est le rapport de l'aire comprise entre les
deux hexagones à l'aire du plus grand.
Or, dans tout jeu, il est juste de proportionner les mises des joueurs
dans le rapport inverse de leurs chances de gain. On voit donc que la
mise du premier joueur étant dans un certain rapport avec l'aire de
l'hexagone intérieur, celle du second devra être dans le même rapport
avec l'aire comprise entre les deux polygones.
III. Lorsqu'on puise de l'eau dans un puits, lorsqu'on exploite une
carrière ou une mine à l'aide d'une corde ou d'une chaîne munie d'un
seau ou d'une _benne_ à chacune de ses extrémités, il y a à chaque
instant une perte de force considérable, due à ce que l'on a à soulever
le poids de la chaîne ou de la corde, outre celui de la matière contenue
dans le seau. Quand il s'agit de mines ou de carrières de plusieurs
centaines de mètres de profondeur, le poids inutile à soulever, lorsque
le seau est au fond du puits, peut être très-considérable par rapport au
poids réellement utile.
Il paraît que la disposition aussi simple qu'ingénieuse représentée dans
notre figure fut imaginée vers le milieu du siècle dernier par l'habile
mécanicien Loriot, qui l'adapta aux mines de Poutpeau (Ille-et-Vilaine).
On voit sans peine qu'en faisant faire à la corde ou à la chaîne un
anneau entier, dont un des bouts descende jusqu'à la profondeur ou l'on
doit puiser de l'eau ou charger les matières exploitées, et en attachant
les seaux à deux points tels que lorsqu'un des seaux sera au plus haut,
l'autre sera au plus bas, il y aura toujours équilibre entre les deux
parties de la chaîne, et qu'on n'aura à vaincre en réalité, outre le
poids utile, que les résistances dues aux frottements et à la raideur de
cette chaîne.
[Illustration,]
Il y a une autre disposition très-simple due à Le Camus, de l'Académie
des Sciences, et au moyen de laquelle on arrive à peu près au même
résultat; elle consiste à enrouler les deux moitiés de la corde en sens
contraire sur les deux moitiés d'un arbre horizontal ou treuil, en sorte
que l'une de ces moitiés soit toute couverte de la corde dont le seau
est en haut, pendant que l'autre moitié de l'arbre est découverte, le
seau qui lui répond étant au point le plus bas. Mais ce procédé exige
une plus grande perte de force pour vaincre la raideur de la corde, et
est moins satisfaisant que le procède de Loriot.
Le Camus a encore proposé un autre appareil pour le cas ou l'on n'a
qu'un seau. Il enroule la corde sur un arbre dont la forme est à peu
près celle d'un cône tronqué, de sorte que le seau étant au plus bas, la
corde agisse sur la partie où le treuil a le plus petit diamètre, et que
le seau étant au plus haut, elle agisse sur le plus grand diamètre. Par
ce moyen, on emploie toujours la même force d'impulsion; mais la vitesse
d'ascension varie à chaque instant. Elle est moindre lorsque le seau
commence à monter que lorsqu'il approche de la bouche du puits; et, en
définitive, on soulève toujours le poids de là chaîne, ce que l'on
évite: par le procède Loriot, avec le double seau et la chaîne sans fin.