更体形

设如正方体每边一尺二寸今欲作与正方体积相等之圆球体问径几何

法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○

○○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球径一二四○七○○九八为二率今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余

即　　　　　　　　　【亦】圆球之径也葢正方体之每边为

一○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　【为】○圆球径为一二四○七○○九八则两体积相等故以子丑寅卯正方体之每边一○○○

○○○○○与　　　　　　　　　　　　　　【相】辰巳圆球径一二四○七○○九八之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比而两体等也

设如正方体积一尺七百二十八寸今欲作与正方边相等之圆球体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○

○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　【八】球积五二三五九八七七五为二率今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十

三厘有余即　　　　　　　　　　　　　【分】圆球之积也葢正方体

积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球积为五二三五九八七七五则正方体

之每　　　　　　　　　　【百】边与圆球径相等故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○

【八】与辰巳圆球积五二三五九八七七

五之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己圆球积九百零四寸七百七十十三厘有余之比而正方体之每边与

圆　　　　　　　　　【分】球径亦为相等

也设如圆球径一尺二寸今欲作与圆球积相等之四面体问毎一边几

何法用体积相等边线不同之定率比

例以定率之　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一二四○七○○九八为一率四面体之毎边二○三九六四八九○为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余即四

面体之每一边也　　　　　　　　　　　　　　　【厘】葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故

以　　　　　　　　　【七】子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比即同于今所设【豪】之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七三丝八忽有余之比而两体积亦为相等也

设如圆球积一尺七百二十八寸今欲作与圆球径相等之四面体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例

以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球积五二三五九八七七五为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五

厘有余即四面体之积也葢　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】圆球积为五二三五九八七七五四面体积为

一一七八五一一二九　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】则圆球径与

四面体之每边相等故以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】子丑圆球积五二三五九八七七五与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸与今所得之丙丁戊己四百八十八寸九百三十六分六百四十

五厘有余之比而圆　　　　　　　　　　　　　　　　【面】球径与四面体之毎边亦为相等

也设如八面体每边一尺二寸今欲作与八面体积相等之十二面体问每边几

何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也

设如八面体积一尺七百二十八寸今欲作与八面体毎边相等之二十面体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也

御制数理精蕴下编卷二十九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十

体部八

各体权度比例

堆垜

各体权度比例

数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法防以诸物制爲正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之爲质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也

赤金十六两八钱

纹银九两

水银十二两二钱八分

红铜七两五钱

白铜六两九钱八分

黄铜六两八钱

纲六两七钱三分

生铁六两七钱

熟铁六两七钱三分

高锡六两三钱

六锡七两六钱

倭铅六两

黑铅九两九钱三分

白玉二两六钱

金珀八钱

白玛瑙二两三钱

红玛瑙二两二钱

砗磲一两五钱二分

青石二两八钱八分

白石二两五钱

红石二两五钱六分

象牙一两五钱四分

牛角一两九钱

沉香八钱二分

白檀八钱三分

紫檀一两零二分

花梨八钱七分

楠木四钱八分

黄杨七钱五分

乌木一两一钱

油八钱三分

水九钱三分

设如有金一方每边三寸问重几何

法以一寸爲一率金寸方重一十六两八钱爲二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积爲二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也

设如有银一方每边二寸问重几何

法以一寸爲一率银寸方重九两爲二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积爲八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也

设如黄铜一条重三百七十四两问积几何

法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸爲二率今所设黄铜重三百七十四两爲三率求得四率五十五寸即黄铜之积也

设如熟铁一块重十六两欲镕爲正方体问毎边几何

法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率一寸爲二率今铁重十六两爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也

设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何

法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水银一匣之积数爰以一寸爲一率水银寸方重一十二两二钱八分爲二率今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也

设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何

法以玉寸方重二两六钱爲一率一寸爲二率今所设玉重九十三两六钱爲三率求得四率三十六寸爲长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸爲带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸爲阔再加长比阔多三寸得六寸爲长也

设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何

法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱爲一率金一寸爲二率今相减所余之三十一两二钱爲三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱爲一率一寸爲二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱爲三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也

设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何

法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分爲高再乘得一十二寸五百分爲炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱爲一率金一寸爲二率今相减所余一十四两二钱爲三率求得四率一寸爲金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分爲玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱爲玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱爲一率一寸爲二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也

设如空心金　　　　　　　　【率】球一个外径一尺二寸厚三分问重几

何法以　　　　　　　　　　　【球】金球外径一尺二寸自乘再

乘得一尺七百二十八寸乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】方边球径相等方积球积不同之定率比例

以方积一○○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】爲

一率球积五二三五九八七七五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】爲二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分爲空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○爲一五九八七七五爲二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三

厘有余爲　　　　　　　　　　　　【边】球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十

厘有余爲空　　　　　　　　　　　　　【较】心球体积乃以一寸爲一率金寸方重十六两八钱爲二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空【二】心金球体之

重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数

各几何法以红石比青石每边多二寸爲边较体积多五十六寸爲积较用大小二立方有边较积较求边法算之以寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸爲一率红石寸方重二两五钱六分爲二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸爲一率青石寸方重二两八钱八分爲二率青石每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆爲正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也

设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸爲一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十两爲第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余爲第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余爲第三桶之边数乃以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余爲三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余爲三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也

设如金　　　　　　【二】球一个径二寸二分六厘今欲作一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】银

球其重　　　　　　　【七】与金球等问

径几何法以金方边一寸爲一率银方边一寸二分三厘爲二率今所设之金球径二寸二分六厘爲三率求得四率

二寸七分七厘有　　　　　　　　　　　　　　　【分】余即银球之径数也此法葢因各色俱爲正方体其重数俱设爲十六两八钱与金寸方等故金方边爲一寸银方边爲一寸二分三厘水银方边爲一寸一分一厘铅方边爲一寸一分九厘铜方边爲一寸三分一厘铁方边爲一寸三分六厘锡方边爲一寸三分九厘石方边爲一寸八分九厘水方边爲二寸六分四厘油方边爲

四厘皆系边与边之比例故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四

率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重

几何法以青石寸方重二两八钱八分爲一率熟铁寸方重六两七钱三分爲二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重

堆垜

堆垜之法虽爲体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则爲四角尖堆以三角面层累者则爲三角尖堆此二者每层之边皆同爲递加一数每层之面积则三角爲按位相加之数四角爲按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则爲长方堆以全堆而减去上截者则爲半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后

设如一面直角尖堆底十二求积几何

法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二层其每层皆加一爲挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖爲一防无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也

设如一面直角尖堆积二十八求底几何

法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等爲一面直角尖堆之底阔也

设如一面三角尖堆底七求积几何

法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也

设如一面三角尖堆积三十六求每边几何

法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也

设如一面梯形堆上五下九求积几何

法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五爲层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲层数五【凡自一递加之数其末数即位数今首数爲五计自一己截去四位故于末数内减去所少之位即爲今之所有之位见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也

又法以底九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五又以上五内减一余四爲上虚小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求积法求得上虚小一面三角尖堆积十两积相减余三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆总积又求得戊己庚上虚小三角尖堆积相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也如有上阔或下阔与层数求积者则于层数内减一余爲上下阔之较与上阔相加则得下阔与下阔相减则得上阔皆用有上下阔之法算之而得积也

设如一面梯形堆积三十五下九问上几何

法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五内减梯形积三十五余十爲上虚小一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法求得每边四加一得五即一面梯形堆之上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积内减甲乙丙丁梯形堆积余戊己庚上虚小一面三角尖堆积乃用有积求边法求得己庚四因每层埃次递加一故加一即得甲丁五爲上阔也如有上阔求下阔者则以上阔内减一爲上虚小三角尖堆之底求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加爲三角尖堆总积亦用有积求边法算之即得下阔也

设如一面梯形堆积三十五上阔比下阔少四问上下阔各几何

法以梯形堆积三十五倍之得七十又以上下阔之较四加一得五爲层数以除倍积七十得十四爲上下阔之和加较四得十八折半得九爲下阔内减较四余五爲上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆积每层挨次加一今甲丁上阔比乙丙下阔少四即知甲乙爲五层矣故以甲乙丙丁梯形积倍之则成甲乙戊己斜方积以甲乙五层除之得乙戊爲上下阔之和加上下阔之较折半即得下阔于下阔内减上下阔之较即得上阔也如有积与上下阔之和求上下阔者则将积数加一倍以上下阔之和除之即得层数内减一即得上下阔之较或有积与层数求上下阔者则于层数内减一即得上下阔之较以层数除倍积即得上下阔之和既有较有和即得上下阔矣

设如一面六角堆每边六求积几何

法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每边六减一余五爲每一面三角尖堆之底与毎边六【即底加一也】相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之积也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之则成甲庚辛类六三角尖堆而余中心一其每一三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故以六角堆之每一边内减一即得三角尖堆之每一边而求得一面三角尖堆积六因之再加中心一即得一面六角堆之总积也

设如一面六角堆积九十一求每边几何

法以一面六角堆积九十一减中心一余九十六归之得十五爲一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法算之得每边五加一得六即六角堆之每一边也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆积先减去中心一以六归之则得甲庚辛一三角尖堆积其三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故用一面三角尖堆有积求边法求得一边再加一爲一面六角堆之每一边也此即算书所谓圆束也本以六包一不能成圆凡云圆者皆六边也

周四十求积几何

法以外周四十加四得四十四四归之得十一爲方束每一边之数自乘得一百二十一即方束之积也如图甲乙丙丁方束其四隅之四各爲两边所同用故必以外周加四以四归之始得甲乙每一边之数以一边自乘即爲方束之积数也

又法以外周四十加八得四十八与外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之积也葢方束以八包一其外周所包之数亦必以八递加爲超位平加之数如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一层爲八第二层爲十六第三层爲二十四第四层爲三十二第五层爲四十毎层皆加八爲超位平加之数引而长之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上阔如以首数八与末数四十相加得四十八用层数五乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周四十用八归所得之数今以内周八与外周四十相加即与外周四十栒乘是未用八归故将相乘所得之数必以八归又以二归【即折半】始得总数夫先用八归后用二归即与用十六归除等【二与八相因得一十六合两次除爲一次除】故以十六归除得总数再加中心一即得方束之积也又按第一法以外周四十加四以四归之得方束之每一边是外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比毎边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也此方束毎边十一系奇数故有中心之一若方束毎边系偶数者则无中心之一详见下法

设如方束外周三十六求积几何

法以外周三十六加四得四十四归之得一十爲方束毎一边之数自乘得一百即方束之积也

又法以外周三十六加八得四十四与外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之积也此方束每边系偶数无中心一其最内一层爲四其外周三十六用八归之则得四层半然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比每边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也

设如方束积一百求外周几何

法以方束积一百开平方得一十四因之得四十内减四余三十六即方束外周之数也如图甲乙丙丁方束开方则得甲乙一边前法以外周加四四归之而得一边此法以一边四因之减四而即得外周也

又法以方束积一百内减一余九十九以十六乘之得一千五百八十四爲长方积以八爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十六即方束之外周数也此即方束有外周求积之法而转用之前法以外周加八与外周相乘十六除之再加一而得积此法则以积数减一余用十六乘之以八爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也

设如三棱束外周二十七求积几何

法以外周二十七加三得三十三归之得一十爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边一十加一得一十一与每边一十相乘得一百一十折半得五十五即三棱束之积也如图甲乙丙三棱束其三角之三各爲两边所同用故必以外周加三以三归之始得甲乙每一边之数即如一面三角尖堆之每一边故用一面三角尖堆有边求积法算之即得三棱束之积也又法以外周二十七加九得三十六与外周二十七相乘得九百七十二以十八归除得五十四加中心一得五十五爲三棱束之积也葢三棱束以九包一其外周所包之数亦必以九递加爲超位平加之数如甲乙丙三棱束除却中心之一最内一层爲九第二层爲十八第三层爲二十七每层皆加九爲超位平加之数引而长之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上阔如以首数九与末数二十七相加得三十六用层数三乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数今以内周九与外周二十七相加即与外周二十七相乘是未用九归故将相乘所得之数必以九归又以二归【即折半】始得总数夫先用九归后用二归即与十八归除等【二与九相乘得一十八合两次除爲一次除】故以十八归除得总数再加中心一即得三棱束之积也又按第一法以外周二十七加三以三归之得一面三角尖堆之每一边是外周加三则得每边之三倍若以毎边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍则积加九倍彼旣爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲十八倍也】而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也此三棱束亦有无中心之一者葢缘三棱束包中心一爲一层者周围九其底则四包中心一爲二层者周围十八其底则七凡如此类周递加九边递加三者皆有中心之一其余皆无中心之一详见下法

设如三棱束外周三十求积几何

法以外周三十加三得三十三三归之得十一爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边十一加一得十二与每边十一相乘得一百三十二折半得六十六即三棱束之积也又法以外周三十加九得三十九与外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三棱束之积也此三棱束无中心其最内一层爲三其外周三十用九归之则得三层又三分之一然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加三则得每边之三倍若以每边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也

设如三棱束积六十六求外周几何

法以三棱束积六十六倍之得一百三十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十一爲三棱束之每一边三因之得三十三内减三余三十即三棱束之外周数也如图甲乙丙三棱束用一面三角尖堆有积求边法求得甲乙一边前法以外周加三三归之而得一边此法以一边三因之减三而即得外周也

又法以三棱束积六十六内减一余六十五以十八乘之得一千一百七十爲长方积以九爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即三棱束之外周数也此即三棱束有外周求积之法而转用之前法以外周加九与外周相乘十八除之再加一而得积此法则以积数减一余用十八乘之以九爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也

设如圆束外周三十求积几何

法以外周三十六归之得五爲一面三角尖堆之每一边用一面三角尖堆有边求积法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即圆束之积也如图甲乙丙丁戊己圆束六分之则成甲庚辛类六三角尖堆形而余中心一故以外周六分之而得甲庚每一边之数即如一面三角尖堆之每一边而求得一三角尖堆积六因之得六三角尖堆积加中心一即爲圆束之积数也

又法以外周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层爲六第二层爲十二第三层爲十八第四层爲二十四第五层爲三十每层皆加六爲超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归【即析半】始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等【二与六相因得一十二合两次除爲一次除】故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三十六倍彼既爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳

设如圆束积九十一求外周几何

法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也

又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十爲长方积以六爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也

设如堑堵堆底五求积几何

法以底五自乘得二十五爲底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形爲堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也

设如三角尖堆每边五求积几何

法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲三第三层爲六第四层爲十第五层爲十五爲每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二爲高与底面积相乘成平行面之三棱体是爲三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二爲高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体其二面爲两体所同用今以位数加二爲高与底数相乘所以增其二面之分也

又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十爲倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五爲三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既爲三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即爲三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也

又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十爲第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘爲第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也三数相加始爲三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也

设如三角尖堆积一百二十求每边几何

法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十爲长方体积以一爲长与阔之较以二爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也

设如四角尖堆每边五求积几何

法以每边五加半得五个半与每边五相乘得二十七个半又以每边五加一得六与二十七个半相乘得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积数也如图甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累积成方底四角尖体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲四第三层爲九第四层爲十六第五层爲二十五爲每次按位自乘相加之数如以每边加半与每边相乘复以位数加一乘之取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十五节】今以每边加半与每边相乘是得长方面积复以位数加一爲高乘之是得长方体积爲四角尖体之三倍故以三除之即得也然以边数加半爲长以位数加一爲高者葢以三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底必比正方面多半行其高必比原有之位数多一层【三角体以边数加一与边数相乘四角体以边数加半与边数相乘三角体以位数加二爲高四角体以位数加一爲高总以四角体比三角体底式大一倍故三角体爲长方体六分之一四角体爲长方体三分之一三角体加数几何而此四角体皆用其半也】又以一长方体分爲三四角尖体其三面爲两体所同用而少一行之数试以甲乙丙丁四角尖体作爲戊己庚辛阳马尖体形爲长方体三分之一所余爲三分之二其戊己庚戊庚辛两面爲两体所同用而戊庚一行又爲两面所同用是此两面爲两体所同用而少一行之数也又以其所余三分之二平分之必有一面爲两体所同用是以长方体分爲三四角尖体有三面爲两体所同用而少一行之数也今以每边加半与每边之数相乘又以位数加一乘之所以增其三面少一行之分也【葢其高既比原位数多一则其傍面一层宜爲一面三角尖堆之倍数而其傍面只比毎边多半是傍面只爲一面三角尖堆之数也又其高旣比原位多一则其上面一层爲毎边自乘之数即爲一面三角尖堆之倍数而少一行共之爲三面少一行之数也】又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲第三数三数相加共得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积也此法与第一法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加半与每边相乘亦未以位数加一再乘也因未以位数加一再乘则其上层即少一每边自乘之数故以每边自乘爲第二数也因未以每边加半相乘则其傍面即少一面三角尖堆之数故以每边加一与每边相乘折半爲第三数也三数相加始爲四角尖堆积之三倍故以三归之而得积也

又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十又以每边五加二得七乘之得二百一十三归之得七十爲三角尖堆之倍积又以每边五求得一面三角尖堆积十五与倍三角尖堆积七十相减亦得五十五爲四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数葢四角尖堆底面积爲三角尖堆底面积之一倍而少一行故四角尖堆体积爲三角尖堆体积之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积即得四角尖堆积也

又法以每边五用堑堵堆求积法求得堑堵堆积七十五又以每边五用三角尖堆求积法求得三角尖堆积三十五两数相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积四角尖体爲堑堵体三分之二三角尖体爲堑堵体三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆积与堑堵堆积相加即与二方底四角尖堆之积等故折半而得四角尖堆之积也

设如四角尖堆积二百零四求每边几何

法以四角尖堆积二百零四三因之得六百一十二爲长方体积以半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即四角尖堆之每一边也此法即四角尖堆有边求积之法而转用之葢四角尖堆有边求积则以每边加半与毎边相乘又以毎边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍是长比阔多半高比阔多一今以四角尖堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也

设如长方堆底长九阔七上一行收顶求积几何法以底阔七爲方堆之底用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆积一百四十又以底阔七与长九相减余二爲两一面三角尖堆即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法求得一面三角尖堆积二十八二因之得五十六爲两一面三角尖堆积与前所得四角尖堆积一百四十相加得一百九十六即长方堆之积也如图甲乙丙丁戊长方堆丙丁长比乙丙阔多庚丁二试自己至庚截去二面则成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊两一面三角尖堆形其乙丙阔与丙庚等即四角尖堆之毎一边亦即一面三角尖堆之毎一边故以一边求得四角尖堆积又求得两一面三角尖堆积相加即得长方堆之积也又法以阔七与长九相减余二折半得一又加半得一个半与长九相加得十个半与底阔七相乘得七十三个半又以底阔七【即层数】加一得八再乘得五百八十八三归之得一百九十六即长方堆之积也此法与前法之理同如甲乙丙丁戊长方堆既分爲一四角尖堆两一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘以甲乙加一再乘得一长方体形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘以戊丁【同甲乙】加一再乘得二长方面形爲两一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍数不同故又以庚丁折半与庚丁相加即增其一长方面之分得三长方面形亦爲两一面三角尖堆之三倍故以三归之得一四角尖堆两一面三角尖堆合之与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也

又法以底阔七与长九相减余二再加一得三爲顶上之长乃以底长九倍之得十八加顶长三得二十一与底阔七相乘得一百四十七再以高数七加一得八再乘【阔数即高数也】得一千一百七十六六归之得一百九十六即长方堆之积也此法与第二法同葢前法以长阔相减折半加半与长相加此法以长阔相减不折半加一与倍长相加则其长比前法多一倍阔与高皆与前数同而体积亦必比前数大一倍故前法用三归此法用六归也

设如长方堆积二百七十六长比阔多二求每边几何

法以长方堆积二百七十六三因之得八百二十八爲长方体积以长比阔多二折半又加半得一个半与二相加得三个半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八爲底阔加长比阔多二得十爲长也此法即长方堆有边求积之法而转用之葢长方堆有边求积则以原长阔之较折半又加半与原长相加乃与阔相乘又以阔加一再乘得长方体积爲长方堆之三倍是长比阔多原长阔之较又多半较仍多半高比阔多一今以长方堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲底边之阔加长阔之较得数爲长也

设如三角半堆底边八上边五求积几何

法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十又以上边五减一得四爲上虚三角尖堆之每边亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与先所得三角尖堆全积一百二十相减余一百即三角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己三角半堆若于其上加一小三角尖堆则成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一故先求得大三角尖堆全积又求得上虚小三角尖堆积相减即得三角半堆之积也

又法以底边八加一得九与底边八相乘得七十二爲第一数又以上边五与底边八相并得十三以上边五加一得六乘之得七十八爲第二数两数相并得一百五十又以上边五与下边八相减余三加一得四爲层数与两数相加之一百五十相乘得六百六归之得一百爲三角半堆之积也此法与等边三角尖堆求积之法同葢等边三角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍分之则得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形【即上多二层】若依此法以底边加一与底边相乘即长比阔多一之长方体之一面数也以上边一与下边相加又以上边一加一得二乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也此两数相并以层数乘之则亦得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形共成一长方体形爲三角尖堆之六倍矣

设如三角半堆积一百上边五求底边几何

法以上边五减一余四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与半堆积一百相加得一百二十爲等边三角尖堆全积用三角尖堆有积求边法求得每边八即三角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得三角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚三角尖堆积求得上虚小三角尖堆之毎边加一即上边也

设如四角半堆底边十二上边五求积几何

法以底边十二用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆全积六百五十又以上边五减一得四爲上虚四角尖堆之每边亦用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与先所得四角尖堆全积六百五十相减余六百二十即四角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆若于其上加一小四角尖堆则成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每边比四角半堆之上边少一故求得大四角尖堆全积又求得上虚小四角尖堆积相减即得四角半堆之积也

又法以上边五自乘得二十五爲第一数以底边十二自乘得一百四十四爲第二数以上边五与底边十二相乘得六十爲第三数又以上边五与底边十二相减余七折半得三个半爲第四数四数相并得二百三十二个半又以上下边相减所余之七加一得八爲层数与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三归之得六百二十即四角半堆之积也此法与等边四角尖堆求积之法同葢等边四角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加半与每边相乘又以每边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍分之则得每边自乘再乘之一正方体形每边自乘之一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形若以底边自乘即正方体之一面数也以上边一与底边相乘则得每边自乘正方面之一行数也以上边一自乘又以上边一与底边相减折半此两数相并即得长比阔多一之半层长方面之一行数也四数相并再以层数乘之则亦得一正方体形一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形共成一长方体形爲四角尖堆之六倍矣又此法与上下不等正方体之法异者在多上下边相减折半之一数因堆垜之傍面有余分故也

设如四角半堆积六百二十上边五求底边几何法以上边五减一余四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与半堆积六百二十相加得六百五十爲等边四角尖堆全积用四角尖堆有积求边法求得每边十二即四角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得四角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚四角尖堆积求得上虚小四角尖堆之每边加一即上边也

设如长方半堆底长十二阔十上长八阔六求积几何

法以底长十二阔十用长方堆求积法求得长方堆全积四百九十五又以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚长方堆之长阔亦用长方堆求积法求得上虚长方堆积八十五与先所得长方堆全积相减余四百一十即长方半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚长方半堆若于其上加一小长方堆则成上一行收顶之长方堆形其上所加之小长方堆之每边比长方半堆之上边少一故先求得长方堆全积又求得上虚小长方堆积相减即得长方半堆之积也

又法以上长八与上阔六相乘得四十八爲第一数以底长十二与底阔十相乘得一百二十爲第二数以上长八与底阔十相乘得八十以上阔六与底长十二相乘得七十二两数相并折半得七十六爲第三数又以上下长相减余四折半得二爲第四数以此四数相加得二百四十六又以上长与底长相减所余之四加一得五爲层数与四数相加之二百四十六相乘得一千二百三十三归之得四百一十即长方半堆之积也此法与四角半堆求积之法同葢四角半堆长阔皆相等此则有长阔之不同故四角半堆以上边自乘爲第一数者此则以上长阔相乘爲第一数四角半堆以下边自乘爲第二数者此则以下长阔相乘爲第二数四角半堆以上下相乘爲第三数者此则以上长与下阔相乘上阔与下长相乘相并折半爲第三数四角半堆以上下相减折半爲第四数者此则以上下长相减折半爲第四数【如以上下阔相减折半亦同】其理皆相通也

又法以上长八倍之得十六加下长十二得二十八以上阔六乘之得一百六十八又以下长十二倍之得二十四加上长八得三十二以下阔十乘之得三百二十又以下长十二与上长八相减余四三数相加得四百九十二又以上下长相减所余之四加一得五爲层数与三数相加之四百九十二相乘得二千四百六十六归之得四百一十即长方半堆之积也此法与第二法同葢此法用数比前法大一倍故前法用三归此法用六归也又此法与上下不等长方体之法异者在多上下长相减之一数因堆垜之傍面有余分故也

又法以底阔十与长十二相乘得一百二十又以长十二阔十各减一得长十一阔九相乘得九十九又以长十一阔九各减一得长十阔八相乘得八十又以长十阔八各减一得长九阔七相乘得六十三再以长九阔七各减一得长八阔六【即上长阔】相乘得四十八以此五数相加共得四百一十即长方半堆之积也此法将每层长阔相乘得每层之积故总加之即五层之共积也法虽层累相加实爲显而易见凡堆垜诸法皆可以此法御之若层数太多者用本法爲简易也

设如长方半堆积四百一十上长八阔六求底长阔各防何

法以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚小长方堆之长阔用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五爲长方堆全积用长方堆有积求边法求得阔十长十二即长方半堆之底边数也如有底边长阔求上边长阔者则以底边求得长方堆全积与半堆积相减余爲上虚小长方堆积求得上虚小长方堆之长阔两边各加一即长方半堆上边长阔之数也

御制数理精蕴下编卷三十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十一

末部一

借根方比例【定位法　　加法　　减法乘法　　除法】

借根方比例

借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之边数即所谓线以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以线类爲问者则借根数以比之以面类爲问者则借平方长方以比之以体类爲问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数又有一定之位与降位之法【定位降位法俱详后】要之此法设立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与眞数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也

定位法

众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变爲几根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常法稍异故变从简易设表如左

右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位其借数者即比例也根与方数俱爲相连比例率如根爲二则平方爲四立方爲八以立方与平方之比同于平方与根数之比即爲八与四之比同于四与二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之数权约爲几根几方以统御之加减后余几根几方即知眞数若干矣【如根爲二数其平方即爲四若余二平方即知其真数有八或余二根即知其真数有四也】其定位者即视根方所对之位也乘法定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其减余数所对之方即除出之方也【乘法以眞数乘根仍得根葢根对一而眞数对○无可加也如以根乘根即得平方葢根对一一与一相加得二二所对之表爲平方故定乘得之数爲平方也如以根乘平方即得立方葢根对一平方对二一二相加得三而三所对之表爲立方故定乘得之数爲立方也又如以平方乘平方则二与二相加爲四查所对之表得三乘方以平方乘立方则二与三相加爲五查所对之表得四乘方以立方乘立方则三与三相加爲六查所对之表得五乘方余皆仿此除法以真数除根仍得根葢根对一而真数对○无可减也如以根除根即得真数葢根对一一与一相减得○而○所对之表爲眞数故定除得之数爲真数也如以根除平方即得根葢根对一平方对二一二相减余一而一所对之表爲根故定除得之数爲根数也又如以平方除平方则二与二减尽爲○查所对之表得真数以平方除立方则二与三相减余一查所对之表得根数以立方除立方则三与三相减得○查所对之表亦得真数也余皆仿此】

定多少与相同号式

凡数有多者用此号一如一平方多二根则如此列之

凡数有少者用此号一如一立方少二平方则如此列之

凡数有相等者用此号一如二立方与十六相等则如此列之

至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不变者有以多变少以少变多者俱详于本法

加法

凡多与多加得数仍爲多少与少加得数仍爲少多与少加少与多加则反相减爲所得数而多数大则得数亦爲多少数大则得数亦爲少其故何也葢因多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚有余也少数大多数小以其所多补其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣

设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得几何

法以三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之数也此多与多加得数仍爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下数二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二与下八相加得二十即五平方之数上多八与下多六相加得十四即多七根之数葢上数共二十下数共十四两数相加得三十四即二十多十四也

设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加问得几何

法以四立方与三立方相加得七立方一平方与二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之数也此少与少加得数仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八与下八十一相加得一百八十九即七立方之数上少九与下少十八相加得二十七即少三平方之数葢上数九十九下数六十三两数相加得一百六十二即一百八十九少二十七也

设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得几何

法以四平方与二平方相加得六平方四根与三根相加应得七根今多少两数不同故于多四根内反减去少三根余一根因多数大故得数爲多是爲六平方多一根即所求之数也此多少两数不同相加所多数大以其所多补足所少而所多仍有余葢以上数多四根补足下数少三根仍多一根也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下数二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六与下八相加得二十四即六平方之数上多八补足下少六仍余二即多一根之数葢上数二十四下数二两数相加得二十六即二十四多二也

设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加问得几何

法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加应得五平方今多少两数不同故于少三平方内反减去多二平方余一平方因少数大故得数爲少是爲三立方少一平方即所求之数也此多少两数不同相加所少数大以其所多补其所少而所少仍不足葢于上数少三平方内增入下数多二平方仍少一平方也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下数一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四与下二十七相加得八十一即三立方之数上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之数葢上数二十七下数四十五两数相加得七十二即八十一少九也

设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平方少三根相加问得几何

法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之数也此三位相加多少各自相同故多与多加仍爲多少与少加仍爲少也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下数一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六与下八相加得二十四即三立方之数上多十二与下多八相加得二十即多五平方之数上少八与下少六相加得十四即少七根之数葢上数二十下数十两数相加得三十即二十四多二十又少十四也

设如有四立方多三平方少二根多五眞数与五立方少一平方多三根少二眞数相加问得几何法以四立方与五立方相加得九立方多三平方与少一平方相减余二平方多数大故爲多少二根与多三根相减余一根多数大故爲多多五眞数与少二眞数相减余三眞数多数大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞数即所求之数也此四位相加而多少各自不同须各以所多补足所少故相减所余爲所得数也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞数五是三十二多十二少四又多五爲四十五下数五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞数二是四十少四多六又少二爲四十上三十二与下四十相加得七十二即九立方之数上多十二补足下少四仍余八即多二平方之数上少四增入下多六反多二即多一根之数上多五补足下少二仍余三即多三眞数葢上数四十五下数四十两数相加得八十五即七十二多八又多二又多三也

设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得几何

法以一立方与一平方相加得一立方多一平方多三根与少一根相减余二根多数大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之数也此相加两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无平方位而下层却有平方位故上层列一空平方位以补之凡法皆当如此也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七与下无可加仍得二十七即一立方之数下九与上空位亦无可加仍得九即一平方之数上多九补足下少三仍余六即多二根之数葢上数三十六下数六两数相加得四十二即二十七多九又多六也

减法

凡多与多减原数大于减数则减余仍爲多少与少减原数大于减数则减余仍爲少若多与多减减数大于原数则反减而减余即变爲少葢减数之所多既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所大之几何则所余之整分内即少几何矣若少与少减减数大于原数则反减而减余即变爲多葢减数之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少减所大之几何故所余之整分内即多几何矣至于多与少减少与多减则反相加爲减余数而原数多则减余仍爲多原数少则减余仍爲少其故何也葢因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于此是所余益多也原数少减数多则原数已少在彼而减数又多于此是所余益少也多少之号明而减法不淆矣

设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何

法以四平方减二平方余二平方五根减二根余三根是爲二平方多三根即所求之数也此多与多减原数大于减数故减余仍爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下数二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内减下十八余十八即二平方之数上十五内减下六余九即三根之数葢上数共五十一下数共二十四两数相减余二十七即十八多九也

设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问所余几何

法以四立方减三立方余一立方三平方减二平方余一平方是爲一立方少一平方即所求之数也此少与少减原数大于减数故减余仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内减下八十一余二十七即一立方之数上二十七内减下十八余九即少一平方之数葢上数八十一下数六十三两数相减余十八即二十七少九也

设如有七平方多三根内减四平方多五根问所余几何

法以七平方减四平方余三平方三根内不能减五根乃于下数多五根内反减上数多三根余二根即变爲少是爲三平方少二根即所求之数也此多与多减减数大于原数故反减而减余即变爲少葢原数多三根减数多五根是减数比原数大二根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余二根此二根必须于原数平方内减之原数既多减二根则余数即少二根也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内减下三十六余二十七即三平方之数下十五内反减上九余六即少二根之数葢上数共七十二下数共五十一两数相减余二十一即二十七少六也

设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何

法以六平方减二平方余四平方三根内不能减四根乃于下数少四根内反减上数少三根余一根即变爲多是爲四平方多一根即所求之数也此少与少减减数大于原数故反减而减余即变爲多葢原数少三根减数少四根是减数比原数大一根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余一根此一根系原数平方内所少减之一根原数既少减一根则余数即多一根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下数二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内减下三十二余六十四即四平方之数下十六反减上十二余四即多一根之数葢上数八十四下数十六两数相减余六十八即六十四多四也

设如有三平方多四根内减二平方少一根问所余几何

法以三平方减二平方余一平方四根减一根应余三根今多少两数不同故反相加得五根因原数多故得数仍爲多是爲一平方多五根即所求之数也此多少两数不同相减原数多减数少原数已多而减数又少则所余者愈多葢原数多四根减数少一根是原数比减数已多五根故减余即爲多五根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下数二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内减下三十二余十六即一平方之数上多十六加下少四得二十即多五根之数葢上数六十四下数二十八两数相减余三十六即十六多二十也

设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何

法以五平方减三平方余二平方二根不能减三根且多少两数不同故反相加得五根因原数少故得数仍爲少是爲二平方少五根即所求之数也此多少两数不同相减原数少减数多原数已少减数又多则所余者愈少葢原数少二根减数多三根是原数比减数已少五根故减余即爲少五根也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五上数五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下数三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内减下七十五余五十即二平方之数上少十加下多十五得二十五即少五根之数葢上数一百一十五下数九十两数相减余二十五即五十少二十五也

设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多三根问所余几何

法以四立方减二立方余二立方六平方减三平方再减三根余三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之数也此相减两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无根位而下层却有根位故上层作一空根位以补之是原根位无数而减数多三根故所余即少三根也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下数二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内减下十六余十六即二立方之数上二十四内减下十二余十二即三平方之数下六无可减仍爲六即少三根之数葢上数五十六下数三十四两数相减余二十二即十六多十二又少六也

设如有五立方多四平方多三根少八眞数内减四立方多二平方多二根少九眞数问所余几何法以五立方减四立方余一立方四平方减二平方余二平方多与多减原数大故爲多多三根减二根余一根多与多减原数大故爲多八眞数不能减九眞数乃于下数少九内反减上数少八余一即变爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞数即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞数八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下数四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞数九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内减下一百零八余二十七即一立方之数上三十六内减下十八余十八即多二平方之数上九内减下六余三即多一根之数下九反减上八余一即多一眞数葢上数一百七十二下数一百二十三两数相减余四十九即二十七多十八又多三又多一也

设如有二立方多三根内减一平方少一根问所余几何

法以二立方减一平方余二立方少一平方三根减一根应余二根今多少两数不同故反相加得四根因原数多故得数仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四无可减仍爲五十四即二立方之数下九无可减仍爲九即少一平方之数上多九与下少三相加得十二即多四根之数葢上数六十三下数六两数相减余五十七即五十四少九又多十二也

乘法

凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从【如乘出之数爲根俱书于根之下乘出之数爲平方俱书于平方之下皆依定位表例】其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数爲多不必言矣法实不止一位俱系多者【如几平方多几根或几根多几眞数又或几平方多几根又多几眞数之类】其乘出之数亦俱爲多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其爲首一位已系整数爲多【如几平方少几根或几根少几眞数或几平方少几根又少几眞数之类】故乘出之数则有多少之分如爲首一位相乘系多与多乘其乘出之数爲多而次位爲少者与首位乘是爲少与多乘或首位与次位爲少者乘是爲多与少乘则其乘出之数俱爲少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也【如防平方少几根与几眞数相乘以眞数乘平方即爲多与多乘以眞数乘根即爲多与少乘也】至于少与少乘其乘出之数反变爲多【如几立方少几平方与几根少几眞数相乘以眞数乘平方即爲少与少乘也】其故何也葢法实首位爲多次位以后爲少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合【除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘爲多而次位对首位乘必爲少与多乘或多与少乘则此两数俱爲少合之爲首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数反加入一末位数也】所谓减者即少数所谓加者即多数多少之分既定则依加法相加即爲所得之数也

设如有三根多二眞数以三眞数乘之问得几何法以三眞数乘二眞数得多六眞数【以多与多乘故爲多也又几以眞数乘根方之数其位皆不变如以眞数乘眞数仍得眞数以眞数乘根仍得根葢定位表中眞数之位爲○于根方之位无所加也】以三眞数乘三根得多九根是爲九根多六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则上数三根得十二多二眞数共得十四以下眞数三乘之所得三十六即九根之数所得多六即多六眞数葢以下数三与上数十四相乘得四十二即三十六多六也

设如有四根多二眞数以二根多三眞数乘之问得几何

法以多三眞数乘多二眞数得多六眞数以多三眞数乘四根得多十二根又以二根乘多二眞数得多四根以二根乘四根得八平方【以根与根乘即得平方葢根所对之位爲一以一加一爲二即平方所对之位故得数定爲平方】相加得八平方多一十六根又多六眞数即所求之数也如图甲乙爲四根乙丙爲多二眞数甲丁爲二根丁戊爲多三眞数以甲丙四根多二眞数与甲戊二根多三眞数相乘成甲戊己丙长方形其甲丁庚乙长方形即八平方其乙庚辛丙与丁戊壬庚二长方形即所多十六根其庚壬己辛长方形即所多六眞数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数四根得十六多二眞数共得十八下数二根得八多三真数共得十一相乘所得一百二十八即八平方之数所得多六十四即多十六根之数所得多六即多六眞数葢以下数十一与上数十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也

设如有二平方多三根以二根多四眞数乘之问得几何

法因上层无眞数位故列一空位以补之以多四眞数乘空眞数仍爲空以多四眞数乘多三根得多十二根以多四眞数乘二平方得多八平方以二根乘空眞数仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方【以根乘平方即得立方葢根所对之位爲一平方所对之位爲二以一加二得三即立方所对之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之数也此相乘两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞数以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四眞数相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子十二根即四真数乘三根之数其甲乙丙丁子丑八平方即四眞数乘二平方之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之数其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之数也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五一立方爲一百二十五上数二平方得五十多三根得多十五共得六十五下数二根得一十多四眞数共得十四相乘所得五百即四立方之数所得多三百五十即多十四平方之数所得多六十即多十二根之数葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也

设如有二根少四眞数以一根多三眞数乘之问得几何

法以多三眞数乘少四眞数得少十二眞数【多与少乘故爲少】以多三眞数乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而数前无号者亦即爲多今以多三眞数与多二根相乘故其得数仍爲多】又以一根乘少四眞数得少四根【以多与少乘故爲少】以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞数即所求之数也如图甲乙爲二根丙乙爲少四眞数甲丁爲一根丁戊爲多三真数以甲乙二根少四眞数与甲戊一根多三眞数相乘成甲戊己乙长方形其庚壬己辛长方形即多三眞数乘少四眞数之十二眞数丁戊己辛长方形即多三眞数乘二根之六根丙庚辛乙长方形即一根乘少四眞数之四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞数今以丁戊己辛之多六根少十二眞数补丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞数也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数二根得十二少四眞数则余八下数一根得六多三眞数共得九相乘所得七十二即二平方之数所得多十二即多二根之数所得少十二即少十二眞数之数葢以下数九与上数八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也

设如有一根少一眞数以一根少二眞数乘之问得几何

法以少二眞数乘少一眞数得多二眞数【少与少乘故爲多】以少二眞数乘一根得少二根【一根爲首且无号故爲多今以少二眞数与多一根相乘故其得数亦爲少也】又以一根乘少一眞数得少一根【多与少乘故爲少】以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞数即所求之数也如图甲乙爲一根丙乙爲少一眞数甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞数以甲乙一根少一眞数与甲丁一根少二眞数相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小长方形即少二眞数乘少一眞数之二眞数其戊壬己丁即二眞数乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞数之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞数实得甲丙庚戊之一长方形葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根又减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己辛之二眞数则甲丙庚戊长方内必缺二眞数故将少二眞数乘少一眞数所得之二眞数即预定爲多号以补重减之分然后得甲丙庚戊之一长方爲所得之实数也是则少与少乘之爲多者非于整数之外有盈分而爲多实因所少之数有过分而爲多也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数一根爲六少一眞数则余五下数一根爲六少二眞数则余四相乘所得三十六即一平方之数所得少十八即少三根之数所得多二即多二眞数之数葢以下数四与上数五相乘得二十即三十六少十八多二也

设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之问得几何

法因上下两层皆无眞数位故各列一空位以补之以空眞数乘上层各位仍得各空位以少二根乘空眞数仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞数仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上数二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下数二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之数所得少六百四十八即少八三乘方之数所得多五十四即多二立方之数所得多十八即多二平方之数葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也

设如有三平方少二根多二眞数与一平方多二根少三眞数相乘问得几何

法以少三眞数乘多二眞数得少六眞数以少三眞数乘少二根得多六根以少三眞数乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞数得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞数得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上数三平方得四十八少二根得少八多二眞数共得四十二下数一平方得十六多二根得多八少三眞数共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之数所得多二百五十六即多四立方之数所得少一百七十六即少十一平方之数所得多四十即多十根之数所得少六即少六眞数之数葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十复少六也

除法

凡除法按位列数必以眞数爲单位法尾未至眞数者须补○以存其位【如法尾爲根则补一○以存眞数位法尾爲平方则补二○以存眞数位法尾爲立方则补三○以存眞数位】将得数首位纪于眞数之上【如眞数之位爲○者则纪于○位之上】眞数所对实中之位即得数首位之数【如眞数对实中根位即定得数首位爲根如眞数对实中平方位即定得数首位爲平方如眞数对实中立方位即定得数首位爲立方余俱仿此】其归除递减皆与常法同至于定号亦与乘法同俱详设如于左

设如有十二立方多九平方多六根以三眞数除之问得几何

法以三眞数除十二立方得四立方以四立方乘三眞数得十二立方与实相减恰尽余多九平方多六根复以三眞数除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞数得多九平方与实相减恰尽余多六根又以三眞数除多六根得多二根以多二根乘三眞数得多六根与实相减恰尽无余是爲四立方多三平方多二根即所求之数也此法葢因眞数除立方多平方与多根故得数之位仍从实数之位且眞数之位下对实中立方之位故定得数首位亦爲立方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞数三除之所得一百零八即四立方之数所得多二十七即多三平方之数所得多六即多二根之数葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也

设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问得几何

法因法尾未至眞数位故设一空眞数位以补之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方与实相减恰尽余多八平方多六根复以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方与实相减恰尽余多六根复以二根除多六根得多三眞数以多三眞数乘二根得多六根与实相减恰尽无余是爲六平方多四根多三眞数即所求之数也此法葢因根数除立方多平方与多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八实数十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法数二根爲四除之所得二十四即六平方之数所得多八即多四根之数所得多三即多三眞数之数葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也

设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之问得几何

法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方与实相减恰尽余多八立方多八平方复以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方与实相减恰尽余多八平方又以四平方除多八平方得多二眞数以多二眞数乘四平方得多八平方与实相减恰尽无余是爲一平方多二根又多二眞数即所求之数也此法葢因平方除三乘方多立方与多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九

一立方爲二十七一三乘方爲八十一实数四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法数四平方爲三十六除之所得之九即一平方之数所得多六即多二根之数所得多二即多二眞数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二

也设如有四立方多八平方多七根多二眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何法以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二眞数复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数得多一眞数以多一眞数乘多二眞数得多二眞数以多一眞数乘多三根得多三根以多一眞数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是爲二根多一眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞数即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一眞数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也

设如有六平方少一根少十五眞数以三根少五眞数除之问得几何

法以三根少五眞数除六平方少一根得二根以二根乘少五眞数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五眞数复以三根少五眞数除多九根少十五眞数得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数以多三眞数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是爲二根多三眞数即所求之数也此法葢因根少眞数除平方少根少眞数故以根除平方得根以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数原爲少而次位余实之数变爲多故定得数次位爲多也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法数三根得十五少五眞数即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三眞数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也

设如有九立方少十二平方少五根多六眞数以三平方少二根少三眞数除之问得几何

法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六眞数复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数得少二眞数以少二眞数乘少三眞数得多六眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是爲三根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲七则一平方爲四十九一立方爲三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞数即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞数即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二眞数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也

设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何

法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四眞数复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数以少二眞数乘多二眞数得少四眞数以少二眞数乘多三根得少六根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲四根少二眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数故以平方除立方得根以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二眞数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也

设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数以二平方少二根多一眞数除之问得几何法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加爲少六平方仍多五根复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二眞数又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数得少二眞数以少二眞数乘多一眞数得少二眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲二平方多一根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方仍多根与少眞数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位爲平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变爲多三位余实之首数仍爲少故定得数之次位爲多三位爲少也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共爲四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一眞数即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二眞数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也

御制数理精蕴下编卷三十一

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十二

末部二

借根方比例【开诸乘方法　诸乘方表】

开诸乘方法

借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉

平方

设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何

法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也

立方

设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何

法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺爲初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商爲三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺爲次商廉法以除次商积足四十倍即定次商爲四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也

又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三次商根爲四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根爲三百四十五尺也

三乘方

设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何

法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺爲初商积与五百乘三次之数相准即定初商爲五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积七万尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺与原积相减余五十亿一千零二十一万尺爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺四因之得七亿零二百四十六万四千尺爲三商亷法以除三商积足七倍即定三商爲七尺书于方积一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得五百六十七尺爲三乘方每一根之数也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除余积得次商以初商自乘与次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘与初商相乘四因之爲四长廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘三次即得应减之积也

又法用开平方法两次开之初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方得三十二万一千四百八十九尺次以三十二万一千四百八十九尺复开平方得五百六十七尺即三乘方每一根之数也又用表开法列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算隔三位作记定位同前乃截方根第二位以前积一○三三五五一七爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之数】其所对初商根爲五次商根爲六即将五六书于初商次商之位而以九八三四四九六书于初商次商积之下相减余五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一足七倍即定三商爲七书于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽即定三乘方根爲五百六十七尺也

四乘方

设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问每一根之数几何

法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算每方积五位定方根一位故隔四位作记乃于五尺上定单位九十万尺上定十位空百亿尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商积与七百乘四次之数相准即定初商爲七百尺书于方积空百亿尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺书于初商积之下相减余九十三兆九千三百亿尺爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺五因之得一兆二千零五亿尺爲次商廉法以除次商积足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺大于原积是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积九十万尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽是开得七百六十五尺爲四乘方每一根之数也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除余积得次商以初商自乘再乘与次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘两数相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘与初商相乘五因之爲五长廉以次商数乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘四次即得应减之积也又用表开法列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算隔四位作记定位同前乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之数】其所对初商根爲七次商根爲六即将七六书于初商次商之位而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下相减余八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽即定四乘方根爲七百六十五尺也

五乘方

设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开五乘方问每一根之数几何

法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算每方积六位定方根一位故隔五位作记乃于五尺上定单位五百万尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商积与九百乘五次之数相准即定初商爲九百尺书于方积八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺书于初商积之下相减余三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺爲次商廉隅之共积而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大于原积乃改商七十尺书于方积五百万尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽是开得九百七十五尺爲五乘方每一根之数也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除余积得次商以初商乘三次与次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘两数相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘两数相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次与初商相乘六因之爲六长廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘五次即得应减之积也

又法用开平方开立方法开之初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺开立方得九百七十五尺即五乘方每一根之数也

又用表开法列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算隔五位作记定位同前乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之数】其所对初商根爲九次商根爲七即将九七书于初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下相减余二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽即定五乘方根爲九百七十五尺也

六乘方

设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几何

法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算每方积七位定方根一位故隔六位作记乃于八尺上定单位九千万尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商积与八百乘六次之数相准即定初商爲八百尺书于方积五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺书于初商积之下相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺爲次商廉隅之共积而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商积足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大于原积乃改商五十尺书于方积九千万尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽是开得八百五十二尺爲六乘方每一根之数也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除余积得次商以初商乘四次与次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘两数相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘两数相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次两数相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次与初商相乘七因之爲七长廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今得次商之后合初商乘六次即得应减之积也

又用表开法列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算隔六位作记定位同前乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之数】其所对初商根爲八次商根爲五即将八五书于初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下相减余五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽即定六乘方根爲八百五十二尺也

七乘方

设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一根之数几何

法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算每方积八位定方根一位故隔七位作记乃于一尺上定单位三亿尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商积与七百乘七次之数相准即定初商爲七百尺书于方积二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺书于初商积之下相减余六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商积足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃书一空于方积三亿尺之上而以九尺书于方积一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得七百零九尺爲七乘方每一根之数也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除余积得次商以初商乘五次与次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘两数相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘两数相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之爲八长廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也

又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也

又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七次商根爲○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根爲七百零九尺也

八乘方

设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何

法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积与四百乘八次之数相准即定初商爲四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之爲九长廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也

又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四次商根爲二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根爲四百二十二尺也

九乘方

设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问每一根之数几何

法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算每方积十位定方根一位故隔九位作记乃于四尺上定单位二百亿尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商积与三百乘九次之数相准即定初商爲三百尺书于方积六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺书于初商积之下相减余二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商积足十倍即定次商爲一十尺书于方积二百亿尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽是开得三百一十二尺爲九乘方每一根之数也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除余积得次商以初商乘七次与次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘两数相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘两数相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次两数相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次两数相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次两数相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次两数相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次与初商相乘十因之爲十长廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘九次即得应减之积也又法用开平方开四乘方法开之初以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺开四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之数也

又用表开法列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算隔九位作记定位同前乃截方根第二位以前积八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之数】其所对初商根爲三次商根爲一即将三一书于初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下相减余五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽即定九乘方根爲三百一十二尺也

诸乘方表

凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数二层上层为初商次商积【如立方表第一行第三格上层一七二八即方根一二自乘再乘之数余仿此】下层为三商亷法【如立方表第一行第三格下层四三即三商亷法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末一位之数葢方根既有三位则初商为百次商为十以一百二十自乘三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止今防法止用次商余积求三商不加三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余积多一位故截去末一位止用四三为亷法除实则法实尾位均齐定位始无误余仿此】用表之法具见设如立方表

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

御制数理精蕴下编卷三十二

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十三

末部三

借根方比例【带纵平方　　带纵立方三乘方四乘方五乘方附】

带纵平方

借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或爲长方之阔或爲长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多防根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几眞数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几眞数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几眞数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几眞数等此四者根皆和纵而其毎根之数或爲长方之长或爲长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而爲长方其眞数比平方多根者其毎根爲阔眞数比平方少根者其每根爲长二者皆较纵惟眞数比根少平方者则爲和纵也至于开之之法皆以眞数爲长方积以根数爲纵【即以根数作眞数用如三根即作三眞数五根即作五真数之类解见设如】依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根爲长方之阔者以和较相减折半而得每根之数【用半和半较立法者则相减即得根数不用折半】其根爲长方之长者以和较相加折半而得每根之数也【用半和半较立法者则相加即得根数不用折半】俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何

法以二十四尺爲长方积二根爲纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺爲和减较二尺余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁六尺爲长戊丁二尺爲纵多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲纵多也此法错综其名则爲四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则爲一平方与二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则爲二根与二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比一正方多根数故知其爲较纵而每根之数爲阔也

设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何

法以四十五尺爲长方积四根爲纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺爲和加较四尺得十八尺折半得九尺爲一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺爲一根爲长甲丁五尺爲阔甲戊与甲乙等丁戊四尺爲纵甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲纵多也此法错综其名亦爲四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则爲一平方与四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总爲真数比一正方少根数故知其爲较纵而其每根之数爲长也

设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何

法以三十六尺爲长方积十三根爲和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺爲较与和十三尺相减余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁九尺爲长甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法错综其名亦爲四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则爲一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则爲三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比根数少一正方故知其爲和而其毎根之数爲阔也

设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何

法以三十二尺爲长方积十二根爲和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺爲较加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺爲一根爲长甲丁四尺爲阔甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞数比根数少一正方故知其爲和而其每根之数爲长也

带纵立方　【三乘方　四乘方　五乘方附】

借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或爲长方体扁方体形或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也】皆不可知故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数而非一长方或一扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设之根数不合矣】今类其法分爲九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几眞数等二也一立方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与几眞数等四也一立方多几平方多几根与几眞数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几眞数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几眞数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方爲多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数爲少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘爲立方积以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积以初商数与几根相乘爲所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商自乘数三因之爲立方廉以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方廉相减又加减所带之根数【多根者加少根者减】爲次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘爲立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几眞数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘爲平方积又以初商数再乘爲立方积以平方数除之得数爲少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商数倍之爲平方廉又以初商自乘数三因之爲立方廉以平方数除之得数以减平方廉余爲次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而爲长方体扁方体或爲磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数爲主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉

设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何

法列原积一千八百二十四尺按立方法作记于四尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共积与一立方积相加得一千零八十尺书于原积之下相减余七百四十四尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根数八共三百零八尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共积与立方积相加共得一千八百二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及八根之共数以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边因正方体之外多八根故成一磬折体而非正方体亦非长方体也

设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问毎一根之数几何

法列原积一千六百二十尺按立方法作记于空尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共积与立方积相减余九百一十尺书于原积之下相减余七百一十尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内减去根数九余二百九十一尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共积与立方积相减余一千六百二十尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少九根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边因正方体内少九根之数故成磬折体而非正方体亦非扁方体也

设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等问每一根之数几何

法列原积二千三百零四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其二千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相准即定初商爲十尺书于原积二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共积与立方积相加得一千四百尺书于原积之下相减余九百零四尺爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉与一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共积与立方积相加共得二千三百零四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及四平方之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多四平方故成长方体而非正方体也

设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等问每一根之数几何

法列原积七千九百三十五尺按立方法作记于五尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖应商十尺而所带平方爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共积与立方积相减余四千八百尺书于原积之下相减余三千一百三十五尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉与一立方廉相减余八百八十尺爲次商廉法以除次商积足三倍即定次商爲三尺书于原积五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一万二千一百六十七尺爲一立方积又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共积与一立方积相减余七千九百三十五尺书于原积之下相减恰尽是开得二十三尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少八平方之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少八平方故成扁方体而非正方体也

设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等问毎一根之数几何

法列原积二万七千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其二万七千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相合应商三十尺而所带平方与根皆爲多号故取略小之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共积又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共积三积【立方平方与根之三数】相加得一万三千八百尺书于原积之下相减余一万三千三百四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉与立方廉相加得一千七百二十尺又加根数三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商积足七倍因取略小之数爲六尺书于原积四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一万七千五百七十六尺爲一立方积又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共积又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共积三积相加共二万七千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十六尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体及十三平方与三十根之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多十三平方又多三十根恰成长方体而非正方体亦非磬折体也【将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面又以三平方加于正方体之又一面即成磬折体而缺三十根之数如以三十根补其缺即成长方体其寛即一根爲二十六尺其长即一根多十尺爲三十六尺其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根数适足长方体形故爲长方体若平方与根数不能补足者仍爲磬折体也】

设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等问每一根之数几何

法列原积七千零八十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖而所带平方与根皆爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共积又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得二千九百六十尺以减立方积余五千零四十尺书于原积之下相减余二千零四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉与立方廉相减余九百二十尺又减去根数八余九百一十二尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一万零六百四十八尺爲一立方积又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共积又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得三千五百六十四尺以减立方积余七千零八十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少七平方又少八根之数以边计之则所得每根之数即正方体之毎一边亦即平方之每一边因正方体之内少七平方又少八根故成磬折体而非正方体也

设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等问每一根之数几何

法列原积三万三千一百五十二尺按立方法作记于二尺上定单位三千尺上定十位其三万三千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相准即定初商爲三十尺书于原积三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺爲一立方积又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方积又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共积于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺又减去少二十根之共积余二万七千三百尺书于原积之下相减余五千八百五十二尺爲次商积而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉与立方廉相加得二千七百六十尺又减去根数二十余二千七百四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺爲一立方积又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方积又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共积于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺书于原积之下相减恰尽是开得三十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体多一平方复少二十根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多一平方又少二十根故成磬折体而非正方体也

设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等问每一根之数几何

法列原积一万二千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其一万二千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相凖即定初商爲二十尺书于原积二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共积又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共积于立方积内减去少三平方之共积余六千八百尺又加入多二根之共积得六千八百四十尺书于原积之下相减余五千三百零四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉与立方廉相减余一千零八十尺又加入根数二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于原积四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共积又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共积于立方积内减去三平方之共积余一万二千零九十六尺又加入多二根之共积得一万二千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少三平方复多二根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少三平方又多二根故成磬折体而非正方体也

设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺相等问每一根之数几何

法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲归除所得之积按平方法作记于空尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积再乘得一千尺爲一立方积以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之积与一平方积相减余七十五尺书于所得积之下相减余六十五尺六十二寸五十分爲次商积而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉与平方廉相减余十二尺五寸爲次商廉法以除次商积足五倍即定次商爲五尺书于所得积空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方积再乘得三千三百七十五尺爲一立方积以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之积与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与四十相乘得九千尺爲四十平方积内减去一立方积余五千六百二十五尺与原积相合是开得一十五尺爲每一根之数也此法以积计之爲四十平方少一正方体之数以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因四十平方内少十五平方之一正方体【每边爲十五尺故十五平方爲一正方体也】余二十五平方爲长方体【其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其长爲二十五尺也】而非正方体也

设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺相等问每一根之数几何

法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲归除所得之积按平方法作记于八尺上定单位五百尺上定十位其五百尺爲初商积与二十自乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方积再乘得八千尺爲一立方积以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之积与平方积相减余三百八十四尺书于所得积之下相减余一百六十四尺三十五寸二十分爲次商积而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉与平方廉相减得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方积再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之积与平方积相减余五百四十八尺三十五寸二十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与五百相乘得二十八万八千尺爲五百平方积内减去一立方积余二十七万四千一百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也此法以积计之爲五百平方少一正方体以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因五百平方内少二十四平方之一正方体【每边爲二十四尺故二十四平方即一正方体也】余四百七十六平方爲长方体【其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其长爲四百七十六尺也】而非正方体也

设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等问每一根之数几何

法列原积二万一千零二十四尺按三乘方法作记于四尺上定单位二万尺上定十位其二万尺爲初商积与十尺乘三次之数相准即定初商爲十尺书于原积二万尺之上而以初商十尺乘三次之一万尺爲一三乘方积又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得一万零二百尺书于原积之下相减余一万零八百二十四尺爲次商积而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉与三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得二万一千零二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及平方两次开之将原积二万一千零二十四尺爲长方积以多二平方作二尺爲纵多折半得一尺爲半较自乘仍得一尺与积相加得二万一千零二十五尺开平方得一百四十五尺爲半和内减半较一尺【凡多平方者即减半较如少平方者则加半较】余一百四十四尺爲正方积复开平方得十二尺即每一根之数也葢三乘方多平方与方根自乘爲阔加多平方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也

设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺相等问每一根之数几何

法以一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一与一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲归除所得之积按平方法作记于三尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积又以初商之十尺乘三次得一万尺爲一三乘方积以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之积与一平方积相减余九十尺书于所得积之下相减余三十三尺二十六寸四十分爲次商积而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉与平方廉相减余一十六尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于所得积三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方积又以十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积以一千除之得二十尺零七十三寸六十分与一平方积相减余一百二十三尺二十六寸四十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与一千相乘得一十四万四千尺爲一千平方积内减去一三乘方积余一十二万三千二百六十四尺与原积相合是开得一十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及平方两次开之将原积一十二万三千二百六十四尺爲长方积以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五万尺与积相减余十二万六千七百三十六尺开平方得三百五十六尺爲半较与半和相减余一百四十四尺爲正方积复开平方得一十二尺即每一根之数也葢平方少三乘方与方根自乘爲阔与平方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也

设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二百七十二尺相等问每一根之数几何

法列原积七百九十九万零二百七十二尺按四乘方法作记于二尺上定单位九十万尺上定十位其七百九十万尺爲初商积与二十乘四次之数相准即定初商爲二十尺书于原积九十万尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十万尺爲一四乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一万六千尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得三百二十一万六千尺书于原积之下相减余四百七十七万四千二百七十二尺爲次商积而以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉与四乘方廉相加得八十万零二千四百尺爲次商廉法以除次商积足五倍因取略小之数爲四尺书于原积二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积又以二十四尺自乘再乘之一万三千八百二十四尺二因之得二万七千六百四十八尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得七百九十九万零二百七十二尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲每一根之数也葢四乘方多立方之数不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也

设如有二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺相等问每一根之数几何法以二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一与九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲归除所得之积按立方法作记于二尺上定单位九千尺上定十位其九千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商之二十尺乘四次得三百二十万尺爲一四乘方积以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之积与一立方积相减余六千四百尺书于所得积之下相减余三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉与立方廉相减余八百尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸与一立方积相减余九千八百四十二尺六百八十八寸书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与二千相乘得二千七百六十四万八千尺爲二千立方积内减去一四乘方积余一千九百六十八万五千三百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也葢立方少四乘方之数亦不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也

设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几何

法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺按五乘方法作记于六尺上定单位三百万尺上定十位其一亿一千三百万尺爲初商积与二十乘五次之数相准即定初商爲二十尺书于原积三百万尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺爲一五乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三万二千尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺书于原积之下相减余四千九百三十九万零四百九十六尺爲次商积而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺爲一五乘方积又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺四因之得四万二千五百九十二尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及立方开之将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺爲长方积以多四立方作四尺爲纵多折半得二尺自乘得四尺与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺开平方得一万零六百五十尺爲半和内减半较二尺【因立方爲多号故减半较若立方爲少号即加半较】得一万零六百四十八尺爲立方积开立方得二十二尺即每一根之数也葢五乘方多立方与方根自乘再乘爲阔加多立方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也

设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲归除所得之积按立方法作记于三尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺乘五次得一百万尺爲一五乘方积以一万除之得一百尺爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余九百尺书于所得积之下相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺爲一五乘方廉以一万除之得六十尺爲一万分五乘方之一之廉与立方廉相减余二百四十尺爲次商廉法以除次商积足一倍即定次商爲一尺书于所得积三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方积又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺爲一五乘方积以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺爲一万立方积内减去一五乘方积余一千一百五十三万八千四百三十九尺与原积相合是开得一十一尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及立方开之将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺爲长方积以一万立方作一万尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百万尺与积相减余一千三百四十六万一千五百六十一尺开平方得三千六百六十九尺爲半较与半和相减余一千三百三十一尺爲立方积开立方得一十一尺即每一根之数也葢立方少五乘方与方根自乘再乘爲阔与立方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也

御制数理精蕴下编卷三十三

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十四

末部四

借根方比例【线类】

线类

设如有一竹竿长一丈欲分为大小两分大分比小分多四尺问大小分各几何

法借一根为小分则大分即为一根多四尺两数相加得二根多四尺与一丈相等二根既多四尺乃减去所多四尺余二根又于一丈内亦减去四尺余六尺是为二根与六尺相等二根既与六尺相等则一根必与三尺相等前既借一根为小分则三尺即小分再加四尺得七尺即大分也【此减法也于一丈内减去大分所多之四尺余六尺折半得三尺即小分之数此法甚易盖因借根比例之首先设此以明其理使人由浅以入深也】

设如有银三百四十三两分给众匠其为首一人所得之银与众匠人数相等众匠每人得银六两问共人数几何

法借一根为为首一人所得之银数亦即为众匠之人数以众匠之人数一根与六两相乗得六根为众匠之银数相加得七根与三百四十三两相等七根既与三百四十三两相等则一根必与四十九两相等即为首一人所得之银数亦即众匠之人数以四十九人与六两相乗得二百九十四两即众匠所得共银数再加为首一人所得银数四十九两得三百四十三两以合原数也【此归除法也以每匠得银六两加一两得七两以除共银三百四十三两即得四十九两为为首一人所得银数亦即众匠之人数葢为首一人之银既与众匠人数等若以为首一人之银分给众匠每人必多得一两故于每人之银数外加一两以除共银即得也】

设如有绳二条不言丈数但知其长短之比例同于九与五其相差之较与短绳除长绳所得之数相等问二绳各长若干

法借九根为长绳之数五根为短绳之数两数相减余四根以五根除九根得一八即一丈八尺是为四根与一丈八尺相等四根既与一丈八尺相等则一根必与四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即长绳数五因之得二丈二尺五寸即短绳数以二丈二尺五寸与四丈零五寸相减余一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也【此归除法】

设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银九十两乙丙共银四十五两甲丙共银七十三两问三人各银几何

法借一根为三人之总银数以甲乙共银九十两计之则丙为一根少九十两以乙丙共银四十五两计之则甲为一根少四十五两以甲丙共银七十三两计之则乙为一根少七十三两三数相加得三根少二百零八两而与所借之一根相等三根少二百零八两与一根各加二百零八两得三根与一根多二百零八两相等【三根少二百零八两内加二百零八两则补足三根整数一根上再加二百零八两则为一根多二百零八两矣】三根与一根再各减一根则余二根与二百零八两相等二根既与二百零八两相等则一根必与一百零四两相等即三人之总银数总银一百零四两内减甲乙共银九十两余一十四两为丙银数减乙丙共银四十五两余五十九两为甲银数减甲丙共银七十三两余三十一两为乙银数也【此加减法也如以三数相加得二百零八两折半得一百零四两即总银数总银数内减甲乙共银数余为丙银数总银数内减甲丙共银数余为乙银数总银数内减乙丙共银数余为甲银数也】

设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银数比丙银多六十八两乙丙共银数比甲银多一百两丙甲共银数比乙银多一百二十四两问三人各银几何

法借二根为三人之总银数以甲乙共银数比丙银多六十八两计之则甲乙共银为一根多三十四两丙银为一根少三十四两【二根既为三人之总银数平分之则甲乙应得一根丙应得一根甲乙共银比丙所多六十八两平分之则甲乙应得三十四两丙应得三十四两甲乙所得为多丙所得为少故甲乙为一根多三十四两丙为一根少三十四两共相差为六十八两下仿此】以乙丙共银数比甲银多一百两计之则乙丙共银为一根多五十两甲银为一根少五十两以丙甲共银数比乙银多一百二十四两计之则丙甲共银为一根多六十二两乙银为一根少六十二两乃以丙银一根少三十四两甲银一根少五十两乙银一根少六十二两三数相加得三根少一百四十六两而与所借之二根相等三根少一百四十六两与二根各加一百四十六两得三根与二根多一百四十六两相等三根与二根再各减二根则余一根与一百四十六两相等一根既与一百四十六两相等则二根必与二百九十二两相等即三人之总银数前既以丙银为一根少三十四两乃于一百四十六两内减三十四两余一百一十二两即丙银数甲为一根少五十两乃于一百四十六两内减五十两余九十六两即甲银数乙为一根少六十二两乃于一百四十六两内减六十二两余八十四两即乙银数也【此加减法也如以甲乙比丙所多之六十八两与乙丙比甲所多之一百两相加得一百六十八两折半得八十四两即乙银数又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙比乙所多之一百二十四两相加得二百二十四两折半得一百一十二两即丙银数再以乙丙数相加得一百九十六两内减去乙丙比甲所多之一百两余九十六两即甲银数也】

设如有银分赏众人不言银数亦不言人数但知第一人得银一两又得余银之十分之一第二人得银二两又得余银之十分之一第三人得银三两又得余银之十分之一以下分赏之数皆准此例所得之银皆相等问人数及银数各几何

法借一根为第一人所得余银之数则一两多一根为第一人所得总银数又第一人得余银十分之一则余银必为十根减去一根仍余九根再于九根内减去第二人所得之二两为九根少二两以九根少二两取其十分之一得十分根之九少二钱与第二人之二两相加得二两【作二十钱】多十分根之九少二钱为与第一人所得之一两【作一十钱】多一根相等一两多一根与二两多十分根之九少二钱各加二钱得一两二钱多一根与二两多十分根之九相等多一根与多十分根之九各减十分根之九余一两二钱多十分根之一与二两相等一两二钱与二两又各减一两二钱则余十分根之一与八钱相等十分根之一既与八钱相等则一根必与八两相等即第一人所得余银之数乃以十因之得八十两又加第一人所得之一两共八十一两即原共银数第一人得一两又加余银八十两之十分之一八两共为九两第二人得二两又加余银七十两之十分之一七两亦共为九两第三人得三两又加余银六十两之十分之一六两亦共为九两第四人得银四两又加余银五十两之十分之一五两亦共为九两第五人得银五两又加余银四十两之十分之一四两亦共为九两第六人得银六两又加余银三十两之十分之一三两亦共为九两第七人得银七两又加余银二十两之十分之一二两亦共为九两第八人得银八两又加余银十两之十分之一一两亦共为九两第九人得银九两银尽无余是共九人每人得银九两皆相等也【此加减法也以分母十与分子一相减余九即人数以人数九自乗得八十一即总银数也葢惟人数与每人所得银数相等者每人递加一两又各加余银十分之一所得始能相等故以人数自乗即得银数也】

设如有人行路共二千八百里步行则日行七十里坐船则日行九十里乗马则日行一百里但知步行之日数倍于坐船坐船之日数倍于乗马问步行及坐船乗马之日数各若干

法借一根为乗马之日数则坐船之日数为二根步行之日数为四根以一根与一百里相乗得一百根为乗马所行之里数以二根与九十里相乗得一百八十根为坐船所行之里数以四根与七十里相乗得二百八十根为步行所行之里数三数相加得五百六十根是为五百六十根与二千八百里相等五百六十根既与二千八百里相等则一百根必与五百里相等前既以一百根为乗马所行之里数则与一百根相等之五百里即乗马所行之里数以乗马每日行一百里除之得五日与一根相等即乗马所行之日数倍之得十日即坐船所行之日数以坐船每日行九十里乗之得九百里为坐船所行之里数再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日数以步行每日行七十里乗之得一千四百里为步行之里数以乗马所行之五百里与坐船所行之九百里及步行之一千四百里相并共得二千八百里以合原数也【此递加比例法用借衰互征法算之亦可】

设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤马所驮之数倍于驴仍多四十斤车所载之数倍于马驴共驮之数却少四十斤问驴马车各驮载几何法借一根为驴所驮之数则马为二根多四十斤车为六根多四十斤【驴马数相并得三根多四十斤倍之为六根多八十斤内减去少四十斤则为六根多四十斤】三数相加得九根多八十斤是为九根多八十斤与一千五百二十斤相等多八十斤与一千五百二十斤各减去八十斤则余九根与一千四百四十斤相等九根既与一千四百四十斤相等则一根必与一百六十斤相等即驴所驮之数倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤为马所驮之数将马驴所驮之数相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再减去四十斤得一千斤即车所载之数驴驮一百六十斤马驮三百六十斤车载一千斤三数相加共一千五百二十斤以合原数也【此按数加减比例法用借衰互征法算之亦可】

设如有银三百八十五两令十一人挨次递加三两分之问每人各得若干

法借一根为第一人所得银数以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人递加三两计之共得多一百六十五两是为十一根多一百六十五两与三百八十五两相等十一根多一百六十五两与三百八十五两各减一百六十五两则余十一根与二百二十两相等十一根既与二百二十两相等则一根必与二十两相等即第一人所得银数递加三两则知第二人得二十三两第三人得二十六两第四人得二十九两第五人得三十二两第六人得三十五两第七人得三十八两第八人得四十一两第九人得四十四两第十人得四十七两第十一人得五十两各数相加共得三百八十五两以合原数也【此按数加减比例法】

设如有银四百七十四两令十二人挨次递加分之但知第一人得银一十二两问每人各得若干法借一根为每人递加之数以第一人至第十二人递加一根计之则得六十六根再以十二两与十二人相乗得一百四十四两是为六十六根多一百四十四两与四百七十四两相等六十六根多一百四十四两与四百七十四两各减去一百四十四两则余六十六根与三百三十两相等六十六根既与三百三十两相等则一根必与五两相等即每人递加之数以第一人所得十二两加五两即第二人所得十七两依此递加则知第三人得二十二两第四人得二十七两第五人得三十二两第六人得三十七两第七人得四十二两第八人得四十七两第九人得五十二两第十人得五十七两第十一人得六十二两第十二人得六十七两各数相加共得四百七十四两以合原数也【此按数加减比例法】

设如一人借银营利三次每次得利之后则还银二百四十两复以余银作本其每次所得利银皆与每次本银相等至第三次还银后则银尽无余问原借银若干

法借一根为原借本银数则第一次利银亦为一根是本利共二根除还银二百四十两则初次余银即为二根少二百四十两再以二根少二百四十两为第二次本银数加第二次利银则为四根少四百八十两除还银二百四十两则第二次余银即为四根少七百二十两再以四根少七百二十两为第三次本银数加第三次利银则为八根少一千四百四十两除还银二百四十两则第三次余银当为八根少一千六百八十两八根少一千六百八十两而银尽无余即八根与一千六百八十两相等也八根既与一千六百八十两相等则一根必与二百一十两相等即原借本银之数因每次所得利银皆与本银相等故以原借本银之数倍之得四百二十两除还二百四十两余一百八十两为第二次本银之数又倍之得三百六十两又除还二百四十两余一百二十两为第三次本银之数又倍之得二百四十两再还二百四十两则银恰尽无余也【此按分递折比例法用叠借互征法算之亦可】

设如甲乙丙三人各作一器则甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作问得日几何

法借一千一百五十二根【三分母连乗之数】为三人同作完之日数以甲六日计之则甲每日得一百九十二根以乙八日计之则乙每日得一百四十四根以丙二十四日计之则丙每日得四十八根三数相加共得三百八十四根与一日相等三百八十四根既与一日相等则一千一百五十二根必与三日相等即三人同作完之日数也【此和数比例法】

设如甲丙二商不言本银若干但知甲之本银四倍于丙而甲本银内减去七十二两则两人之银适等问二人本银各几何

法借一根为丙本银数则甲本银为四根以甲本银减七十二两与丙银相等计之则于甲本银四根内减七十二两是为甲四根少七十二两与丙一根相等四根少七十二两与一根各加七十二两得四根与一根多七十二两相等四根与一根各减去一根则余三根与七十二两相等三根既与七十二两相等则一根必与二十四两相等即丙本银数再加七十二两得九十六两即甲本银数也【此较数比例法】

设如甲乙二人分银其数相等甲用过一百两乙用过三十两则乙之余银三倍于甲问二人原各分银几何

法借一根为原分银之数则甲之余银为一根少一百两乙之余银为一根少三十两乙之余银既三倍于甲则将甲余银一根少一百两三倍之为三根少三百两即与乙之余银一根少三十两相等矣三根少三百两与一根少三十两各加三百两则得三根与一根多二百七十两相等【甲三根少三百两今加三百两则补足三根整数乙一根少三十两今加三百两以三十两补原少之数则止多二百七十两】三根与一根各减去一根则余二根与二百七十两相等二根既与二百七十两相等则一根必与一百三十五两相等前既借一根为原分银之数则此一百三十五两即原分银之数矣甲用过一百两余三十五两乙用过三十两余一百零五两故乙之余银三倍于甲也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】

设如甲乙二人行路两日行到初日乙所行之路四倍于甲次日甲所行之路三倍于乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里问次日二人各行若干

法借一根为次日乙所行之路则甲次日所行之路为三根以初日乙行二百四十里与一根相加得一根多二百四十里为乙两日所行之路以初日甲行六十里与三根相加得三根多六十里为甲两日所行之路是为乙一根多二百四十里与甲三根多六十里相等一根与三根各减一根多二百四十里与多六十里各减六十里则余一百八十里与二根相等一百八十里既与二根相等则九十里必与一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里与初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里与初日所行六十里相加亦得三百三十里是两人同行俱到也【此较数比例法】

设如有甲乙二商各有本银生理但知乙本银比甲本银多六两数年得利之后甲本利共银比原银为十一倍乙本利共银比原银为七倍而两人之银适等问二人原有本银各几何

法借一根为甲本银数则乙本银为一根多六两甲本利共银既比原银为十一倍则以十一乗一根得十一根为甲本利共银数乙本利共银既比原银为七倍则以七乗一根多六两得七根多四十二两为乙本利共银数是为甲十一根与乙七根多四十二两相等十一根与七根各减七根余四根与四十二两相等四根既与四十二两相等则一根必与十两零五钱相等即甲原银之数十一乗之得一百一十五两五钱即甲本利共银之数以六两与十两零五钱相加得一十六两五钱即乙原银之数七因之亦得一百一十五两五钱为乙本利共银之数也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】

设如甲乙二人分银其数相等甲银外加三百两乙银外加六十五两则甲之共银三倍于乙问二人原各分银若干

法借一根为原分银之数则乙之共银为一根多六十五两甲之共银为一根多三百两甲之共银既三倍于乙则将乙之共银一根多六十五两三倍之为三根多一百九十五两即与甲之共银一根多三百两相等矣三根多一百九十五两与一根多三百两各减一百九十五两则余三根与一根多一百零五两相等三根与一根再各减去一根则余二根与一百零五两相等二根既与一百零五两相等则一根必与五十二两五钱相等前既借一根为原分银之数则此五十二两五钱即原分银之数矣以五十二两五钱与六十五两相加得一百一十七两五钱为乙之共银数以五十二两五钱与三百两相加得三百五十二两五钱为甲之共银数即乙之共银之三倍也【四十六两则一金球比一银球之此较数】

设如金　　　　　　　【比】球十二　　　　　　　　　　　【例】银球十八其轻重适等若　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】将

银球　　　　　　　【用】七换金　　　　　　　　　　　【叠】球七则银球边多三百二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【借】十

【互】二两问金

球银球各重几　　　　　　　　　　　　　　　　【征】何法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】借一根为金

球换银球之差数以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【算】七乗之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】得七根为七金球换七银球之差数是为七根与三百二十二两相等七根既与三

百二十二两相等则一根　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【亦】必与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【可】四十六两相等即一金球一银球相换之差数一金球一银球相换之差数既为

重必差二十三两一金　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】球比一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【根】银

球既重二十三两则十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【与】二金球比【十】十二银球必重二百七十六两如以银

球【二根各】再加六个即　　　　　　　　　　　　　　　　　　【减】与十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【去】金球等是银球六个与二百七十六两相等

也乃以六归之得四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】十六两即一银

球之重数加二十三两得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】六十九两即一金球之重数以四十六两与十八

银球相乗得八百二十八两以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【个】六十九两与十二金球相乗【此较数比例法】

亦得八百二十八两也设如一人买縀十二疋一人买防三十二疋用银适等但知缎每疋价比防每疋价多六

两问防缎价银各若干法借一根为防价则缎价为一根多六两各以总数乗之则防总价得三十二根缎总价得十二根多七十二两是为防价三十二根与缎价十二根多七十二两相等三十十二根则余二十根与七十二两相等二十根既与七十二两相等则一根必与三两六钱相等即防每疋之价加缎每疋比防每疋多六两得九两六钱即缎每疋之价以九两六钱乗十二疋得一百一十五两二钱为缎总价以三两六钱乗三十二疋亦得一百一十五两二钱为防总价两数适等也【此较数比例法】

设如甲乙二人共买缎一百疋甲买三十八疋止与银三百一十二两乙买六十二疋止与银六百两而两人所欠之银适等问缎价及欠银各若干法借一根为缎每疋价银数则甲三十八疋总银数为三十八根又甲止与银三百一十二两则甲所欠之银即为三十八根少三百一十二两乙六十二疋总银数为六十二根又乙止与银六百两则乙所欠之银即为六十二根少六百两是为甲三十八根少三百一十二两与乙六十二根少六百两相等少三百一十二两与少六百两各加六百两得三十八根多二百八十八两与六十二根相等【乙为六十二根少六百两今加六百两则补足六十二根整数甲为三十八根少三百一十二两今加六百两以三百一十二两补原少之数则止多二百八十八两也】又三十八根与六十二根各减去三十八根则余二十四根与二百八十八两相等二十四根既与二百八十八两相等则一根必与十二两相等即缎每疋之价银数再以十二两乗三十八疋得四百五十六两即甲所买缎之总银数内减甲与银三百一十二两余一百四十四两为甲所欠银数又以十二两乗六十二疋得七百四十四两为乙所买缎之总银数内减乙与银六百两亦余一百四十四两为乙所欠银数也【此较数比例法】

设如有米分给大小二等工人但知小工人数比大工人数为七倍大工人给米一升二合小工人给米八合共给过米五石四斗四升问人数米数各几何

法借一根为大工人之数则七根为小工人之数以一根与一升二合相乗【作一十二合】得一十二根为大工人米数以七根与八合相乗得五十六根为小工人米数两米数相加得六十八根与五石四斗四升相等六十八根既与五石四斗四升相等则十二根必与九斗六升相等前既以十二根为大工人米数则与十二根相等之九斗六升即大工人之米数爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人与一根相等即大工人之数七因之得五百六十即小工人之数以八合乗之得四石四斗八升即小工人之米数也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】

设如有银一百两分给大小二等匠人共一百名大匠人每人给银一两五钱小匠人每人给银五钱问大小匠人各若干

法借一根为大匠人数则小匠人为一百少一根以一两五钱与一根相乗得十五根为大匠人共银数又以五钱与一百少一根相乗得五十两【作五百钱】少五根为小匠人共银数两银数相加得五十两【作五百钱】多十根【原少五根加十五根则反多十根也】与银一百两【作一千钱】相等五十两与一百两各减去五十两则余十根与五十两相等十根既与五十两相等则十五根必与七十五两【即七百五十钱】相等前既以十五根为大匠人共银数则与十五根相等之七十五两即大匠人之共银数爰以大匠人每人所得一两五钱除之得五十人与一根相等即大匠人之数于共一百人内减大匠人五十人余五十人即小匠人之数以五钱乗之得二十五两即小匠人之共银数也【此和较比例法用方程法算之亦可】

设如有银一百两分赏马步兵共一百名马兵一人赏三两步兵三人赏一两问马步兵各若干

法借一根为步兵所得银数则马兵所得银数即为三根相加得四根为马步兵共得银数是为四根与一百两相等四根既与一百两相等则一根必与二十五两相等即步兵所得银数于一百两内减之余七十五两为马兵所得银数以每人三两归之得二十五即马兵人数于一百名内减之余七十五即步兵人数也【此和较比例法】

设如鸡同笼但知共头三十六共足一百问鸡各若干

法借一根为数则鸡为三十六少一根以四足乗一根得四根为之共足数以鸡二足乗鸡三十六少一根得七十二少二根为鸡之共足数两数相加得七十二多二根与一百相等七十二与一百各减七十二则余二根与二十八相等二根既与二十八相等则一根必与十四相等即数于共三十六内减十四余二十二即鸡数十四以四足乗之得五十六为共足数鸡二十二以二足乗之得四十四为鸡共足数相加得一百以合原数也【此和较比例法】

设如有人行路乗马乗船共六十三日乗马日行一百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之里数比乗马所行之里数为十八倍问乗马乗船之日数各若干

法借一根为乗马之日数则乗船之日数为六十三日少一根以一根与一百六十里相乗得一百六十根为乗马所行之里数以六十三日少一根与一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根为乗船所行之里数乗船所行里数既为乗马所行里数之十八倍则以十八乗乗马所行之里数一百六十根得二千八百八十根是为二千八百八十根与九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根与少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根与九千零七十二里相等三千零二十四根既与九千零七十二里相等则一百六十根必与四百八十里相等前既以一百六十根为乗马所行之里数则与一百六十根相等之四百八十里即乗马所行之里数以乗马每日所行一百六十里除之得三日与一根相等即乗马所行之日数以三日与六十三日相减余六十日为乗船所行之日数以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里数为乗马所行之里数之十八倍也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】

设如有青缎蓝缎二色共七十疋青缎每疋长四十七尺蓝缎每疋长六十尺其蓝缎总尺数比青缎总尺数多二十七尺问青缎蓝缎二色各若干法借一根为青缎疋数则蓝缎为七十疋少一根各以尺数乗之则青缎之总尺数得四十七根蓝缎之总尺数得四千二百尺少六十根于蓝缎总尺数内减去比青缎所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是为青缎四十七根与蓝缎四千一百七十三尺少六十根相等四十七根与少六十根各加六十根得一百零七根与四千一百七十三尺相等一百零七根既与四千一百七十三尺相等则四十七根必与一千八百三十三尺相等前既以四十七根为青缎之总尺数则与四十七根相等之一千八百三十三尺即青缎之总尺数以每疋长四十七尺除之得三十九疋与一根相等即青缎之疋数以三十九疋与七十疋相减余三十一疋即蓝缎之疋数以三十一疋与六十尺相乗得一千八百六十尺即蓝缎之总尺数比青缎多二十七尺也【此和较比例法】

设如有人买绢防二色共价银一百二十七两四钱绢一尺价银七分防一尺价银一钱四分其绢之尺数比防之尺数为五倍问绢防尺数各若干法借一根为防之尺数则绢之尺数为五根以防价一钱四分【作一十四分】乗一根得一十四根为防共价以绢价七分乗五根得三十五根为绢共价两数相加共得四十九根是为四十九根与一百二十七两四钱相等四十九根既与一百二十七两四钱相等则十四根必与三十六两四钱相等前既以十四根为防共价则与十四根相等之三十六两四钱即防之共价以防每尺价一钱四分除之得二百六十尺与一根相等即防之尺数五因之得一千三百尺即绢之尺数也【此和较比例法】

设如甲有十成银一百二十四两丙有三成银不知数但知将二色银镕于一处则俱为五成银问三成银几何

法借一根为丙银数因二色银镕于一处俱为五成故以五成与丙银三成相减余二成为每两所少之数以五成与甲银十成相减余五成为每两所多之数乃以每两所少二成乗丙银一根得二根以每两所多五成乗甲银一百二十四两得六百二十成是为二根与六百二十成相等【丙之所少即甲之所多其数相等也】以丙银每两少二成除之则得一根与三百一十两相等前既借一根为丙银数则与一根相等之三百一十两即丙之银数也【此和较比例法】

设如有银大小共九百二十四锭重二百七十六两大锭重三分两之一小锭重七分两之二问大小锭各若干

法借一根为大锭数则小锭为九百二十四锭少一根因大锭重三分两之一小锭重七分两之二其分母不同乃以两分母三与七相乗得二十一为共母数又以小锭分母七互乗大锭分子一得七即变三分之一为二十一分之七为大锭之重数又以大锭分母三互乗小锭分子二得六即变七分之二为二十一分之六为小锭之重数乃以一根与大锭分子七相乗得七根为大锭之重数以九百二十四锭少一根与小锭分子六相乗得五千五百四十四少六根为小锭之重数两数相加得五千五百四十四多一根为共重数又各重数既皆通为二十一分则共重二百七十六两亦以分母二十一通之得五千七百九十六是为五千五百四十四多一根与五千七百九十六相等五千五百四十四与五千七百九十六各减五千五百四十四则余一根与二百五十二相等即大锭之共数与共九百二十四锭相减余六百七十二为小锭之共数以大锭重三分两之一与大锭共数相乗得八十四两为大锭之共重数以小锭重七分两之二与小锭共数相乗得一百九十二两为小锭之共重数相加得二百七十六两以合原数也【此和较比例法】

设如众人雇船每人出银一两二钱则少四两四钱每人出银一两五钱则多八两二钱问人数及船价银各若干

法借一根为人数以一根与一两五钱相乗得十五根则船价银为十五根少八两二钱又以一根与一两二钱相乗得十二根则船价银又为十二根多四两四钱此二数为相等两边各加八两二钱得十五根与十二根多十二两多钱相等两边再各减十二根则余三根与十二两六钱相等三根既与十二两六钱相等则一根必与四两二钱相等前既借一根为人数则此四两二钱即为四十二人为雇船之人数以每人出一两二钱乗之得五十两零四钱再加四两四钱得五十四两八钱为船价以每人出一两五钱乗之得六十三两减去八两二钱亦为五十四两八钱两数相同也【此盈朒法】

设如有银买缎二色下号缎每疋价银八两上号缎每疋价银十一两若俱买下号者则银多二百九十六两若俱买上号者则银多三十二两问缎数及银数各若干

法借一根为缎数以一根与十一两相乗得十一根为上号缎共价则共银为十一根多三十二两又以一根与八两相乗得八根为下号缎共价则共银为八根多二百九十二两此二数为相等两边各减三十二两得十一根与八根多二百六十四两相等两边再各减八根则余三根与二百六十四两相等三根既与二百六十四两相等则一根必与八十八两相等前既借一根为缎数则此八十八两即为八十八疋为缎之总数以每疋八两乗之得七百零四两为下号缎共价数加多二百九十六两得一千两为共有银数以每疋十一两乗之得九百六十八两为上号缎共价数加多三十二两亦得一千两两数相同也【此盈朒法】

设如有井一口不知其深有绳一条不知其长但知取绳六分之一比井深少三尺四寸取绳四分之一比井深适等问井深及绳长各若干

法借二十四根为绳长数【两分母相乗之数】取其四分之一得六根则井深即为六根又取其六分之一得四根则井深又为四根多三尺四寸此二数为相等两边各减四根得二根与三尺四寸相等二根既与三尺四寸相等则一根必与一尺七寸相等而二十四根必与四丈零八寸相等即绳之长数也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸为井深或取其四分之一亦得一丈零二寸两数相同也【此盈朒法】

设如有人买房用本银三分之二则比房价多五十九两用本银五分之二则比房价少四十九两八钱问本银房价各若干

法借十五根为本银数【两分母相乗之数】以用本银三分之二比房价多五十九两计之则房价为十根少五十九两以用本银五分之二比房价少四十九两八钱计之则房价又为六根多四十九两八钱此二数为相等两边各加五十九两得十根与六根多一百零八两八钱相等两边再各减去六根则余四根与一百零八两八钱相等四根既与一百零八两八钱相等则一根必与二十七两二钱相等而十五根必与四百零八两相等即本银数取其三分之二得二百七十二两减多五十九两得二百一十三两为房价数又将本银取其五分之二得一百六十三两二钱加少四十九两八钱亦得二百一十三两两数相同也【此盈朒法】

设如有银分给二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四两今欲与下等人每人三两则银多七十三两每人四两则银少二十两问人数及银数各若干

法借一根为下等人数则上等人数为二根以一根与四两相乗得四根为下等人所得共银数以二根与八两【下等每人四两上等多四两故每人八两】相乗得十六根为上等人所得共银数两数相加得二十根为上下二等人所得共银数则原银数即为二十根少二十两又以一根与三两相乗得三根为下等人所得共银数以二根与七两相乗得十四根为上等人所得共银数两数相加得十七根为上下二等人所得共银数则原银数即为十七根多七十三两此两数为相等两边各加二十两得二十根与十七根多九十三两相等两边再各减十七根则余三根与九十三两相等三根既与九十三两相等则一根必与三十一两相等前既借一根为下等人数则此三十一两即为三十一人为下等人数倍之得六十二人即上等人数以下等三十一人用三两乗之得九十三两以上等六十二人用七两乗之得四百三十四两两数相加共得五百二十七两再加所多七十三两得六百两为原银数若以下等三十一人用四两乗之得一百二十四两以上等六十二人用八两乗之得四百九十六两两数相加共得六百二十两减去所少二十两亦得六百两两数相同也【此盈朒法】

设如有人分银不言人数亦不言银数但知毎四人分银十八两则银少八两每三人分银十一两则银多十二两问人数及银数各若干

法借十二根为人数以四人分银十八两计之则每人应得四两五钱爰以四两五钱乗十二根得五十四根为共分银之数而原银即为五十四根少八两以三人分银十一两计之则每人应得三两又三分两之二爰以三两又三分两之二乗十二根得四十四根为共分银之数而原银又为四十四根多十二两此两数为相等两边各加八两得五十四根与四十四根多二十两相等两边各减四十四根得十根与二十两相等十根既与二十两相等则十二根必与二十四两相等前既借十二根为人数则此二十四两即为二十四人为共人数也以三人为一率十一两为二率二十四人为三率求得四率八十八两加多十二两共一百两为原银数或以四人为一率十八两为二率二十四人为三率求得四率一百零八两减少八两亦得一百两两数相同也【此双套盈朒法】

设如有一商人贩缎不言每疋价银之数亦不言每疋税银之数但知贩缎八十疋纳税用缎四疋则多银二两贩缎三百一十疋纳税用缎十四疋则少银六两五钱问每疋价银及税银几何

法借一根为缎一疋之价银数以纳税用缎四疋多银二两计之则缎八十疋之税银数为四根少银二两以纳税用缎十四疋少银六两五钱计之则缎三百一十疋之税银数为十四根多银六两五钱此两缎数不相等故难用比例须用互乗法以八十疋与三百一十疋相乗得二万四千八百疋为共缎数乃以三百一十疋乗四根少银二两得一千二百四十根少银六百二十两为二万四千八百疋之税银数又以八十疋乗十四根多银六两五钱得一千一百二十根多五百二十两亦为二万四千八百疋之税银数此两缎数既为相等故乗出之税银数亦为相等两边各加六百二十两得一千二百四十根与一千一百二十根多一千一百四十两相等两边再各减一千一百二十根则余一百二十根与一千一百四十两相等一百二十根既与一千一百四十两相等则一根必与九两五钱相等即缎一疋之价银数以缎四疋与银九两五钱相乗得三十八两减去多二两余三十六两即缎八十疋之税银数以八十疋除三十六两得四钱五分即缎一疋之税银数以四钱五分与缎三百一十疋相乗得一百三十九两五钱即缎三百一十疋之税银数又以缎十四疋与九两五钱相乗得一百三十三两再加少六两五钱亦得一百三十九两五钱两数相同也【此双套盈朒法】

设如有银一千二百零九两令甲乙二人分之取甲四分之一与乙三分之一相加即与甲银等问二人各得几何

法借十二根【两分母相乗数】为甲银数则乙银为一千二百零九两少十二根取甲银四分之一为三根取乙银三分之一为四百零三两少四根相加得四百零三两少一根是为十二根与四百零三两少一根相等十二根与少一根各加一根得十三根与四百零三两相等十三根既与四百零三两相等则十二根必与三百七十二两相等即甲银数于总银内减甲银数余八百三十七两即乙银数取甲银四分之一得九十三两取乙银三分之一得二百七十九两相加得三百七十二两与甲银等也【此借衰互征法用方程法算之亦可】

设如有银一千两令甲乙丙三人分之乙所得之数倍于甲仍多三十两丙所得之数倍于乙问每人各得若干

法借一根为甲银数则乙为二根多三十两丙为四根多六十两三数相并共得七根多九十两而与一千两相等九十两与一千两各减九十两余七根与九百一十两相等七根既与九百一十两相等则一根必与一百三十两相等即甲所得银数倍之再加三十两得二百九十两为乙所得银数又倍之得五百八十两为丙所得银数也【此借衰互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙三人分银六千两乙得甲三分之一丙得乙二分之一问三人各得几何

法借一根为甲银数则乙银为三分根之一丙银为六分根之一三数相加得六分根之九【以甲一根为六分则乙为六分根之二丙为六分根之一共得六分根之九即一根半】与六千两相等各以六乗之得九根与三万六千两相等九根既与三万六千两相等则一根必与四千两相等即甲银数三分之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数又二分之得六百六十六两又三分两之二为丙银数也

又法借一根为丙银数则乙银为二根甲银为六根相加得九根与六千两相等九根既与六千两相等则一根必与六百六十六两又三分两之二相等即丙银数倍之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数三因之得四千两即甲银数也【此借衰互征法】

设如有金银锡铜四色不言重数但知共数五分之二为铜数金银锡共数七分之四为锡数金银共数八分之五为银数金重三千零二十四两问四色各重若干

法借二百八十根为共数【用三分母连乗之数取其可以度尽也】取其五分之二得一百一十二根为铜数与二百八十根相减余一百六十八根为金银锡之共数取其七分之四得九十六根为锡数与一百六十八根相减余七十二根为金银之共数又取其八分之五得四十五根为银数与七十二根相减余二十七根为金数是为二十七根与三千零二十四两相等二十七根既与三千零二十四两相等则一根必与一百一十二两相等四十五根必与五千零四十两相等即银数九十六根必与一万零七百五十二两相等即锡数一百一十二根必与一万二千五百四十四两相等即铜数四数相加共得三万一千三百六十两以所借共重二百八十根与每一根之一百一十二两相乗亦得三万一千三百六十两为四色之共数也【此借衰互征法】

设如有银三百五十六两分与三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍于二等内少二两二等所得倍于三等又多四两问三等人每人各得几何

法借一根为三等一人所得银数则二等一人所得银数为二根多四两一等一人所得银数为四根多六两以各等共人数因之则三等所得共银数为三根二等所得共银数为八根多十六两一等所得共银数为二十根多三十两三数相加共得三十一根多四十六两为与三百五十六两相等三十一根多四十六两与三百五十六两各减去四十六两则余三十一根与三百一十两相等三十一根既与三百一十两相等则一根必与十两相等即三等一人所得银数倍之加四两得二十四两即二等一人所得银数又倍之减二两得四十六两即一等一人所得银数三等三人共得三十两二等四人共得九十六两一等五人共得二百三十两三数相加共得三百五十六两以合原数也【此借衰互征法】

设如甲丙二人共有米三百八十四石甲纳官八分之一丙纳官六分之一共纳五十四石问二人原米及纳官米各若干

法借一根为甲纳米数则丙纳米为五十四石少一根将甲纳米一根八因之得八根为甲原米数丙纳米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根为丙原米数相加得三百二十四石多二根为甲丙共米数是为三百二十四石多二根与三百八十四石相等三百二十四石与三百八十四石各减去三百二十四石余二根与六十石相等二根既与六十石相等则一根必与三十石相等即甲所纳米数八因之得二百四十石为甲原米数以甲原米数与三百八十四石相减余一百四十四石为丙原米数六归之得二十四石即丙所纳米数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙二人不言本银若干但知以乙本银三分之一与甲本银相加再加六十两共得一千两以甲本银五分之一与乙本银相加亦得一千两问二人本银各几何

法借十五根【两分母相乗数】为乙本银数以乙三分之一与甲本银相加又加六十两共得一千两计之则甲本银应得九百四十两少五根取其五分之一则为一百八十八两少一根以甲本银五分之一一百八十八两少一根与乙本银十五根相加得一百八十八两多十四根与一千两相等一边一百八十八两一边一千两各减去一百八十八两则得十四根与八百一十二两相等十四根既与八百一十二两相等则一根必与五十八两相等前既借十五根为乙本银数乃以十五乗之得八百七十两即乙本银数取其三分之一得二百九十两与一千两相减又减六十两余六百五十两即甲本银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙二商不言本银若干但知各得利银九十两其甲之本利共银三倍于乙之本银乙之本利共银二倍于甲之本银问每人本银几何

法借三根为甲之本银数加利银九十两得三根多九十两为甲之本利共银数甲之本利共银既三倍于乙之本银则乙之本银数即为一根多三十两再加利银九十两得一根多一百二十两为乙之本利共银数亦为甲之本银之二倍也乃以甲之本银三根倍之得六根与乙之一根多一百二十两相等六根与一根各减去一根则余五根与一百二十两相等五根既与一百二十两相等则三根必与七十二两相等即甲之本银数加利银九十两得一百六十二两三归之得五十四两为乙之本银数以乙本银五十四两加利银九十两共一百四十四两为甲之本银之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲丙二人有银不言其数但知甲银加九两为丙银之三倍丙银加七两为甲银之二倍问二人各银若干

法借六根【三倍二倍相乗数】为甲银数加九两为六根多九两甲银加九两既为丙银之三倍则以三归之得二根多三两为丙银数加七两为二根多十两丙银加七两既为甲银之二倍则以二归之得一根多五两仍为甲银数先借六根与今所得一根多五两既同为甲银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲银数加九两得一十五两三归之得五两即丙银数加七两得一十二两即甲银六两之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲丙二人有银不言其数但知将丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍若将甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍问二人各银若干

法借六根【二倍三倍相乗数】为甲原银数加丙与甲二两得六根多二两以丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍计之则以六根多二两半之得三根多一两为丙余银数丙先以二两与甲则丙之原银必为三根多三两加甲与丙二两得三根多六两以甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍计之则以三根多六两三归之得一根多二两为甲余银数甲先以三两与丙则甲之原银必为一根多五两夫先借六根与今所得一根多五两既同为甲原银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲原银之数加丙与甲二两得八两半之得四两为丙余银之数丙余银既为四两则原银必为六两加甲与丙三两得九两三归之得三两即甲余银之数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙二人共银一千二百四十两于甲银内加乙银四分之一乙银内加甲银五分之一其数相等问二人原银各几何

法借二十根【两分母相乗数】为甲原银数则一千二百四十两少二十根为乙原银数甲原银五分之一为四根乙原银四分之一为三百一十两少五根将甲原银五分之一四根与乙原银一千二百四十两少二十根相加得一千二百四十两少十六根【原少二十根加入四根止少十六根】将乙原银四分之一三百一十两少五根与甲原银二十根相加得三百一十两多十五根【原二十根补乙少五根余十五根】此二数为相等少十六根与多十五根各加十六根则得一千二百四十两与三百一十两多三十一根相等再一千二百四十两与三百一十两各减三百一十两则余九百三十两与三十一根相等九百三十两既与三十一根相等则六百两必与二十根相等前既借二十根为甲原银数则此六百两即甲原银之数以六百两与一千二百四十两相减余六百四十两即乙原银之数若甲银内加乙原银四分之一一百六十两乙银内加甲原银五分之一一百二十两则俱为七百六十两也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲原有银五十两乙原有银八十两乙用过之银比甲用过之银爲三分之一甲所余之银比乙所余之银亦爲三分之一问二人用银及余银各若干

法借一根爲乙用过银数则甲用过之银爲三根而乙所余之银爲八十两少一根甲所余之银爲五十两少三根甲余银既比乙余银爲三分之一则以甲余银五十两少三根三因之爲一百五十两少九根是爲乙余银八十两少一根与甲余银一百五十两少九根相等少一根与少九根各加九根得八十两多八根与一百五十两相等再八十两与一百五十两各减八十两余八根与七十两相等八根既与七十两相等则一根必与八两七钱五分相等即乙用过银数三因之得二十六两二钱五分即甲用过银数以甲用过银数与甲原有银数相减余二十三两七钱五分爲甲所余银数三因之得七十一两二钱五分即乙所余银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙三人有银不言数但知甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等若以乙银五分之二与丙银相较则丙银多一百一十四两问三人各银几何

法借五根爲乙银数则丙银数爲二根多一百一十四两于乙银数五根内减去丙银数二根多一百一十四两余三根少一百一十四两爲乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等五因之得一十五根少五百七十两爲甲银数又于甲银数一十五根少五百七十两内减去乙银数五根余十根少五百七十两爲甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十两亦爲丙银数此四十根少二千二百八十两与二根多一百一十四两既同爲丙银数是爲相等乃于二根多一百一十四两与四十根少二千二百八十两各加二千二百八十两得二根多二千三百九十四两与四十根相等二根与四十根再各减二根则余三十八根与二千三百九十四两相等三十八根既与二千三百九十四两相等则一根必与六十三两相等而五根必与三百一十五两相等即乙银数丙银数既爲二根多一百一十四两乃以六十三两倍之得一百二十六两【即二根之数亦即乙五分之二之数】加一百一十四两共得二百四十两即丙银数甲银比乙银所多之数既爲丙银四分之一乃以丙银数四归之得六十两与乙银三百一十五两相加得三百七十五两即甲银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙三人有银但知甲银七十两乙银三十四两而丙银不知数如以丙银与甲银相减又以丙银与乙银相减其甲银之余则三倍于乙问丙银若干

法借一根爲丙银数则甲丙相减之余爲七十两少一根乙丙相减之余爲三十四两少一根甲之余银既三倍于乙则以乙丙相减之余三十四两少一根三因之得一百零二两少三根是爲七十两少一根与一百零二两少三根相等少一根与少三根各加三根得七十两多二根与一百零二两相等七十两与一百零二两各减七十两则余二根与三十二两相等二根既与三十二两相等则一根必与十六两相等即丙银数与甲银七十两相减余五十四两与乙银三十四两相减余十八两是甲余银爲乙余银之三倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙三人各有银不言数但知将乙银十两与甲则甲乙二人之银相等若将丙银十四两与乙则乙丙二人之银相等若将甲银十八两与丙则丙银比甲银爲五倍问三人各银若干

法借一根爲甲原银数则乙之原银必爲一根多二十两【以十两与甲则皆爲一根多十两其数相等】丙之原银必爲一根多四十八两【乙之原银既爲一根多二十两再加十四两俱爲一根多三十四两其数相等】又甲之原银既爲一根以十八两与丙计之则爲一根少十八两丙之原银既爲一根多四十八两今再加十八两则爲一根多六十六两此丙之一根多六十六两比甲之一根少十八两既爲五倍则以甲之一根少十八两五因之得五根少九十两而与丙之一根多六十六两爲相等少九十两与多六十六两各加九十两得五根与一根多一百五十六两相等五根与一根各减一根则余四根与一百五十六两相等四根既与一百五十六两相等则一根必与三十九两相等即甲原银之数甲原银既爲三十九两则乙原银必爲五十九两以十两与甲则皆得四十九两乙原银既爲五十九两则丙原银必爲八十七两以十四两与乙则皆得七十三两丙原银既爲八十七两甲原银既爲三十九两甲以十八两与丙则丙爲一百零五两而甲爲二十一两是丙银比甲银爲五倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙三人有银但知甲银二万五千两乙得甲丙共银二分之一丙得甲乙共银八分之一问乙丙二人各银几何

法借二根爲丙银数则甲乙共银数爲十六根乙银数爲十六根少二万五千两甲丙共银数爲二根多二万五千两半之又得乙银数爲一根多一万二千五百两十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两既同爲乙银数则爲相等十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两各加二万五千两得十六根与一根多三万七千五百两相等十六根与一根各减一根则余十五根与三万七千五百两相等十五根既与三万七千五百两相等则二根必与五千两相等即丙银数与甲银二万五千两相加得三万两半之得一万五千两即乙银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如一商贸易不言本银若干但知第一次所得利银比本银爲四分之一用去银二十两第二次所得利银比第二次本银爲五分之二用去银十四两第三次所得利银比第三次本银爲三分之一用去银十五两合计所余利银共八十两问原本银及每次所得利银各几何

法借十二根爲原本银数则第一次利银爲三根本利相加得十五根内减用去银二十两得十五根少二十两爲第二次本银数取其五分之二得六根少八两爲第二次利银数本利相加得二十一根少二十八两又减用去银十四两得二十一根少四十二两爲第三次本银数取其三分之一得七根少十四两爲第三次利银数以第三次本利相加得二十八根少五十六两又减用去银十五两则爲二十八根少七十一两而原借十二根与所余利银八十两遂爲十二根多八十两是爲二十八根少七十一两与十二根多八十两相等少七十一两与多八十两各加七十一两得二十八根与十二根多一百五十一两相等二十八根与十二根各减十二根得十六根与一百五十一两相等十六根既与一百五十一两相等则十二根必与一百一十三两二钱五分相等即原本银数四归之得二十八两三钱一分二厘五毫即第一次所得利银数本利相加减用去二十两得一百二十一两五钱六分二厘五毫即第二次本银数取其五分之二得四十八两六钱

一　　　　　二分五厘即第二次所得利银数本利

一　　　　　相加又减用去十四两得一百五十六两一钱八分七厘五毫即第三次本银数三归之得五十二两零六分二厘五毫即第三次所得利银数本利相加又减用去十五两得一百九十三两二钱五分即原本银与三次所余共利银相加之数盖原本银一百一十三两二钱五分又加所余共利银八十两即一百九十三两二钱五分两数相等也【此叠借互征法】

设如有人贸易四次第一次所得利银比原本银爲九分之一用去银比原本银爲十二分之一第二次所得利银比原本银爲六分之一用去银比原本银爲九分之四第三次所得利银比原本银爲四分之一用去银比原本银爲二分之一第四次所得利银比原本银爲三分之一用去银比原本银爲三分之二合四次利银已用尽仍用本银六百两问本利银各若干

法借三十六根爲本银数【借三十六者以九与十二与六皆系用三可以度尽之数独四与九不能度尽故借四九相乘之数则各分母皆可以度尽也】则第一次利银爲四根第二次利银爲六根第三次利银爲九根第四次利银爲十二根四数相加共得三十一根爲四次利银之共数第一次用去爲三根第二次用去爲十六根第三次用去爲十八根第四次用去爲二十四根四数相加共得六十一根爲四次用去银之共数以四次利银皆用尽仍用本银六百两计之则四次利银之共数三十一根仍如本银六百两乃与四次用去银之共数六十一根相等也三十一根与六十一根各减去三十一根则余三十根与六百两相等三十根既与六百两相等则一根必与二十两相等而三十六根必与七百二十两相等即本银数三十一根又与六百二十两相等即利银数六十一根又与一千二百二十两相等即用去银数也【此叠借互征法】

设如甲乙丙丁四人同出银作生理内甲丙丁三人所出银不言数但知乙出银五两若将甲所出银二分之一与乙又将乙所出银五分之一与丙又将丙所出银七分之一与丁又将丁所出银九分之一与甲则四人所出之银皆相等问四人各出银若干

法借二根爲甲出银数则甲将一根【二分之一】与乙乙将一两【五分之一】与丙是甲爲一根乙爲一根多四两今以甲与乙相较则数不相等盖因甲尚当得丁银九分之一也甲因未得丁银九分之一故比乙银少四两是四两即丁银之九分之一也九分之一既爲四两则三十六两即爲丁原银数丁既以四两与甲则丁所余止三十二两以丁三十二两与乙一根多四两相较其数又不相等盖因丁尚当得丙银七分之一也丁因未得丙银七分之一故比乙银差一根少二十八两【于乙一根多四两内减去三十二两即余一根少二十八两也】是一根少二十八两即丙银之七分之一也七分之一既爲一根少二十八两则七根少一百九十六两即爲丙原银数丙既以一根少二十八两与丁则丙所余爲六根少一百六十八两再加乙所与之一两则丙得六根少一百六十七两矣夫四人既按分各与之则乙爲一根多四两甲余一根又得丁四两亦爲一根多四两丁余三十二两又得丙一根少二十八两亦爲一根多四两其数皆相等则丙之六根少一百六十七两亦必与一根多四两爲相等矣少一百六十七两与多四两各加一百六十七两得六根与一根多一百七十一两相等六根与一根各减一根则余五根与一百七十一两相等五根既与一百七十一两相等则一根必与三十四两二钱相等而二根必与六十八两四钱相等即甲所出银数又七根必与二百三十九两四钱相等内减去一百九十六两【丙原爲七根少一百九十六两】余四十三两四钱爲丙所出银数乃于丁所出银内减九分之一【余三十二两】加丙银之七分之一【六两二钱】得三十八两二钱于丙所出银内减七分之一【余三十七两二钱】加乙银之五分之一【一两】亦得银三十八两二钱于乙所出银内减五分之一【余四两】加甲银之二分之一【三十四两二钱】亦得银三十八两二钱于甲所出银内减二分之一【余三十四两二钱】加丁银之九分之一【四两】亦得银三十八两二钱也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如甲乙丙丁戊五人各出银不言数但知甲乙共银二百四十两丙银爲甲银三分之一丁银爲乙银四分之一戊银七十二两与丙丁共数相等问五人各银若干

法借十二根爲甲银数则乙银爲二百四十两少十二根丙银爲四根丁银爲六十两少三根以丙丁二数相加得六十两多一根而与戊银七十二两相等七十二两与六十两各减六十两得十二两与一根相等十二两既与一根相等则十二根必与一百四十四两相等即甲银数甲乙共银二百四十两内减甲银数余九十六两即乙银数将甲银数三归之得四十八两即丙银数将乙银数四归之得二十四两即丁银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百两丙丁共得二百两戊己共得二百两丙所得银比甲所得银爲四分之一戊所得银比丁所得银爲三分之一乙所得银比己所得银爲二分之一问六人各分银几何

法借十二根爲甲所得银数则乙所得银爲二百两少十二根丙所得银爲三根丁所得银爲二百两少三根戊所得银爲六十六两又三分两之二少一根【戊比丁爲三分之一以三除丁数即是】己所得银爲四百两少二十四根【乙比己爲二分之一以二乗乙数即是】以戊己两数相加得四百六十六两又三分两之二少二十五根是爲二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根相等二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根各加二十五根得二百两多二十五根与四百六十六两又三分两之二相等二百两与四百六十六两又三分两之二各减二百两则余二十五根与二百六十六两又三分两之二相等二十五根既与二百六十六两又三分两之二相等则一根必与十两又三分两之二相等三根必与三十二两相等即丙所得银数四因之得一百二十八两爲甲所得银数甲乙共得二百两内减甲所得银数余七十二两爲乙所得银数丙丁共得二百两内减丙所得银数余一百六十八两爲丁所得银数乙所得银七十二两二因之得一百四十四两爲己所得银数丁所得银一百六十八两三归之得五十六两爲戊所得银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如有驼一羣七十二个马一羣不知数牛一羣与驼马相并之数等羊一羣与驼马相乗之数等又爲牛数之六十倍问马牛羊各几何

法借一根爲马数则一根多七十二爲牛数以驼数七十二与马数一根相乗得七十二根爲羊数再以牛数一根多七十二与六十相乗得六十根多四千三百二十亦爲羊数此两数既同爲羊数则爲相等七十二根与六十根各减六十根则余十二根与四千三百二十相等十二根既与四千三百二十相等则一根必与三百六十相等即马一羣之数与驼数相加得四百三十二即牛一羣之数再与六十相乗得二万五千九百二十即羊一羣之数以驼七十二与马三百六十相乘亦得二万五千九百二十爲相等也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提系四分始平问二石各重若干

法先以五分加一倍与十二分相减余二分折半得一分与五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率余二分之重二两爲三率求得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也今大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二两四钱则小石爲大石六分之五而少二两也【铜条五分之端应加二两四钱而平今大石在五分之一头是大石多二两四钱也将二两四钱以大石之六分除之每分得四钱是大石比小石每分多四钱以小石五分计之则大石比小石多二两故小石爲大石之六分之五而少二两也】又小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二两四钱则小石爲大石五分之四而多二两四钱也【铜条五分之端应加二两四钱而平今小石在五分之一头是小石多二两四钱也将二两四钱以小石之四分除之每分得六钱是小石比大石每分多六钱以小石四分计之则小石比大石多二两四钱故小石爲大石之五分之四而多二两四钱也】乃借三十根【六分五分相乗之数】爲大石之重数以小石爲大石六分之五而少二两计之则小石之重爲二十五根少二两以小石爲大石五分之四而多二两四钱计之则小石之重又爲二十四根多二两四钱此两数爲相等两边各加二两得二十五根与二十四根多四两四钱相等两边再各减去二十四根余一根与四两四钱相等一根既与四两四钱相等则三十根必与一百三十二两相等即大石之重数六归之得二十二两五因之得一百一十两减去二两得一百零八两即小石之重数或以大石之重数五归之得二十六两四钱四因之得一百零五两六钱加二两四钱亦得一百零八两爲小石之重数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】

设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价若干

法借一根爲牛一头之价则前牛八头之共价爲八根前马四匹之共价爲五十六两少八根而后牛五头之共价爲五根乃以前马四匹爲一率共价五十六两少八根爲二率后马三匹爲三率求得四率四十二两少六根爲后马三匹之共价内加后牛五头之共价五根得四十二两少一根爲后马三匹牛五头之共价与后共价三十八两相等四十二两少一根与三十八两各加一根得四十二两与三十八两多一根相等四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两则余四两与一根相等即牛一头之价八因之得三十二两爲前牛八头之共价于前共价五十六两内减之余二十四两爲前马四匹之共价四归之得六两爲马一匹之价又以后马三匹因之得十八两爲后马三匹之共价于后共价三十八两内减之余二十两爲后牛五头之共价五归之亦得四两爲牛一头之价也【此二色和数方程法】

设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价若干

法借一根爲桃一个之价则前桃四个之共价爲四根前梨八个之共价爲十二文多四根而后桃九个之共价爲九根乃以前梨八个爲一率共价十二文多四根爲二率后梨六个爲三率求得四率九文多三根爲后梨六个之共价加后桃比梨多钱二十一文得三十文多三根与后桃九个之共价九根相等【九桃比六梨多二十一文故以二十一文与六梨之价相加即与九桃之价等也】三十文多三根与九根各减去三根则余三十文与六根相等三十文既与六根相等则五文必与一根相等即桃一个之价四因之得二十文爲前桃四个之共价加入桃比梨少钱十二文得三十二文爲前梨八个之共价八归之得四文爲梨一个之价又以后梨六个因之得二十四文爲后梨六个之共价加入桃比梨多钱二十一文得四十五文爲后桃九个之共价九归之亦得五文爲桃一个之价也【此二色较数方程法】

设如有银买缎纱防三色初次买缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两二次买缎一疋纱四疋防七疋共价六十两三次买缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防每疋各价若干

法借一根爲防每疋之价则初次防之共价爲八根二次防之共价爲七根三次防之共价爲九根而初次缎之共价爲八十四两少八根仍少纱六疋乃以初次缎二疋爲一率缎价八十四两少八根仍少纱六疋爲二率二次缎一疋爲三率求得四率四十二两少四根仍少纱三疋爲二次缎价加入二次防价七根纱四疋得四十二两多三根仍多纱一疋爲二次缎一疋纱四疋防七疋之共价与二次共价六十两相等四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两余三根多纱一疋与十八两相等三根多纱一疋与十八两再各减去三根余纱一疋与十八两少三根相等即纱一疋之价爲十八两少三根也又以二次缎一疋爲一率缎价四十二两少四根仍少纱三疋爲二率三次缎三疋爲三率求得四率一百二十六两少十二根仍少纱九疋爲三次缎价加入三次防价九根纱五疋得一百二十六两少三根仍少纱四疋爲三次缎三疋纱五疋防九疋之共价与三次共价九十两相等一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两余三十六两少三根与纱四疋相等即纱四疋之价爲三十六两少三根也前所得纱一疋之价爲十八两少三根今又得纱四疋之价爲三十六两少三根此二分虽同而疋数不一故又以纱一疋爲一率前所得之纱一疋之价十八两少三根爲二率今纱四疋爲三率求得四率七十二两少十二根爲纱四疋之价乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根得三十六两多九根与七十二两相等三十六两多九根与七十二两再各减去三十六两余九根与三十六两相等九根既与三十六两相等则一根必与四两相等即防一疋之价也纱一疋之价既爲十八两少三根则于十八两内减去三根之共数十二两余六两即纱一疋之价初次纱六疋以纱价六两乘之得三十六两初次防八疋以防价四两乘之得三十二两两数相加得六十八两与初次共银八十四两相减余十六两爲缎二疋之价二归之得八两即缎一疋之价也其二次缎之共价爲八两纱之共价爲二十四两防之共价爲二十八两相加共得六十两三次缎之共价爲二十四两纱之共价爲三十两防之共价爲三十六两相加共得九十两皆合原数也【此三色和数方程法】

设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色甲买铜二斤铁二斤锡一斤共银九钱乙买铜三斤比铁六斤锡二斤之价多二钱丙买铜二斤铁四斤与锡四斤之价相等问铜铁锡每斤各价若干

法借一根爲锡每斤之价则甲锡之价即爲一根乙锡之价爲二根丙锡之价爲四根而甲铜之共价爲九钱少一根仍少铁二斤乃以甲铜二斤爲一率铜价九钱少一根仍少铁二斤爲二率乙铜三斤爲三率求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤爲乙铜三斤之价内减比锡二斤铁六斤所多之二钱余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等一两一钱五分少一根半少铁三斤与二根多铁六斤各加铁三斤得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤再各减去二根余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等即铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半也又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤即爲丙铜二斤之共价【丙铜与甲铜俱爲二斤故其共价相等省一四率也】加铁四斤得九钱少一根多铁二斤与丙锡四斤之共价四根相等九钱少一根多铁二斤与四根各加一根得九钱多铁二斤与五根相等九钱多铁二斤与五根再各减去九钱余铁二斤与五根少九钱相等即铁二斤之价爲五根少九钱也前所得铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半今又得铁二斤之价爲五根少九钱此二分虽同而斤数不一故又以铁二斤爲一率今所得之铁二斤之价五根少九钱爲二率前所得之铁九斤爲三率求得四率二十二根半少四两零五分爲铁九斤之价乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半各加四两零五分得二十二根半与五两二钱少三根半相等二十二根半与五两二钱少三根半再各加三根半得二十六根与五两二钱相等二十六根既与五两二钱相等则一根必与二钱相等即锡每斤之价也铁二斤之价既爲五根少九钱则以五根之共数一两内减去九钱余一

钱爲铁二斤之共价半之得五分即铁

每斤之价于甲共银九钱内减去铁二

斤之价一钱又减去锡一斤之价二钱

余六钱爲铜二斤之共价半之得三钱

爲铜每斤之价也其乙铜三斤之共价

爲九钱乙铁六斤之共价爲三钱乙锡

二斤之共价爲四钱是铜三斤比锡二

斤铁六斤之价多二钱也丙铜二斤之

共价爲六钱丙铁四斤之共价爲二钱

丙锡四斤之共价爲八钱是铜二斤铁

四斤与锡四斤之价等也【此三色和较兼用方程法】

御制数理精蕴下编卷三十四

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十五

末部五

借根方比例【面类】

面类

设如大小两正方面积共二百一十八尺其大方面积比小方面积多一百二十尺问大小方面积各几何

法借一根为小方面毎边之数自乘得一平方为小方面积则大方面积为一平方多一百二十尺两数相加得二平方多一百二十尺与共积二百一十八尺相等一百二十尺与二百一十八尺各减去一百二十尺余二平方与九十八尺相等二平方旣与九十八尺相等则一平方必与四十九尺相等卽小方面积加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面积也【此卽减法因面类之首故设此最易者焉】

设如甲乙二长方面积共三百尺甲长八尺乙长二丈四尺其甲阔比乙阔为二倍问二长方阔数积数各几何

法借一根为乙之阔数则甲之阔为二根以一根与一丈四尺相乘得十四根为乙之面积以二根与八尺相乘得十六根为甲之面积相加得三十根与三百尺相等三十根旣与三百尺相等则一根必与十尺相等卽乙之阔数与长一丈四尺相乘得一百四十尺为乙之面积于共积三百尺内减之余一百六十尺为甲之面积或倍乙之阔十尺得二十尺为甲之阔与长八尺相乘亦得一百六十尺为甲之面积也【此归除法】

设如有甲乙丙三长方甲方阔十尺不知长乙方阔十六尺长与甲等丙方阔四尺面积与甲之长相等又甲乙二方之共面积与丙方之长数相并为三千一百五十尺问三方各长若干

法借一根为甲方之长数以阔十尺乘之得十根为甲方之面积乙方之长与甲等亦为一根以阔十六尺乘之得十六根为乙方之面积丙方之面积与甲之长相等亦为一根以阔四尺除之得四分根之一为丙方之长数以甲方之面积十根乙方之面积十六根丙方之长数四分根之一相并共得二十六根又四分根之一与三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣与三千一百五十尺相等则一根必与一百二十尺相等卽甲方之长数亦卽乙方之长数亦卽丙方之面积以甲方阔十尺与长一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面积以乙方阔十六尺与长一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面积以丙方阔四尺除面积一百二十尺得三十尺卽丙方之长数也【此归除法】

设如有长方形其长阔和五百零四丈面积为阔自乘之七倍问长阔各几何

法借一根为阔数则长数为五百零四丈少一根以一根与五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方为长方面积又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦为长方面积而与五百零四根少一平方相等两边各加一平方得八平方与五百零四根相等八平方与五百零四根各降一位则为八根与五百零四丈相等八根旣与五百零四丈相等则一根必与六十三丈相等卽长方之阔数与五百零四丈相减余四百四十一丈卽长数也以阔六十三丈自乘得三千九百六十九丈以阔六十三丈与长四百四十一丈相乘得二万七千七百八十三丈为阔自乘之七倍也【此比例法】

设如有楼一座不知髙数正方池一面不知边数但云以六丈与楼之髙数相乘与池之边数等以一百零八丈与楼之髙数相乘与池之面积等问楼髙及池边数各几何

法借一根为楼之髙数以一根与六丈相乘得六根为池之边数自乘得三十六平方为池之面积又以一根与一百零八丈相乘得一百零八根亦为池之面积是为三十六平方与一百零八根相等三十六平方与一百零八根各降一位则为三十六根与一百零八丈相等三十六根旣与一百零八丈相等则一根必与三丈相等卽楼之髙数以六丈乘之得一十八丈为池之边数自乘得三百二十四丈为池之面积又以一百零八丈与楼髙三丈相乘亦得三百二十四丈与池之面积相等也【此面积相除法】

设如甲乙二人有银不言两数但知其银之比例同于八与五若以二人银相并则与二人银相乘之数等问二人银各若干

法借八根为甲银数五根为乙银数相乘得四十平方又以八根与五根相加得一十三根是为四十平方与十三根相等四十平方与十三根各降一位则为四十根与十三两相等四十根旣与十三两相等则八根必与二两六钱相等卽甲银数五根必与一两六钱二分五厘相等卽乙银数两数相加得四两二钱二分五厘若以两数相乘亦得四两二钱二分五厘也【此比例法】

设如有大小二正方池小池毎边为大池毎边之三分之一二池共边数为二池共面积之五十分之一问二池边数面积各几何

法借一根为小池毎边之数则大池毎池之数为三根两边数相加得四根又以一根自乘得一平方为小池面积以三根自乘得九平方为大池面积两面积相加得十平方为二池共边之五十倍乃以共边四根以五十乘之得二百根是为十平方与二百根相等十平方与二百根各降一位则为十根与二百丈相等十根旣与二百丈相等则一根必与二十丈相等卽小池毎边之数三因之得六十丈卽大池毎边之数也两边数相加得八十丈又以小池毎边二十丈自乘得四百丈为小池面积以大池毎边六十丈自乘得三千六百丈为大池面积两面积相加得四千丈为共边之五十倍也【此二正方边线面积比例法】

设如有甲乙丙三正方乙方毎边为甲方毎边之四分之一丙方毎边为甲方毎边之八分之一而乙丙两方之共面积为甲方毎边之十倍问三方边数面积各几何

法借八根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为二根丙方毎边之数为一根以二根自乘得四平方为乙方面积以一根自乘得一平方为丙方面积两面积相加得五平方为甲方毎边之十倍乃以甲方毎边八根十因之得八十根是为五平方与八十根相等五平方与八十根各降一位则为五根与八十尺相等五根旣与八十尺相等则一根必与十六尺相等卽丙方毎边之数倍之得三十二尺卽乙方毎边之数八因之得一百二十八尺卽甲方毎边之数也以乙方每边三十二尺自乘得一千零二十四尺为乙方面积以丙方毎边十六尺自乘得二百五十六尺为丙方面积两面积相加得一千二百八十尺为甲方毎边之十倍也【此三正方边线面积比例法】

设如有甲乙二正方甲方为乙方毎边之三倍以甲方边四分之一与乙方面积相乘则与甲方面积等问二方边数面积各几何

法借十二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为四根以十二根自乘得一百四十四平方为甲方面积以四根自乘得一十六平方为乙方面积取甲方边四分之一三根与乙方面积一十六平方相乘得四十八立方是为四十八立方与一百四十四平方相等四十八立方与一百四十四平方各降二位则为四十八根与一百四十四尺相等四十八根旣与一百四十四尺相等则十二根必与三十六尺相等卽甲方毎边之数三归之得十二尺卽乙方毎边之数也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面积以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面积以甲方毎边四分之一九尺与乙方面积相乘得一千二百九十六尺与甲方面积相等也【此二正方边线面积比例法】

设如有大小二正方大方边与小方边之比例同于五与三大方面积比小方面积多二千三百零四丈问大小二方边各几何

法借三根为小方毎边之数则大方毎边之数为五根以三根自乘得九平方为小方之面积以五根自乘得二十五平方为大方之面积二面积相减余一十六平方与二千三百零四丈相等一十六平方旣与二千三百零四丈相等则一平方必与一百四十四丈相等开平方得一十二丈为一根之数三因之得三十六丈卽小方毎边之数五因之得六十丈卽大方毎边之数以三十六丈自乘得一千二百九十六丈为小方面积以六十丈自乘得三千六百丈为大方面积两面积相减余二千三百零四丈以合原数也【此二正方比例开平方法】

设如有甲乙二正方甲方毎边为乙方毎边之三倍又有丙一长方其长与甲方之毎边等其阔与乙方之毎边等三方面积共二万零八百丈问三方边数面积各若干

法借一根为乙方毎边之数则甲方毎边之数为三根以一根自乘得一平方为乙方之面积以三根自乘得九平方为甲方之面积以一根与三根相乘得三平方为丙方之面积三面积相加得一十三平方与二万零八百丈相等十三平方旣与二万零八百丈相等则一平方必与一千六百丈相等卽乙方之面积开平方得四十丈为一根之数卽乙方毎边之数三因之得一百二十丈卽甲方毎边之数以一百二十丈自乘得一万四千四百丈卽甲方之面积以四十丈与一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面积三面积相并共得二万零八百丈以合原数也【此二正方比例开平方法】

设如有兵二万九千四百八十四名欲排作三军俱为正方第二军每边比第一军每边为三倍第三军每边比第二军每边亦为三倍问三军兵数各若干

法借一根为第一军每边之数则第二军每边之数为三根第三军毎边之数为九根以一根自乘得一平方为第一军之总数以三根自乘得九平方为第二军之总数以九根自乘得八十一平方为第三军之总数三总数相加得九十一平方与二万九千四百八十四相等九十一平方旣与二万九千四百八十四相等则一平方必与三百二十四相等卽第一军之总数开平方得十八为一根之数卽第一军每边之数也以第一军毎边之数用三乘之得五十四卽第二军毎边之数以第一军之总数用九乘之得二千九百一十六卽第二军之总数又以第一军毎边之数用九乘之得一百六十二卽第三军每边之数以第一军之总数用八十一乘之得二万六千二百四十四卽第三军之总数三总数相加共二万九千四百八十四以合原数也【此三正方比例开平方法】

设如一正方一长方俱不知其边数但知长方之面积为八万一千尺其长为正方边之十五分之二其阔为正方边之二十五分之三问二方边各若干

法借一根为正方每边之数则长方之长为十五分根之二长方之阔为二十五分根之三以正方边一根自乘得一平方为正方之面积以长方之长阔相乘得三百七十五分平方之六【以两分母十五与二十五相乘得三百七十五以两分子二与三相乘得六故为三百七十五之六】为长方面积是为三百七十五分平方之六与八万一千尺相等乃以六分为一率八万一千尺为二率三百七十五分为三率求得四率五百零六万二千五百尺与一平方相等【葢三百七十五分平方之六者将一平方分为三百七十五分而得其六分也六分旣为八万一千尺则三百七十五分必为五百零六万二千五百尺也】开平方得二千二百五十尺为一根之数卽正方每边之数其十五分之二为三百尺卽长方之长其二十五分之三为二百七十尺卽长方之阔相乘得八万一千尺以合原数也【此带分比例开平方法】

设如有大小二正方大方比小方毎边多六尺面积多一千七百一十六尺问二方边数面积各几何法借一根为小方每边之数则大方每边之数为一根多六尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为大方之面积大方旣比小方面积多一千七百一十六尺则以小方之面积一平方加一千七百一十六尺与大方之面积一平方多十二根多三十六尺相等两边各减去一平方又各减三十六尺得十二根与一千六百八十尺相等十二根旣与一千六百八十尺相等则一根必与一百四十尺相等卽小方毎边之数加六尺得一百四十六尺卽大方每边之数以一百四十尺自乘得一万九千六百尺卽小方之面积以一百四十六尺自乘得二万一千三百一十六尺卽大方之面积两面积相减余一千七百一十六尺以合原数也【此二正方有边较积较求边法】

设如有大小二正方大方比小方每边多二十四尺面积共七千二百五十尺问二方边数面积各几何

法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二十四尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺为大方之面积两面积相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺与七千二百五十尺相等两边各减五百七十六尺得二平方多四十八根与六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣与六千六百七十四尺相等则一平方多二十四根必与三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺为长方积以二十四根作二【七千二百】【五十尺以合原】十四尺为长阔较用带纵较

数开平方法算之得阔四十七尺为一根之数卽小方每边之数加二十四尺得七十一尺卽大方　　　每边之数以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面积以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面积两面积相加共七【数也此二正方有边和求边法】

设如有大小二正方边数共三十六尺面积共六百六十六尺问二方边数面积各几何

法借一根为小方毎边之数则大方每边之数为三十六尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方为大方之面积两面积相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方与六百六十六尺相等两边各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方与六百六十六尺多七十二根相等两边各减六百六十六尺得六百三十尺多二平方与七十二根相等六百三十尺多二平方旣与七十二根相等则三百一十五尺多一平方必与三十六根相等乃以三百一十五尺为长方积以三十六根作三十六尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十五尺为一根之数卽小方每边之数与共边三十六尺相减余二十一尺卽大方毎边之数以小方每边一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面积以大方每边二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面积两面积相加共六百六十六尺以合原数也【此二正方有边和积和求边法】

设如有大小二正方边数共一百一十尺大方比小方面积为五倍少四尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一百一十尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以一百一十尺少一根自乘得一万二千一百尺少二百二十根多一平方为大方之面积大方旣比小方面积为五倍少四尺则将小方加五倍将大方加四尺是为五平方与一万二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等两边各减一平方得四平方与一万二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣与一万二千一百零四尺少二百二十根相等则一平方必与三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺为长方积以五十五根作五十五尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔三十四尺为一根之数卽小方每边之数与共边一百一十尺相减余七十六尺卽大方毎边之数以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面积以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面积再加四尺得五千七百八十尺为小方面积一千一百五十六尺之五倍也【此亦二正方有边和积较法但积较有倍分耳】

设如有一长方又有大小二正方三面积共四百四十一丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等但知小正方边为九丈问大正方边若干

法借一根为大方毎边之数自乘得一平方为大方之面积以九丈自乘得八十一丈为小方之面积以九丈与一根相乘得九根为长方之面积三面积相加得一平方多九根又多八十一丈与四百四十一丈相等两边各减八十一丈得一平方多九根与三百六十丈相等乃以三百六十丈为长方积以九根作九丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十五丈为一根之数卽大方毎边之数以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面积以十五丈与九丈相乘得一百三十五丈卽长方之面积三面积相并共得四百四十一丈以合原数也【此带纵较数开平方法】

设如有一长方又有大小二正方三面积共四百五十七丈长方之长与大正方边等长方之阔与小正方边等长阔共二十四丈问长阔各几何法借一根为长方之阔则长方之长为二十四丈少一根以一根自乘得一平方为小正方之面积以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方为大正方之面积以一根与二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方为长方之面积三面积相加得一平方多五百七十六丈少二十四根与四百五十七丈相等两边各加二十四根得一平方多五百七十六丈与二十四根多四百五十七丈相等两边各减四百五十七丈得一平方多一百一十九丈与二十四根相等乃以一百一十九丈为长方积以二十四根作二十四丈为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔七丈为一根之数卽长方之阔与二十四丈相减余一十七丈卽长方之长以七丈自乘得四十九丈卽小正方之面积以一十七丈自乘得二百八十九丈卽大正方之面积以七丈与一十七丈相乘得一百一十九丈卽长方之面积三面积相并共得四百五十七丈以合原数也【此带纵和数开平方法】

设如有一长方其面积八万三千二百三十二丈又有一正方其毎边与长方之阔等若以正方面积自乘则与两方之共面积等问二方边数各若干法借一根为正方之面积自乘得一平方为正方面积自乘之数又以一根与八万三千二百三十二丈相加得一根多八万三千二百三十二丈与一平方相等乃以八万三千二百三十二丈为长方积以一根作一丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得长二百八十九丈为一根之数卽正方之面积亦卽长方之长开平方得一十七丈卽正方之边亦卽长方之阔以正方面积二百八十九丈与长方面积八万三千二百三十二丈相并共得八万三千五百二十一丈又以正方面积二百八十九丈自乘亦得八万三千五百二十一丈是与两方之共面积相等也【此带纵较数开平方法】

设如有银买驼马共六十一匹驼毎匹之价与共驼数等马毎匹之价与共马数等今卖马一匹之价与共驼数等卖驼一匹之价为共马数之二倍共得利银七百一十九两问驼数马数及毎匹价各若干

法借一根为共马数则六十一匹少一根为共驼数以共马数一根自乘得一平方为买马之共价以共驼数六十一匹少一根自乘得三千七百二十一两少一百二十二根多一平方为买驼之共价两共价相加得三千七百二十一两少一百二十二根多二平方为买驼马之总银数又以共马数一根与共驼数六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方为卖马之共银数以共驼数六十一匹少一根与二倍共马数二根相乘得一百二十二根少二平方为卖驼之共银数两共银数相加得一百八十三根少三平方为卖驼马之总银数内减买驼马总银数三千七百二十一两少一百二十二根多一平方余三百零五根少五平方又少三千七百二十一两与利银七百一十九两相等两边各加三千七百二十一两得三百零五根少五平方与四千四百四十两相等三百零五根少五平方旣与四千四百四十两相等则六十一根少一平方必与八百八十八两相等乃以八百八十八两为长方积以六十一根作六十一为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四为一根之数卽共马数亦卽马毎匹之价为二十四两也以二十四匹与六十一匹相减余三十七匹卽共驼数亦卽驼毎匹之价为三十七两也以二十四匹与二十四两相乘得五百七十六两为买马之共银数以三十七匹与三十七两相乘得一千三百六十九两为买驼之共银数相加得一千九百四十五两卽买驼马之总银数以二十四匹与三十七两相乘得八百八十八两为卖马之共银数以三十七匹与四十八两相乘得一千七百七十六两为卖驼之共银数相加得二千六百六十四两卽卖驼马之总银数比买驼马之总银数多七百一十九两为利银数也【此带纵和数开平方法】

设如有木匠瓦匠共三十名又有匠头不知名数但知毎匠头一人得银三十六两其木匠一人之银数与瓦匠之人数等瓦匠一人之银数与木匠之人数等而匠头之人数与木匠瓦匠相差之数等匠头之共银数与木匠之共银数等问匠头与木匠瓦匠之人数及毎人所得之银数各几何法借一根为木匠之人数则瓦匠之人数为三十少一根以一根与三十少一根相乘得三十根少一平方为木匠之共银数亦为瓦匠之共银数又以木匠之人数一根与瓦匠之人数三十少一根相减得三十少二根为匠头之人数与毎人三十六两相乘得一千零八十两少七十二根为匠头之总银数与木匠之共银数三十根少一平方相等两边各加七十二根得一百零二根少一平方与一千零八十两相等乃以一千零八十两为长方积以一百零二根作一百零二为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十二为一根之数卽木匠之人数以一十二人与三十人相减余一十八人卽瓦匠之人数以十二与十八相乘得二百一十六两卽木匠之共银数亦卽瓦匠之共银数以十二与十八相减余六卽匠头之人数与三十六两相乘亦得二十一十六两卽匠头之共银数与木匠之共银数等也【此带纵和数开平方法】

设如有马骡防物不言马骡共数亦不言马骡各数但知马比骡多十匹马共防一万二千斤骡亦共防一万二千斤而骡一匹所防之数比马一匹所防之数多四十斤问马骡数及所防数各若干法借一根为骡数则马数为一根多十匹以一根除一万二千斤得一根之一万二千斤为骡一匹所防之数以一根多十匹除一万二千斤得一根多十匹之一万二千斤为马一匹所防之数因两分母不同乃用互乘法以齐其分将马分母一根多十匹与骡分子一万二千斤相乘得一万二千根多一十二万斤以骡分母一根与马分子一万二千斤相乘得一万二千根以互乘所得两分子相减余一十二万斤为骡比马多防之数又以马分母一根多十匹与骡分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦为骡比马多防之数是为四十平方多四百根与一十二万斤相等四十平方多四百根旣与一十二万斤相等则一平方多十根必与三千斤相等乃以三千为长方积以十根作一十为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔五十为一根之数卽骡数加十匹得六十匹卽马数以五十匹除一万二千斤得二百四十斤卽骡一匹所防之数以六十匹除一万二千斤得二百斤卽马一匹所防之数也【此带纵较数开平方法】

设如有数一十万欲分为大小两分与全分为相连比例三率问大小两分各几何

法借一根为大分则小分为十万少一根是全分十万为首率而一根为中率十万少一根为末率矣乃以首率十万与末率十万少一根相乘得一百亿少十万根而与中率一根自乘之一平方相等乃以一百亿为长方积十万根作十万为长阔数用带纵较数开平方法算之得阔六万一千八百零三为一根之数卽大分与全分十万相减余三万八千一百九十七卽小分也葢十万与六万一千八百零三之比卽同于六万一千八百零三与三万八千一百九十七之比而为相连比例之三率也【此即求圜内容十边法】

设如有股二十尺勾较十尺问勾各几何法借一根为勾数则一根多一十尺为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数两自乘之数相减得二十根多一百尺为股自乘之数而与股二十尺自乘之四百尺为相等两边各减一百尺得二十根与三百尺相等二十根旣与三百尺相等则一根必与一十五尺相等卽勾数加勾较十尺得二十五尺卽数也如圗甲乙为甲丙为勾【乙丁同】丙乙为勾较甲丁为勾和甲己戊乙为自乘方庚己壬辛为勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形为股自乘数与甲庚勾较【甲庚与丙乙等】乘甲丁勾和之甲庚癸丁长方积等借一根为勾数者卽庚己或庚辛也【庚己庚辛皆与甲丙等】一根多十尺为数者卽庚己加庚甲也一根自乘得一平方为勾自乘方者卽庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺为自乘方者卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根【甲庚较十尺乘甲丙一根得十根为甲庚辛丙长方辛子较十尺乘子戊一根得十根为辛壬戊子长方是共为二十根】又多丙辛子乙之一百尺共为甲己戊乙之正方也于甲己戊乙自乘方内减去庚己壬辛勾自乘之一平方余二十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬折形亦卽甲庚癸丁之长方形而与股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁长方内减去丙辛子乙一百尺余甲庚辛丙及乙子癸丁卽二十根之数为三百尺也二十根之数为三百尺则一根之数必为十五尺也【此勾股和较相求法】

设如有股二十四尺勾和三十二尺问勾各几何

法借一根为勾数则三十二尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方为自乘之数两自乘之数相减得一千零二十四尺少六十四根为股自乘之数而与股二十四尺自乘之五百七十六尺为相等两边各加六十四根得一千零二十四尺与五百七十六尺多六十四根相等两边各减五百七十六尺得四百四十八尺与六十四根相等四百四十八尺旣与六十四根相等则七尺必与一根相等卽勾数以勾七尺与勾和三十二尺相减余二十五尺卽数也【此勾股和较相求法】

设如有五尺勾股和七尺问勾股各几何

法借一根为股数则七尺少一根为勾数以一根自乘得一平方为股自乘之数以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方为勾自乘之数两自乘数相加得四十九尺少一十四根多二平方为自乘之数而与五尺自乘之二十五尺为相等两边各加一十四根得四十九尺多二平方与二十五尺多一十四根相等两边各减四十九尺得二平方与一十四根少二十四尺相等二平方旣与十四根少二十四尺相等则一平方必与七根少十二尺相等乃以十二尺为长方积七根作七尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得长四尺为一根之数卽股数以股四尺与勾股和七尺相减余三尺卽勾数也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己为勾股和自乘方辛丙庚己为股自乘方乙丁壬丙为勾自乘方借一根为股数者卽甲乙也【壬戊己庚皆与甲乙等为一根数】一根自乘得一平方为股自乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方为勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共为十四根【甲乙一根乘甲己和七尺得七根为甲乙庚己长方辛己一根乘己戊和得七根为辛壬戊己长方共十四根】又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也【于甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙丙壬戊己磬折形余乙丁壬丙为勾自乘数今减去十四根乃减去甲乙庚己一长方又减去辛壬戊己一长方是比磬折形多减去辛丙庚己一平方故必加一平方以补多减之数始为乙丁壬丙勾自乘方也】辛丙庚己股自乘数乙丁壬丙勾自乘数相加与自乘之数相等两边各加各减得一平方与七根少十二尺相等者卽辛丙庚己一平方与甲乙庚己七根数相较而少甲乙丙辛之长方十二尺也今不知七根之数又不知一平方之数但知一平方与七根相较之甲乙丙辛长方为十二尺故卽以十二尺为长方积以甲己为长阔和用带纵和数开平方法算之得甲乙长而为股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾和五十尺股和八十一尺问勾股各几何

法借一根为勾数则五十尺少一根为数一根多三十一尺为股数【以五十尺与八十一尺相减余三十一尺为勾股较故一根多三十一尺为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一千五百三十九尺少一百六十二根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以一千五百三十九尺为长方积以一百六十二根作一百六十二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾和五十尺相减余四十一尺卽数以勾九尺与勾股较三十一尺相加得四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和二十三尺勾和二十五尺问勾股各几何

法借一根为勾数则二十三尺少一根为股数二十五尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方为股自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得九十六尺少四根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以九十六尺为长方积四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽勾数以勾八尺与勾股和二十三尺相减余十五尺卽股数以勾八尺与勾和二十五尺相减余十七尺卽数也【此勾股和较相求法】

设如有股和二十五尺勾较八尺问勾股各几何

法借一根为股数则二十五尺少一根为数十七尺少一根为勾数【股和二十五尺内减勾较八尺得一十七尺为勾股和故勾为十七尺少一根】以一根自乘得一平方为股自乘之数以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方为勾自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以勾自乘之数与自乘之数相减得三百三十六尺少一十六根亦为股自乘之数而与股数一根自乘之一平方为相等乃以三百三十六尺为长方积十六根作十六尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽股数以股十二尺与股和二十五尺相减余一十三尺卽数内减勾较八尺余五尺卽勾数也【此勾股和较相求法】

设如有股较一尺勾较三十二尺问勾股各几何

法借一根为勾数则一根多三十二尺为数一根多三十一尺为股数【股较与勾较相减余三十一尺为勾股较故股为一根多三十一尺也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得二根多六十三尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以六十三尺为长方积以二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得长九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾较三十二尺相加得四十一尺卽数内减股较一尺余四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和七十三尺勾较与股较之和三十三尺问勾股各几何

法借一根为勾数则七十三尺少一根为股数五十三尺为数【以勾股和七十三尺加勾较与股较之和三十三尺得一百零六尺卽二数故半之得五十三尺为数也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方为股自乘之数以五十三尺自乘得二千八百零九尺为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺与二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺旣与二平方相等则七十三根少一千二百六十尺必与一平方相等乃以一千二百六十尺为长方积七十三根作七十三尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十八尺为一根之数卽勾数以勾二十八尺与勾股和七十三尺相减余四十五尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股总和一百五十尺勾股较股较勾较共八十尺问勾股各几何

法借一根为勾数则一根多四十尺为数【将三较共八十尺折半得四十尺卽勾较】一百一十尺少二根为股数【总和一百五十尺内减去勾数一根又减去数一根多四十尺得一百一十尺少二根为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺为自乘之数以一百一十尺少二根自乘得一万二千一百尺少四百四十根多四平方为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得五百二十根少三平方又少一万零五百尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加三平方得五百二十根少一万零五百尺与四平方相等五百二十根少一万零五百尺旣与四平方相等则一百三十根少二千六百二十五尺必与一平方相等乃以二千六百二十五尺为长方积以一百三十根作一百三十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十五尺为一根之数卽勾数以勾二十五尺与勾较四十尺相加得六十五尺卽数以勾和九十尺与勾股总和一百五十尺相减余六十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和二十三尺与勾股较之较十尺问勾股各几何

法借一根为勾股较数则一根多十尺为数以一根自乘得一平方为勾股较自乘之数以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数倍之得二平方多四十根又多二百尺内减去勾股较自乘之一平方余一平方多四十根多二百尺为勾股和自乘之数而与勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺为相等两边各减去二百尺得一平方多四十根与三百二十九尺相等乃以三百二十九尺为长方积以多四十根作四十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔七尺为一根之数卽勾股较与勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺为股内减较七尺余八尺为勾又以勾股较七尺与与勾股较之较十尺相加得十七尺为也【此勾股和较相求法】

设如有勾股积一千零八十尺勾股总和一百八十尺问勾股各几何

法借一根为数则一百八十尺少一根为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一百八十尺少一根自乘得三万二千四百尺少三百六十根多一平方为勾股和自乘之数又以勾股积一千零八十尺四因之得四千三百二十尺与自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之三万二千四百尺少三百六十根多一平方为相等【勾股和自乘数内有一自乘方有四勾股积故四因勾股积与自乘之数相加卽与勾股和自乘之数相等也】两边各减四千三百二十尺得二万八千零八十尺少三百六十根多一平方与一平方相等两边各加三百六十根得二万八千零八十尺多一平方与一平方多三百六十根相等两边再各减一平方得三百六十根与二万八千零八十尺相等三百六十根旣与二万八千零八十尺相等则一根必与七十八尺相等卽数以七十八尺与一百八十尺相减余一百零二尺卽勾股和又以自乘得六千零八十四尺与四勾股积四千三百二十尺相减余一千七百六十四尺平方开之得四十二尺卽勾股较与勾股和一百零二尺相减余六十尺折半得三十尺卽勾数加勾股较四十二尺得七十二尺卽股数也【此勾股积与勾股和较相求法】

设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺问勾股各几何

法借一根为数则一根多六尺为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数又以勾股积六十尺四因之得二百四十尺与自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等两边各减去一平方得十二根多三十六尺与二百四十尺相等两边又各减去三十六尺得十二根与二百零四尺相等十二根旣与二百零四尺相等则一根必与十七尺相等卽数加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也【此勾股积与勾股和较相求法】

设如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何

法借一根为中垂线之面积以小腰十尺自乘得一百尺内减去一根得一百尺少一根为小分底之面积【中垂线为股小腰为小分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内减去一根余二百八十九尺少一根为大分底之面积【中垂线为股大腰为大分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根余五十二尺多二根折半得二十六尺多一根为小分底乘大分底之面积【底边自乘内有大分底自乘之一正方小分底自乘之一正方小分底乘大分底之二长方故减去二正方余数折半卽为小分底乘大分底之一长方也】此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二数为相等两边各加三百八十九根得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等两边各减一平方得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等两边再各减去六百七十六尺得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等二万八千二百二十四尺旣与四百四十一根相等则六十四尺必与一根相等卽中垂线之面积开平方得八尺卽中垂线也【此三角形求中垂线法】

设如有三角形底十四尺大腰与中垂线之较三尺小腰与中垂线之较一尺求中垂线及两腰各几何

法借一根为中垂线则大腰为一根多三尺小腰为一根多一尺以一根自乘得一平方为中垂线之面积以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺为大腰之面积内减去中垂线之面积一平方余六根多九尺为大分底之面积以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺为小腰之面积内减去中垂线之面积一平方余二根多一尺为小分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小两分底之共面积八根多十尺余一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二数为相等两边各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等两边各减十二平方得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等两边再各减八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣与四平方相等则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等乃以二千一百六十尺为长方积以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽中垂线加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也【此三角形和较相求法】

御制数理精蕴下编卷三十五

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十六

末部六

借根方比例【体类】

体类

设如有扁方体髙十八尺若将体积加六倍则髙与长阔皆相等问长阔之各一边及体积几何法借一根为长阔之各一边数以一根自乘得一平方为扁方体之面积再以髙十八尺乘之得十八平方为扁方体之体积又以一根与一平方相乘得一立方为扁方体积之六倍乃以扁方体之体积十八平方六因之得一百零八平方是为一立方与一百零八平方相等两边各降二位得一根与一百零八尺相等卽扁方体之长阔各一边数也以一百零八尺自乘得一万一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十万零九千九百五十二尺为扁方体积六因之得一百二十五万九千七百一十二尺与毎边一百零八尺自乘再乘之立方积相等此扁方体边线比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今扁方体之长阔各一边旣与正方体之毎一边等而正方体积为扁方体积之六倍则其髙亦必为六倍故以扁方体之髙数六因之卽得长阔之各一边数也

设如有一长方体髙三尺五寸又有一正方体其每一面积与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍问正方体之一边及体积各几何法借一根为正方体毎边之数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽长方体之底面积以一平方与髙三十五寸相乘得三十五平方为长方体之体积又以一根自乘再乘得一立方为正方体之体积长方体积旣为正方体之五倍乃以一立方五因之得五立方而与三十五平方为相等两边各降二位得五根与三十五寸相等五根旣与三十五寸相等则一根必与七寸相等卽正方体之毎一边之数也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方体之体积又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽长方体之体积为正方体积之五倍此一长方体一正方体同底比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今正方体之每一面积旣与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍则其髙亦必为五倍故长方体之髙之五分之一卽正方体之毎一边之数也

设如有一正方面形又有一正方体形但知正方面毎边为正方体毎边之八倍而正方面积与正方体积相等问边线积数各若干

法借一根为正方体毎边之数则正方面毎边之数为八根以一根自乘再乘得一立方为正方体积以八根自乘得六十四平方为正方面积是为一立方与六十四平方相等两边各降二位得一根与六十四尺相等卽正方体毎边之数八因之得五百一十二尺卽正方面毎边之数以五百一十二尺自乘得二十六万二千一百四十四尺为正方面积以六十四尺自乘再乘亦得二十六万二千一百四十四尺为正方体积两数相等也【此一平方一立方边数积数比例法】

设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于四与六阔与长之比例同于六与九其髙与阔相乘之数为长数之四倍问髙阔长各几何

法借四根为髙数六根为阔数九根为长数以髙四根与阔六根相乘得二十四平方为长数之四倍乃以长数九根四因之得三十六根是为二十四平方与三十六根相等两边各降一位得二十四根与三十六尺相等二十四根旣与三十六尺相等则四根必与六尺相等卽髙数六根必与九尺相等卽阔数九根必与一十三尺五寸相等卽长数以髙六尺与阔九尺相乘得五十四尺四归之得一十三尺五寸与长数相等也【此带两纵不同立方边线面积比例法】

设如有带两纵不同立方体长二十四尺髙与阔和五十二尺其髙与阔相乘之积与长自乘之积等问髙阔各若干

法借一根为髙数则阔数为五十二尺少一根以髙一根与阔五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以长二十四尺自乘得五百七十六尺此二数为相等乃以五百七十六尺为长方积以五十二根作五十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十六尺为一根之数卽立方之髙数与髙阔和五十二尺相减余三十六尺卽立方之阔数以髙十六尺与阔三十六尺相乘得五百七十六尺与长二十四尺自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线与面积比例法】

设如有带两纵不同立方体髙十二寸长比阔多十寸其长与阔相乘之积与髙自乘之积等问长阔各若干

法借一根为阔数则长数为一根多十寸以阔一根与长一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二数为相等乃以一百四十四寸为长方积以十根作十寸为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八寸为一根之数卽立方之阔数加长比阔多十寸得十八寸卽立方之长数以阔八寸与长十八寸相乘得一百四十四寸与髙十二寸自乘之数相等也【此带两纵不同立方边较与面积比例法】

设如有带两纵不同立方体长比阔多四寸阔比髙多二寸其体积比髙自乘再乘之正方体多一百七十六寸问长阔髙各几何

法借一根为髙数则阔数为一根多二寸长数为一根多六寸以髙一根与阔一根多二寸相乘得一平方多二根再以长一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内减髙数一根自乘再乘之一立方余八平方多十二根与一百七十六寸相等八平方多十二根旣与一百七十六寸相等则一平方多一根半必与二十二寸相等乃以二十二寸为长方积以一根半作一寸五分为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四寸为一根之数卽立方之髙数加阔比髙多二寸得六寸卽立方之阔数再加长比阔多四寸得十寸卽立方之长数以长阔相乘以髙再乘得二百四十寸为立方体积内减髙四寸自乘再乘之六十四寸余一百七十六寸以合原数也【此带两纵不同立方边较与积较比例法】

设如一长方池深二十尺长阔和六十尺其体积一万七千二百八十尺问长阔各若干

法借一根为阔数则长数为六十尺少一根以阔一根与长六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方与一万七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣与一万七千二百八十尺相等则六十根少一平方必与八百六十四尺相等乃以八百六十四尺为长方积以六十根作六十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四尺为一根之数卽池之阔数与长阔和六十尺相减余三十六尺卽池之长数以长阔相乘以深再乘得一万七千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边和相求法】

设如一长方池深三十尺长比阔多十尺其体积七万一千二百八十尺问长阔各若干

法借一根为阔数则长数为一根多十尺以阔一根与长一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根与七万一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣与七万一千二百八十尺相等则一平方多十根必与二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺为长方积以十根作十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四十四尺为一根之数卽池之阔数加长比阔多十尺得五十四尺卽池之长数也以长阔相乘以深再乘得七万一千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边较相求法】

设如有带两纵不同立方体长阔髙共五十八尺长比阔多六尺其对角斜线自乘之数为一千一百五十六尺问长阔髙各几何

法借一根为阔数则长数为一根多六尺以长阔两数相加得二根多六尺与长阔髙共五十八尺相减余五十二尺少二根为髙数以阔一根自乘得一平方为阔自乘之数以长一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为长自乘之数以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方为髙自乘之数三自乘数相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方与对角线自乘之一千一百五十六尺相等两边各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方与一千一百五十六尺多一百九十六根相等两边各减一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方与一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣与一百九十六根相等则二百六十四尺多一平方必与三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺为长方积以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四为长阔和用带纵和数开平方法算之得长十八尺为一根之数卽立方之阔加长比阔多六尺得二十四尺卽立方之长长阔相加得四十二尺与长阔髙共五十八尺相减余十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以阔十八尺自乘得三百二十四尺以长二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘数相加得一千一百五十六尺与对角斜线自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线面积和较相求法】

设如有带两纵不同立方体其长阔髙为相连比例三率长为首率阔为中率髙为末率共五十七寸其六面积共二千零五十二寸问长阔髙各几何法借一根为长数则阔髙之共数为五十七寸少一根又以六面积共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸为三面积共数以长阔髙共五十七寸除之得一十八寸为阔数【因长为首率阔为中率髙为末率故其三面积一为首率乘中率一为末率乘中率一为首率乘末率而首率乘末率之数与中率自乘之数等则此三而积相合卽为首率中率末率之共数乘中率之数矣故以长阔髙之共数除之卽得中率为阔也】以阔一十八尺与阔髙之共数五十七寸少一根相减余三十九寸少一根为髙数乃以首率长一根与末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方与中率阔十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸为长方积以三十九根作三十九寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得长二十七寸为一根之数卽立方之长数与髙长和三十九寸相减余一十二寸卽立方之髙数以长二十七寸与阔十八寸之比同于阔十八寸与髙十二寸之比为相连比例三率也【此带两纵不同立方边线面积相和比例法】

设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于一与二阔与长之比例同于二与三以髙自乘再乘之数与阔自乘再乘之数相加比原体积多一千零二十九寸问长阔髙各几何

法借一根为髙数则阔数为二根长数为三根以阔二根与长三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方为原体积又以髙一根自乘再乘得一立方以阔二根自乘再乘得八立方相并得九立方内减原体积六立方余三立方与一千零二十九寸相等三立方旣与一千零二十九寸相等则一立方必与三百四十三寸相等乃以三百四十三寸开立方得七寸为一根之数卽立方之髙数倍之得十四寸卽立方之阔数三因之得二十一寸卽立方之长数以长二十一寸与阔十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸为原体积又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸阔十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相并得三千零八十七寸与原体积相减余一千零二十九寸以合原数也【此带两纵不同立方边线体积比例法】

设如有甲乙丙三正方体甲方边与乙方边之比例同于二与三乙方积比甲方积多一百五十二寸丙方积比乙方积多七百八十四寸问三正方体之边数各若干

法借二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为三根以二根自乘再乘得八立方为甲方之体积以三根自乘再乘得二十七立方为乙方之体积两体积相减余一十九立方与一百五十二寸相等十九立方旣与一百五十二寸相等则一立方必与八寸相等乃以八寸开立方得二寸为一根之数倍之得四寸卽甲方毎边之数三因之得六寸卽乙方毎边之数自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸开立方得十寸卽丙方毎边之数也【此三正方体边线体积比例法】

设如有带两纵不同立方体髙比阔为五分之一阔比长亦为五分之一体积六十一万四千一百二十五尺问髙阔长各几何

法借一根为髙数则阔数为五根长数为二十五根以阔五根与长二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方与六十一万四千一百二十五尺相等一百二十五立方旣与六十一万四千一百二十五尺相等则一立方必与四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺开立方得十七尺为一根之数卽立方之髙以五乘之得八十五尺卽立方之阔以二十五乘之得四百二十五尺卽立方之长也乃以长阔相乘得三万六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一万四千一百二十五尺以合原数也【此带分比例开立方法】

设如有一大长方体其阔三倍于髙其长三倍于阔又有一小长方体比大长方体髙为二分之一阔为三分之二长为九分之七小长方体积二万三千六百二十五寸问大小二长方体之长阔髙各几何

法借一根为大长方体之髙则大长方体之阔为三根大长方体之长为九根小长方体之髙为半根小长方体之阔为二根小长方体之长为七根乃以长七根与阔二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方为小长方体积与二万三千六百二十五寸相等七立方旣与二万三千六百二十五寸相等则一立方必与三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸开立方得十五寸为一根之数卽大长方体之髙三因之得四十五寸卽大长方体之阔又以三因之得一百三十五寸卽大长方体之长以大长方体之髙折半得七寸五分卽小长方体之髙以大长方体之阔三归二因得三十寸卽小长方体之阔以大长方体之长九归七因得一百零五寸卽小长方体之长以小长方体之长阔相乘再以髙乘之得二万三千六百二十五寸以合原数也【此带分比例开立方法】

设如有人买马三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次马数四分之一与第二次马数之一半相乘又与第一次马数三分之一相乘得六千五百六十一匹问三次所买马数各若干

法借三根为第一次买马之数【第一次分母数】则第二次买马之数为六根第三次买马之数为十二根以第三次四分之一三根与第二次之一半三根相乘得九平方又与第一次三分之一一根相乘得九立方与六千五百六十一匹相等九立方旣与六千五百六十一匹相等则一立方必与七百二十九匹相等乃以七百二十九匹开立方得九匹为一根之数三因之得二十七匹为第一次买马之数倍之得五十四匹为第二次买马之数又倍之得一百零八匹为第三次买马之数以第三次四分之一二十七匹与第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原数也【此带分比例开立方法】

设如有马牛羊各不知数但知牛数比马数多四羊数与马牛相乘之数等马毎匹之价与牛数等牛毎头之价与马数等羊毎只之价比马毎匹价少十两而羊之共价为一百九十二两问马牛羊及价银各若干

法借一根为马数则牛数为一根多四以马数一根与牛数一根多四相乘得一平方多四根为羊数马价与牛数等为一根多四两则羊价为一根少六两以羊数一平方多四根与羊价一根少六两相乘得一立方少二平方少二十四根为羊之共价与一百九十二两相等乃以一百九十二两为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得八为一根之数卽马数亦卽牛毎头之价为八两也加牛比马多四得十二为牛数亦卽马毎匹之价为十二两也以马数八与牛数十二相乘得九十六为羊数以羊数九十六归除羊共价一百九十二两得二两为羊毎只价比马一匹之价少十两也【此磬折扁方体求边法】

设如有马骡运重其共马数比马毎匹所防之数多二十骡毎匹所防之数比共马数多三十其共骡数与马所防之共数等但知骡共防一千一百万斤问马数骡数及所防之斤数各若干

法借一根为共马数则马毎匹所防之斤数为一根少二十斤骡毎匹所防之数为一根多三十斤以共马数一根与马毎匹防一根少二十斤相乘得一平方少二十根为马所防之共数亦卽共骡数再以骡毎匹防一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根为骡所防之共数与一千一百万斤相等乃以一千一百万斤为磬折长方体积用带纵开立方法算之得二百二十为一根之数卽共马数减二十余二百斤为马毎匹所防之数以共马二百二十匹与马毎匹所防之二百斤相乘得四万四千斤为马所防之共数亦卽共骡数以共骡四万四千匹归除一千一百万斤得二百五十斤为骡毎匹所防之数比共马数二百二十多三十也【此磬折长方体求边法】

设如有大小二正方体边数共二尺六寸体积共五千零九十六寸问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以二十六寸少一根自乘再乘得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方为大方之体积两体积相加得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方与五千零九十六寸相等两边各加二千零二十八根得一万七千五百七十六寸多七十八平方与五千零九十六寸多二千零二十八根相等两边各减五千零九十六寸得一万二千四百八十寸多七十八平方与二千零二十八根相等一万二千四百八十寸多七十八平方旣与二千零二十八根相等则一百六十寸多一平方必与二十六根相等乃以一百六十寸为长方积以二十六根作二十六寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十寸为一根之数卽小方毎边之数与共边二十六寸相减余一十六寸卽大方毎边之数以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之体积以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸卽大方之体积两体积相加共五千零九十六寸以合原数也【此二正方体有边和积和求边法】

设如有大小二正方体大方边比小方边多四尺大方积比小方积多一千二百一十六尺问二正方体边数体积各几何

法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多四尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺为大方之体积两体积相减得十二平方多四十八根多六十四尺与一千二百一十六尺相等两边各减六十四尺得十二平方多四十八根与一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根旣与一千一百五十二尺相等则一平方多四根必与九十六尺相等乃以九十六尺为长方积以四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽小方每边之数加四尺得一十二尺卽大方毎边之数以八尺自乘再乘得五百一十二尺卽小方之体积以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺卽大方之体积两体积相减余一千二百一十六尺以合原数也【此二正方体有边较积较求边法】

设如有大小二正方体大方边比小方边多二尺体积共一千零七十二尺问二正方体边数体积各几何

法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺为大方之体积两体积相加得二立方多六平方多十二根多八尺与一千零七十二尺相等两边各减去八尺得二立方多六平方多十二根与一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根旣与一千零六十四尺相等则一立方多三平方多六根必与五百三十二尺相等乃以五百三十二尺为磬折长方体积用带纵开立方法算之得七尺为一根之数卽小方毎边之数加二尺得九尺卽大方每边之数以七尺自乘再乘得三百四十三尺卽小方之体积以九尺自乘再乘得七百二十九尺卽大方之体积两体积相加得一千零七十二尺以合原数也【此二正方体有边较积和求边法】

设如有大小二正方体边数共十四尺大方比积小方积多二百九十六尺问二正方体之边数体积各几何

法借一根为小方每边之数则大方每边之数为十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方为大方之体积两体积相减得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方与二百九十六尺相等两边各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺与二千七百四十四尺多四十二平方相等两边各减去二百九十六尺又各减去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根与二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根旣与二千四百四十八尺相等则一立方少二十一平方多二百九十四根必与一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得六尺为一根之数卽小方毎边之数与共边数十四尺相减余八尺卽大方每边之数以六尺自乘再乘得二百一十六尺为小方之体积以八尺自乘再乘得五百一十二尺为大方之体积两体积相减余二百九十六尺以合原数也【此二正方体有边和积较求边法】

设如勾股积二百四十尺股较四尺问勾股各几何

法借一根为股数则为一根多四尺以一根自乘得一平方为股自乘之数以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺为自乘之数内减去股自乘之一平方余八根多十六尺为勾自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺与末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为八立方多十六平方与二十三万零四百尺相等八立方多十六平方旣与二十三万零四百尺相等则一立方多二平方必与二万八千八百尺相等乃以二万八千八百尺为长方体积用带纵开立方法算之得三十尺为一根之数卽股数加股较四尺得三十四尺卽数又以股三十尺除倍积四百八十尺得十六尺卽勾数也【此有勾股积有股较求勾股法】

设如勾股积二百四十尺勾和五十尺问勾股各几何

法借一根为勾数则为五十尺少一根以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数内减去勾自乘之一平方余二千五百尺少一百根为股自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率则以首率勾自乘之一平方与末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为二千五百平方少一百立方与二十三万零四百尺相等二千五百平方少一百立方旣与二十三万零四百尺相等则一平方少二十五分立方之一必与九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸为扁方体积用带纵开立方法算之得一十六尺为一根之数卽勾数与勾和五十尺相减余三十四尺卽数又以勾十六尺除倍积四百八十尺得三十尺卽股数也【此有勾股积有勾和求勾股法】

设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何

法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率又以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方【因四率为百亿分立方之一以百亿乘之则得一整立方故将余三率俱以百亿乘之其比例始相当也】乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百亿根是为三百亿根与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得三百亿根少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以三百亿根为法用割圜内新增益实归除法算之得三万四千七百二十九为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万二千零六十一为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得四千一百八十七为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零四千一百八十七与二率之三倍相等也【此卽求圜内容十八边法】

设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何

法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百亿根加一三率得二百亿根多十万平方是为二百亿根多十万平方与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得二百亿根多十万平方少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以二百亿根为法用割圜内益实兼减实归除法算之得四万四千五百零四为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万九千八百零六为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得八千八百一十四为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零八千八百一十四与二率两倍加一三率之数相等也【此卽求圜内容十四边法】

设如有大小二正方面大方毎边为小方毎边之二倍若以两面积相乘得五万八千五百六十四尺问二方边面积各几何

法借一根为小方毎边之数则大方毎边数为二根以一根自乘得一平方为小方之面积以二根自乘得四平方为大方之面积以一平方与四平方相乘得四三乘方为两方面积相乘之数与五万八千五百六十四尺相等四三乘方旣与五万八千五百六十四尺相等则一三乘方必与一万四千六百四十一尺相等乃以一万四千六百四十一尺为三乘方积用开三乘方法算之得十一尺为一根之数卽小方每边之数倍之得二十二尺卽大方每边之数以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面积以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面积两面积相乘得五万八千五百六十四尺以合原数也【此开三乘方法】

设如有解钱粮船不言数但知每船所载银鞘之数比船数加一倍每鞘内银数与共鞘数等其共银数为五百三十四万五千三百四十四两问船数鞘数各若干

法借一根为船数则每船所载鞘数为二根以一根与二根相乘得二平方为共鞘数亦为每鞘内银数自乘得四三乘方与五百三十四万五千三百四十四两相等四三乘方旣与五百三十四万五千三百四十四两相等则一三乘方必与一百三十三万六千三百三十六两相等乃以一百三十三万六千三百三十六两为三乘方积用开三乘方法算之得三十四为一根之数卽船数倍之得六十八卽每船之鞘数以船数三十四与每船所载鞘数六十八相乘得二千三百一十二为共鞘数亦卽每鞘内之银数自乘得五百三十四万五千三百四十四两以合原数也【此开三乘方法】

设如有一正方又有一长方二方面积共二十三万六千一百九十六尺长方之长比正方面积多二十四尺长方之阔比正方面积少二十尺问二方边面积各几何

法借一根为正方每边之数自乘得一平方为正方之面积则长方之长为一平方多二十四尺长方之阔为一平方少二十尺长阔相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺为长方面积加正方面积之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺为二方之共面积与二十三万六千一百九十六尺相等两边各加四百八十尺得一三乘方多五平方与二十三万六千六百七十六尺相等乃以二十三万六千六百七十六尺为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得二十二为一根之数卽正方每边之数自乘得四百八十四尺为正方面积加二十四尺得五百零八尺为长方之长减二十尺得四百六十四尺为长方之阔长阔相乘得二十三万五千七百一十二尺为长方面积两面积相加得二十三万六千一百九十六尺以合原数也【此带纵开三乘方法】

设如有一长方其面积五百二十七丈又有大小二正方其面积共一千二百五十丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等问长方之长阔各几何

法借一根为大方每边之数自乘得一平方为大方之面积则小方之面积为一千二百五十丈少一平方此大方面积与长方面积及小方面积为相连比例三率乃以首率大方面积一平方与末率小方面积一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以长方面积五百二十七丈为中率自乘得二十七万七千七百二十九丈此两数为相等乃以二十七万七千七百二十九丈为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得三十一为一根之数卽大方每边之数亦卽长方之长以长三十一丈除长方面积五百二十七丈得十七丈卽长方之阔亦卽小正方每边之数乃以三十一丈自乗得九百六十一丈为大方面积以十七丈自乘得二百八十九丈为小方面积两面积相加得一千二百五十丈以合原数也【此带纵开三乘方法】

设如有一方台俱系正方石砌成其用石之块数与每一石之面积等其共石之体积为五十三万七千八百二十四寸问用石之块数及每一石之边数若干

法借一根为每一石之边数自乘得一平方为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得一立方为每一石之体积与所用石之块数一平方相乘得一四乘方为共石之体积与五十三万七千八百二十四寸相等乃以五十三万七千八百二十四寸为四乘方积用开四乘方法算之得一十四寸为一根之数卽每一石之边数自乘得一百九十六寸为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得二千七百四十四寸为每一石之体积与所用石之块数相乘得五十三万七千八百二十四寸以合原数也【此开四乘方法】

设如有二十四正方体又有一扁方体共积八百二十九万四千四百寸扁方体之髙与正方体之边数等扁方体之长与阔俱与正方体之面积等问正方体扁方体之边数各若干

法借一根为正方体每边之数亦卽扁方体之髙数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一立方为正方体之积以二十四乘之得二十四立方为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方为扁方体之积两积数相加得一四乘方多二十四立方与共体积八百二十九万四千四百寸相等乃以八百二十九万四千四百寸为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得二十四寸为一根之数卽正方体之每边亦卽扁方体之髙自乘得五百七十六寸为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一万三千八百二十四寸为一正方体之积以二十四乘之得三十三万一千七百七十六寸为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六万二千六百二十四寸为一扁方体积两积相加得八百二十九万四千四百寸以合原数也【此带纵开四乘方法】

设如有商人贸易第一次之银数比原本银加一倍第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等第三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之数等将第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两问原本银数及每次银数各若干

法借一根为原本银数则第一次之银数为二根自乘再乘得八立方为第二次之银数以第一次自乘之四平方与第二次之八立方相乘得三十二四乘方为第三次之银数与第二次之银数八立方相加得三十二四乘方多八立方与三万三千二百八十两相等三十二四乘方多八立方旣与三万三千二百八十两相等则一四乘方多四分立方之一必与一千零四十两相等乃以一千零四十两为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得四两为一根之数卽原本银数也倍之得八两为第一次之银数自乘再乘得五百一十二两为第二次之银数又以第一次银数八两自乘之六十四两与第二次之银数五百一十二两相乘得三万二千七百六十八两为第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两以合原数也【此带纵开四乘方法】

设如有一小长方体阔为髙之二倍长为髙之三倍又有一大长方体其每边之比例与小长方体同其髙数与小长方体长阔相乘之数等体积八万二千九百四十四尺问二长方体长阔髙各几何法借一根为小长方体之髙则阔为二根长为三根长阔相乘得六平方为大长方体之髙倍之得十二平方为大长方体之阔三因之得十八平方为大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方为大长方体积与八万二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方旣与八万二千九百四十四尺相等则一五乘方必与六十四尺相等乃以六十四尺为五乘方积用开五乘方法算之得二尺为一根之数卽小长方体之髙倍之得四尺卽小长方体之阔三因之得六尺卽小长方体之长长阔相乘得二十四尺卽大长方体之髙倍之得四十八尺卽大长方体之阔三因之得七十二尺卽大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得八万二千九百四十四尺以合原数也【此开五乘方法】

设如有大小二正方体大方体积比小方体积多一千七百四十四寸以小方边与大方边相乘得一百四十寸问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方体每边之数以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积数以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四万四千寸为大方体积内减小方体积一立方余一立方之二百七十四万四千寸少一立方与一千七百四十四寸相等两边各以立方乘之得一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸少一五乘方相等两边各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸相等乃以二百七十四万四千寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得十寸为一根之数卽小方体每边之数以十寸除一百四十寸得一十四寸卽大方体每边之数以小方体每边十寸自乘再乘得一千寸为小方体积以大方体每边十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸为大方体积两体积相减余一千七百四十四寸以合原数也【此带纵开五乘方法】

设如有大小二正方体共积四千一百二十三寸以小方边与大方边相乘得四十八寸问二正方体之边数体积各几何

法借一根为小方体每边之数以一根除四十八寸得一根之四十八寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一万零五百九十二寸为大方体积两体积相加得一立方多一立方之一十一万零五百九十二寸与四千一百二十三寸相等两边各以立方乘之得四千一百二十三立方与一五乘方多一十一万零五百九十二寸相等两边各减一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方与一十一万零五百九十二寸相等乃以一十一万零五百九十二寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得三寸为一根之数卽小方体每边之数以三寸除四十八寸得十六寸为大方体每边之数以小方体每边三寸自乘再乘得二十七寸为小方体积数以大方体每边十六寸自乘再乘得四千零九十六寸为大方体积数两体积相加得四千一百二十三寸以合原数也【此带纵开五乘方法】

设如有一长方体积二千一百八十七尺其髙数自乘与阔等阔数自乘与长数等问髙阔长各若干法借一根为髙自乘得一平方为阔以阔自乘得一三乘方为长长阔相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方为长方体积与二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺为六乘方积用开六乘方法算之得三尺为一根之数卽长方之髙自乘得九尺卽长方之阔以阔自乘得八十一尺为长方之长乃以长阔相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原数也【此开六乘方法】

设如甲丙正方花园二所园中各有正方水池一面甲池每边为丙池每边之三倍甲园每边与甲池之面积等丙园每边与丙池之面积等若以两园之面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺问园池每边各若干

法借一根为丙池每边之数则甲池每边之数为三根以一根自乘得一平方为丙池之面积卽丙园每边之数自乘得一三乘方为丙园之面积以三根自乘得九平方为甲池之面积卽甲园每边之数自乘得八十一三乘方为甲园之面积两园之面积相乘得八十一七乘方与五百三十万八千四百一十六尺相等八十一七乘方旣与五百三十万八千四百一十六尺相等则一七乘方必与六万五千五百三十六尺相等乃以六万五千五百三十六尺为七乘方积用开七乘方法算之得四尺为一根之数卽丙池每边之数三因之得十二尺卽甲池每边之数以甲池每边十二尺自乘得一百四十四尺为甲池之面积卽甲园每边之数以丙池每边四尺自乘得一十六尺为丙池之面积卽丙园每边之数以甲园每边一百四十四尺自乘得二万零七百三十六尺卽甲园之面积以丙园每边十六尺自乘得二百五十六尺卽丙园之面积乃以两园面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺以合原数也【此开七乘方法】

设如有甲乙丙三长方体甲方之髙为阔二分之一乙方之髙与阔为甲方之二倍丙方之髙与阔为甲方之三倍俱不知长甲方体积与面积自乘之数等乙方之体积与髙阔相并乘甲方面积之数等丙方之体积与乙方体积自乘再乘之数等今但知丙方体积八十八万四千七百三十六丈问三方髙阔长各若干

法借一根为甲方之髙则甲方之阔为二根乙方之髙亦为二根乙方之阔为四根丙方之髙为三根丙方之阔为六根以甲方髙一根与阔二根相乘得二平方卽甲方之面积自乘得四三乘方卽甲方之体积乙方髙二根与阔四根相并得六根与甲方面积二平方相乘得十二立方卽乙方之体积自乘再乘得一千七百二十八八乘方卽丙方之体积与八十八万四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方旣与八十八万四千七百三十六丈相等则一八乘方必与五百一十二丈相等乃以五百一十二丈为八乘方积用开八乘方法算之得二丈为一根之数卽甲方之髙倍之得四丈卽甲方之阔髙阔相乘得八丈卽甲方之面积自乘得六十四丈卽甲方之体积又将甲方髙二丈倍之得四丈卽乙方之髙将甲方阔四丈倍之得八丈卽乙方之阔髙阔相并得一十二丈与甲方面积八丈相乘得九十六丈卽乙方之体积又以髙四丈阔八丈相乘得三十二丈以除体积九十六丈得三丈卽乙方之长又将甲方髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙将甲方阔四丈三因之得一十二丈卽丙方之阔以乙方体积九十六丈自乘再乘得八十八万四千七百三十六丈卽丙方之体积又髙六丈阔十二丈相乘得七十二丈以除体积八十八万四千七百三十六丈得一万二千二百八十八丈卽丙方之长也【此开八乘方法】

设如有客船不言数但云每船之人数与船数等每人之本银数与船数自乘再乘之数等其共银自乘之数为六千零四十六万六千一百七十六两问船数人数各若干

法借一根为船数亦为每船之人数以一根自乘得一平方为共人数再乘得一立方为每人本银数与一平方相乘得一四乘方为共银数以一四乘方自乘得一九乘方为本银自乘之数与六千零四十六万六千一百七十六两相等乃以六千零四十六万六千一百七十六为九乘方积用开九乘方法算之得六为一根之数卽船数亦卽每船之人数自乘得三十六为共人数再乘得二百一十六为每人之银数以三十六人乘之得七千七百七十六两为共银数自乘得六千零四十六万六千一百七十六两以合原数也【此开九乘方法】

御制数理精蕴下编卷三十六

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十七

末部七

难题

难题

算术之学不外于线面体其间比例相求或借根借方等法既已分门别类于前然设问中有纡廻繁襍之不同者非审详明辨则何以得其统绪兹又探赜钩深编为难题一卷俾学者殚思观变以不迷于入算之方庶几数理之微人心之巧由此引而伸之触类而长之将以穷天下之变亦不难也

设如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次问三人何日同班

法以三日与四日相乘得十二日再与五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十为三四五皆可以度尽之数三与四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能与丙同班三与五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能与乙同班四与五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能与甲同班惟六十日为甲第二十次值班之日为乙第十五次值班之日为丙第十二次值班之日故为三人同班之日也

设如有钱不知总数以三数之余二文以五数之余三文以七数之亦余二文问钱总数几何

法先以三数之率定为七十五数之率定为二十一七数之率定为十五乃以三数之率七十与余二相乘得一百四十以五数之率二十一与余三相乘得六十三以七数之率十五与余二相乘得三十三数相并得二百三十三又以三五七递乘得一百零五于二百三十三内减两次余二十三即总钱数也此法以三数之率定为七十者以其用七数五数皆尽惟用三数之余一也今以余二相乘得一百四十则是用七数五数皆尽惟用三数之余二矣以五数之率定为二十一者以其用三数七数皆尽惟用五数之余一也今以余三相乘得六十三则是用三数七数皆尽惟用五数之余三矣以七数之率定为十五者以其用三数五数皆尽惟用七数之余一也今以余二相乘得三十则是用三数五数皆尽惟用七数之余二矣以此三数相并自为三数余二五数余三七数余二之数又以三五七递乘得一百零五者此数用三五七皆可数尽故二百三十三虽为三数余二五数余三七数余二之数然减去一百零五余一百二十八以三五七数之其所余之数仍同也即再减去一百零五余二十三以三五七数之其所余之数亦同也是以问数在一百零五以下必二十三如问数在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原数更在二百三十三以上则递加一百零五求之必有合也至其作率之法不过一乘一减如以三五七命算则以五七相乘得三十五以三减之余二不可为率以其所余为二难与他数相乘也故将三十五倍之得七十以三减之余一故七十即为三数之率三七相乘得二十一以五减之余一故二十一即为五数之率三五相乘得一十五以七减之余一故十五即为七数之率或以五数七数九数命算皆仿此例推之

设如三人治田一人日耘七亩一人日耕三亩一人日种五亩今令一人自耕自种自耘问一日治田几何

法以七亩三亩五亩连乘得一百零五亩为治田总衰数以每日耘七亩除之得十五日为耘田衰数以每日耕三亩除之得三十五日为耕田衰数以每日种五亩除之得二十一日为种田衰数三数相并得七十一日为一率一百零五亩为二率一日为三率得四率一亩四分七厘有余即每日自耕自种自耘之数也此法葢因一日耘七亩则一百零五亩湏耘十五日一日耕三亩则一百零五亩湏耕三十五日一日种五亩则一百零五亩湏种二十一日并之得七十一日是一人自耕自种自耘治田一百零五亩即知一日治田一亩四分七厘有余也

设如甲乙二人甲借乙本银一千二百両已经还讫仍欠四月利银今乙又借甲银八百両欲与前利银抵兑问得月数几何

法以今借银八百両为一率原借银一千二百両为二率原欠利银四月作一百二十日为三率得四率一百八十日以三十日归之得六月为所求之日数也葢甲借乙之银数多故月数少乙借甲之银数少故月数多而其利相等为转比例四率也

设如原买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸价一钱一分七厘今买大布一疋长二丈五尺阔一尺六寸问价几何

法以原布长一丈八尺阔一尺三寸相乘得二十三尺四十寸为一率价一钱一分七厘为二率今布长二丈五尺阔一尺六寸相乘得四十尺为三率求得四率二钱即今布之价也凡物惟长不同或惟阔不同则各以其长阔为比例今长阔俱不同故以其长阔各相乘为面与面之比例也

设如有银三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両问四人各得银数几何

法先以总银三百九十六両内减去甲多十両丙多八両余三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両为各分之总银数乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四连乘之得一百二十为总衰数于总衰一百二十内取二分之一得六十为甲衰取五分之三得七十二为乙衰取三分之一得四十为丙衰取四分之一得三十为丁衰并之得二百零二衰为一率以各分总银数四百零四両为二率一衰为三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之银数用乙衰七十二乘之得一百四十四両内减所少二十両余一百二十四両即乙所分之银数用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之银数用丁衰三十乘之得六十両减所少六両余五十四両即丁所分之银数将四人所分之银并之得三百九十六両以合原数也

设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八十両甲原出本银三千両至满八月収回一千両至满十九月又添一千二百两乙原出本银二千四百両至满六月収回八百両至满十五月又添一千四百両丙原出本银二千両满七月悉収回至满十七月别出本银一千六百両问各人分得利银若干

法以甲本银三千両与八月相乘【满八月収回一千両是八月以前皆为三千両】得二万四千両又以収回一千両与原本银三千両相减余二千両以八月与十九月相减余十一月【八月収回一千両余二千両十九月后方添一千二百両则是八月以后十九月以前此十一月皆为二千両】以十一月与二千両相乘得二万二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月与二年之二十四月相减余五月【十九月后添一千二百両是十九月以后二十四月以前此五月皆为三千二百両】以五月与三千二百両相乘得一万六千両以三得数相并共六万二千両为甲之共衰数乙本银二千四百両与六月相乘【满六月収回八百両是六月以前皆为二千四百両】得一万四千四百両又以収回八百両与原本银二千四百両相减余一千六百両以六月与十五月相减余九月【六月后収回八百両余一千六百両十五月后方添一千四百両是六月以后十五月以前此九月皆为一千六百両】以九月与一千六百両相乘得一万四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月与二年之二十四月相减余九月【十五月后添一千四百両是十五月以后二十四月以前此九月皆为三千両】以九月与三千両相乘得二万七千両三数相并共五万五千八百両为乙之共衰数丙本银二千両与七月相乘【满七月悉収回则七月以前皆为二千両】得一万四千両又以十七月与二十四月相减余七月与别出本银一千六百両相乘【七月悉収回不算外至第十七月方出本一千六百両是十七月以后二十四月以前止七月也】得一万一千二百両二数相并共二万五千二百両为丙之共衰数以甲乙丙三衰数相并【甲六万二千乙五万五千八百丙二万五千二百】共得一十四万三千両为一率总利银八千五百八十両为二率一両为三率求得四率六分以各人衰数乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両为各人所得利银之数也

设如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重几何

法用一木杆结系于中両端令平乃以大石挂于一端以小石作砣称之如大石距提系一寸小石距提系六寸得平则以一寸为一率小石重四両为二率六寸为三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙为大石距提系一寸甲丙为小石距提系六寸丁为大石戊为小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙与戊小石之比同于甲丙与丁大石之比也

设如有银大小二锭共重十五両求大小锭各重几何

法用一木杆结系于中両端令平乃以大锭小锭各挂一端如大锭距提系四寸小锭距提系六寸得平则以四寸六寸相加得十寸为一率共重十五両为二率大锭距提系四寸为三率得四率六両即小锭之重如以小锭距提系六寸为三率则得四率九両即大锭之重也如圗甲乙为大锭距提系四寸甲丙为小锭距提系六寸故以甲乙甲丙共分与丁戊共重之比同于甲乙与戊小锭之比亦同于甲丙与丁大锭之比也

设如以戥称银戥数不足将砣上加四两称之得二百两原砣重八两问银实重几何

法以原砣重八两爲一率又以原砣八两与加四两相并得十二两爲二率以今称二百两爲三率得四率三百两爲原银之重数也如图甲乙爲二百两之分丙爲砣重十二两试将甲乙戥衡引长至丁甲丁爲三百两之分戊爲原砣重八两甲乙乗丙砣卽与甲丁乗戊砣之数等故以戊砣与甲乙之比同于丙砣与甲丁之比爲转比例四率也

设如戥子失去坠砣欲配一砣不知轻重以重三两之物用六钱之砣称之得四两问原砣重几何法以原重三两爲一率今称得四两爲二率今砣重六钱爲三率求得四率八钱卽原砣之重也如图甲乙爲戥盘距提系之分丙爲物重甲丁爲三两之分戊为原砣甲己为四両之分庚为今砣以比例论之甲乙与戊砣之比同于甲丁与丙重之比又甲乙与庚砣之比同于甲己与丙重之比是甲丁乘戊砣即与甲己乘庚砣之数等故以甲丁与庚砣之比即同于甲己与戊砣之比为转比例四率也

设如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水几何

法以木板一块置于水面用騐时仪坠子候之看六十秒内木板流逺几丈如流逺十丈即以十丈变为一百尺乃以河上寛十尺与下寛六尺相加折半得八尺与河深五尺相乘得四十尺又与木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之数又以六十秒収为一分为一率水流四千尺为二率以每日二十四小时化为一千四百四十分【一小时为四刻一刻为十五分】为三率求得四率五千七百六十万尺即一日内所流之数也此法先用木板以騐所流之缓急水急则木随水流亦急水缓则木随水流亦缓看木之缓急即知水流之多少故先求得河口面积再以逺乘之即得水流之积数也

设如有房一所不知间数亦不知房价但云每房六间每年租银二十四両五年后适得本银每房八间每年租银三十五両八年后得本银外又得利银二千一百六十両问房数房价各几何

法以五年与每年二十四両相乘得一百二十両以八年与每年三十五両相乘得二百八十両是为每房六间租一百二十両适足每房八间租二百八十両盈二千一百六十両乃以六间互乘二百八十両得一千六百八十両以八间互乘一百二十両得九百六十両相减余七百二十両为一率以六间与八间相乘得四十八间为二率以利银二千一百六十両为三率得四率一百四十四间即房之总数也又以六间为一率五年得一百二十両为二率总房一百四十四间为三率得四率二千八百八十両即房价或以八间为一率八年得二百八十両为二率总房一百四十四间为三率得四率五千零四十両内减利银二千一百六十両亦得二千八百八十両为房价也此法葢因五年八年之数不同故以五年八年与每年银数相乘作总得租银算也

设如有银买物不知银数亦不知物价但云取银六分之五买之则多六両取银四分之三买之仍多二両问银数及物价各几何

法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十相减余二分为一率盈六両与盈二両相减余四両为二率両分母互乘得二十四分为三率求得四率四十八両即为银数取六分之五为四十両减盈六两得三十四両为物价或取四分之三得三十六両减盈二両亦得三十四両为物价也

又先得物价之法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両为加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両为加二十倍乃以十八倍与二十倍相减余二倍为一率互乘所得両盈数相减余六十八両为二率一倍为三率求得四率三十四両即物价加盈六両得四十両即原银六分之五乃用五归六因得四十八両为原银数或于物价三十四両加盈二両得三十六両即原银四分之三乃用三归四因亦得四十八両为原银数也此盈朒单法因带分母子不同故用通分互乘以齐其分耳

设如有银买米不知米数亦不知米价只云买米四分之一用银二十両则米少一石若买三分之一用银二十四両则米多二石问米数及米价各几何

法以前分母四互乘得分子一得四以后分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得后分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也既得米价乃以八钱除二十両得二十五石减朒一石余二十四石为米四分之一以四因之得九十六石即米数或以八钱除二十四両得三十石加盈二石得三十二石为米三分之一以三因之亦得九十六石为米数也葢以分母互乘前则为十二分之三后则为十二分之四【両分母互乘得十二】又以分子互乘前则为米十二分【両分子互乘亦得十二分】用银八十两朒四石后则为米十二分用银七十二両盈六石夫米之分数既同而银差八両则盈朒差十石故知十石价八両即知一石价八钱也此防套盈朒之法但有米之分数又有石数故立法微不同若止带零分则惟用通分法余俱与防套盈朒之法同

又先得米数之法以银数列于上分数列于下乃以前分母四互乘后分子一得四以后分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘后所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分与八十分相减余八分为一率朒二十四石与盈四十石相加得六十四石为二率両分母互乘得十二分为三率求得四率九十六石即原米数也既得米数四归之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八钱为米价或将米数三归之得三十二石减盈二石余三十石以除二十四両亦得八钱为米价也葢用互乘前则为四百八十両【二十両与二十四両互乘得四百八十両】买米十二分之七十二朒二十四石后则为四百八十両买米十二分之八十盈四十石夫银数既同而米差八分则盈朒相差六十四石故知八分为六十四石即知十二分为九十六石也

又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石【因四分之一价二十両故用四因为米总价】又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石【因三分之一价二十四両故用三因为米总价】作盈朒单法算以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也此法葢因分数整齐故可比例而得其全分之价若有竒零则湏用前法或用通分法算之

设如有一数不知几何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百问原数几何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三数相加得一千九百八十并所加之四十共二千零二十与共数六千七百相减余四千六百八十为连乘之整数乃借一衰为原数以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰为一率原数一衰为二率以连乘整数四千六百八十为三率求得四率十三即为原数也此法葢因三乘原数外加一十而又用四乘五乘六乘则此一十己用四乘五乘六乘矣四乘后加二十而又用五乘六乘则此二十已用五乘六乘矣五乘后加三十而又用六乘则三十已用六乘矣故将一十二十三十之数亦用连乘并后所加之四十与共数相减然后为三四五六与原数连乘之整分而以三四五六连乘所得之三百六十与原数一为比例即同于今三四五六连乘所得之四千六百八十与原数十三之比例也

设如甲乙二车运粮甲车先行二日乙车后行五日追及甲车比乙车运价少五钱又甲车先行二日乙车后行七日追过甲车八十里甲车比乙车运价少一両一钱问甲乙二车日行里数及运价各几何

法以乙车五日为正甲车七日为负里数相等作一空位【甲车先行二日乙车行五日追及是乙车行五日甲车行七日其里数相等】运价多五钱为正列于上又以乙车七日为正甲车九日为负过八十里为正运价多一両一钱为正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一钱得乙三十五日仍为正甲四十五日仍为负多行四百里运价多五両五钱仍为正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日运价多五钱得乙三十五日仍为正甲四十九日仍为负多三両五钱仍为正相等无可乘仍为空位于是以上层为主両下相较则乙各三十五日彼此减尽甲両下相减余四日本层少变负为正里数无可加减仍得四百里为正价両下相减余二両依本层为正即甲车四日行四百里运价二両也以四日除四百里得一百里为甲车每日所行之里数以四日除二両得五钱即甲车每日之运价以乙车七日比甲车九日多行八十里价多一両一钱计之则甲车九日行九百里加多八十里共九百八十里为乙车七日所行之里数以七日除之得一百四十里即乙车每日所行之里数甲车九日运价四両五钱加多一両一钱共五両六钱为乙车七日之运价以七日除之得八钱即乙车每日之运价也此法因有里数运价二种或名叠脚然不过除両次耳若里数为较运价为和难以分列正负者则分両法算之

设如甲乙丙三人有银各不知数只云甲得乙银二分之一乙得丙银三分之一丙得甲银四分之一则各得七百两问三人原银各几何

法先以甲三分乙一分共七百両列于上【甲原银四分丙得去一分余三分又得乙一分故为甲三分乙一分共七百両丙无数作空位以足其分】又以甲一分丙二分共七百両列于下【丙原银三分乙得去一分余二分又得甲一分故为甲一分丙二分共七百両乙无数亦作空位以足其分】乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原数于是以下层为主両下相较则甲各三分彼此减尽乙一分无可减仍为一分依本层为正丙六分无可减仍为六分本层无数则为负银両下相减余一千四百両本层少爲负即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分为正丙六分为负少一千四百両为负列于上又以乙一分丙一分共七百两列于下【乙原银二分甲得去一分余一分又得丙一分故为乙一分丙一分共七百両因为和数故不用号】因首色皆为一故省互乘両下相较则乙各一分彼此减尽丙六与丙一相加得七分银一千四百与七百相加得二千一百両即为丙七分之共数以七除之得三百両为丙一分之数以丙原银三分乘之得九百両为丙之银数以乙一分丙一分共七百両计之则于七百両内减去丙一分三百両余四百両即乙一分之数以乙原银二分乘之得八百両为乙之银数以甲三分乙一分共七百両计之则于七百両内减去乙一分四百両余三百両三归之得一百両即甲一分之数以甲原银四分乘之得四百両为甲之银数也

设如有长方面积八百六十四歩一长二阔三和四较共三百一十二歩问长阔各几何

法以积数八因之得六千九百一十二歩为大长方形积乃以长阔和较共数三百一十二歩为长阔和折半得一百五十六歩为半和自乘得二万四千三百三十六歩与六千九百一十二歩相减余一万七千四百二十四歩开平方得一百三十二歩为半较与半和一百五十六歩相减得二十四歩为原阔数以阔除原积八百六十四歩得三十六歩为原长数也此法葢因三和内有三长三阔加一长二阔共四长五阔如以四较加于四阔则又成四长是共得八长一阔此三百一十二歩即八长一阔之共数今将原积八倍之成一大长方形其阔即原阔其长为原长之八倍故以三百一十二为长阔和求得阔即为原阔以原阔除原积即得原长也

设如买果木树不知树数亦不知树价但知树每株之价为树共数之六倍而每株脚钱六文其脚钱并树价共三千六百文问树每株价及树数各几何

法先以共钱三千六百文六因之得二万一千六百文为长方积脚钱六文为纵多爰以纵多六文折半得三文为半较自乘得九文与二万一千六百文相加得二万一千六百零九文开平方得一百四十七文为半和内减半较三文得一百四十四文为树每株之价六归之得二十四为树之共数也此法以树数为阔树价并脚钱为长成长方形因每株之价为树数之六倍是长为阔之六倍又多六文故六倍其积则长比阔多六文故以带纵开方法算之得阔为树价六归之得树数也

设如一河寛一丈二尺中间生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸适与岸齐问蒲长水深各几何法以河寛一丈二尺折半得六尺为勾以蒲稍出水三尺为股较乃以勾六尺自乘得三十六尺以股较三尺除之得一十二尺为股和加股较三尺得一十五尺折半得七尺五寸为即蒲之长内减股较三尺余四尺五寸为股即水之深也如图甲乙为河寛丙丁为蒲长与甲丁等戊丁为水深丙戊为蒲稍出水三尺故戊丁为股甲戊为勾甲丁为丙戊为股较用有勾有股较之法求得股为水深得为蒲之长也

设如圆柱髙二十一尺周四尺以绳自底至末绕柱七周与柱适齐问绳长几何

法以柱周四尺七因之得二十八尺为股柱髙二十一尺为勾求得三十五尺即绳之长也此法葢合七勾股为一勾股算也如图甲乙为柱髙二十一尺甲丙为七分之一若将柱面平铺之成一平面则丙丁即柱周四尺甲丁即绳绕柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙为甲丙之七倍绳长为甲丁之七倍故将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙为勾乙戊为股求得甲戊即绳长也

设如一方匣内对角斜容一比例尺长一尺一寸寛三寸问匣方边几何

法以比例尺寛三寸与长一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半开方得九寸八分九厘九豪即方匣之边数也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙为对角斜线癸壬为比例尺之长壬乙与丁癸二叚与己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形则乙为方之中心壬乙为己庚方边之一半与壬庚等而壬乙与丁癸両段即与己庚等故以比例尺之长阔相加即为丁乙对角斜线用斜求方之法自乘折半开方即得方边也

设如三角形底二丈八尺小腰与中垂线之较二尺大腰与中垂线之较六尺问両腰各几何

法借一衰为中垂线则小腰为一衰多二尺小腰与中垂线之和为二衰多二尺与小腰较二尺相乗得四衰多四尺为小分底自乘方积大腰为一衰多六尺大腰与中垂线之和为二衰多六尺与大腰较六尺相乘得十二衰多三十六尺为大分底自乘方积以両方积相较则大分底方为小分底方之三倍多二十四尺【大分底方十二衰为小分底方四衰之三倍即将小分底方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺与大分底方十二衰多三十六尺相减仍余二十四尺】乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内减去所多之二十四尺余七百六十尺为小分底自乘四正方小分底乘大分底二长方积折半得三百八十尺为小分底自乘二正方小分底乘大分底一长方积共成一大长方底二十八尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十尺为小分底自乘得一百尺以小腰较二尺除之得五十尺为小腰与中垂线之和内加小腰较二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰较二尺与大腰较六尺相减余四尺即大腰与小腰之较与小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股和与甲乙甲丁股较相乘则得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形【见勾股法】以甲丁甲丙股和与甲丁甲丙股较相乘则得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既为乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故于乙壬癸丙大正方形内减去二十四尺余者即与乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛为大分底乘小分底二长方共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰己丙长方形乙丙即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得阔为乙丁小勾自乘以股较除之得股和故加股较折半即得甲乙为也或求得甲丙边亦同

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边较三尺八寸求乙角丙角度几何

法依甲丙边度截甲乙边于丁余乙丁即両边较自丙至丁作丙丁线成乙丁丙钝角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率乙丁边三尺八寸为二率甲角五十三度八分与一百八十度相减余一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁钝角之外角【与丁丙甲角等】其正八万九千四百四十一为三率求得四率二万七千八百五十八为丙分角正捡表得十六度十分为丙分角与丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角与丁外角相减余四十七度十六分即乙角度也

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙边一丈一尺二寸甲乙乙丙両边较二尺八寸求乙角丙角度各几何

法依乙丙边度截甲乙边于丁余甲丁即両边较自丙至丁作丙丁线成甲丁丙钝角形乃以甲丁边二尺八寸与甲丙边一丈一尺二寸相加得一丈四尺为一率甲丁与甲丙相减余八尺四寸为二率甲角半外角六十三度二十六分之正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率一十一万九千九百九十一为半较角切线捡表得五十度十二分为半较角度与半外角相减余十三度十四分为丙分角倍之与甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角与甲角相加则得丙丁乙角与丙大分角等是丙大分角与一丙小分角一甲角之度等故倍小分角与甲角相加得丙全角也

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边和二丈六尺二寸求丙角乙角度各几何

法以甲乙与甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁线成丁乙丙三角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率丙丁边二丈六尺二寸为二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角【与甲乙丁角等】其正四万四千七百二十四为三率求得四率九万六千零四十六为丙乙丁角正捡表得七十三度五十分为丙乙丁角内减半甲角二十六度三十四分【即甲乙丁角】余四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相并与半周相减余七十九度三十六分即丙角度也

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙边一丈五尺甲丙乙丙両边和二丈三尺四寸求乙角丙角度几何

法以甲丙与乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁线成甲乙丁三角形乃以甲丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五尺相加得三丈八尺四寸为一率甲丁边与甲乙边相减余八尺四寸为二率甲角五十三度八分与半周相减折半得半外角六十三度二十六分其正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率四万三千七百四十七为半较角切线捡表得二十三度三十八分为半较角与半外角相减余三十九度四十八分为丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也

设如有一旗杆不知其髙用日影测之问髙几何法先立一表长五尺看影长几尺如得四尺同时看旗杆影为几尺如得二丈四尺乃以表影长四尺为一率表髙五尺为二率旗杆影长二丈四尺为三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙为旗杆乙丙为旗杆影丁戊为表髙戊己为表影甲乙丙与丁戊己为同式勾股形故己戊与丁戊之比同于乙丙与甲乙之比也

设如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影测之问塔髙几何

法先立一表长六尺影长四尺同时看塔影所至记之阅时看表影长五尺塔影比先所记之处长几尺如得八尺乃以表影差一尺为一率表髙六尺为二率影差八尺为三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙为塔髙乙丙为先所记塔影乙丁为后所记塔影戊己为表髙己庚为先所记表影己辛为后所记表影戊庚辛与甲丙丁戊己庚与甲乙丙皆为同式形故庚辛与戊己之比同于丙丁与甲乙之比也

设如逺望一村欲知其逺用放鎗騐时仪坠子之问逺几何

法令一人在村边放鎗一见烟出即用騐时仪坠子之一闻鎗响即止计自见烟至闻响得几秒如得三秒即以一秒为一率一百二十八丈五尺七寸为二率三秒为三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢响与烟一时并出其见烟而未闻响者声未至也故自见烟至闻响之分即路逺之分尝以其分较之路逺五里得七秒以七归之每秒得一百二十八丈五尺七寸闻雷亦然自一见电光至闻雷响其秒数即得里数也

设如梭形阔四尺中长九尺求积几何

法以中长九尺与阔四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形积也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁与甲丙相乘则成戊己庚辛长方形其积比梭形多一倍故半之为梭形积也此法必甲乙与乙丙等甲丁与丁丙等或甲乙与甲丁等乙丙与丁丙等则其中长适为両三角形之垂线故长阔相乘折半而得积也若中长不得为垂线则湏先量得四边数及长数或阔数用三角形求中垂线法算之

设如三广形上阔三尺中阔五尺下阔四尺上截长六尺下截长四尺求积几何

法以中阔五尺与上阔三尺相加折半得四尺与上截长六尺相乘得二十四尺又以中阔五尺与下阔四尺相加折半得四尺五寸与下截长四尺相乘得十八尺両数相并得四十二尺即三广形积也如圗甲乙丙丁戊己三广形以乙戊线分之则成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求积之法【见第十九卷直线形】求得両梯形之积而并之即为三广形积也旧术以上下阔相加折半加中阔与长相乘得积此必上下両截长数相等者然后可算若上下不相等湏用両梯形算之

设如眉形両尖相距长二十四尺外弧距九尺内弧距四尺求积几何

法以両尖相距二十四尺为外弧距九尺为矢用弧矢求积法以矢九尺为首率二十四尺折半得十二尺为中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺为圜径折半得半径十二尺五寸为一率半十二尺为二率半径十万为三率求得四率九万六千为半外弧之正捡八线表得七十三度四十五分为半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分为外弧之度分乃以三百六十度为一率外弧一百四十七度半为二率全径二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪为三率求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪为外弧之数与半径十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分为自圜心所分弧背三角形积又以矢九尺与半径十二尺五寸相减余三尺五寸与二十四尺相乘折半得四十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积相减余一百五十九尺一十二寸一十八分为外弧矢全积【见第二十卷曲线形】又以両尖相距二十四尺为内弧距四尺为矢亦用弧矢求积法求得内弧矢虚积六十五尺三十七寸六十分与外弧矢积相减余九十三尺七十四寸五十八分即眉形积也如圗甲乙丙丁眉形甲丙为乙戊为外弧矢丁戊为内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形积又求得甲丁丙戊弧矢形积相减即得甲乙丙丁眉形积也

设如橄防形长二尺四寸阔八寸求积几何

法以长二尺四寸为阔八寸折半得四寸为矢用弧矢求积法求得弧矢积六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄防形积也如圗甲乙丙丁橄防形自甲至丙作甲丙线平分乙丁于戊则成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形积倍之即橄防形积也

设如钱形径一尺二寸求积几何

法以钱形径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘又求得内容方积七十二寸相减余四十一寸零九分七十三厘倍之得八十二寸一十九分四十六厘即钱形积也如图甲乙丙丁钱形作戊己己庚庚辛辛戊四线则分为壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形积又求得戊己庚辛内方积相减余壬癸子丑四弧矢形倍之即得钱形积也

设如银锭形径一尺二寸求积几何

法以银锭形径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即银锭形积也如图甲乙丙丁戊己银锭形以甲丁径自乘折半则得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形与所盈壬癸二弧矢形之积等故乙丙戊己正方积即与银锭形之积等也

设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘甲圜径比乙圜径多三尺乙圜径比丙圜径多三尺丙圜径比丁圜径多二尺问四圜径各几何

法用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘为三率求得四率二百七十七尺为四平方共积乃以丙圜径比丁圜径所多之二尺自乘得四尺又以乙圜径比丁圜径所多之五尺【丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故乙比丁多五尺】自乘得二十五尺又以甲圜径比丁圜径所多之八尺【乙比丁多五尺甲又比乙多三尺故甲比丁多八尺】自乘得六十四尺三数相并得九十三尺与四平方共积二百七十七尺相减余一百八十四尺为长方积以丙圜径比丁圜径多二尺乙圜径比丁圜径多五尺甲圜径比丁圜径多八尺相加得十五尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八尺二归之得四尺即丁圜径加二尺得六尺即丙圜径再加三尺得九尺即乙圜径再加三尺得十二尺即甲圜径也如图甲乙丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方形则四圜径之较即四方边之较故于四方形内减去壬癸子三较方余戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六长方共成未申酉戌一长方戌亥为长阔之较即三边较之共数故用带纵较数开平方法算之得阔折半而得丁方边即丁圜径递加之即得甲乙丙各圜径也

设如有一方形内不切方边容一圜形但知方边离圜界五丈方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分问方边圜径各几何

法以方边离圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈与方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相减余二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜积定率七八五三九八一六与方积定率一○○○○○○○○相减余二一四六○一八四为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分为三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分为长方积又以二一四六○一八四为一率一○○○○○○○○为二率以方边离圜界五丈四因之得二十丈为三率求得四率九十三丈一尺九寸五分为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内圜径加方边离圜界共十丈得二十丈即外方边也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方边离圜界五丈自乘四因与积相减则减去己庚辛壬四小方形余癸子丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积今欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积共成未申酉戌长方形应以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率今所余之卯辰巳午方内圜外积为三率则得四率为未亥方积而戊圜虚积即补足在其中然今乃以卯辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积共为三率则戊圜虚积固已补足而癸子丑寅四长方积必多补出之分是知癸子丑寅四长方形其寛仍为戌酉而亥酉之长必亦多补出之分矣【癸子丑寅四长】【方形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几】【何原本八卷第七节】故又以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率以方边离圜界五丈四因之得亥酉之长为三率求得四率即将亥酉之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得未申阔即为内圜径也

设如有一方形内不切方边容一圜形但知方角离圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分问方边圜径各几何

法以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈与方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相减余五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢积二八五三九八一六为一率【方积一○○○○○○○○方内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六为弧矢积】圜内容方积五○○○○○○○为二率今减余积五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分为三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分为长方积又以二八五三九八一六为一率五○○○○○○○为二率以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内圜所容方边以四隅方边十五丈倍之得三十丈与内圜所容方边十丈相加得四十丈即外方边以内圜所容方边十丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二分即内圜径加方角离圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方对角斜线也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚辛壬四小正方形【以甲卯自乘折半得己正方形积故甲卯自乘倍之即得四正方形积也】余癸子丑寅四长方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳午一正方形应以定率弧矢积为一率方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为三率则得四率为卯辰巳午虚方积然今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为卯辰亥干长方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四长方实积与午巳亥干长方积之比同于弧矢积与方积之比则其所虚之未申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形之比亦同于弧矢积与方积之比而癸子丑寅之共长与长亥之比亦必同于弧矢积与方积之比矣故以四长方之共边比例得辰亥边为长阔和求得卯辰阔为内圜所容正方形之每一边也

设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方角五丈圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分问圜径方边各几何

法以圜界离方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜积定率七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分为三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内减所得一百丈余二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢积二八五三九八一六【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六】用圜积变方积法通之得三六三三八○二三为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分为三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸为长方积又以三六三三八○二三为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方角五丈四因之得二十丈为三率求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内方对角斜线用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方边以内方对角斜线十丈加圜界离方角共十丈得二十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而多丑寅卯辰四弧矢形所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧矢形故所变之方环亦多丑寅卯辰四弧矢形所变之积也以圜界离方角五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小方形余酉戌亥干四长方形及丑寅卯辰四弧矢形所变之积今欲以丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮长方形应以定率四弧矢形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六圜内容方积为五○○○○○○○内圜积与内方积相减余二八五三九八一六是二八五三九八一六与一○○○○○○○○相比为弧矢积与外方积之定率也然今所多之四弧矢积先已用圜率变为方率故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率弧矢积二八五三九八一六为三率得四率三六三三八○二三是三六三三八○二三与一○○○○○○○○相比为已变之弧矢积与外方积之定率也】今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变之积为三率则得四率为辛壬癸子正方积然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已变之积并酉戌亥干四长方积共为三率则辛壬癸子正方积固已补足而酉戌亥干四长方必多补出之分是知酉戌亥干四长方其寛仍为子癸而癸坎之长必亦多补出之分矣故又以四弧矢形已变之积为一率方积为二率以圜界离方边五丈四因之得癸坎之长为三率求得四率即将癸坎之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得辛壬阔即内方对角斜线也

设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方边十五丈圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分问圜径方边各几何法以圜界离方边十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜积方积定率比例圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分为三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内减所得九百丈余五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外积二一四六○一八四【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六相减余二一四六○一八四】用圜积变方积法通之得二七三二三九五五为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分为三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分为长方积又以二七三二三九五五为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内方边加圜界离方边共三十丈得四十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而少丑寅卯辰四隅所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积少丑寅卯辰四隅故所变之方环亦少丑寅卯辰四隅所变之积也以圜界离方边十五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小正方形余酉戌亥干四长方形而内少丑寅卯辰四隅所变之积今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所变之积作为辛壬癸子正方形应以定率四隅形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六相减余二一四六○一八四是三一四六○一八四与一○○○○○○口○相比为圜外四隅积与外方积之定率也然今所少者乃圜外四隅积用圜积方积比例之数故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率圜外四隅积二一四六○一八四为三率求得四率二七三二三九五五是二七三二三九五五与一○○○○○○○○相比为已变之四隅积与外方积之定率也】丑寅卯辰四隅形已变之虚积为三率则得四率为辛壬癸子虚方积然今无辛壬癸子四隅形已变之虚积而以酉戌亥干四长方内虚丑寅卯辰四隅形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为辛壬坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥干四长方实积与子癸坎艮长方形之比同于己变之四隅积与方积之比则其所虚之丑寅卯辰四隅已变之积与辛壬癸子正方形之比亦同于己变之四隅积与方积之比而酉戌亥干之共长与壬坎之比亦少同于己变之四隅积与方积之比矣故以四长方之共边比例而得壬坎边为长阔和求得辛壬阔为内方边也

设如有一大　　　　　　　　【寸】球体内容四　　　　　　　　　　　　　　【为】小球　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】体大球径一

尺二　　　　　　【方】寸求小

球径几何法以大球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八

积以大　　　　　　　　　　　【分】球径一尺二寸四因之得四尺八寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五寸三分九厘三豪即

内容四　　　　　　　　　　　【之】小球之径也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】乙大

球体内容丙丁戊　　　　　　　　　　　　　　　【故】己四小球体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】试自四小球之中心俱各作线聮之则成

一四等面体　　　　　　　　　　　　　【癸】又以甲乙大球心为【丁】心丙丁戊己小球心为界作一虚圆则

成　　　　　　　　　【子】四等面体外切圆球体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【正】四面

体之一边即小球径　　　　　　　　　　　　　　　　【方】以四面体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】外

切丁　　　　　　　　　　【为】庚虚球径　　　　　　　　　　　　　　　【丁】加一小球径即大

球径故以大球径自乘得甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【庚】乙辛壬正【辛丑即四面体每边自】方形内甲癸丁子为小

球径　　　　　　　　　　【乘】自乘方丁庚辛丑为四面体外

切圆球径自乘方癸乙庚丁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】子丁丑壬为四面体之每边与外切圆球径相乘二长方凡四面体每边【见第二十八卷球内容四面体法】自乘方为外切圆球径自乘方三正方形三分之二将甲乙辛壬正方形倍之则得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四长方而丁庚辛丑二正方为甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四长方即与寅卯辰巳长方积等其巳午长

阔之较为甲乙　　　　　　　　　　　　　　【开】球径之四倍故四因大球径为较纵求得阔即小球径也如

先有　　　　　　　　　　【平】小球径　　　　　　　　　　　　　　【方】求大球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】则以小球径为四面体之一边自乘二归三因

开平方得四面　　　　　　　　　　　　　　【算】体外切圆球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】径再

加　　　　　　　　　【得】一小

球径即大球　　　　　　　　【阔】径也设如有　　　　　　　　　　　　　　【四】一大　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】球体内容六

小球　　　　　　【九】体大球

径一尺　　　　　　　　　　　【分】二寸求小球径几何法以大

球径一尺三寸自乘得　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】一尺四十四寸为长方积以大球径一尺二寸倍之得二尺四寸为长阔之较用带纵较数

厘即内容六小　　　　　　　　　　　　　　【大】球之径数也如图甲

乙　　　　　　　　　【球】大球体内容丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】六小球体试自六小球之中心俱各作线聮之则成一八等面体其八面体之一

【则】边即小球径以八面体之对角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【以】线

加一　　　　　　　　　　【小】小球径即　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球径故以大球

径自乘得甲乙壬癸正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】内甲子丙【为即八面体每边自乘】丑为小球径自乘方丙戌壬寅为八面体对角线自乘方子乙戊丙丑丙寅癸为八面体之每边与对角线相乘二长方凡八面体每边自乘方为对【方见第二十七卷八面体】角线自乘方之一半故丙戊壬寅一正方与甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共为甲子丙丑三正方子乙戊丙二长方与卯辰

巳午长方积等其午　　　　　　　　　　　　　　　　【法】未长阔之较为甲乙球径之二倍故倍大球径为较纵求得阔即小球径也如先有小球径求八面体之一边自乘加倍开方得对角

线再加一小　　　　　　　　　　　　　【小】球径即　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球

径也设如一大球体内容八小球体大球径一尺二

寸　　　　　【径】求小球

径几何　　　　　　　　　　　【乘】法以大球径一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸为

长　　　　　　　　　【正】方积以大球径一尺二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔

四寸三分九厘二豪　　　　　　　　　　　　　　　　【方】即内容八小球

之径数　　　　　　　　　　　【体】也如图甲乙大球体内容丙

丁戊　　　　　　　　　　【对】己庚辛壬癸　　　　　　　　　　　　　　　　【角】八小球体试自八小球之中心俱各作线聮之则成一

正方体　　　　　　　　　　　【斜】其正方体之一边即小球径

以正方体　　　　　　　　　　　　【线】之丙壬　　　　　　　　　　　　　　　　【二】对角斜线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】加一小球径即大球径故以大球径自乘

得甲　　　　　　　　　　【方】乙子丑正方形内甲寅卯辰为小球径自乘方卯巳子午为正方体对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑为凡正方对角斜线自乘方为每边自乘方之三倍【尺自乘得见第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长

方甲乙　　　　　　　　　　　【正】球径即长阔之较故用带纵

较数开平方法算之得阔即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为正方体之一边自乘三因之开平

方得正方体对角斜线再加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】一小球

【法】径即

大球径也设如有三角形底十四尺中埀线十二尺大腰与小腰之较二尺求両

腰各几何法借一根为小腰则大腰为一根多二尺以一根自乗得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以一根多二一平方多四根多四尺为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方多四根少一百四十尺为大分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺余四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之积为末率也乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺此二数为相等両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等则一平方多二根必与一百九十五尺相等乃以一百九十五尺为长方积以多二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十三尺为一根之数即小腰加二尺得十五尺即大腰也

设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小腰之和二十八尺求大小腰各几何

法借一根为小腰则二十八尺少一根为大腰以一根自乘得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少五十六根多六百四十尺为大分底之而积又以底四十尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺余五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而大分底乗小分底之而积为中率小分底之而积为末率也乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺此二数为相等両边各减一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等両边各减四百九十六平方各加八千四百根又各加九万二千一百六十尺得一万六千四百六十四根与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺为长方积以二十八根作二十八尺为长阔和求得阔十三尺为一根之数即小腰也

御制数理精蕴下编巻三十七

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十八

末部八

对数比例

对数比例

对数比例乃西士若往讷白尔所作以借数与眞数对列成表故名对数表又有恩利格巴理知斯者复加增修行之数十年始至中国其法以加代乘以减代除以加倍代自乘故折半即开平方以三因代再乘故三归即开立方推之至于诸乘方莫不皆以假数相求而得眞数葢为乘除之数甚繁而以假数代之甚易也其立数之原起于连比例葢比例四率二率与三率相乘一率除之得四率而递加递减之四数第二数第三数相加减第一数则得第四数作者有见于此故设假数以加减代乘除之用此表之所以立也然连比例之大者莫如十百千万葢一与十十与百百与千千与万万与十万其数皆为一而递进一位取其整齐而无竒零也一为数之始以之乘除数皆不变故一之假数定为○而十之假数定为一百之假数定为二千之假数定为三万之假数定为四十万之假数定为五推之百千万亿皆递加一数此对数之大纲也其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数又法用递乘而得以眞数递次相乘其乘得之位数即所得之假数此二法者理虽易明而数则甚繁也又有递次开方一法以眞数递次开方假数递次折半至于数十次使彼此皆可为比例而假数由之而生又有相较之一法省开方之多次尤为甚防至于他数之可以乘除得者如二与三相乘而得六则以二之假数与三之假数相加即为六之假数又以二除十而得五则以二之假数与十之假数相减即为五之假数之类其不由乘除而得者则又以累乘累除之法求之此对数之细目也今为推其理考其数先详作表之原次明用表之法使学者知作者之难而用之甚易甚勿以易而忘其难也

明对数之原之一

凡眞数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数即得第四率相对之假数若减第四率相对之假数即得第一率相对之假数

如二四八十六连比例四率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四其递加递减之数皆为一以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加得五内减一率二相对之假数一即得四率十六相对之假数四若减四率十六相对之假数四即得一率二相对之假数一或以二之假数为三四之假数为五八之假数为七十六之假数为九其递加递减之数皆为二以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加内减一率二相对之假数三即得四率十六相对之假数九若减四率十六相对之假数九即得一率二相对之假数三

明对数之原之二

凡眞数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数即得末率相对之假数若减末率相对之假数即得首率相对之假数

如一三九连比例三率任对设一之假数为四三之假数为五九之假数为六其递加递减之数皆为一以中率三相对之假数五倍之得十内减首率一相对之假数四即得末率九相对之假数六若减末率九相对之假数六即得首率一相对之假数四或以一之假数为八三之假数为五九之假数为二其递加递减之数皆为三以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八即得末率九相对之假数二若减末率九相对之假数二即得首率一相对之假数八

明对数之原之三

凡眞数连比例几率任对设递加递减之较相等之假数其中隔位取比例四率其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数亦得第四率相对之假数若减第四率相对之假数亦得第一率相对之假数

如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六连比例几率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四三十二之假数为五六十四之假数为六一百二十八之假数为七二百五十六之假数为八其递加递减之数皆为一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九内减一率四相对之假数二即得四率一百二十八相对之假数七若减四率一百二十八相对之假数七即得一率四相对之假数二

明对数之纲之一

凡假数皆可随意而定然一之假数必定为○方与眞数相应而眞数连比例率十百千万皆为一但递进一位则其假数亦皆递加一数

葢乘除之数始于一故一不用乘亦不用除而加减之数始于○故○无可加亦无可减也假数旣以加减代乘除故一之假数必定为○而一与十十与百百与千千与万万与十万皆为加十倍之相连比例率然其数皆为一但递进一位故一之假数定为○者十之假数即定为一百之假数即定为二千之假数即定为三万之假数即定为四十万之假数即定为五百万之假数即定为六千万之假数即定为七亿之假数即定为八亦皆递加一数而假数即与位数相同试以一百与一千相乘得十万为进二位以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加即得十万相对之假数五亦为加二数也以一十除一千得一百为退一位以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减即得一百相对之假数二亦为减一数也如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数未甞不可然眞数进一位者假数则加二数即不得与位数相同矣

明对数之纲之二

凡眞数不同而位数同者其假数虽不同而首位必同眞数相同而递进几位者其假数首位必递加几数而次位以后却相同

如自一至九眞数皆为单位则假数首位皆为○故二之假数为○三○一○二九九九五七三之假数为○四七七一二一二五四七四之假数为○六○二○五九九九一三五之假数为○六九八九七○○○四三六之假数为○七七八一五一二五○四首位以后零数递增至十则首位皆为一至百则首位皆为二至千则首位皆为三至万则首位皆为四至十万则首位皆为五如一十一一百一十一千一百一万一千一十一万虽递进一位而其数皆为一一故其假数首位虽递加一数而次位以后皆同为○四一三九二六八五二

明对数之目用中比例求假数法之一

凡连比例率以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数

如一十为首率一百为中率一千为末率以首率一十与末率一千相乘开平方得一百为中率以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假数葢首率末率相乘与中率自乘之数等以首率末率两假数相加即与中率之假数加倍之数等故折半为中率之假数也

明对数之目用中比例求假数法之二

凡十百千万之假数既定而欲求其间零数之假数则以前后相近之两数一为首率一为末率求得中率之眞数并求得中率之假数累次比例使中率恰得所求之眞数其假数即为所求之假数如求九之假数因九在一与十之间则以一为首率十为末率相乘开方得三一六二二七七七为第一次之中率即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数此所得之中率较之首率去九为近故以所得之中率复为首率十为末率相乘开方得五六二三四一三二为第二次之中率即以第二次之首率末率两假数相加折半得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数又以第二次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得七四九八九四二一为第三次之中率即以第三次之首率末率两假数相加折半得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数又以第三次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得八六五九六四三二为第四次之中率即以第四次之首率末率两假数相加折半得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数又以第四次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得九三○五七二○四为第五次之中率即以第五次之首率末率两假数相加折半得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数此所得之中率较之末率去九为近故以第五次所得之中率复为末率仍以第五次之首率为首率相乘开方得八九七六八七一三为第六次之中率即以第六次首率末率两假数相加折半得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数由此递推去九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○其假数为○九六○九三七五○○○第八次之中率为九○一七九七七七其假数为○九五七○三一二五○○第九次之中率为九○一七三三三三其假数为○九五五○七八一二五○第十次之中率为八九九七○七九六其假数为○九五四一○一五六二五第十一次之中率为九○○七二○○八其假数为○九五四五八九八四三七第十二次之中率为九○○二一三八八其假数为○九五四三四五七○三一第十三次之中率为八九九九六○八八其假数为○九五四二二三六三二八第十四次之中率为九○○○八七三七其假数为○九五四二八四六六七九第十五次之中率为九○○○二四一二其假数为○九五四二五四一五○三第十六次之中率为八九九九九二五○其假数为○九五四二三八八九一五第十六次之中率为九○○○○八二一其假数为○九五四二四六五二○九第十八次之中率为九○○○○○四一其假数为○九五四二四二七○六二第十九次之中率为八九九九九六五○其假数为○九五四二四○七九八九第二十次之中率为八九九九九八四五其假数为○九五四二四一七五二六第二十一次之中率为八九九九九九四三其假数为○九五四二四二二二九四第二十二次之中率为八九九九九九九二其假数为○九五四二四二四六七八第二十三次之中率为九○○○○○一六其假数为○九五四二四二五八七○第二十四次之中率为九○○○○○○四其假数为○九五四二四二五二七四第二十五次之中率为八九九九九九九八其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○其假数为○九五四二四二五一二五即所求之假数也然所得中率虽爲九而七空位之后尚有竒零故所得之假数犹为稍大故开方之位数愈多则所得之假数愈密也

明对数之目用递次自乘求假数法之一

凡连比例率之自小而大者以第一率之眞数递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次加倍即得加倍各率之假数而以各率之假数按率除之即得第一率之假数

如以二为连比例第一率其假数为○三○一○二九九九五七以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数而以第二率之假数用二除之即得第一率之假数又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数而以第四率之假数用四除之即得第一率之假数也

明对数之目用递次自乘求假数法之二

凡连比例率自小而大者其假数之首位旣因眞数之位数而递加故求假数者以所求之眞数为连比例第一率递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率假数之首位递次加倍即得加倍各率之假数而眞数自乘又进一位者则假数加倍后又加一数而以各率之假数按次除之即得所求第一率之假数

如求二之假数则以二为连比例第一率是为单位故傍纪○即第二率之假数首位为○也又以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数仍为单位故傍亦纪○卽第二率之假数首位亦为○也又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数是为进前一位故傍纪一即第四率之假数首位为一也又以第四率之眞数十六自乘得二百五十六为第八率之眞数以第四率之假数一倍之得二是为进前二位故傍纪二即第八率之假数首位为二也又以第八率之眞数二百五十六自乘得六万五千五百三十六为第十六率之眞数以第八率之假数二倍之得四是为进前四位故傍纪四即第十六率之假数首位为四也又以第十六率之眞数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六为第三十二率之眞数以第十六率之假数四倍之得八又因第十六率眞数自乘所得首位乃逢十又进一位之数故将假数加倍所得之八又加一得九是为进前九位故傍纪九即第三十二率之假数首位为九也由此递乘至第一万六千三百八十四率之眞数则自单位以前共得四千九百三十二位故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数以一万六千三百八十四除之得○三○一○即为第一率二之假数葢以一万除四千为实不足法一倍则其首位必为○也然其位数尚少故仅得五位若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之眞数则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位即其假数为四一三七五六五五三○七以率数除之得○三○一○二九九九五六六即为第一率二之假数也此法葢因眞数进一位则假数首位加一数今递乘所得之眞数既得若干位则其假数首位必加若干数乃以首位为单位递进向前者也而连比例各率之假数以率数除之即得第一率之假数故以率数除之所得第一率之假数为首位以后之零数也

明对数之目用递次开方求假数法之一

凡连比例率之自大而小者以第一率之眞数递次开方即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次折半即得加倍各率之假数而以各率之假数按率乘之即得第一率之假数

如以二百五十六为连比例第一率其假数为二四○八二三九九六五三以第一率之眞数二百五十六开方得十六为第二率之眞数以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数而以第二率之假数用二乘之即得第一率之假数又以第二率之眞数十六开方得四为第四率之眞数以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数而以第四率之假数用四乘之即得第一率之假数

明对数之目用递次开方求假数法之二

凡递次开方率皆用二倍葢眞数开方假数折半而折半即二归故递次折半之假数以递次加倍之率数乘之即得第一率之假数

如原数为第一率加倍得二为第一次开方之率数【葢折半即二归以二归者复用二乘必仍得原数也】又加倍得四为第二次开方之率数【葢折半二次即四归以四归者复用四乘必亦得原数也】递次加倍则第三次之率为八第四次之率为十六第五次之率为三十二第六次之率为六十四第七次之率为一百二十八第八次之率为二百五十六第九次之率为五百一十二第十次之率为一千零二十四第二十次之率为一百零四万八千五百七十六第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四凡有眞数求假数皆以所求之数为第一率眞数开方几次则假数必折半几次今虽无第一率之假数而苟得其折半第几次之假数则加倍几次必得第一率之假数故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘即得第一率之假数也

明对数之目用递次开方求假数法之三

凡眞数不可与假数为比例者因眞数开方假数折半其相比之分数不同若开方至于数十次则开方之数即与折半之数相同故假数即可用眞数比例而得是以凡求假数者皆以其眞数开方至几十次与此所得之假数相比即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得所求之假数如眞数为一十假数为一○以眞数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次开方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次开方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此递次开方至第五十四次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而与第五十三次开方所得折半之数同是故眞数即可与假数为比例矣乃以一十之假数一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此递次折半亦至第五十四次则得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即为第五十四次开方之假数于是以眞数之零数一二七八一九一四九三二○○三二三五为一率假数之零数五五五一一一五一二三一二五七八二七○为二率眞数之零数一为三率【一率为十七位则三率亦加十六空位以足其分】得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即为一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数前亦仍得十七空位盖真数为一则假数为○今真数之零数即比一多之较假数之零数即比○多之较故以真数之较与假数之较为比例也凡求假数者皆以真数开方至几十次首位得一又得十五空位则以其后之零数与此所得之假数为比例即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得第一率之假数也

明对数之目用递次开方求假数法之四

凡真数首位为一者则开方首位必得一若首位非一者则以真数递乘几次使首位得一即以递乘所得之真数递次开方至得十五空位乃以其后之零数与前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数相比例即得开方第几次之假数按前率数乘之即得递乘所得真数之假数再看递乘所得真数为连比例第几率则以第几率之数除之即得所求之假数

如求二之假数则以二为连比例第一率递次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此数命为第一率其首位之一千命为单位开方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次开方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次开方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次开方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次开方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次开方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次开方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此递次开方至第十七次则得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次则得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次则得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率有十七位则一率亦加十六空位以足其分】其假数十七空位后之零数四三四二九四四八一九○三二五一八○四为二率今所得眞数之零数一六八五一六○五七○五三九四九七七为三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即为开方第四十七次之假数前亦仍为十七空位以加倍四十七次之率数一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为第一率一○二四之假数【葢开方第四十七次之假数为十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位】然一○二四首位之一开方虽命为单位而其实则为千位千之假数首位应为三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是为一千零二十四之假数又因一千零二十四为二之连比例第十率故以十归之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为所求之连比例第一率二之假数也

明对数之目用递次开方求假数法之五

凡求假数眞数开方之次数愈多则所得之假数愈密然用假数不过至十二位观前递次开方表内至九空位以后其开方之数与折半之数已同七位其零数所差甚微故眞数开方至二十七次即可以立率

如求二之假数按前法递次乘之至第十率得一○二四开方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣于是察前眞数一○递次开方表内第三十四次数得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦为九空位即以其眞数之零数一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七为一率其假数十一空位后之零数五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五为二率眞数之零数一为三率【一率为二十一位则三率亦加二十空位以足其分】得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即为一○○○○○○○○○一之假数前亦仍为十一空位乃即用此数为比例以眞数之零数一为一率【三率为二十二位则一率亦加二十一空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五为二率今以一○二四开方二十七次所得之零数一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二为三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即为一○二四开方第二十七次之假数前亦仍为十一空位以加倍二十七次之率数一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即为第一率一○二四之假数与前法所得之数同【前法得三九八収之亦为四○○以后竒零防有不合止截用十二位】再按前法首位加三而以率数十归之即得○三○一○二九九九五六六四○为二之假数也此法较之前法开方省二十次而所得之数同故求假数者用此法亦便也

明对数之目用递次开方求假数法之六

凡开方之数与折半之数虽不同然而不同之较递次渐少故又有相较之法至开方第十次以后则以较数相减即得开方之数

如求六之假数以六为连比例第一率递次乘之得连比例第九率为一千零七万七千六百九十六乃以此数命为第一率其首位之一千万命为单位开方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次开方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次开方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次开方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次开方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七与第四次开方所得折半之数渐近乃以第四次开方所得数折半【首位之一不折半葢首位之一诸次开方皆同其数不变也】得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七与第五次开方所得数相减余二九二五五五九八六二九二八九三七五四○为第五次之较设使有第五次之较则将第四次开方所得数折半内减第五次之较即第五次开方所得数然第五次之较乃与第五次开方数相减而得故第五次犹必用开方也第六次开方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次开方所得数折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三与第六次开方所得数相减余七三一三○一五二○八二二四六五一六九为第六次之第一较又将第五次之较四归之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五与第六次之第一较相减余八八四四四九○九七六九二一五为第六次之第二较设使有第二较则将第五次之较四归之内减第六次之第二较即为第六次之第一较将第五次开方所得数折半内减第六次之第一较即第六次开方所得数然第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第六次开方数相减而得故第六次犹必用开方也第七次开方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次开方所得数折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七与第七次开方所得数相减余一八二八一四三二五七六一七○三五九二为第七次之第一较又将第六次之第一较四归之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二与第七次之第一较相减余一一○五四四四三九一二七○○为第七次之第二较又将第六次之第二较八归之得一一○五五六一三七二一一五二与第七次之第二较相减余一一六九八○八四五二为第七次之第三较设使有第三较则将第六次之第二较八归之内减第七次之第三较即为第七次之第二较将第六次之第一较四归之内减第七次之第二较即为第七次之第一较将第六次开方所得数折半内减第七次之第一较即第七次开方所得数然第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第七次开方数相减而得故第七次犹必用开方也第八次开方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次开方所得数折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二与第八次开方所得数相减余四五七○二一九九七○八○四三二○八为第八次之第一较又将第七次之第一较四归之得四五七○三五八一四四○四二五八九八与第八次之第一较相减余一三八一七三二三八二六九○为第八次之第二较又将第七次之第二较八归之得一三八一八○五四八九○八七与第八次之第二较相减余七三一○六三九七为第八次之第三较又将第七次之第三较十六归之得七三一一三○二八与第八次之第三较相减余六六三一为第八次之第四较设使有第四较则将第七次之第三较十六归之内减第八次之第四较即为第八次之第三较将第七次之第二较八归之内减第八次之第三较即为第八次之第二较将第七次之第一较四归之内减第八次之第二较即为第八次之第一较将第七次之开方数折半内减第八次之第一较即第八次开方数然第四较乃与第三较相减而得第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第八次开方数相减而得故第八次犹必用开方也至第九次开方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次开方数折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七与第九次开方数相减余一一四二五三七七二一五○三一九○九为第九次之第一较又将第八次之第一较四归之得一一四二五五四九九二七○一○八○二与第九次之第一较相减余一七二七一一九七八八九三为第九次之第二较又将第八次之第二较八归之得一七二七一六五四七八三六与第九次之第二较相减余四五六八九四三为第九次之第三较又将第八次之第三较十六归之得四五六九一五○与第九次之第三较相减余二○七为第九次之第四较又将第八次之第四较三十二除之亦得二○七与第九次之第四较同故自第十次以后则不用开方【若间方止用二十二位则第八次之第三较已同至第九次即不用开方亦不用第四较】即以第九次之第四较三十二除之得六为第十次之第四较将第九次之第三较十六除之得二八五五五八内减第十次之第四较余二八五五五二即为第十次之第三较将第九次之第二较八归之得二一五八八九九七三六一内减第十次之第三较余二一五八八七一一八○九即为第十次之第二较将第九次之第一较四归之得二八五六三四四三○三七五七九七七内减第十次之第二较余二八五六三二二七一五○四六一六八即为第十次之第一较将第九次开方所得数折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内减第十次之第一较又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即为第十次开方所得数也至第十一次则将第十次之第四较三十二除之不足一倍故无第四较而以第十次之第三较十六除之得一七八四七即为第十一次之第三较将第十次之第三较八归之得二六九八五八八九七六内减第十一次之第三较余二六九八五七一一二九即为第十一次之第二较将第十次之第一较四归之得七一四○八○六七八七六一五四二内减第十一次之第二较余七一四○七七九八○一九○四一三即为第十一次之第一较将第十次开方所得数折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内减第十一次之第一较又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即为第十一次开方所得数也由此递推至第二十三次开方数得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率截用十四位则一率亦加十三空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四为二率【截用十四位以从简易】今开方二十三次所得之零数九二二六二八八九一○四三○七为三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即为开方第二十三次之假数前则为十空位【二率有十四位而其前为十一空位今四率得十五位故前为十空位】以加倍二十三次之率数八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五【葢开方第二十三次之假数为十五位并前十空位共二十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共为二十五位也此截用十二位】即为第一率一○○七七六九六之假数然首位之一开方虽命为单位其实则为千万千万之假数首位应为七故首位为七得七○○三三六一二五三四五是为一千零七万七千六百九十六之假数又因其为连比例第九率故用九归之得○七七八一五一二五○三八即为连比例第一率六之假数也

明对数之目用递次开方求假数法之七

凡求假数先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九数而他数皆由此生然此九十九数内有以两数相乘除而得者则以两假数相加减即为所求眞数之假数至五空位以后则又可以比例而得不必逐一而求也

如一至九之九数惟二三七之三数用前递次开方求假数法求之至于四则系二与二相乘所得之数故以二之假数○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即为四之假数至于五系以二除十所得之数故以二之假数与十之假数相减余○六九八九七○○○四三四即为五之假数至于六系二与三相乘所得之数故以二之假数与三之假数相加得○七七八一五一二五○三八即为六之假数【或先得六之假数内减二之假数即得三之假数】至于八系二与四相乘所得之数故以二之假数与四之假数相加得○九○三○八九九八六九九即为八之假数至于九系三与三相乘所得之数故以三之假数○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即为九之假数【或先得九之假数折半即得三十假数】如一一至一九之九数惟一一一三一七一九之四数用前递次开方求假数法求之至于一二系二与六相乘所得之数故以二之假数与六之假数相加得一○七九一八一二四六○四为一十二之假数内减首位之一余○○七九一八一二四六○四即为一二之假数【葢自一一至九空位零九其首位之一皆为单位首位以下为小余试将一十二以十除之仍得一二则其首位之一即为单位二为小余故于十二之假数内减首位之一即减去十之假数而所余为一二之假数也】至于一四乃二与七相乘所得之数故以二之假数与七之假数相加得一一四六一二八○三五六七为一十四之假数内减首位之一余○一四六一二八○三五六七即为一四之假数至于一五乃三与五相乘所得之数故以三之假数与五之假数相加得一一七六○九一二五九○六为一十五之假数内减首位之一余○一七六○九一二五九○六即为一五之假数余皆仿此【详见对数阐防】至于一○○○○○一以后之假数则即可用前递次开方表内相近数比例而得之如求一○○○○○一之假数则以前表内开方第二十一次眞数五空位后之零数一○九七九五八七三五为一率【截用十位以从简便】其假数七空位后之零数四七六八三七一五八二为二率【亦截用十位】今眞数之零数一为一率【添九空位以足其分】得四率四三四二九四三有余前亦仍为七空位【因假数止用十二位故四率止求七位并七空位为十四位已为足用】截前十二位得○○○○○○○四三四二九即为一○○○○○一之假数二因之得○○○○○○○八六八五九【第十三位满五则进一数余仿此】即为一○○○○○二之假数三因之得○○○○○○一三○二八八即为一○○○○○三之假数又以前表内开方第十九次眞数五空位后之零数四三九一八四二一七三为一率其假数六空位后之零数一九○七三四八六三二为二率今眞数之零数四为三率【添九空位以足其分】得四率一七三七一七四○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即为一○○○○○四之假数【不以前所得四率四因之者因前所得一○○○○○一之假数四因之则防小且表内第十九次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○四之假数四归五因【将一○○○○○四之假数四归五因者因欲得一○○○○○一之假数而以五因之也】得○○○○○○二一七一四七即为一○○○○○五之假数将所得一○○○○○四之假数四归六因得○○○○○○二六○五七六即为一○○○○○六之假数又以前表内开方第十八次眞数五空位后之零数八七八三七○三六三四为一率其假数六空位后之零数三八一四六九七二六五为二率今眞数之零数七为三率得四率三○四○○四八○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即为一○○○○○七之假数【不以前所得四率四归七因者因前所得一○○○○○四之假数四归七因之则防小且表内第十八次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○七之假数七归八因得一○○○○○三四七四三四即为一○○○○○八之假数又将所得一○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位【末位满五以上则进一数】前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十八>

明对数之目用前所得九十九数求他假数法之一

凡求假数既得前九十九数而他数有由此乘除而得者则以假数相加减即得所求之假数其不由乘除而得者谓之数根【因无他数可以度尽即算法原本所谓连比例之至小数】则其假数亦不可以加减而得然有虽为数根而前九十九数中有为其根所生者则逆求之即得原根之假数

如前九十九数首位既皆为单位则以十乘之即为十以百乘之即为百以千乘之即为千以万乘之即为万故以二之假数与一十之假数相加即为二十之假数与一百之假数相加即为二百之假数与一千之假数相加即为二千之假数与一万之假数相加即为二万之假数又如十一之假数与一十之假数相加即为一百一十之假数以一○五之假数与一百之假数相加即为一百零五之假数与一千之假数相加即为一千零五十之假数眞数同则假数亦同但眞数进一位则假数首位加一数耳又如三与七相乘得二十一则以三之假数与七之假数相加即为二十一之假数二与十一相乘得二十二则以二之假数与十一之假数相加即为二十二之假数至于二十三二十九之类则不以乘除而得是为数根若夫五十三虽亦为数根然以五十三与二相乘则得一百零六前既得一○六之假数则与一百之假数相加即为一百零六之假数内减二之假数即为五十三之假数由此类推数自繁衍而其不可以乘除而得者则又以累乘累除之法而得之【详见后】要未有出于前九十九数之外者也

明对数之目用前所得九十九数求他假数法之二

凡求假数其眞数有以累乘而得者则以假数累加之即得所求之假数

如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即为二万零七百零三之假数若先有假数四三一六○三三二八二一三求眞数则视假数内足减二万之假数即以二万之假数书于原假数下相减余○○一五○○三二八六四七足减一○三之假数即以一○三之假数书于减余之下相减余○○○二一六六○六一七六与一○○五之假数恰合是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数则其眞数即知为三眞数累乘所得之数矣乃以二万与一○三相乘得二万零六百再以一○○五乘之得二万零七百零三即为所求之眞数也

明对数之目用前所得九十九数求他假数法之三

凡求假数而不知其眞数为何数累乘而得者则以所知前位之整数累除之除得累乘之眞数则以其假数累加之即得所求之假数

如求二十三之假数而不知其为何数累乘而得但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六则以二十三为实以二十为法除之得一一又以两层所减数按位相加得二二即二十与一一相乘之数以之为法除原实二十三得一○四又以两层所减数按位相加得二二八八即二二与一○四相乘之数以之爲法除原实二十三得一○○五又以两层所减数按位相加得二二九九四四即二二八八与一○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四与一○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○四又以两层所减数按位相加得二二九九九九一八八四【法止用十位故第十一位满五以上者进一数用若不满五则去之】即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○三又以两层所减数相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○五又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○八又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十与一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得一三六一七二七八三六○六即为二十三之假数也若先有假数一三六一七二七八三六○六求眞数则视假数内足减二十之假数即以二十之假数书于原假数之下相减余○○六○六九七八四○四○足减一一之假数即以一一之假数书于减余之下相减余○○一九三○五一五五二四足减一○四之假数即以一○四之假数书于减余之下相减余○○○二二七一八一五九四足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○一○五七五四一八足减一○○○二之假数即以一○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○一八九○三九七足减一○○○○四之假数即以一○○○○四之假数书于减余之下相减余○○○○○○一五三二五四足减一○○○○○三之假数即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○二二九六六足减一○○○○○○五之假数即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一二五一足减一○○○○○○○二之假数即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○三八二足减一○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此十一假数累加所得之数而眞数即为此十一眞数累乘所得之数乃以此十一眞数累乘之得二十三即为所求之眞数也

又如求五千六百八十九之假数而不知其为何数累乘而得但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○则以五千六百八十九为实以五千六百为法除之得一○一又以两层所减数按位相加得五六五六即五千六百与一○一相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○五又以两层所减数按位相加得五六八四二八即五六五六与一○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○八又以两层所减数按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八与一○○○八相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一即为五千六百八十九之假数也若先有假数三七五五○三五九三三七一求眞数则视假数内足减五千六百之假数即以五千六百之假数书于原假数之下相减余○○○六八四七九○六七一足减一○一之假数即以一○一之假数书于减余之下相减余○○○二五二六五三二九三足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○三六○四七一一七足减一○○○八之假数即以一○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○一三一七四四八足减一○○○○三之假数即以一○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○一四五八四足减一○○○○○○三之假数即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一五五五足减一○○○○○○○三之假数即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○二五二足减一○○○○○○○○五之假数即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此九假数累加所得之数而眞数即为此九眞数累乘所得之数乃以此九眞数累乘之得五千六百八十九即为所求之眞数也

求八线对数

凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且眞数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正余之眞数求得假数复以正余之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也

对数用法

设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也

设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何

法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四眞数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之眞数得九二五八六即为九二五八六○○【因假数首位多二数则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即眞数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则眞数多一百今假数多一一二五八则眞数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡眞数二四位以后其假数之较相差无多故眞数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也

设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数得三三四即二百三十四为归除所得之数也

设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何

法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三【因法之假数大于实之假数故以实之假数加二即如以实之眞数加两空位也】内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六余○四九四八五○○二一七因假数首位为○卽知眞数应得单位其得数首位为升仍以假数首位加三查三四九四八五○○二一七所对之眞数得三一七五【因眞数得四位故将假数首位作三查表若眞数求五位则将假数首位作四查表或五位后仍有余数则用比例求之】即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也

设如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙边十二丈求丙乙边丙甲边各几何

法以甲角五十度之正假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈【作一二○○○】之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一四三○一即一十四丈三尺零一分为丙乙边也求丙甲边则以乙角九十度之正假数一○○○○○○○○○○○【即半径之数】与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数查假数相近所对之眞数得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也

设如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙边十六丈甲丙边十二丈问丙角乙角及乙丙边各若干法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度折半为六十五度为半外角乃以边较四丈【作四○○○】之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内减边总二十八丈【作二八○○○】之假数四四四七一五八○三一三余九四八六二二九四一二二爲半较角正切之假数查正切假数相近所对之眞数得十七度二分为半较角与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也又求丙乙边则以五十度之正假数九八八四二五三九六六五与十六丈【作一六○○○】之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内减丙角八十二度二分之正假数九九九五七八八二○九八余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也凡眞数用加减然后比例者须以眞数加减得数再查假数依法算之余皆仿此

设如六十四自乘问得几何

法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假数所对之眞数得四○九六即四千零九十六为自乘所得之数也葢自乘两数相同则其两假数亦相同故二因之即如二假数相加也

设如正方面积三百六十一尺开平方问毎一边数几何

法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之眞数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其眞数即得毎边之数也

设如正方面积一百五十二万二千七百五十六尺开平方问毎一边数几何

法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七因方积系七位今止查得五位仍余二位故将假数首位之四加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数又以一五二二七○○与一五二二八○○相减余一○○为一率以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减余二八五二○四为二率方积之后二位数五六为三率得四率一五九七○四葢眞数多一百则假数多二八五二○四今眞数多五十六则假数应多一五九七一四为比例四率也乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加得六一八二六三○三一九一即为一五二二七五六之假数折半得三○九一三一五一五九六仍查假数所对之眞数得一二三四即一千二百三十四尺为开平方所得毎边之数也

又防法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者【葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之】对其眞数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合

设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺问毎一边数几何

法以方积前五位一五二四一查得假数为四一八三○一三四六三一因方积系十五位今止查得五位仍余十位故将假数首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减截用六空位得一○○○○○○为一率以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减余二八四九四二为二率方积后十位数截用前六位得五七六五二七为三率【因表中假数止于十一位则眞数亦止须用十一位虽眞数后再多几位其假数前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共为十一位】得四率一六四二七七与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加得一四一八三○二九八九○八即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数折半得七○九一五一四九四五四因假数首位为七即知眞数应得八位今对数表假数首位止于四眞数止于五位故将折半所得假数首位之七减去三得四○九一五一四九四五四查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三对其眞数得一二三四五即为一二三四五○○○【因假数首位多三数则眞数进三位】又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减余三五一七八三为一率以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减余一○○○为二率今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减余二三八五一一为三率得四率六七八与一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四万五千六百七十八尺为开平方所得毎一边之数也

设如勾二十七尺股三十六尺求若干

法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之眞数得七二九为勾自乘之眞数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之眞数得一二九六为股自乘之眞数两自乘之眞数相加【不以两自乘之假数相加者葢假数相加则是相乘故必对其眞数然后相加也】得二○二五为自乘之眞数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之眞数得四五即四十五尺为开方所得之数也

设如三十六自乘再乘问得几何

法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假数所对之眞数得四六六五六即四万六千六百五十六为自乘再乘所得之数也葢自乘再乘系以方根乘二次则假数亦加二次故以方根之假数三因之即如以方根之假数加二次也其或位数多者依乘法之例推之

设如正方体积一万三千八百二十四尺开立方问毎一边数几何

法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一用三归之得一三八○二一一二四一七仍查假数所对之眞数得二四即二十四尺为开立方所得每边之数也葢正方体积之假数乃以毎边之假数三因所得之数故三归之即得每边之假数对其眞数即得毎边之数也其或位数多者依平方之例推之

设如方根一十六尺问三乘方积几何

法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假数所对之眞数得六五五三六即六万五千五百三十六尺为三乘方之积数也葢三乘方系以方根乘三次则其假数亦加三次故以方根之假数四因之即如以方根之假数加三次也其或位数多者亦依乘法之例推之

设如三乘方积二万零七百三十六尺问方根几何法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二用四归之得一○七九一八一二四六○仍查假数所对之眞数得一二即一十二尺为开三乘方所得方根之数也葢三乘方积之假数乃以方根之假数四因所得之数故四归之即得方根之假数对其眞数即得方根之数也其或位数多者亦依平方之例推之大凡开诸乘方之理亦皆由于连比例葢方根为连比例第一率平方积为第二率立方积为第三率三乘方积为第四率四乘方积为第五率五乘方积为第六率六乘方积为第七率七乘方积为第八率八乘方积为第九率九乘方积为第十率【与借根方比例定位表同】以第一率方根之假数各以率数乘之即得各乘方积之假数而以各乘方积之假数各以率数除之亦即得第一率方根之假数故由三乘方而进之四乘方求积则用五因求根则用五归五乘方求积则用六因求根则用六归推之至于九乘方求积则用十因求根则用十归即至于一百乘方则以方根之假数用一百零一乘之即得方积之假数以方积之假数用一百零一除之即得方根之假数乘除之数愈繁愈见对数之易此对数之大用也

御制数理精蕴下编卷三十八

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十九

末部九

比例规解【平分线　分面线　更面线分体线　更体线　五金线】

比例规解

比例尺代算凡防线面体乘除开方皆可以规度而得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究其立法之原总不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线以御轻重一曰分圆线一曰正线一曰正切线一曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线之分法及用法并着于篇此外又有假数尺即用对数及正割切诸线之对数为之用于三率比例测量尤为简捷亦详其法于后

平分线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷十九节之法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分即为平分线也尺之长短任意为之尺短则平分一百分尺长则平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也

设如一丁戊线欲加五倍问得几何

法以比例尺平分线第十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第五十分之辛壬二防相离之度作丁癸线即丁戊线之五倍也葢十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又五十分之防为辛与壬而甲辛壬为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺取平分线第一百五十分之子丑二防相离之度作寅卯线即为丁戊线之十五倍也若欲将丁戊线加三分之二则将平分线第三十分之辰巳二防依丁戊线度展开勿令移动而取平分线第五十分之午未二防相离之度作申酉线即为丁戊线加三分之二也【以丁戊线为三分而加二分共得五分因三与五之防近枢难用故用三十与五十其比例同也】若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数则将平分线第一百分之戌亥二防依丁癸线度展开勿令移动次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二防其相离之度恰符即定为一百分之二十约为五分之一即丁癸丁戊两线之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率为腰二率为底而定尺则三率复为腰而其底即四率也以一率为腰三率为底而定尺则二率复为腰而其底亦即四率也若以一率为底二率为腰而定尺则三率复为底而其腰则四率也诸线之用虽各不同其比例之理则一也

设如一丁戊线欲分为六分问每分几何

法以比例尺平分线第六十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分之一也葢六十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又十分之防为辛与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚六分之一则辛壬必为己庚六分之一而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣若欲分丁戊线为七分则将平分线第七十分之子丑二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于寅则丁寅即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲取七分之三则仍以丁戊线度于七十分上定尺而取平分线第三十分之卯辰二防相离之度截丁戊线于己则丁己即丁戊线七分之三也

设如有十三人每人给银七两问其银几何

法以比例尺平分线第十分之丁戊二防依分厘尺七厘之度展开勿令移动次取平分线第一百三十分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共银为九十一两也葢十分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又一百三十分之防为己与庚而甲己庚亦为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊十分与甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也又以十分当一人故以一百三十分当十三人以七厘当七两故九分一厘即为九十一两葢十分与一人之比同于一百三十分与十三人之比而

七厘与七两之比亦同于九分一厘与九

十一两之比也设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱八千八百文问官员几何法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二防依分厘尺一分之度展开勿令移动次取平分线第八十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得四分即得官四员也葢二十二分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八十八分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比同于丁戊一分与己庚四分之比也又以二十二分当钱二千二百故以八十八分当钱八千八百以一分当官一员故四分即为官四员葢二十二分与二千二百之比同于八十八分与八千八百之比而一分与一员之比亦同于四分与四员之比也

设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几何

法以比例尺平分线第二十分之丁戊二防【四倍五斗之数因五分近枢难用故用四倍之数也】依分厘尺二分之度展开勿令移动次取平分线第一百二十分之己庚二防相离之度【四倍三石之数三石为三十斗故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之防为丁与戊一百二十分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也又以二十分当五斗为四倍之数故以一百二十分当三石亦为四倍之数以二分当二疋故一寸二分即为十二疋葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也

设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三数几何

法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二防依分厘尺一分八厘之度展开勿令移动次取平分线第十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得一分二厘即相连比例之第三数为十二也葢二十七分之防为丁与戊十八分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十七与甲庚十八之比同于丁戊十八与己庚十二之比也丁戊与甲庚既同为十八即连比例之中率则己庚十二为连比例之第三率无疑矣

设如有勾五尺股十二尺问几何

法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二防依本线五十分之度展开勿令移动次取平分线甲庚五十分【当勾数】甲己一百二十分【当股数】之己庚二防相离之度于本线上量之为一百三十分即得十三尺也葢勾三股四五为勾股之定数今以甲戊三十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底则其两腰相交之甲角必为直角故以今有之勾股数为两腰而取其底即为所求之数也若有勾五尺有十三尺而求股则取本线一百三十分之度自五十分之庚防寻至一百二十分之己防其相离之度恰符即得股十二尺矣

设如有圆径三十五寸问圆周几何

法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二防【径率七之三倍也因七分近枢故用三倍之数】依分厘尺三分五厘之度展开勿令移动次取平分线第六十六分之己庚二防相离之度【周率二十二之三倍也因径率用三倍故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸为所求之圆周也葢二十一分之防为丁与戊六十六分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比而甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣又甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘当一寸故己庚亦以一厘当一寸其比例俱相当也

分面线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十一节之法分之即为分面线也或设正方面界一百厘其积数一万厘以二因之得二万厘开平方得一百四十一厘为积二万厘之根又以三因之得三万厘开平方得一百七十三厘为积三万厘之根照此屡倍积数开平方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分面线也

设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何法以比例尺分面线第一分之两防【因甲方之积为一分故用一分也】依甲正方形每边一寸之度展开勿令移动乃并三正方面积共十六分即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙丙三正方形之共积等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍则十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一边其积为一分则以十六分相距之度所作正方形其积必为十六分与三正方形之共积相等也

设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边四寸今欲将两面积相减取其余积作同式等边三角形问其边几何

法以比例尺分面线第一分之两防依小形每边一寸之度展开勿令移动次以大形每边四寸之度于分面线上寻至第十六分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为十六与一相减余十五为较积即取分面线第十五分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即较形之每一边也葢大小同式多边形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八卷第九节】今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例亦为十六与一矣夫大小两距度即大小两三角形之相当界其所作两正方形之比例既为十六与一则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣既得两形之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也

设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五等边形问其每边几何

法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取第三分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分为所求大形之每一边用其度作五等边形其积与原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八巻第九节】今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣夫一分相距之度即原形之界则以三分相距之度为大形之界其积为原形之三倍可知矣又以二寸当原形之边二尺故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也

设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何

法以比例尺分面线第四分之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分面线第三分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸为所求小形之每一边用其度作六边形其积即为原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣夫四分相距之度即原形之界则以三分相距之度为小形之界其积为原形四分之三可知矣又以三寸当原形之边三尺故二寸六分即为二尺六寸也

设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中率几何

法以比例尺分面线第二分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取分面线第八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺为相连比例之中率也葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比今首率为二尺末率为八尺则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例故以二分相距之度为首率之数则八分相距之度必为中率之数可知矣又首率用二寸当二尺故中率四寸即为四尺也

设如有正方面积一千六百尺问每一边几何法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积数一千六百尺相较其比例如一与十六即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺为所求正方之每一边也葢一分之积既为一百尺则十六分之积必为一千六百尺而一分相距之度既为方积一百尺之每一边则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣又以一寸当十尺故四寸即为四十尺也

设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何法以比例尺分面线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一万尺与积数九千零二十五尺相较其比例如一百与九十有余即取分面线第九十分有余相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺为所求正方之每一边也葢一百分之积既为一万尺则九十分有余之积必为九千余尺而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分五厘即为九十五尺也

更面线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一亿用面部内面积相等边线不同之定率比例得各形之边线其方边一万圜径一万一千二百八十四三等边一万五千一百九十七五等边七千六百二十四六等边六千二百零四七等边五千二百四十六八等边四千五百五十一九等边四千零二十二十等边三千六百零五将各形边数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更面线也

设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与圆积等问每边几何

法以比例尺更面线圆号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分为正方形之每一边用其度作正方形其积与圜积等也葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例今圆号相距之度既为圆径则方号相距之度必为方边无疑矣又以一寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六厘即为方边一尺零六分也

设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每边十尺欲并作一正方形问每边几何

法以比例尺更面线三边号之两防依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两防依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也

设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边六尺今将两面积相减用其余积作一七边形问其边几何

法以比例尺更面线八边号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两防依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两防依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也

设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边几何

法先以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积四千四百四十五尺相较其比例如一与四十四又九之五即取分面线第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二为方形之一边用其度作正方形其积与十边形积等也乃以更面线方号之两防依方形每边六寸六分又三分之二之度展开勿令移动次取十边号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺为所求十边形之每一边也葢正方形为各面形比例之宗故凡有积求边者必先用分面线求得方形之边然后用更面线使方号两防相距之度与方边等而取所求形之号两防相距之度即所求形之一边自圆形三边形以至九边形皆同一法也

分体线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十二节之法分之即为分体线也或设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之得二百万厘开立方得一百二十六厘为积二百万厘之根又以三因之得三百万厘开立方得一百四十四厘为积三百万厘之根照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线也

设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何法以比例尺分体线第一分之两防依甲正方体每边二寸之度展开勿令移动乃并三正方体积共八分即取八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙丙三正方体之共积等也葢八分所作正方体原比一分所作正方体大八倍则八分相距之度所作正方体亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣一分相距之度即甲正方体之一边其积为一分则以八分相距之度所作正方体其积必为八分与三正方体之共积相等也

设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边三寸今将两体积相减取其余积作同式四面体问其边几何

法以比例尺分体线第一分之两防依小体每边一寸之度展开勿令移动次以大体每边三寸之度于分体线寻至第二十七分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为二十七与一相减余二十六为较积即取分体线第二十六分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即较体之每一边也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例【见几何原本十卷第七节】今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例亦必为二十七与一矣夫大小两距度即大小两体之相当界其所作两正方体之比例既为二十七与一则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣既得两体之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也

设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八等面体问其每边几何

法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取第四分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分为所求体之一边用其度作八等面体其积与原体之四倍等也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣夫一分相距之度即原体之界则以四分相距之度为大体之界其积为原体之四倍可知矣又以一寸当原形边一尺故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也

设如有圆　　　　　　　【依】球径三尺欲取其积五分之二作同式圆球体问其径几

何法以比例尺分体线第五分之两防分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分体线第二分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分为所求小体之一边用其度为

径作圆　　　　　　　　　　　【依】球体其积为原体五分之二也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣夫五分相距之度即原体之径则以二分相距之度为小体之径其积为原体五分之二可知矣又以三寸当原体之径三尺故二寸二分一厘即为二尺二寸一分

也设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺求二率三率各几

何法以比例尺分体线第八分之两防分厘尺八分之度展开勿令移动次取分体线第二十七分之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分即十二尺为连比例四率之第二率既得二率乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法以平分线第八分之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取平分线第十二分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸八分即十八尺为连比例四率之第三率也葢相连比例四率其一率所作正方体与二率所作正方体之比例同于一率与四率之比例今一率为八尺四率为二十七尺则一率所作正方体与二率所作正方体之比例即如八与二十七之比例故以八分相距之度为一率之数则二十七分相距之度必为二率之数可知矣又一率用八分当八尺故二率一寸二分即为十二尺至于求第三率之法即平分线求连比例三率之理也

设如有正方体积二万七千尺问每一边几何法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数二万七千尺相较其比例如一与二十七即取分体线第二十七分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即三十尺为所求正方体之每一边也葢一分之积既为一千尺则二十七分之积必为二万七千尺而一分相距之度既为方积一千尺之每一边则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣又以一寸当十尺故三寸即为三十尺也

设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每一边几何

法以比例尺分体线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也

设如有银正方体每边二寸问重几何

法以比例尺分体线第九分之两防【银正方一寸之定率为九两故用九分度】依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两防其相距之度恰合即七十二两为银正方体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度一寸其积为九分相距之度二寸其积则为七十二分今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣又以九分当九两故七十二分为七十二两也

设如有大铜　　　　　　　　【之】球体径二寸重三十一两四钱一分

今有小　　　　　　　【比】铜球体径一寸二分问重

几何法以比例尺分体线第三十一分

四厘之处　　　　　　　　　　　　【例】依大球径二寸之度展开

勿令移动　　　　　　　　　　　　【与】次取小球径一寸二分之度于分体线上寻至第六分七厘有余之处其相距之度恰合即六两七钱有余为小铜球体之重数也葢各体重数积数之比例等相距之度二寸其积为三十一分四厘相距之度一寸二分其积则为六分七厘今相距一寸之三十

一分四厘既为径二寸大铜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【钱】球体之重数则相距一寸二分之六分七厘必

为径一寸二分小　　　　　　　　　　　　　　　【也】铜球体之重数矣又以三十一分四厘当三十一两四钱故六分七厘即为六两七

更体线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一兆用体部内体积相等边线不同之定率比例得各体之边

线其立方边一万　　　　　　　　　　　　　　　【正】球径一万二千四百零七四面体边二万零三百九十七八面体边一万二千八百四十九十二面体边五千零七十二二十面体边七千七百一十将各体边线数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更体线

也设如有　　　　　　　【方】甲球体径二尺欲作一正方体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】积与球积等问每

边几何法以比例尺　　　　　　　　　　　　　　　　【其】更体线球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分一厘即一尺六寸一分为正方体之每一边用其度作

积与甲　　　　　　　　　　　【厘】球积等也　　　　　　　　　　　　　　　　【即】葢球号与方号

之比例原为同　　　　　　　　　　　　　　【三】积之球径与立方边之比例则其两距度之比例亦必为球

径与立方边之　　　　　　　　　　　　　　【尺】比例今球号相距【一】之度既为球径则方号相距之度必为

方边无疑矣　　　　　　　　　　　　　【寸】又以二寸当球径二尺故一寸六分一厘即为一

尺六寸一分也设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四尺欲并作一正方

体问每边几何法以比例尺更体线四面号之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸四分六厘即一尺四寸六分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲四面体积等也又以八面号之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得三寸一分一一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与乙八面体积等也乃将两正方体用分体线求其积之比例以分体线第一分之两防依小方体每边一寸四分六厘之度展开勿令移动复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处其相距之度恰合即两方体之比例为一与九分五厘并之得十分五厘即取分体线第十分五厘相距之度于分厘尺上量之得三寸二分即三尺二寸为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙两体之积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相加故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体复用分体线求其比例而并之即得所求大方体之一边也

设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺今将两体积相减用其余积作十二面体问其边几何

法以比例尺更体线方号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零一厘四豪即一尺零一分四厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与甲正方体积等也又

以　　　　　　　　　【上】球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得八分一厘七豪即八寸一分七厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与【寻】乙球体积等也乃将两十二面体用分体线求其比例以分体线第十分之两防依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开勿令移动复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线至第十九分其相距之度恰合即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分即取分体线第九分两防相距之度于分厘尺上量之得七分九厘即七寸九分为所求十二面体之每一边用其度作十二面体与甲乙两体相减之余积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相减故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体复用分体线求其比例而后相减即得所求十二面体之一边也

设如有二十面体积一万七千四百五十五尺问每一边几何

法先以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数一万七千四百五十五尺相较其比例如一与十七又九之五即取分体线第十七分又九之五相距之度于分厘尺上量之得二寸五分九厘即二十五尺九寸为正方体之一边用其度作正方体其积与二十面体积等也乃以更体线方号之两防依正方体每边二寸五分九厘之度展开勿令移动次取二十面号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即二十尺为所求二十面体之每一边也葢正方体为各体形比例之宗故凡有积求边者必先用分体线求得方体之边然后用更体线使方号两防相距之度与方边等而取所求体之号两防相距之度即所求

体之一边自　　　　　　　　　　　　　【也】球体四面体至二十面体皆同一法

五金线

自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用各体权度比例定率数金重十六两八钱水银重十二两二钱八分铅重九两九钱三分银重九两铜重七两五钱铁重六两七钱锡重六两三钱为各体正方一寸轻重之比例【定率数有三十余种尺不能尽载惟此数者其用为多故止载此】若重数相等则其积数必不同故又用转比例之法求其体积之比例命金之积为十亿则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五【水银重十二两二钱八分为一率金重十六两八钱为二率金积十亿为三率得四率即水银积余仿此】铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六铜之积为二十二亿四千万铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六既得各体之积数乃开立方求其方根则金之数为一千水银之数为一千一百一十铅之数为一千一百九十一银之数为一千二百三十一铜之数为一千三百零八铁之数为一千三百五十八锡之数为一千三百八十六爰将各根数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成五金线也

设如有金　　　　　　　【重】球径二尺欲作一　　　　　　　　　　　　　　　【之】银球其重　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【金】与金球等问

径几何法以比例尺五金线金号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分六厘即二尺四寸六分为银球径用其度作银球即与金球重等也葢金号与银号之比例原为同体边与银体边之比例则金号与银号两距度之比例亦必为同重之金体边与银体边之比例今金号相距之度既

为金　　　　　　　　　　【面】球径则银号相距之度必为【体】

银球径可知矣又以二寸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【其】当金球径二尺故二寸四分六厘即为二尺四寸

六分也设如有金正方体每边一寸重十六两八钱今欲作银八面体其重与金正方体等问每一边几何法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边一寸之度展开勿令移动次取八面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分八厘有余即为金正方体等重之金八面体之每一边数乃以五金线金号之两防依金八面体每边一寸二分八厘之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分八厘有余即为银八面体之每一边用其度作八重与金正方体等也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为八面体而后用五金线比例之其法与前同也

设如有铜正方体每边二寸重六十两今有铅一百

两欲铸为　　　　　　　　【号】球体问径几

何法先以分体线第六十分之两【两防原重六十两故取六】防依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两防相距之【十分今重一百两故取一】度于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两防依正方每边二寸三分七

厘之度展开勿令移动次　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】取球号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸

九分四厘即重一百两　　　　　　　　　　　　　　　　　【分】之铜球径复以五金线铜号之两防依铜球径二寸九分四厘之度展开勿令移动次取铅相距之度于分厘尺上量之得二寸六

分八厘即重一百两之铅　　　　　　　　　　　　　　　　　　【边】球径也葢两重数不同而两体又不同不能得其比例故先用分体线变为同重之铜正

方体又用更体线变为同重之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【必】铜球体乃用五金线铜与铅之边线以比例之而后得其径

数也设如银正方一寸重九两问铜正方一寸重几何法以五金线银号之两防依正方一寸之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零五厘二豪即为重九两之铜正方边数乃以分体线九十分之两防依一寸零五厘二豪之度展开勿令移动而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两防其相距之度恰合即七两五钱为铜正方一寸重数也葢银重九两其方边一寸则铜重九两其方为一寸零五厘二豪又铜方边一寸零五厘二豪其重九两则铜方边一寸其重即为七两五钱也

设如有银正方体每边二寸重七十二两今欲作一铜二十面体其边与正方体等问重几何

法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边二寸之度展开勿令移动次取二十面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分四厘有余即为银正方体等重之银二十面体之每一边乃以五金线银号之两防依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分三厘有余即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边复以分体线第七十二分之两防依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开勿令移动而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处其相距之度恰合即一百三十两有余为铜二十面体之重数也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为二十面体又用五金线变银二十面体为铜二十面体复用分体线有边求重之法比例之然后得其重数也