测量

周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也

勾股测量【凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平

须记取某处与人目所看相平为记】

设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何

法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也

又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也

设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何

法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也

又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也

设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何

法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也

设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何

法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也

又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也

设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何

法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比俱为相当比例四率也

设如隔河一树欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十七丈测之问离树之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量十七丈复安一矩度【若止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减余三十四分为一率先安矩度游表斜距分七十分为二率横量十七丈为三率求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也如图甲为树乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分四十九分戊乙为游表斜距分七十分乙丙为横量十七丈丙为后安矩度中心其己庚为距矩度中心距分十五分庚丙为游表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛则辛戊为减余三十四分乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比而辛戊与乙辛【乙辛即与丙庚度等】之比又同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以外故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛两勾股形【乙丁辛即丙己庚】亦同以乙丁为股故即成两两同式形若游表视线在对角以内或一在对角之内一在对角之外所得距矩度中心距分不同者则须取其同距矩度中心距分之度以为比例如后法

设如隔河一亭欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对亭横量三十丈测之问距亭之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量三十丈复安一矩度以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭得距矩度中心距分二十七分其游表之斜距分为五十六分八厘有余次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭亦察距矩度中心距分二十七分处得距中心距分三十分其游表之斜距分为四十分三厘有余乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率横量三十丈为三率求得四率八十五丈二尺有余为先安矩度距亭之逺若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率则得四率六十丈四尺五寸有余为后安矩度距亭之逺也如图甲为亭乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分二十七分乙戊为中心平分距分五十分丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余乙丙为横量三十丈丙为后安矩度中心其己庚亦为距矩度中心距分二十七分丙庚为距中心平分距分三十分己丙为游表斜距分四十分三厘有余按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛则乙辛为减余二十分又自丁至辛作丁辛线与己丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比又乙辛与丁辛【即己丙】之比同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以内故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为勾而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾使成两两同式形然后可以为比例也

设如有塔一座欲知其高用相等两表测之问得高几何

法先立一表比人目高四尺看塔顶得距分六尺又自前表向后量六丈复立一表亦比人目高四尺看塔顶得距分八尺乃以前距分六尺与后距分八尺相减余二尺为一率表比人目高四尺为二率向后量六丈为三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔顶下地平之逺则以两距分相减之较为一率前表距分六尺为二率向后量之数为三率得四率十八丈为前表距塔顶下地平之逺若求后表距塔顶下地平之逺则以后表距分八尺为二率得四率二十四丈即后表距塔顶下地平之逺也如图甲乙为塔之高丙丁与戊己为两表比人目之高四尺丁目为前表距分六尺丁己为向后量六丈己目为后表距分八尺试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚则庚目为减余二尺乃自戊过丙至辛作戊丙辛线又自戊至庚作戊庚线遂成戊己庚勾股形与丙丁目勾股形同度俱与甲辛丙勾股形为同式形而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也

设如有楼一座欲知其高用不等两表测之问得高几何

法先立长表比人目高六尺看楼脊得距分五尺四寸又自先立长表向后量二丈立短表比人目高四尺看楼脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺为一率前表距分五尺四寸为二率后表比人目之高四尺为三率求得四率三尺六寸为前表与后表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减余二尺八寸为一率后表比人目之高四尺为二率以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸余一尺八寸与两表相距二丈相减余一丈八尺二寸为三率求得四率二丈六尺加后表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如图甲乙为楼之高丙丁为前表比人目之高六尺丁目为前表距分五尺四寸丁己为向后量二丈戊己为后表比人目之高四尺己目为后表距分六尺四寸试依后表戊己度作庚辛垂线截丁目于辛则辛目距分必小于丁目故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比而得辛目之分既得辛目则以辛目与己目相减余壬目即前后两表同高所得距分之较又于两表相距丁己内减丁辛余辛己即同高两表相距之分故壬目与戊己【即庚辛】之比即同于戊庚【即辛己】与甲癸之比也

三角度数测量【度数测量必取资于仪器全圜仪半圜仪象限仪虽为体不同其为用则一以九十度为准以定表游表为二视线其相距之度即为所测之角】

设如一塔不知其髙但知距塔之逺为三十丈欲测其高几何

法以仪器定凖坠线以定表看地平游表看塔尖得两表相距二十四度乃以二十四度与九十度相减余六十六度为对所知之角其正九万一千三百五十五为一率仪器上二十四度为对所求之角其正四万零六百七十四为二率距塔之逺三十丈为所知之边为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即所求之塔之高也如图甲乙为塔之高丙乙为距塔之逺仪器中心为丁丁丙为仪器中心距地之高丁戊为定表所对地平为庚丁己为游表看塔尖甲得两表距弧二十四度为己戊其正为己辛其余为壬己与丁辛等象限九十度内减二十四度余六十六度为癸己即甲角之正弧其正即壬己是以与壬己相等之丁辛与己辛之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也

又法以半径十万为一率二十四度之切线四万四千五百二十三为二率距塔之逺三十丈为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即塔之高也如图己戊弧为二十四度丁戊为半径壬戊为二十四度之正切故丁戊与壬戊之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率也

设如一树欲知其逺取一直角横量十五丈测之问得几何

法以仪器定游表于九十度定表看树对游表立两表竿取直横量十五丈复安仪器于此以定表看原处游表看树得两表相距六十度乃以六十度与九十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率仪器上六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率横量十五丈为所知之边为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为距树之逺乙为所定直角丙乙为横量十五丈丙为仪器中心丙丁为定表看原处乙丙戊为游表看甲得两表距弧六十度为戊丁其正为戊己余为庚戊与丙己等象限九十度内减六十度余三十度为辛戊即甲角之正弧其正即庚戊是以与庚戊相等之丙己与戊己之比同于丙乙与甲乙之比为相当比例四率也

又法以半径十万为一率丙角六十度之正切十七万三千二百零五为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也若求甲丙斜距则以半径十万为一率丙角六十度之正割二十万为二率横量十五丈为三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如图戊丁弧为六十度丙丁为半径己丁为六十度之正切己丙为六十度之正割故丙丁与己丁之比同于丙乙与甲乙之比又丙丁与己丙之比同于丙乙与甲丙之比俱各为相当比例四率也

设如一山欲知其高用重测之法测之退步十丈问山之高得几何

法先安仪器定准坠线以定表看地平游表看山顶得两表相距五十度又退行十丈复安仪器定准坠线以定表仍看前仪器定表所看地平原处仍以游表看山顶得两表相距四十度乃以前仪器所得五十度内减后仪器所得四十度余十度为对所知之角其正一万七千三百六十五为一率后仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率退行十丈为所知之边为三率求得四率三十七丈零一寸为前仪器中心至山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率前仪器所得五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率前仪器中心至山顶之斜距三十七丈零一寸为所知之边为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为退行十丈前测得丙角五十度后测得丁角四十度而丙角为甲丙丁三角形之外角与丁甲二内角相并之度等【解见三角形边线角度相求巻中】故丙角五十度内减丁角四十度余十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丙边既得甲丙边然后用甲乙丙直角三角形求甲乙边为山之高也

又法以前测所得五十度之余切八万三千九百一十与后测所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余三万五千二百六十五为一率半径十万为二率退行十丈为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如图戊己为丙角之余切即丙甲乙角之正切与壬癸等庚辛为丁角之余切即丁甲乙角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸与戊丙及庚丁俱同为半径甲癸壬三角形与甲乙丙三角形为同式形而甲癸子三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲壬子三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以子壬与甲癸之比同于丁丙与甲乙之比而为相当比例四率也

设如人在山上欲测山之高但知山前有二树与山参直二树相距十八丈问山之高得几何

法于山顶安仪器定准坠线以定表向空中取一平线先以游表看逺树得游表距垂线四十九度次以游表看近树得游表距垂线三十八度乃以所得两数相减余十一度为对所知之角其正一万九千零八十一为一率以看逺树所得之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率二树相距十八丈为三率求得四率六十一丈八尺九寸为近树距山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率以看近树所得之三十八度与九十度相减余五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率近树距山顶之斜距六十一丈八尺九寸为所知之边为三率求得四率四十八丈七尺七寸即所测之山之高也如图甲乙为两树相距十八丈丙丁为山之高甲丙丁角为看逺树所得之四十九度乙丙丁角为看近树所得之三十八度两数相减余十一度为甲丙乙角甲丙丁角四十九度与九十度相减所余之四十一度为甲角乙丙丁角三十八度与九十度相减所余之五十二度为乙角先用甲乙丙钝角三角形求丙乙边既得丙乙边然后用乙丙丁直角三角形求丙丁边为山之高也

又法以先看逺树所得四十九度之正切十一万五千零三十七与后看近树所得三十八度之正切七万八千一百二十九相减余三万六千九百零八为一率半径十万为二率二树相距之十八丈为三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如图戊己为甲丙丁角之正切庚己为乙丙丁角之正切戊庚即两正切之较丙己为半径故戊庚与丙己之比同于甲乙与丙丁之比而为相当比例四率也

设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量五十丈测之问两处各距石几何

法先平安仪器于左以定表看右仪器之中心游表看石得两表相距七十度次平安仪器于右以定表看左仪器之中心游表看石得两表相距六十度乃以两角度相并得一百三十度与一百八十度相减余五十度为对所知之角其正七万六千六百零四为一率求右边则以左边仪器所得七十度为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左边距石之逺则以右边仪器所得六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度两角相并与一百八十度相减得甲角五十度共为甲乙丙锐角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边及甲丙边也又法以左边仪器所得七十度之余切三万六千三百九十七与右边仪器所得六十度之余切五万七千七百三十五相并得九万四千一百三十二为一率右边仪器所得六十度之余割十一万五千四百三十为二率左右相距五十丈为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左邉距石之逺则以左边仪器所得七十度之余割十万六千四百一十八为二率左右相距五十丈为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度试自甲至乙丙线上作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角形戊己为丙角之余切即丁甲丙角之正切与壬癸等己丙为丙角之余割即丁甲丙角之正割与甲癸等庚辛为乙角之余切即丁甲乙角之正切与壬子等庚乙为乙角之余割即丁甲乙角之正割与甲子等而癸子即两余切之和甲壬癸与甲丁丙为同式形甲壬子与甲丁乙为同式形故甲子癸与甲乙丙亦为同式形是以癸子与甲癸之比同于丙乙与甲丙之比又癸子与甲子之比同于丙乙与甲乙之比皆为相当比例四率也

设如隔河一树欲知其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十二丈测之问离树之逺得几何法平安仪器于一处随定表横量十二丈复安一仪器【若止用一仪器则记凖一处亦可】以先安仪器定表看后安仪器中心游表看树得两表相距一百一十度次以后安仪器定表看先安仪器中心游表看树得两表相距四十度乃以两角度相并得一百五十度与一百八十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率后安仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率横量十二丈为所知之边为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为一百一十度丙角为四十度两角相并与一百八十度相减得甲角三十度共为甲乙丙钝角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边也

又法以先安仪器所得之外角七十度之余切三万六千三百九十七与后安仪器所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余八万二千七百七十八为一率先安仪器所得之外角七十度之余割十万六千四百一十八为二率横量十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为先安仪器所得一百一十度丙角为后安仪器所得四十度试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己为乙外角之余切即乙甲丁角之正切与壬癸等己乙为乙外角之余割即乙甲丁角之正割与甲壬等庚辛为丙角之余切即丙甲丁角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸壬三角形与甲丁乙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁丙三角形为同式形故甲壬子三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲壬之比同于丙乙与甲乙之比而为相当比例四率也

设如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右两处横量一百丈先求斜距测之问山之高得几何法以仪器斜对山顶随定表横量一百丈任记一处游表看山顶得两表相距八十六度五十三分又随定表横量一百丈所记之处复安仪器斜对山顶以定表看原处游表看山顶得两表相距七十八度零七分乃以两角度相并得一百六十五度与一百八十度相减余一十五度为对所知之角其正二万五千八百八十二为一率后测所得七十八度零七分为对所求之角其正九万七千八百五十七为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率三百七十八丈零九寸为先安仪器至山顶之斜距次以仪器安于原处定凖坠线定表看地平游表看山顶得两表相距五十一度乃以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率仪器所得五十一度为对所求之角其正七万七千七百一十五为二率仪器至山顶之斜距三百七十八丈零九寸为所知之边为三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所测之山之高也如图甲为山顶甲乙为先安仪器至山顶之斜距乙丙为横量一百丈甲丙为后安仪器至山顶之斜距乙角为八十六度五十三分丙角为七十八度零七分两角相并与一百八十度相减得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角与乙丙边求甲乙边即先安仪器至山顶之斜距又甲丁为山之高甲乙为仪器至山顶之斜距丁角即山顶垂线与地平所成直角乙角为五十一度复成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角与甲乙边求甲丁边即山之高也

设如人在山坡测山之高前后不得地平爰取斜坡前后两处相距一百丈测之问山之高得几何法于山坡先安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距四十度于是向后就斜坡直量一百丈复安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距三十五度又以游表看前仪器中心得两表相距十三度乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度余五度为对所知之角其正八千七百一十六为一率以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度余二十七度为对所求之外角其正四万五千三百九十九为二率退量一百丈为所知之边为三率求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率后仪器所得三十五度为对所求之角其正五万七千三百五十八为二率山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为山坡斜距一百丈甲丙戊角为前仪器所得四十度甲丁乙角为后仪器所得三十五度丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度若将戊丙线引长至己则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度余五度为丁甲丙角【此即前题退步两测之理】又试将丁丙线引长至庚则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后仪器至山顶之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙边为山之高也

设如东西二树欲知其相距之逺测处距西树五十丈距东树七十丈问二树相距几何

法以仪器定表看东树游表看西树得两表相距五十度乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加得一百二十丈为一率又以五十丈与七十丈相减余二十丈为二率两表相距五十度与一百八十度相减余一百三十度为外角折半得六十五度为半外角其正切二十一万四千四百五十一为三率求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切检表得十九度四十分与半外角六十五度相减余四十五度二十分为小角与半外角六十五度相加得八十四度四十分为大角既得二角则以小角四十五度二十分为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则丙戊丙丁俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较试自甲至戊作甲戊线则成丙甲戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也

又法以半径十万为一率两表相距五十度之正七万六千六百零四为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十八丈三尺为西树至看东树视线上之垂线又以半径十万为一率两表相距五十度之余六万四千二百七十九为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十二丈一尺四寸为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线将此数与距东树之逺七十丈相减余三十七丈八尺六寸亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线爰以此线为勾所得垂线为股求得五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形先求得甲丁垂线为股次求得丁丙小段分边线与乙丙相减余乙丁大段分边线为勾求得甲乙即二树相距之逺也

又法以距西树之逺五十丈为一率距东树之逺七十丈为二率两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切检表得四十五度二十分即对西树视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形以甲角为心作一戊己庚半圜则甲丁垂线平分于己两边各成一象限又与乙丙平行作一辛壬线则辛己一段为乙甲丁分角之正切即乙角之余切己壬一段为丙甲丁分角之正切即丙角之余切而甲壬为丙甲丁分角之正割亦即丙角之余割甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬【即丙甲丁分角之正割】与丙甲丁乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率既得辛壬两分角之共切内减去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之余切】所余辛己为乙甲丁分角之正切即为乙角之余切检表即得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣

设如南北二桥欲知其相距之逺测处距南桥九十丈距北桥一百二十丈问二桥相距几何

法以仪器定表看北桥游表看南桥得两表相距一百二十度乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加得二百一十丈为一率又以九十丈与一百二十丈相减余三十丈为二率两表相距一百二十度与一百八十度相减余六十度为外角折半得三十度为半外角其正切五万七千七百三十五为三率求得四率八千二百四十八为半较角之正切检表得四度四十三分与半外角三十度相减余二十五度一十七分为小角与半外角三十度相加得三十四度四十三分为大角既得二角则以小角二十五度十七分为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也如图甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则乙丁为两边之和乙戊为两边之较试自甲至戊作甲戊线成甲丙戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺九十丈为三率求得四率七十七丈九尺四寸为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线又以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之余五万为二率距南桥之逺五十丈为三率求得四率四十五丈为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈为南桥至看北桥视线引长之总边线爰以此线为股所得南桥至虚边之垂线为勾求得一百八十二丈四尺八寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形先求得甲丁垂线为勾次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股求得甲乙即二桥相距之逺也

又法以距南桥之逺九十丈为一率距北桥之逺一百二十丈为二率两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十五万三千九百六十为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加得二十一万一千六百九十五为对南桥视线之对边角之余切检表得二十五度十七分即对南桥视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度试将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即

甲丁丙三　　　　　　　　　　　　　　【角】形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减即两甲角相差之较如子庚甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚【即己丙】与两余切之较子庚之比为相当比例四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣

设如隔河东西二树欲知其相距之逺爰对一树取一直角左右横量十三丈测之问二树相距几何法先对西树安仪器于右定游表于九十度以定表看西树随游表横量十三丈乃以游表看东树得西树视线距横量边线九十度东树视线距横量边线三十八度西树东树两视线相距为五十二度次于直角横量十三丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看东树得东树视线距横量边线一百一十度复以游表看西树得西树视线距横量边线四十五度乃先求右仪器距西树之逺以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减余四十五度为对所知之角其正七万零七百一十一为一率以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角其正七万零七百一十一为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率十三丈为右仪器距西树之逺次求右仪器距东树之逺以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并得一百四十八度与一百八十度相减余三十二度为对所知之角其正五万二千九百九十二为一率以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺末求东西二树相距之逺以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸为一率又以十三丈与二十三丈零五寸相减余十丈零五寸为二率以右仪器看西树东树两表相距五十二度与一百八十度相减余一百二十八度为外角折半得六十四度为半外角其正切二十万零五千零三十为三率求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切捡表得二十九度四十五分与半外角六十四度相减余三十四度十五分为小角以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加得九十三度四十五分为大角乃以小角三十四度十五分为对所知之角其正五万六千二百八十为一率看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距十三丈甲丙丁角为直角九十度甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度乙丁丙角为左仪器看东树视线距横量边线一百一十度甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度先以甲丁丙角四十五度与九十度相减余四十五度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙边为右仪器距西树之逺次以乙丙丁角三十八度与乙丁丙角一百一十度并之与一百八十度相减余三十二度为丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙边为右仪器距东树之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二边甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙边为东西二树相距之逺也

设如南北二峯欲知其相距之逺不取直角于左右两处横量一百丈测之问二峯相距几何

法安仪器于右随定表向左横量一百丈乃以游表看南峯得南峯视线距横量边线一百零七度复以游表看北峯得北峯视线距横量边线四十六度南峯北峯两视线相距为六十一度次于横量一百丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看北峯得北峯视线距横量边线九十九度复以游表看南峯得南峯视线距横量边线五十度北峯南峯两视线相距为四十九度乃先求左仪器距北峯之逺以右仪器看北峯距横量边线之四十六度与左仪器看北峯距横量边线之九十九度相倂得一百四十五度与一百八十度相减余三十五度为对所知之角其正五万七千三百五十八为一率以右仪器看北峯距横量边线之四十六度为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率一百二十五丈四尺一寸为左仪器距北峯之逺次求左仪器距南峯之逺以左仪器看南峯距横量边线之五十度与右仪器看南峯距横量边线之一百零七度相并得一百五十七度与一百八十度相减余二十三度为对所知之角其正三万九千零七十三为一率右仪器看南峯距横量边线一百零七度为对所求之角其外角七十三度之正九万五千六百三十为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率二百四十四丈七尺四寸为左仪器距南峯之逺末求南北二峯相距之逺以左仪器距北峯一百二十五丈四尺一寸与左仪器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸为一率又以一百二十五丈四尺一寸与二百四十四丈七尺四寸相减余一百一十九丈三尺三寸为二率以左仪器看南峯北峯两视线相距四十九度与一百八十度相减余一百三十一度为外角折半得六十五度三十分为半外角其正切二十一万九千四百三十为三率求得四率七万零七百四十为半较角之正切查表得三十五度十六分与半外角六十五度三十分相减余三十度十四分为小角与半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分为大角乃以小角三十度十四分为对所知之角其正五万零三百五十二为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸为所知之边为三率求得四率一百八十七丈九尺七寸为南北二峯相距之逺也又法求自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线作勾股法算之则以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率九十四丈六尺四寸为自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线次求左仪器至垂线末之分边线仍以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率以左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率【即四十九度之余】左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率八十二丈二尺七寸为自左仪器至垂线末之分边线与左仪器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相减余一百六十二丈四尺七寸为南峯距垂线末之分边线乃以此数为股所得垂线九十四丈六尺四寸为勾求得一百八十八丈零二寸即南北二峯相距之逺也如图甲为南峯乙为北峯丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距一百丈甲丙丁角为右仪器看南峯视线距横量边线一百零七度乙丙丁角为右仪器看北峯视线距横量边线四十六度乙丁丙角为左仪器看北峯视线距横量边线九十九度甲丁丙角为左仪器看南峯视线距横量边线五十度甲丁乙角为左仪器看南峯北峯两表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度与乙丁丙角九十九度并之与一百八十度相减余三十五度为丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁边为左仪器距北峯之逺次以甲丁丙角五十度与甲丙丁角一百零七度并之与一百八十度相减余二十三度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁边为左仪器距南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二边甲丁乙一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙边为南北二峯相距之逺也又或求得乙戊垂线又求得丁戊为左仪器至垂线末之分边线则以丁戊与甲丁相减余甲戊为股乙戊垂线为勾而得甲乙为南北二峯相距之逺也

御制数理精蕴下编卷十八

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷十九

面部九

各面形縂论

直线形

各面形总论

面之爲形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成皆圜之类立法则方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜又爲众界形之本葢众界形或函圜或函于圜其边皆当弧线之度故求众界形者必以圜界爲宗也因有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众界形之毎一边与圜径俱设爲一○○○○则方面积爲一○○○○○○○○而圜面积爲七八五三九八一六三等边形之面积爲四三三○一二七○五等边形之面积爲一七二○四七七四一六等边形之面积爲二五九八○七六二○七等边形之面积爲三六三三九一二四○八等边形之面积爲四八二八四二七一二九等边形之面积爲六一八一八二四二○十等边形之面积爲七六九四二○八八三此各形之面积皆以方积比例者也或以圜面积设爲一○○○○○○○○则圜径得一一二八三小余七九一六如圜径与众界形之毎一边俱设爲一一二八三小余七九一六则圜面积爲一○○○○○○○○而三等边形之面积爲五五一三二八八九方面积爲一二七三二三九五四五等边形之面积爲二一九○五七九八六六等边形之面积爲三三○七九七三三四七等边形之面积爲四六二六八四○九八八等边形之面积爲六一四七七四四三五九等边形之面积爲七八七○九四三○二十等边形之面积爲九七九六五七○九九此各形之面积皆以圜积比例者也葢因各形之边线相等面积不同故皆定爲面与面之比例也面积等者边线不等如众界形之面积与圜面积俱设爲一○○○○○○○○○○○○○○○○则方边爲一○○○○○○○○而圜径爲一一二八三七九一六三等边形之毎边爲一五一九六七一三七五等边形之毎边爲七六二三八七○五六等边形之毎边爲六二○四○三二四七等边形之毎边爲五二四五八一二六八等边形之毎边爲四五五○八九八五九等边形之毎边爲四○二一九九六三十等边形之毎边爲三六○五一○五八此各形之边线皆以方边比例者也或以圜径设爲一○○○○○○○○则圜面积爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面积与众界形之面积俱设爲七八五三九八一六三三九七四四八三则圜径爲一○○○○○○○○而二等边形之毎边爲一三四六七七三六九四等边形【卽正方】之毎边爲八八六二二六九二五等边形之毎边爲六七五六四七九三六等边形之毎边爲五四九八一八○五七等边形之毎边爲四六四八九八○三八等边形之毎边爲四○三三一二八八九等边形之毎边爲三五六四四○一四十等边形之毎边爲三一九四九四一八此各形之边线皆以圜径比例者也葢因各形之面积相等边线不同故皆定爲线与线之比例也然自众界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股爲准则故勾股三角形虽爲面而不囿于面之中却别立一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者归之正方引而伸之触类而长之凡爲面形者不能违是也

直线形

设如正方形每边五十尺问对角斜线几何

法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆可互为勾股故以一边自乗倍之开方得卽如各自乗相并开方而得也又用定率比例法以定率之方边一○○○○○○○爲一率对角斜线一四一四二一三五为二率今所设之方边五十尺为三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有余卽所求之对角斜线也葢定率设方边为一千万其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比卽如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也

若有对角斜线求方边则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也葢甲丙自乗之方与甲乙股乙丙勾两正方相并之积等今以甲丙自乗折半则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等故开方而得每一边也或用定率比例法以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率方边一○○○○○○○为二率今所设之对角斜线为三率求得四率卽方边也

设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几何

法以每边二尺自乗得四尺倍之得八尺开方得二尺八寸二分八厘四豪有余卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切则丁乙与己乙皆为半径其度相等葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方形积相等也

设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边几何

法以每边二尺倍之得四尺卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以每边二尺倍之而卽得也此法葢因两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原本七卷第五节】故戊乙己庚正方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面积之四尺相比为四分之一而戊乙己庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而十六与四之比其间隔八之一位故为连比例隔一位相加之比例也

设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何

法以阔八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余即所求之阔旣得阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺为二率今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余卽所求之长也或以长十二尺自乗倍之开方亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之即如戊己庚辛长方形此两长方面积之比例卽同于其相当二界各作一正方面积之比例【见几何原本七卷第七节】故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形将其积倍之卽如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形故开方得辛庚为所求之阔也既得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比卽同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求之长也若以原长自乗倍之开方卽如以二长界各作一正方形互相为比例也

设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何

法以阔八尺倍之得十六尺卽所求之阔又以原长十二尺倍之得二十四尺即所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四倍之卽如戊己庚辛长方形其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以各边之数倍之而即得也此法葢因两长方面之比例既同于其相当二界各作一正方面之比例而两正方面之比例比之二界之比例为连比例隔一位相加之比例故两长方面之比例较之两界之比例亦为连比例隔一位相加之比例也

设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何法以积三千尺倍之得六千尺用底阔八十尺除之得七十五尺卽所求之长也如图甲乙丙三角形其积倍之成丁乙丙戊长方形乙丙为底阔故以底阔除长方积得甲己为中长也

设如两两等边无直角斜方形【一日象目形】小边皆二十五丈大边皆三十九丈对两小角斜线五十六丈问面积防何

法以对角斜线分斜方形为两三角形算之以对角斜线五十六丈为底大边三十九丈小边二十五丈为两腰用三角形求中垂线法求得中垂线十五丈乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面积也如图甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小边皆二十五丈甲乙丁丙二大边皆三十九丈甲丙对两小角斜线五十六丈今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙甲丁丙两三角形俱以甲丙为底甲丁与丁丙为两腰求得丁戊或乙己皆为中垂线故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也

设如不等边两直角斜方形直角之边长五十丈上阔二十丈下阔二十八丈问面积几何

法以上阔二十丈与下阔二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之积面也如图甲乙丙丁斜方形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与甲乙长相乗遂成甲乙己庚长方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形与斜方内所少之辛己丙勾股形之

积等故所得之甲乙己庚长方形即甲乙丙丁斜方形之面积也

又法上阔下阔相并与长相乗得数折半即斜方形之面积也葢前法上阔下阔相加折半而后与长相乗此法则上阔下阔相加卽与长相乗而后折半其理一也

设如梯形长三十丈上阔十二丈下阔二十丈问面积防何

法以上阔十二丈与下阔二十丈相加得三十二丈折半得十六丈与长三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面积也如图甲乙丙丁梯形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与丁己长相乗遂成庚乙己丁长方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等故所得之庚乙己丁长方形卽甲乙丙丁梯形之面积也

又法以上阔下阔相并与长相乗得数折半即梯形之面积也

设如三角形自尖至底中长二百尺底阔一百五十尺今欲自尖截长一百二十尺问截阔防何法以中长二百尺为一率底阔一百五十尺为二率截长一百二十尺为三率求得四率九十尺即所截之阔也如图甲乙丙三角形甲丁中长二百尺乙丙底阔一百五十尺甲戊为所截长一百二十尺而甲丁与乙丙之比即同于甲戊与己庚之比也如以截阔求截长则以底阔为一率中长为二率截阔为三率所得四率即所截之长也

设如不等边两直角斜方形长九十尺上阔二十尺下阔三十八尺今欲截中阔二十七尺问上下各截长防何

法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减余七尺为三率求得四率三十五尺即上所截之长以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减余五十五尺即下所截之长也如欲先得下所截之长则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减余一十一尺为三率求得四率五十五尺即下所截之长也如图甲乙丙丁斜方形甲乙为长九十尺与丁戊等乙丙为下阔三十八尺甲丁为上阔二十尺与乙戊等己庚为所截中阔二十七尺上阔与下阔相减余戊丙十八尺上阔与所截中阔相减余辛庚七尺而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上阔与下阔相减余戊丙十八尺所截中阔与下阔相减余壬丙十一尺而戊丙与丁戊之比又同于壬丙与庚壬之比也如有所截上长或所截下长求截阔则以总长为一率上下阔相减所余为二率截长为三率求得四率有上截长则与上阔相加有下截长则与下阔相减所得即所截之阔也

设如梯形面积一千五百尺下阔四十尺中长五十尺问上阔几何

法以积一千五百尺倍之得三千尺用长五十尺除之得六十尺为上下两阔相和之数内减下阔四十尺余二十尺即上阔也如图甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形试将己角取直作己辛线则截斜方形一叚为己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙遂成庚乙己辛长方形其积原与甲乙己戊斜方形等今用庚乙中长除之得乙己即上下两阔相和之数内减乙丙下阔所余丙己与甲丁等即上阔也

设如不等边两直角斜方形积九千六百尺长一百二十尺上下两阔相差之较四十尺问上阔下阔各防何

法以积九千六百尺倍之得一万九千二百尺用长一百二十尺除之得一百六十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较四十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较四十尺得一百尺即下阔也如图甲乙丙丁斜方形其甲乙长一百二十尺甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺试将原积倍之遂成甲乙己庚长方形故以甲乙长除之得乙己为上下阔相和之数内减戊丙上下两阔相差之较余数折半得乙戊与甲丁等

为上阔加戊丙较得乙丙为下阔也

设如梯形面积六千六百五十尺长九十五尺上下两阔相差之较二十尺问上阔下阔各几何法以积六千六百五十尺倍之得一万三千三百尺用长九十五尺除之得一百四十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较二十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较二十尺得八十尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲戊长九十五尺甲丁上阔与乙丙下阔相差乙戊与己丙共二十尺试将原积倍之成甲乙庚辛斜方形与壬乙庚癸长方形之积等故以甲戊长除壬乙庚癸长方形得乙庚为上下两阔相和之数内减乙戊与己丙上下两阔相差之较余折半得戊己与甲丁等为上阔加乙戊与己丙上下两阔相差之较得乙丙为下阔也

设如方环形外周二百八十丈内周一百二十丈求面积几何

法以外周二百八十丈四归之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四归之得三十丈自乗得九百丈两自乗数相减余四千丈卽方环之面积也如图甲乙丙丁外周二百八十丈四归之得甲乙之一边自乗得甲乙丙丁大方积戊己庚辛内周一百二十丈四归之得戊己之一边自乗得戊己庚辛小方积两方积相减所余即方环之面积也

又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈两数相减余六万四千丈以十六除之得四千丈即方环面积也前法将内外周各四归之而得内外方边故以内外方边各自乗相减而

得方环面积此法即以内外周各自乘相减以十六除之而得方环面积也葢内外周为内外方边之四倍内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍【凡方边大一倍则面积大四倍今方边大四倍故面积大十六倍为隔一位相加之连比例也】是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也

又有方环面积求外方边至内方边之阔则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方环面积四千丈得二十丈即外方边至内方边之阔也如图自方环内边作壬癸子丑二线则甲乙癸壬子丑丙丁为外方边与阔相乘之二长方壬戊辛子己癸丑庚为内方边与阔相乘之二长方引而长之成寅夘辰己一长方其长即半外周与半内周之和其阔即外方边至内方边之阔故以外周与内周相并折半除方环面积而得外方边至内方边之阔也

又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减余四十丈折半得二十丈亦即外方边至内方边之阔也如图甲丁为外方边减与戊辛内方边相等之壬子余甲壬与子丁折半得甲壬即方环之阔也

设如方环面积四千尺阔二十尺求内外方边各几何

法以阔二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺四归之得六百尺以阔二十尺除之得三十尺即内方边又以阔二十尺倍之得四十尺加内方边三十尺得七十尺即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环形内减甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳阔自乘之四正方余寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四长方四归之得寅辰已戊一长方其阔即方环之阔其长即方环内边之长故以寅戊阔除之得戊己为内方边也

又法置环积四千尺以阔二十尺除之得二百尺四归之得五十尺加阔二十尺得七十尺即外方边于五十尺内减阔二十尺余三十尺即内方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环积以阔除之即得壬癸子丑为内周外周相并折半之中数以四归之即得壬癸一边与戊寅等故加阔得外边减阔得内边也

设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从上叚截勾股形积五十四尺问截长阔各几何

法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之阔既得所截之阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺甲丁戊勾股形为截积五十四尺是故甲乙与乙丙之比应同于甲丁与丁戊之比然而无甲丁之数故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方则甲乙与乙丙之比必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比【葢截积倍之成己甲丁戊长方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几何原本八卷第七节】故开方而得丁戊为所截之阔又乙丙与甲乙之比即同于丁戊与甲丁之比而得甲丁为所截之长也若先求截长则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比【截积倍之成甲丁戊己长方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互相为比亦同于其底之互相为比也】故开方而得甲丁为所截之长也既得截长则用比例四率求之亦得所截之阔矣

又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺为一率所截之勾股形积五十四尺为二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率则得四率

一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形积五十四尺此两勾股形为同式形故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也

设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从下叚截斜方形积四百三十二尺问截长及上阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之上阔九尺与勾二十七尺相减余一十八尺为三率求得四率二十四尺即所截之长也此法亦系线与线为比面与面为比也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺其甲乙与乙丙之比应同于戊己【即丁乙】与己丙之比然而无戊己之数故将截积倍之遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较【即己丙也】与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也【葢截积倍之成庚丁乙辛长方形己丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形此二长方形同以两阔之和为长故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比也】又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形引而长之遂成辰丑申未长方形其辰丑即上下两阔之较其丑申即上下两阔之和故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳磬折形所余即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故开方而得丁戊为所截之阔也既得所截之阔则以丁戊与乙丙相减余巳丙而乙丙与甲乙之比卽同于己丙与戊己【卽丁乙】之比也

又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得亦同

设如三角形中长二十尺底阔一十五尺今从上段截三角形积五十四尺问截长阔各几何

法以底阔一十五尺为一率中长二十尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得一十二尺即所截之长既得所截之长则以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率所截之长十二尺为三率求得四率九尺卽所截之阔也此法亦一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙三角形甲丁中长二十尺乙丙底阔十五尺甲戊己三角形为截积五十四尺是故乙丙与甲丁之比应同于戊己与甲庚之比然而无戊己之数故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方

则乙丙与甲丁之比必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比故开方而得甲庚为所截之长又甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比而得戊己为所截之阔也若先求截阔则以中长二十尺为一率底阔一十五尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔葢甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比故开方而得戊己为所截之阔也既得截阔则用比例四率求之亦得所截之长矣又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角积一百五十尺为一率所截之三角积五十四尺为二率以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以中长二十尺自乘得四百尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙三角形截甲戊己三角形积五十四尺此两三角形为同式形故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也

设如三角形中长二十尺底阔十五尺今从下段截梯形积九十六尺问截长及上阔各几何

法以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率截积九十六尺倍之得一百九十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺内减所得四率一百四十四尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以底阔十五尺为一率中长二十尺为二率所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率求得四率八尺即所截下段之长也如图甲乙丙三角形甲丁为中长二十尺乙丙为底阔十五尺戊乙丙己梯形为截积九十六尺戊己为所截之阔庚丁【与戊辛己壬等】为所截之长乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较是故甲丁与乙丙之比应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣【葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比又甲丁与丁丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也】但今无庚丁之数故将截积倍之遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减即余戊己自乘方积开方而得戊己为所截之阔也既得戊己截阔则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙而乙丙与甲丁之比又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也

又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角形积一百五十尺内减从下段所截之梯形积九十六尺余五十四尺卽为从上段所截之三角形积依前法比例求之所得亦同

设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从上段截积一百六十八尺问截长阔各几何

法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺乃以上阔十二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率截阔十六尺内减上阔十二尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁斜方形甲乙长二十四尺与丁戊等甲丁为上阔十二尺乙丙为下阔二十尺甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺是故丁戊与戊丙之比应同于丁辛与辛庚之比然而无丁辛

之数故将截积倍之爲丁辛截长与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形也又辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之积与甲丁己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等试依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形两正方形相减所余为寅癸子丑辰卯磬折形引而长之遂成寅癸巳午长方形其寅癸即上中两阔之较其癸己即上中两阔之和故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故开方而得已庚为所截之阔也既得所截之阔则以己庚与甲丁相减余辛庚而戊丙与丁戊之比卽同于辛庚与丁辛之比也

又法将斜方形增作勾股形算之以上阔十二尺与下阔二十尺相减余八尺为一率长二十四尺为二率上阔十二尺为三率求得四率三十六尺为斜方形上所增小勾股形之股与斜方形之长二十四尺相加得六十尺为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上阔十二尺为小勾所得三十六尺为小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺为斜方形上所增之小勾股形积与截积一百六十八尺相加得三百八十四尺为所截之勾股形积乃用勾股形从上段截勾股积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁斜方形增作勾股形为壬乙丙其

上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为戊丙以戊丙与丁戊之比同于甲丁与壬甲之比得壬甲为小勾股形之股以壬甲与甲乙相加得壬乙为大勾股形之股又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加得壬己庚勾股形积即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也

设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长阔各几何

法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减截阔十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长也此与勾股形从下叚截斜方形积之理同前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积上阔小而截阔大故以上阔自乘与所得四率相加开方而得截阔此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积下阔大而截阔小故以下阔自乘内减所得四率开方而得截阔也

设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今从上段截积二十四丈问截长阔各几何

法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率截积二十四丈倍之得四十八丈为三率求得四率二十四丈乃以上阔五丈自乘得二十五丈与所得四率二十四丈相加得四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率求得四率四丈即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈戊己庚辛俱相等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比然无甲庚之数故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积开方而得壬癸为所截之阔也既得壬癸截阔则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比卽同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣

又法将梯形增作三角形算之以上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为一率长十二丈为二率上阔五丈为三率求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长与梯形之长十二丈相加得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长乃以上阔

五丈为底所得十丈为中长相乗得五十丈折半得二十五丈为梯形上所増之小三角形积与截积二十四丈相加得四十九丈为所截之三角形积乃用三角形从上段截三角积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁梯形增作三角形为子乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为乙戊己丙而乙戊己丙与甲戊之比即同于甲丁与子丑之比得子丑为小三角形之中长以子丑与等甲戊之丑寅相加得子寅为大三角形之中长又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加得子壬癸三角形积即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也

设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今自下叚截积七十二丈问截长阔各几何

法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率以截积七十二丈倍之得一百四十四丈为三率求得四率七十二丈乃以下阔十一丈自乗得一百二十一丈内减所得四率七十二丈余四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈与下阔十一丈相减余四丈为三率求得四率八丈即所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈与戊己等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈庚乙丙辛梯形为截积七十二丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比然无庚壬之数故将截积倍之为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率所得四率卽乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减即余庚辛自乗方积开方而得庚辛为所截之阔也

设如梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺问截长阔各几何

法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十尺相减余六十尺折半得三十尺为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减折半之三十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三率求得四率六十尺为所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲丁上阔二十尺与戊己等乙丙下阔八十尺甲戊长一百二十尺乙戊为上下阔相减折半之三十尺庚乙辛为所截勾股积四百五十尺甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也

设如梯形长一百二十尺上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺问截上阔下阔各几何

法以上阔四十尺与下阔八十尺相减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺余之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和内减上阔下阔之较二十尺余五十尺折半得二十五尺为上阔加较二十尺得四十五尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲丁为上阔四十尺与戊己等乙丙为下阔八十尺甲戊为长一百二十尺甲乙辛庚为所截斜方形积四千二百尺倍之成壬癸辛庚长方形乙戊为所截斜方形上下两阔之较今以甲戊长除壬癸辛庚长方积得癸辛为上下两阔之和内减乙戊上下两阔之较余癸乙与戊辛折半得戊辛与甲庚等即所截斜方形之上阔加乙戊上下两阔之较得乙辛即所截斜方形之下阔也

设如三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今欲平分面积一半与原三角形为同式形问所截三边各几何法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为所截之底边乃以全底边四十二丈为一率大腰边三十四丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余为所截之大腰边仍以全底边四十二丈为一率小腰边二十丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余即所截之小腰边也如图甲乙丙三角形平分面积一半成丁戊丙三角形此两三角形既为同式形则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比故以甲乙丙三角形面积为一率丁戊丙三角形面积为二率乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故开方得戊丙也既得戊丙则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比俱为相当比例四率也若取原积三分之一或几分之几者则将其积以其分数归之比例并同

又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也

又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆仿此类推之

设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣

又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相

减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也

设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何

法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减卽余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边旣得方边则各自乗卽得各面积矣

又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边卽长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也

设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何

法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长卽两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也

设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何

法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方

形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也

设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也

设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何

法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所

多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍卽成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干卽长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较卽得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较卽得大正方形之边也

设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简防而密合也

设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何

法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺卽每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线

【积为】内同底两三角形其面积【见几何原本三卷第十节】必等故甲丁乙甲丁丙两三角形相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者仿此类推

设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何

法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也

设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何

法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也

御制数理精蕴下编卷十九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十

面部十

曲线形

曲线形

设如圜径一尺二寸问周几何

法用周径定率比例以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤卽所求之圜之周数也葢圜之数竒零不尽立法必自方数始是故圜内容形屡求勾股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿万边内外凑集使圜周变为直线精密已极始为得之爰设圜径为一而圜周得三一四一五九二六五有余是为定率故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比卽同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一防八纤之比也

又周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径一一三周得三五四九九九九六九有余进而为三五五则周数微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之间耳

又周径定率比例以径数七为一率周数二十二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五防七纤有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径七周得二一九九一一四八五有余进而为二二则周数大而所得周数亦大至于旧术径一围三乃圜内容六等边形之共度实小于圜之周线故径一则围三有余围三则径一不足也

设如圜周一丈五尺问径几何

法用周径定率比例以周数三一四一五九二六五为一率径数一○○○○○○○○为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防有余即所求之圜之径数也葢前法有径求周故以定率之径与定率之周为比卽如今所设之径与今所得之周为比此法有周求径故以定率之周与定率之径为比卽如今所设之周与今所得之径为比也

又周径定率比例以周数一○○○○○○○○为一率径数三一八三○九八八为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防为圜之径数也葢圜周为三一四一五九二六五则圜径为一○○○○○○○○若圜周为一○○○○○○○○则圜径为三一八三○九八八其比例仍同也如以周数三五五为一率径数一一三为二率今所设之圜周一丈五尺为三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余为圜之径数又或以周数二二为一率径数七为二率今所设之圜周一丈五尺为三率则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余较之前法所得径数稍小葢径为七而周稍小于二二若周为二二径必稍大于七今截而为七则径数稍小故所得径数亦稍小也

设如圜径八寸问面积几何

法以圜径八寸用径求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余卽圜之面积也葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等而圜之周界又与直角三角形之大边线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等【见几何原本四卷第二十一节】如甲乙丙丁圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形【癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等】卽为圜之面积也如以全周与全径相乗则以四归之亦得圜面积葢全径为半径之倍全周为半周之倍则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍为隔一位相加之比例故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也

又法用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢因圜径方边相等圜积方积不同故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如子寅圜径为一○○○○则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以圜径一○○○○○○○○为一率方边八八六二二六九二为二率今所设之圜径八寸为三率求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余为与圜面积相等之正方形每边之数自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢以圜积方积设为相等使圜径与方边不同先定为线与线之比例既得线而后自乗之为面也如子寅圜径一○○○○○○○○其所得之积开方则得八八六二二六九二即为辰己午未正方之每边是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面积为相等也

又法用方周圜周定率比例以方周数四五二为一率圜周数三五五为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余即圜之面积也此法葢因

方　　　　　　　　　　　　　　【丑圜径为一一】周与圜周之比同于方【见算法原本二卷第二十八节】积与圜积之比如子三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰己方周为四五二【方边一一三以四因之则得四五二】试以正方面之午丑半径为高寅卯辰己方周为底作一午丑未申长方形则比寅卯辰己正方形之面积大一倍又以圜面之午丑半径为高子丑圜周为底作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形之面积亦大一倍此两长方形同以午丑为高故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例且全与全之比例又同于半与半之比例故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二与圜周三五五之比即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也

又法以十四分为一率十一分为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余为圜之面积也此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比葢圜径七则圜周为二二半之得一一方边七则方周为二八半之得一四故以十四分与十一分之比亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也然所得之面积过大者因径七围二十二之定率其周既大故所得之圜积亦大也旧术圜积得方积四分之三求积则以圜径自乗四分损一得圜积求径则以圜积三分益一开方得圜径此仍以径一围三立法故径求积所得之数必小积求径所得之数必大也

设如圜周六尺六寸问面积几何

法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也

设如圜面积六尺一十六寸问径几何

法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之圜面积六尺一十六

寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四丝为与圜径相等之正方边之正方面积开方得二尺八寸零五豪六丝有余即圜之径数也葢圜积为七八五三九八一六则方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则方积为一二七三二三九五四其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○为一率者即如以圜积七八五三九八一六为一率而以方积一二七三二三九五四为二率者即如以方积一○○○○○○○○为二率也

又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以方边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之圜面积六尺一十六寸开方得二尺四寸八分一厘九豪三丝四忽有余为三率求得四率二尺八寸零五豪六丝二忽有余即圜之径数也此法亦以圜积方积设为相等使圜径与方边不同故以圜面积开方得方边为线与线之比例葢方边为八八六二二六九二则圜径为一○○○○○○○○若方边为一○○○○○○○○则圜径为一一二八三七九一六其比例仍同故以方边一○○○○○○○○为一率者即如以方边八八六二二六九二为一率而以圜径一一二八三七九一六为二率者即如以圜径一○○○○○○○○为二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五为一率方周四五二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五丝有余开方亦得二尺八寸零五豪六丝有余为圜之径数也

又法以十一分为一率十四分为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸开方得二尺八寸为圜之径数也葢径七围二十二之定率其径既小则方周与方积亦皆小故开方所得之圜径亦小也

设如圜面积六尺一十六寸问周几何

法以圜面积六尺一十六寸用圜积求径法求得圜径二尺八寸零五豪六丝有余又用圜径求周法求得八尺七寸九分八厘二豪二丝有余即圜之周数也

又法用圜积与圜周方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率圜周方积一二五六六三七○六二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有余开方得八尺七寸九分八厘二豪有余即圜之周数也葢圜积为七九五七七四七则圜周自乗方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则圜周自乗方积为一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○与圜周自乗方积一二五六六三七○六二之比即同于今所设之圜面积六尺一十六寸与今所得之圜周自乗方积七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比既得圜周自乗方积开方即得圜周也

设如撱圜形【一音鸭蛋形】大径九尺小径六尺问面积几何

法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之大小径相乗之长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面积也葢圜面积与撱圜面积之比同于圜外所切之正方形积与撱圜形外所切之长方积之比【见几何原本八卷第十二节】则圜外所切之正方形积与圜面积之比亦必同于撱圜形外所切之长方形积与撱圜面积之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大径九尺乙丁小径六尺以大径与小径相乗遂成戊己庚辛长方形此长方形积与撱圜形积之比即同于正方积与圜积之比故以定率之方积数为一率圜积数为二率今所得之大小径相乗之长方积为三率求得四率为撱圜形之面积也

设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大径九尺问小径几何

法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圜形之小径也葢方面积与圜面积之比既同于长方面积与撱圜形面积之比则圜面积与方面积之比亦必同于撱圜形面积与长方面积之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛长方形其戊己长与甲丙大径等其己庚阔与乙丁小径等故以大径除之得小径也如有小径求大径则以所得长方积用小径除之而得大径也

设如圆环形外周二十一尺三寸内周七尺一寸阔二尺二寸六分求面积几何

法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以阔二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积也如图甲乙丙丁圆环形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙与丁乙皆二尺二寸六分试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小边与甲乙大圜之戊乙半径等庚辛大边与大圜之周界等则己庚辛直角三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角三角形其面积与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形之面积等矣故如斜尖方形求积法以如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙阔之壬庚乗之得子丑庚壬一长方形与癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圆环形之面积也

设如圆环形外径二尺四寸内径一尺二寸求面积几何

法以外径二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二丝有余又以内径一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一丝有余乃以内径一尺二寸与外径二尺四寸相减余一尺二寸折半得六寸为圆环形之阔依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十厘有余为圆环形之面积也

又法以外径二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内径一尺二寸自乗得一尺四十四寸两数相减余四尺三十二寸为方环面积乃用方积圜积定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之方环面积四尺三十二寸为三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有余即圆环形之面积也此法葢以方环圆环为比例即如用方积圜积定率为比例也分而言之则外径自乗与外大圜面积为比内径自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外径各自乗相减即用方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也

设如圆环形外周六尺六寸内周二尺二寸求面积几何

法以外周六尺六寸求得径二尺一寸零八豪四丝有余又以内周二尺二寸求得径七寸零二豪八丝有余两径相减余一尺四寸零五豪六丝有余折半得七寸零二豪八丝有余为圆环形之阔依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二厘有余即圆环形之面积也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸两数相减余三十八尺七十二寸乃用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率两周自乗相减之余三十八尺七十二寸为三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有余即圆环形之面积也此法葢以两圜周自乗相减之余积与圆环积为比例卽如用圜周方积圜积定率为比例也分而言之则外周自乗与外大圜面积为比内周自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外周各自乗相减即用圜周方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也

设如圆环形面积四百六十二尺阔七尺求内外径各几何

法以阔七尺除圆环面积四百六十二尺得六十六尺即内外周相并折半之数为中周乃以周求径法求得径二十一尺零八厘四豪五丝有余为内外径相并折半之数为中径加阔七尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余卽外径中径内减阔七尺余一十四尺零八厘四豪五丝有余即内径也如图甲乙丙丁圆环形其面积四百六十二尺甲丙与丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺为戊己周次所得之中径二十一尺零八厘四豪五丝有余为戊己径其甲戊与戊丙等丁己与己乙等故甲戊与己乙两段戊丙与丁己两段皆与丁乙及甲丙阔度等是以于中径内加阔得外径减阔得内径也

又法先用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率圆环积四百六十二尺为三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有余为方环积乃以阔七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺与所得之方环积相减余三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有余四归之得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有余以阔七尺除之得一十四尺零八厘四豪五丝有余为内圜径加倍阔十四尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余为外圜径也此法葢以圆环积变为方环积卽如前法方环积变为圆环积也如甲乙丙丁圆环形变为戊己庚辛壬癸子丑方环形内减戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛阔自乗之四正方形余寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四长方形四归之余寅卯癸壬一长方形以寅壬阔除之得壬癸长与丙丁内径等加甲丙与丁乙得甲乙即外径也

设如圆环形面积三百零八尺阔七尺求内外周各几何

法以阔七尺除圆环面积三百零八尺得四十四尺为内外周相并折半之数为中周又用径求周法以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率阔七尺为三率求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余为内外周相减折半之数为半较乃以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一厘一豪四丝有余卽外周数以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相减余二十二尺零八厘八豪六丝有余即内周数也如图甲乙丙丁圆环形其面积三百零八尺丁乙阔七尺试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形则己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角之三角形积乃与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环面积等矣而癸辛庚壬斜尖方形积又与子丑庚壬长方形积等故以如丁乙阔之壬庚除之得丑庚为内外周相并折半之中周数又以寅庚全径与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔【与子丑等】与辛丑半较之比葢丁乙为内外径相减折半之较辛丑即内外周相减折半之较为相当比例四率也既得辛丑与丑卯等即辛庚外周大于丑庚中周之较亦即癸壬内周【与卯庚等】小于丑庚中周之较故于中周加半较得外周减半较得内周也

设如圆环形面积三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及阔各几何

法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一豪有余又用周径求积法求得内周圜面积九寸六十二分七十七厘五十豪有余与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余即外周圆面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之外周圜面积三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余为三率求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有余为外径自乗之方积开方得二尺零九分七厘七豪有余即外径减去内径三寸五分零一豪余一尺七寸四分七厘六豪折半得八寸七分三厘八豪即圆环形之阔又用径求周法求得周六尺五寸九分零一豪有余即外周数也

设如圆环形面积三百八十四尺外周八十八尺求内周及阔各几何

法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘二豪有余又用周径求积法求得外周圜面积六百一十六尺二十四寸六十四分有余内减去圆环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分有余为内周圜面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之内周圜面积二百三十二尺二十四寸六十四分为三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有余即内径自乗之方积开方得一十七尺一寸九分六厘有余即内径与外径二十八尺零一分一厘二豪相减余一十尺八寸一分五厘二豪有余折半得五尺四寸零七厘六豪即圆环形之阔又用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八豪有余即内周数也

设如圜径一尺二寸今截弧矢形一段矢阔二寸四分求长几何

法以矢阔二寸四分为首率圜径一尺二寸内减矢阔二寸四分余九寸六分为末率首率末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率倍之得九寸六分即弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊为矢阔二寸四分试自甲至丙作甲丙线自丙至乙作丙乙线遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半即为其垂线故所截甲戊为首率戊乙为末率求得丙戊为中率【见几何原本九卷第二节并见勾股卷定勾股无零数法中】倍之得丙丁即弧矢形之也又法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为矢阔二寸四分与半径六寸相减余三寸六分为勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸折半得甲己半径六寸与丙己等为又于甲己半径六寸内减甲戊矢阔二寸四分余戊己三寸六分为勾求得丙戊股倍之得丙丁为弧矢形之也

设如圜径一　尺七寸今截弧矢形一段长一尺五寸求矢阔几何

法以长一尺五寸折半得半七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圜径一尺七寸为长阔和用带纵和数开方法算之得阔四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁为长一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二线成甲丙乙直角三角形而丙戊为垂线故甲戊为首率戊乙为末率丙戊为中率中率自乗之正方与首率末率相乗之长方等今以丙丁折半得半丙戊自乗即与甲戊矢为阔戊乙截径为长相乗之长方等故以甲乙为长阔和求得甲戊阔即矢也

又法以圜径一尺七寸折半得八寸五分为以长一尺五寸折半得七寸五分为股求得勾四寸与半径八寸五分相减余四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸折半得丙己半径八寸五分为丙丁一尺五寸折半得丙戊七寸五分为股求得戊己勾与甲己半径相减余甲戊卽矢之阔也又法以圜径一尺七寸为弧一尺五寸为股求得勾八寸与圜径一尺七寸相减余九寸折半得四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸与丁庚等如自丙至庚作丙庚线则成丁丙庚直角三角形故以丁庚为丙丁为股求得丙庚勾与戊辛等以戊辛与甲乙全径相减余甲戊与辛乙两叚折半卽得甲戊为矢之阔也

设如弧矢形长一尺二寸矢阔四寸求圜径几何法以矢阔四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸为圜之截径加矢阔四寸得一尺三寸卽圜之径数也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长一尺二寸丁乙矢阔四寸试继甲丁丙弧作一全圜【法见几何原本十一卷十三节】将丁乙矢线引长作丁戊全径线又自甲至丁作甲丁线自甲至戊作甲戊线遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半即为其中垂线故丁乙矢为首率乙戊截径为末率而甲乙半即为中率故丁乙与甲乙之比同于甲乙与乙戊之比而得乙戊截径加丁乙矢卽得丁戊为圜之全径也

设如弧矢形长八尺矢阔二尺求面积几何

法先用弧矢形有矢求圜径法求得圜之全径十尺折半得半径五尺为一率半四尺为二率以半径十万为三率求得四率八万为正数捡八线表得五十三度零七分四十九秒为半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒为全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九万六千秒为一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八万二千五百三十八秒为二率全径十尺求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二丝有余为三率求得四率九尺二寸七分二厘九豪八丝有余为全弧之数与半径五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘为自圜心所分弧背三角形积又于半径五尺内减矢二尺余三尺与八尺相乗得二十四尺折半得十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积二十三尺一十八寸二十四分五十厘相减余一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面积也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长八尺丁乙矢阔二尺甲乙为半四尺试继此弧作一全圜求得丁戊全径【解见前】折半得己丁半径既得半径而甲乙半又即为甲丁半弧之正故比例得正数捡表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分之比同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之数与己丁半径相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面积又于丁己半径内减丁乙矢余乙己为截半径与甲丙相乘折半得甲己丙直线三角形面积与甲己丙丁弧背三角形面积相减余即甲乙丙丁弧矢形之面积也

设如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界长二尺二寸求圜径及长矢阔各几何

法以截弧一百二十度为一率全圜三百六十度为二率截弧二尺二寸为三率求得四率六尺六寸为圜之周数用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝有余乃以半径十万为一率截弧一百二十度折半得六十度查正得八万六千六百零三倍之得一十七万三千二百零六即一百二十度之通为二率今所得之圜径二尺一寸零八豪四丝有余折半得一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率一尺八寸一分九厘三豪九丝有余卽弧矢形之数又以半径十万为一率六十度之余五万与半径十万相减余五万卽六十度之正矢为二率今所得之半径一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率五寸二分五厘二豪一丝有余即弧矢形之矢数也如图甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界为二尺二寸求甲丙全径及乙丁甲戊矢则以乙甲丁弧一百二十度与甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也旣得全周求得甲丙全径折半于己心自己至乙作己乙半径线则乙戊卽如六十度之正乙丁卽如一百二十度之通甲戊即如六十度之正矢故以半径十万与一百二十度之通一十七万三千二百零六之比卽同于己乙半径一尺零五分零四豪二丝有余与乙丁全一尺八寸一分九厘三豪九丝有余之比又半径十万与六十度之正矢五万之比卽同于己乙半径与甲戊矢五寸二分五厘二豪一丝有余之比也

设如圜形截弧矢一段任自弧界一处对圜心至作一斜线长一尺二寸将全分为大小两段大段长一尺八寸小段长一尺六寸问圜径几何法以所作之斜线一尺二寸为一率截小段一尺六寸为二率大段一尺八寸为三率求得四率二尺四寸为自截处过圜心至圜对界之线将此线与所作之斜线一尺二寸相加得三尺六寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲对圜心戊至乙丁上作甲己斜线将乙丁分为乙己己丁两段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸试将甲己斜线引长过圜心至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲己乙丁己丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两己角为对角故两三角形为同式形也】故以甲己与乙己之比即同于己丁与己丙之比既得己丙与甲己相加卽得甲丙为圜径也

设如圜形截弧矢一段任自弧界一处至作一垂线长一尺二寸将全分为大小两段其大段长三尺小段长一尺问圜径几何

法以所作垂线一尺二寸为一率截小段一尺为二率大段三尺为三率求得四率二尺五寸为自截处至圜对界之直线乃以此线与所作之垂线一尺二寸相加得三尺七寸为股以截小段一尺与大段三尺相减余二尺为勾求得四尺二寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁上作甲戊线长一尺二寸将乙丁分为乙戊戊丁两叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺试将甲戊线引长至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲戊乙丁戊丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两戊角俱为直角故两三角形为同式形也】故以甲戊与戊乙之比同于丁戊与戊丙之比既得戊丙与甲戊相加即得甲丙又以乙戊【同己丁】与戊丁相减余戊己与甲庚等乃自甲至庚作甲庚线与乙丁平行则甲角为直角必立于圜界之一半又自庚至丙作庚丙线则又成庚甲丙勾股形故以庚甲为勾甲丙为股求得庚丙即圜径也

设如一大圜形内容四小圜形但知大圜形径一尺二寸求小圜形径几何

法以大圜形径一尺二寸自乘倍之开方得一尺六寸九分七厘零五丝有余内减大圜形径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝有余即小圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方边即大圜形全径用方边求斜法求得壬庚己辛两斜即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方边遂为四勾股形之各两斜各折半遂各为四勾股形之各勾股任取一勾股和减即得容圜全径也【觧见勾股容圜法中】

设如一大圜形内容四小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何

法以小圜形径五寸自乘倍之开方得七寸零七厘一豪有余加小圜形径五寸得一尺二寸零七厘一豪有余即大圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试连四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊一正方形用方边求斜法求得乙丁斜加己乙与丁庚两半径【即一小圜形之全径】即得己庚大圜形全径也

设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺二寸求内容小圜形径几何

法以大圜形径一尺二寸求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰半径六寸为中埀线用三角形容圜法求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余卽小圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线皆与圜之全径等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以两全径为两腰一半径为中线用三角形容圜法算之卽得一小圜径也

设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何

法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边用等边三角形求外切圜形全径法求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余加小圜全径五寸得一尺零七分七厘三豪五丝有余卽大圜形

全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三

小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙

丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形

其毎边皆与小圜全径等又切乙丙丁

三角作一圜形用等边三角形求外切

圜形全径法【解见三角形卷】求得乙戊径线加

己乙与戊庚两半径【即一小圜形之全径】卽得己

庚大圜形全径也

御制数理精蕴下编卷二十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十一

面部十一

圜内容各等边形

圜外切各等边形

圜内容各等边形

设如圜径一尺二寸求内容三等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸为半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为圜内容三等边形之每一边爰以三等边形之每一边为每一边折半为勾求得股九寸或以圜径一尺二寸取其四分之三亦得九寸为圜内容三等边形之中垂线乃以每一边之一尺零三分九厘二豪三丝有余与中垂线九寸相乘得九十三寸五十三分零七厘有余折半得四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形试自丁至乙作丁乙线即圜内容六等边形之每一边与丁戊半径等甲乙全径丁乙半径与甲丁边遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全径为丁乙半径为勾求得甲丁股即圜内容三等边形之每一边也其甲己中垂线即甲丁己丁勾所求之股又为圜径四分之三既得一边又得中垂线即如三角形求面积法算之而得圜内容三等边形之面积也

又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽倍之得一尺零三分九厘二豪三丝六忽为圜内容三等边形之每一边既得每一边之数乃取圜径四分之三为中垂线与每一边之数相乘折半得四十六寸七十六分五十六厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形每一边之弧皆一百二十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为六十度甲戊即六十度之正甲丙即一百二十度之通是故半径十万与六十度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之毎一边八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝有余即圜内容三等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积三二四七五九五三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积四一三四九六六七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容四等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余为圜内容四等边形之每一边其半径自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形试自圜心戊至丁角作戊丁半径线遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同为半径一为勾一即为股故止以半径自乘倍之开方而得甲丁即圜内容四等边形之每一边也每一边自乘是仍为半径自乘倍之之数即圜内容四等边形之面积也

又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸二分四厘二豪六丝六忽倍之得八寸四分八厘五豪三丝二忽为圜内容四等边形之毎一边既得每一边之数即以毎一边自乘得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形每一边之弧皆九十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为四十五度甲戊即四十五度之正甲丙即九十度之通是故半径十万与四十五度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之毎一边七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽有余即圜内容四等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积六三六六一九七七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容五等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以所得中率与半径首率相减余二寸二分九厘一豪八丝为末率折半得一寸一分四厘五豪九丝为半末率即以此半末率为勾中率为求得股三寸五分二厘六豪七丝一忽有余倍之得七寸零五厘三豪四丝二忽有余为圜内容五等边形之每一边又以中率与半末率相加得四寸八分五厘四豪一丝有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十七寸一十一分九十厘有余五因之得八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形试自圜心庚至每角各作一半径线即分五等边形为五三角形又自乙至戊作乙戊线即圜内容十等边形之每一边庚乙庚戊半径与乙戊边遂成庚乙戊三角形又依乙戊线度截庚乙半径于辛作戊辛线则又成戊辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式形故庚乙为首率乙戊戊辛俱为中率辛乙为末率辛壬与壬乙俱为半末率是以壬乙半末率为勾乙戊中率为求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等边形之毎一边又以庚辛中率与辛壬半末率相加得庚壬中垂线用三角形求面积法算之得庚丁戊一三角形面积五倍之而得圜内容五等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正五万八千七百七十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸五分二厘六豪七丝四忽倍之得七寸零五厘三豪四丝八忽为圜内容五等边形之每一边次以半径十万为一率三十六度之余八万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸八分五厘四豪一丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与毎一边折半之数相乘五因之得八十五寸五十九分六十厘有余为圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形每一边之弧皆七十二度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十六度甲庚即三十六度之正甲丙即七十二度之通辛庚即三十六度之余是故半径十万与三十六度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十六度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之每一边五八七七八五二五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率七寸零五厘三豪四丝二忽有余即圜内容五等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积五九四四一○三一为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积七五六八二六七二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容六等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸即圜内容六等边形之每一边爰以半径六寸为毎一边折半得三寸为勾求得股五寸一分九厘六豪一丝五忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十五寸五十八分八十四厘有余六因之得九十三寸五十三分零四厘有余即圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形其每一边皆六寸与半径等试自圜心庚至每角各作一半径线即分六等边形为六三角形以甲庚半径为甲丙一边折半得甲辛为勾求得股为庚辛中垂线用三角形求面积法算之得甲丙庚一三角形之面积六倍之而得圜内容六等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正五万为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸倍之得六寸为圜内容六等边形之每一边次以半径十万为一率三十度之余八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘六因之得九十三寸五十三分一十二厘有余为圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形每一边之弧皆六十度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十度甲庚即三十度之正甲丙即六十度之通辛庚即三十度之余是故半径十万与三十度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之每一边五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸即圜内容六等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积六四九五一九○五为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积八二六九九三三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容七等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七厘零二丝五忽有余为圜内容十四等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与十四等边形之毎一边二寸六分七厘零二丝五忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸六分零三豪三丝有余倍之得五寸二分零六豪六丝有余为圜内容七等边形之每一边爰以半径六寸为七等边形之每一边折半为勾求得股五寸四分零五豪八丝一忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十四寸零七分二十九厘有余七因之得九十八寸五十一分零三厘有余即圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形试自圜心壬至毎角各作一半径线即分七等边形为七三角形又自戊至乙作戊乙线即圜内容十四等边形之毎一边壬乙壬戊半径与戊乙边遂成壬戊乙三角形故以壬乙半径为底壬戊半径与戊乙十四等边形之每一边为两腰求得戊癸垂线倍之得戊己即圜内容七等边形之每一边也又壬戊为戊癸为勾求得股为壬癸中垂线用三角形求面积法算之得壬戊己一三角形之面积七倍之而得圜内容七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸六分零三豪二丝八忽倍之得五寸二分零六豪五丝六忽为圜内容七等边形之每一边次以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余九万零九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸四分零五豪八丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘七因之得九十八寸五十分九十六厘有余为圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正甲丙即五十一度二十五分四十二秒有余之通癸壬即二十五度四十二分五十一秒有余之余是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之每一边四三三八八三七四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸二分零六豪六丝有余即圜内容七等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积六八四一○二五四为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积八七一○二六四一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容八等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸求得圜内容四等边形之每一边为八寸四分八厘五毫二丝八忽有余折半得四寸二分四厘二毫六丝四忽有余为股又以四边之半四寸二分四厘二豪六丝四忽有余与半径六寸相减余一寸七分五厘七毫三丝六忽有余为勾求得四寸五分九厘二豪一丝九忽有余为圜内容八等边形之毎一边爰以半径六寸为八等边形之毎一边折半得二寸二分九厘六豪零九忽有余为勾求得股五寸五分四厘三豪二丝八忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十二寸七十二分七十八厘有余八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余即圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形先求得圜内容四等边形之毎一边为戊己折半得戊壬与癸壬等为股以癸壬与癸乙半径相减余壬乙为勾求得戊乙为圜内容八等边形之每一边试自圜心至每角各作一半径线即分八等边形为八三角形以癸乙半径为戊乙折半得子乙为勾求得股为癸子中垂线用三角形求面积法算之得癸戊乙一三角形之面积八倍之而得圜内容八等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正三万八千二百六十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸二分九厘六豪零八忽倍之得四寸五分九厘二豪一丝六忽为圜内容八等边形之每一边次以半径十万为一率二十二度三十分之余九万二千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸五分四厘三豪二丝八忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余为圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形毎一边之弧皆四十五度试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正甲丙即四十五度之通癸壬即二十二度三十分之余是故半径十万与二十二度三十分之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十二度三十分之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也

乂用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之毎一边三八二六八三四三为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸五分九厘二豪二丝有余即圜内容八等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积九○○三一六三一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容九等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率三倍等之法求得二率二寸零八厘三豪七丝七忽有余为圜内容十八等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与圜内容十八等边形之毎一边二寸零八厘三豪七丝七忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸零五厘二豪一丝一忽有余倍之得四寸一分零四豪二丝二忽有余即圜内容九等边形之毎一边爰以半径六寸为九等边形之毎一边折半为勾求得股五寸六分三厘八豪一丝五忽有余为自圜心至毎一边之中垂线乃以毎一边折半之数与中垂线相乘得一十一寸五十七分零一厘有余九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余即圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形试自圜心子至每角各作一半径线即分九等边形为九三角形又自己至乙作己乙线即圜内容十八等边形之毎一边子乙子己半径与己乙边遂成子己乙三角形故以子乙半径为底子己半径与己乙十八等边形之毎一边为两腰求得己丑垂线倍之得己庚为圜内容九等边形之每一边也又子己为己丑为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己庚一三角形之面积九倍之而得圜内容九等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正三万四千二百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸零五厘二豪一丝二忽倍之得四寸一分零四豪二丝四忽为圜内容九等边形之每一边次以半径十万为一率二十度之余九万三千九百六十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸六分三厘八豪一丝四忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余为圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形毎一边之弧皆四十度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为二十度甲子即二十度之正甲丙即四十度之通丑子即二十度之余是故半径十万与二十度之正之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十度之余之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之毎一边三四二○二○一四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸一分零四豪二丝四忽有余即圜内容九等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积七二三一三六○六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积九二○七二五四二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容十等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】爰以半径六寸为十等边形之每一边折半得一寸八分五厘四豪一丝有余为勾求得股五寸七分零六豪三丝三忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十寸五十八分零一厘有余十因之得一尺零五寸八十分一十厘有余即圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形其子乙半径为首率己乙每一边为中率其毎一边皆三寸七分零八豪二丝有余试自圜心子至每角各作一半径线即分十等边形为十三角形以子乙半径为己乙折半得丑乙为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己乙一三角形之面积十倍之而得圜内容十等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度十分之毎分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正三万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸八分五厘四豪一丝二忽倍之得三寸七分零八豪二丝四忽为圜内容十等边形之毎一边次以半径十万为一率十八度之余九万五千一百零六为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分零六豪三丝六忽为自圜心至毎一边之中垂线与每一边折半之数相乘十因之得一尺零五寸八十分二十七厘有余为圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形每一边之弧皆三十六度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正甲丙即三十六度之通丑子即十八度之余是故半径十万与十八度之正之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与十八度之余之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之每一边三○九○一六九九为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积七三四七三一五六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积九三五四八九二八为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也

圜外切各等边形

设如圜径一尺二寸求外切三等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸为半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余倍之得二尺零七分八厘四豪六丝有余为圜外切三等边形之毎一边爰以三等边形之每一边为毎一边折半为勾求得股一尺八寸或以半径六寸三倍之得一尺八寸为圜外切三等边形之中垂线乃以每一边之二尺零七分八厘四豪六丝有余与中垂线一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余折半得一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则成丙巳庚三角形其丙庚巳角为六十度丙巳庚角为九十度庚丙巳角为三十度又自甲至己作甲己线为圜内容六等边形之每一边则又成甲己庚甲己丙两三角形其甲己庚三角形之甲己庚角为六十度故甲己丙三角形之甲己丙角为三十度而甲丙己角亦为三十度则丙甲与甲己皆与半径等矣故丙庚即全径为庚己即半径为勾求得丙己股倍之得丙丁为圜外切三等边形之每一边也又丙甲既与半径等则丙乙中垂线为半径之三倍用三角形求面积法算之而得圜外切三等边形之面积也

又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正切一十七万三千二百零五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝倍之得二尺零七分八厘四豪六丝为圜外切三等边形之毎一边也既得三等边形之每一边乃以半径三因之与毎一边之数相乘折半得一尺八十七寸零六分一十四厘为圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形每一边之弧皆一百二十度试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则甲己弧为六十度丙己即六十度之正切丙丁即六十度正切之倍是故半径十万与六十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙己之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之每一边一七三二○五○八○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率二尺零七分八厘四豪六丝即圜外切三等边形之每一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一二九九○三八一○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一六五三九八六六九为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切四等边形之每一边及

面积几何

法因圜径一尺二寸即外切四等边形之毎一边自乘得一尺四十四寸即圜外切四等边形之面积故他法皆不设止存一题以备体焉

设如圜径一尺二寸求外切五等边形之毎一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余倍之得七寸四分一厘六豪四丝有余为自圜心至外切五等边形各角之分角线乃以分角线为圜之半径为股求得勾四寸三分五厘九豪二丝四忽有余倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽有余为圜外切五等边形之每一边爰以每一边之八寸七分一厘八豪四丝八忽有余与半径六寸相乘得五十二寸三十一分零八厘有余折半得二十六寸一十五分五十四厘有余五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘有余即圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚五等边形以辛乙半径为首率【即理分中末线之全分】则自圜心至角之辛己分角线为倍中率【即倍理分中末线之大分】何以知之试自丙角至戊己二角作丙戊丙己两角相对斜线成丙戊己三角形复自戊角至庚角作戊庚两角相对斜线截丙己斜线于壬又成戊己壬三角形与丙戊己三角形为同式形【戊己壬三角形之戊角当巳庚边与戊巳边等故戊己壬三角形之戊角与丙戊己三角形之丙角等又同用一巳角则其余一角亦必等故为同式形】而丙戊为首率【即理分中末线之全分】戊己为中率【即理分中末线之大分】己壬为末率【即理分中末线之小分】丙壬亦与戊己等为中率乃自壬至丙戊线作壬癸垂线平分丙戊边于癸遂成丙癸壬勾股形与辛乙己勾股形为同式形【辛乙己勾股形之辛角当乙己边为戊己边之半故辛乙巳勾股之辛角与丙癸壬勾股之丙角等癸角与乙角又同为直角则其余一角亦必等故为同式形】夫丙戊既为首率丙壬既为中率若以丙戊之半丙癸为首率则丙壬之半丙子亦为中率而丙壬即为倍中率丙癸壬勾股形与辛乙巳勾股形既为同式形则辛乙己勾股形之辛乙股与辛己之比必同于丙癸壬勾股形之丙癸股与丙壬之比是以辛乙半径为首率则辛己分角线亦即为倍中率也既得辛己分角线乃以辛己分角线为辛乙半径为股求得乙己勾倍之得戊己即圜外切五等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分五等边形为五三角形其辛乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切五等边形之每一边与半径相乘折半得辛戊巳一三角形之面积五倍之而得圜外切五等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正切七万二千六百五十四为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分五厘九豪二丝四忽倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽为圜外切五等边形之毎一边既得五等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘为圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚五等边形每一边之弧皆七十二度试将丙丁边折半于辛自圜心壬作壬辛半径线又作壬丙分角线割圜界于甲则甲辛弧为三十六度丙辛即三十六度之正切丙丁即三十六度正切之倍是故半径十万与三十六度之正切之比即如所设之半径六寸与丙辛之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之每一边七二六五四二五二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸七分一厘八豪五丝一忽有余即圜外切五等边形之每一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积九○八一七八一六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘有余即圜外切五等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积一一五六三二八三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘即圜外切五等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切六等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸三归四因得四十八寸开方得六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边乃以毎一边之六寸九分二厘八豪二丝有余与半径六寸相乘得四十一寸五十六分九十二厘有余折半得二十寸七十八分四十六厘有余六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等边形试自圜心至各角作分角线即分六等边形为六三角形其壬乙半径即每一三角形之中垂线而中垂线自乘之方为每边自乘之方之四分之三故以半径自乘三归四因开方即得圜外切六等边形之每一边也既得毎一边与半径相乘折半得壬戊己一三角形之面积六倍之而得圜外切六等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度六分之毎分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正切五万七千七百三十五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸四分六厘四豪一丝倍之得六寸九分二厘八豪二丝为圜外切六等边形之毎一边既得六等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘为圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛六等边形毎一边之弧皆六十度试将丙丁边折半于壬自圜心癸作癸壬半径线又作癸丙分角线割圜界于子则子壬弧为三十度丙壬即三十度之正切丙丁即三十度正切之倍是故半径十万与三十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙壬之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之每一边五七七三五○二七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积一一○二六五七八一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切七等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸求得内容七等边形之每一边为五寸二分零六豪六丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸四分零五豪八丝一忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余为圜外切七等边形之每一边爰以每一边之五寸七分七厘八豪八丝九忽有余与半径六寸相乘得三十四寸六十七分三十三厘有余折半得一十七寸三十三分六十六厘有余七因之得一尺二十一寸三十五分六十二厘有余即圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形先求得圜内容七等边形之毎一边为癸子又求得圜心至每一边之中垂线为丑寅以丑寅与癸子之比即同于丑乙与巳庚之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分七等边形为七三角形其丑乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切七等边形之每一边与半径相乘折半得丑己庚一三角形之面积七倍之而得圜外切七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒之正切四万八千一百五十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸八分八厘九毫四丝二忽有余倍之得五寸七分七厘八毫八丝四忽有余为圜外切七等边形之每一边既得七等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六厘有余为圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将丙丁边折半于癸自圜心子作子癸半径线又作子丙分角线割圜界于甲则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余丙癸即二十五度四十二分五十一秒有余之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有余之正切之倍是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正切之比即如所设之半径六寸与丙癸之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之毎一边四八一五七四六二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余即圜外切七等边形之每一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积八四二七五五五八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积一○七三○二九七四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切八等边形之毎一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽有余内减圜径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边乃以每一边之四寸九分七厘零五丝六忽有余与半径六寸相乘得二十九寸八十二分三十三厘有余折半得一十四寸九十一分一十六厘有余八因之得一尺一十九寸二十九分二十八厘有余即圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形试依甲乙圜径度作子丑寅夘正方形又作子寅对角斜线于子寅对角斜线内减与甲乙圜径相等之辰己余子辰巳寅两段即与圜外切八等边形之丙丁一边相等也何则丙子丁勾股形因子寅斜线平分为子辰丙子辰丁两勾股形与原形为同式形【子辰丙勾股形之辰角与丙子丁勾股形之子角同为直角又同用一丙角其余一角必等故为同式形】丙子既与子丁等子辰必与丙辰等而为丙丁之一半则子辰巳寅两段亦必与丙丁一边等故以圜径自乘倍之开方而得对角斜线于斜线内减圜径即圜外切八等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分八等边形为八三角形其午乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切八等边形之每一边与半径相乘折半得午己庚一三角形之面积八倍之而得圜外切八等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸四分八厘五豪二丝六忽倍之得四寸九分七厘零五丝二忽为圜外切八等边形之毎一边既得八等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四厘有余为圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形每一边之弧皆四十五度试将丙丁边折半于子自圜心五作丑子半径线又作丑丙分角线割圜界于寅则寅子弧为二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半径十万与二十二度三十分之正切之比即如所设之半径六寸与丙子之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之毎一边四一四二一三五六为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积八二八四二七一二为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积一○五四七八六一七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切九等边形之毎一边及面积几何

法以圜径一尺二寸求得内容九等边形之毎一边为四寸一分零四豪二丝二忽有余又求得自圜心至毎一边之中垂线为五寸六分三厘八豪一丝五忽有余乃以中垂线之数为一率毎一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝二忽有余为圜外切九等边形之毎一边爰以毎一边之四寸三分六厘七豪六丝二忽有余与半径六寸相乘得二十六寸二十分五十七厘有余折半得一十三寸一十分二十八厘有余九因之得一尺一十七寸九十二分五十七厘有余即圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形先求得圜内容九等边形之每一边为丑寅又求得圜心至每一边之中垂线为夘辰以卯辰与丑寅之比即同于卯乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分九等边形为九三角形其卯乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切九等边形之毎一边与半径相乘折半得卯庚辛一三角形之面积九倍之而得圜外切九等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度九分之毎分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正切三万六千三百九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸一分八厘三豪八丝二忽倍之得四寸三分六厘七豪六丝四忽为圜外切九等边形之每一边既得九等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半九因之得一尺一十七寸九十二分六十二厘有余为圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形每一边之弧皆四十度试将丙丁边折半于丑自圜心寅作寅丑半径线又作寅丙分角线割圜界于甲则甲丑弧为二十度丙丑即二十度之正切丙丁即二十度之正切之倍是故半径十万与二十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙丑之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之每一边三六三九七○二四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝四忽有余即圜外切九等边形之每一边也

又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积八一八九三三○三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十三厘有余即圜外切九等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积一○四二六九七九一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十五厘有余即圜外切九等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切十等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸求得内容十等边形之毎一边为三寸七分零八豪二丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸七分零六豪三丝三忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余为圜外切十等边形之毎一边爰以毎一边之三寸八分九厘九豪零三忽有余与半径六寸相乘得二十三寸三十九分四十一厘有余折半得一十一寸六十九分七十厘有余十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘有余即圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等边形先求得圜内容十等边形之毎一边为寅卯又求得圜心至每一边之中垂线为辰巳以辰巳与寅卯之比即同于辰乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分十等边形为十三角形其辰乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切十等边形之每一边与半径相乘折半得辰庚辛一三角形之面积十倍之而得圜外切十等边形之总面积也又法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正切三万二千四百九十二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸九分四厘九豪五丝二忽倍之得三寸八分九厘九豪零四忽为圜外切十等边形之每一边既得十等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘为圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等边形毎一边之弧皆三十六度试将丙丁边折半于寅自圜心卯作卯寅半径线又作卯丙分角线割圜界于辰则辰寅弧为十八度丙寅即十八度之正切丙丁即十八度之正切之倍是故半径十万与十八度之正切之比即如所设之半径六寸与丙寅之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切十等边形之每一边三二四九一九七○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余即圜外切十等边形之每一边也

乂用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○

○○○○○○○为一率圜外切十等

边形之面积八一二二九九二四为二

率今所设之圜径一尺二寸自乘得一

尺四十四寸为三率求得四率一尺一

十六寸九十七分一十厘有余即圜外

切十等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜

面积一○○○○○○○○为一率圜

外切十等边形之面积一○三四二五

一五二为二率今所设之圜径一尺二

寸求得圜面积一尺一十三寸零九分

七十三厘有余为三率求得四率一尺

一十六寸九十七分一十厘有余即圜

外切十等边形之面积也

御制数理精蕴下编卷二十一

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴卷二十二

面部十二

各等边形

更面形

各等边形

设如五等边形每边一尺二寸问面积防何

法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正五万八千七百七十九为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺零二分零七豪七丝二忽有余为五等边形外切圜之半径或用求圜内容五等边形之一边之定率比例以定率之圜内容五等边形之每边五八七七八五二五为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形外切圜之半径乃以此半径为五等边形之每边折半为勾求得股八寸二分五厘八豪二丝七忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线或以三十六度之正五万八千七百七十九为一率三十六度之余八万零九百零二为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪二丝五忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得四十九寸五十四分九十厘有余五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为七十二度将甲乙边折半于己自圜心庚作庚己辛半径线遂平分甲乙弧于辛则甲辛弧为三十六度甲己即三十六度之正庚己即三十六度之余是故三十六度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲己与所得之半径甲庚之比又三十六度之正与三十六度之余之比即如今所设之每边之半甲己与所得之垂线庚己之比也【此即圜内容五等边形之法而转用之也】

又法以三十六度之正切七万二千六百五十四为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪三丝二忽有余为五等边形内容圜之半径或用求圜外切五等边形之一边之定率比例以定率之圜外切五等边形之每边七二六五四二五二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺六寸五分一厘六豪五丝八忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝九忽有余为五等边形内容圜之半径即五等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有余为五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一内容圜形自甲角过圜心己作甲己庚线遂平分丙丁边于庚则丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丙庚与所得之内容圜半径己庚之比也【此即圜外切五等边形之法而转用之也】

又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即五等边形两角相对之斜线乃以此斜线为每边之半为勾求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之和【即五等边形自一角至每边正中之垂线】复以此垂线为首率每边之半为中率求得末率一寸九分四厘九豪五丝二忽为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之较乃以此较数与先所得和数相加得二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形之分角线【即五等边形外切圜之半径】仍以此较数与先所得和数相减得一尺六寸五分一厘六豪五丝七忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝八忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线【即五等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形巳为五等边形之中心试自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙线截甲丙线于庚则又成丁庚丙三角形此两三角形为同式形故甲丙线为首率【即理分中末线之全分】丙丁边为中率【即理分中末线之大分】而所截之甲庚一段与丙丁边等亦为中率庚丙一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为甲丙首率与丙丁中率之比即同于丙丁中率与庚丙末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率与甲庚中率相加即得甲丙首率为两角相对斜线爰用甲丙斜线为丙辛每边之半为勾求得用辛股为己辛中心至边之垂线与甲己分角线之和既得甲辛线则用连比例有首率中率求末率之法以甲辛为首率丙辛为中率求得辛壬末率即己辛中心至边之垂线与甲己分角线之较既得辛壬与甲辛相加折半得甲己即分角线又为五等边形外切圜之半径以辛壬与甲辛相减折半得己辛即中心至每边之垂线又为五等边形内容圜之半径既得己辛垂线与丙丁每边之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面积五倍之即五等边形之面积也

又既得五等边形两角相对之斜线与自一角至每边正中之垂线求面积捷法以所得末率七寸四分一厘六豪四丝有余加每边之半六寸得一尺三寸四分一厘六豪四丝有余与自一角至每边正中之垂线一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余相乗得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂线则甲己垂线与丙己每边之半相乗即得甲丙丁三角形面积又自乙角至甲丙线上作乙庚垂线则乙庚垂线与甲丙斜线相乗即得甲乙丙甲戊丁两三角形之共面积然无乙庚之数今试自丁角至乙角作丁乙斜线截甲丙斜线于辛则甲辛与丁辛等俱为中率乙辛与辛丙等俱为末率又成乙辛庚勾股形与甲丙己勾股形为同式形【丁辛丙三角形之辛角原与丙角等而与乙辛庚勾股形之辛角为对角其度亦等庚角与己角又同为直角其余一角亦必等所以为同式形】故甲丙为一率甲己为二率乙辛为三率乙庚为四率凡二率三率相乗与一率四率相乗之数等今以甲己垂线与乙辛末率相乗必与乙庚垂线与甲丙斜线相乗之积等是即甲乙丙甲戊丁两三角形之共积矣故以乙辛末率与丙己每边之半相加而与甲己垂线相乗即得甲乙丙丁戊五等边形之面积也

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而五等边形之每一边一○○○○所得之五等边形面积为一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯己午正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺四十七寸七十四分八十七厘有余之比也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之五等边形之每边七六二三八七○五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有余为与五等边形面积相等之正方形每边之数自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每边为七六二三八七○五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二三八七○五与己午未申正方形之午未一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸七分四厘零三忽有余之比既得庚辛一边自乗得己庚辛壬正方面积即与甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等也

如有五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形之面积一七二○四七七四一为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之每边与正方形之每边相等五等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率五等边形之每边七六二三八七○五为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘开方得一尺五寸七分四厘零三忽有余为三率求得四率一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之面积与正方形之面积相等五等边形之每边与正方形之每边不同故以五等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

设如六等边形每边一尺二寸问面积几何

法因六等边形之每边与分角线【即六等边形外切圜之半径】相等故即以每边一尺二寸为每边之半六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为六等边形中心至每边正中之垂线【即六等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余即六等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己六等边形庚为六等边形之中心其庚丙分角线与丙丁类每边等故以庚丙为每边之半丙辛为勾求得庚辛股即六等边形中心至每边正中之垂线既得垂线与丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面积六倍之即六等边形之面积也

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率六等边形面积二五九八○七六二○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而六等边形之每一边一○○○○所得之六等边形面积为二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯午未正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己六等边形面积二五九八○七六二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形面积三尺七十四寸一十二分二十九厘有余之比也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形之每边六二○四○三二四为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为与六等边形面积相等之正方形每边之数自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每边为六二○四○三二四正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边六二○四○三二四与午未申酉正方形之未申一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一边一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余之比既得辛壬一边自乗得庚辛壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六等边形之面积为相等也

如有六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之六等边形之面积二五九八○七六二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之每边与正方形之每边相等六等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率六等边形之每边六二○四○三二四为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘开方得一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为三率求得四率一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之面积与正方形之面积相等六等边形之每边与正方形之每边不同故以六等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

设如七等边形每边一尺二寸问面积几何

法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余爰以二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺三寸八分二厘八豪七丝有余为七等边形外切圜之半径或用求圜内容七等边形之一边之定率比例以定率之圜内容七等边形之每边四三三八八三七四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺七寸六分五厘七豪一丝七忽有余折半得一尺三寸八分二厘八豪五丝八忽有余为七率边形外切圜之半径乃以此半径为七等边形之每边折半为勾求得股一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线或以二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余九万零九十七为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得七十四寸七十五分五十五厘有余七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为五十一度二十五分四十二秒有余将甲乙边折半于辛自圜心壬作壬辛癸半径线遂平分甲乙弧于癸则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲辛即二十五度四十二分五十一秒有余之正壬辛即二十五度四十二分五十一秒有余之余是故二十五度四十二分五十一秒有余之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之半径甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有余之正与二十五度四十二分五十一秒有余之余之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也【此即圜内容七等边形之法而转用之也】

又法以二十五度四十二分五十一秒有余之正切四万八千一百五十七为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝四忽有余为七等边形内容圜之半径或用求圜外切七等边形之一边之定率比例以定率之圜外切七等边形之每边四八一五七四六二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺四寸九分一厘八豪二丝五忽有余折半得一尺二寸四分五厘九豪一丝二忽有余为七等边形内容圜之半径即七等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一内容圜形自甲角过圜心辛作甲辛壬线遂平分丁戊边于壬则丁壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正切故以二十五度四十二分五十一秒有余之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁壬与所得之内容圜半径辛壬之比也【此即圜外切七等边形之法而转用之也】又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率七等边形面积三六三三九一二四○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而七等边形之每一边一○○○○所得之七等边形面积为三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰未申正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己午七等边形面积三六三三九一二四○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚七等边形面积五尺二十三寸二十八分三十三厘有余之比也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之七等边形之每边五二四五八一二六为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为与七等边形面积相等之正方形每边之数自乗得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每边为五二四五八一二六正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边五二四五八一二六与未申酉戌正方形之申酉一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之辛壬癸干正方形之壬癸一边二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余之比既得壬癸一边自乗得辛壬癸干正方面积即与甲乙丙丁戊己庚七等边形之面积为相等也

如有七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之七等边形之面积三六三三九一二四○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之每边与正方形之每边相等七等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘开方得二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为三率求得四率一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之面积与正方形之面积相等七等边形之每边与正方形之每边不同故以七等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

设如八等边形每边一尺二寸问面积几何

法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正三万八千二百六十八为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸六分七厘八豪八丝九忽有余为八等边形外切圜之半径或用求圜内容八等边形之一边之定率比例以定率之圜内容八等边形之每边三八二六八三四三为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺一寸三分五厘七豪五丝一忽有余折半得一尺五寸六分七厘八豪七丝五忽有余为八等边形之切圜之半径乃以此半径为八等边形之每边折半为勾求得股一尺四寸四分八厘五豪二丝七忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线或以二十二度三十分之正三万八千二百六十八为一率二十二度三十分之余九万二千三百八十八为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝一忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得八十六寸九十一分二十四厘有余八因之得六尺九十五寸二十九分九十二厘有余即八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十五度将甲乙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲乙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正癸壬即二十二度三十分之余是故二十二度三十分之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之半径甲癸之比又二十二度三十分之正与二十二度三十分之余之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之垂线癸壬之比也【此即圜内容八等边形之法而转用之也】又法以二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝有余为八等边形内容圜之半径或用求圜外切八等边形之一边之定率比例以定率之圜外切八等边形之每边四一四二一三五六为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺八寸九分七厘零五丝六忽有余折半得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为八等边形内容圜之半径即八等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘有余为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每边正中之垂线遂平分丁戊边于癸则丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁癸与所得之内容圜半径壬癸之比也【此即圜外切八等边形之法而转用之也】

又法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余与每边之半六寸相加得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为自中心至每边正中之垂线乃以此垂线与每边之半相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形壬为八等边形之中心试将辛甲乙丙丁戊己庚四边俱引长相交遂成癸子丑寅正方形其四角丙子丁类勾股相等之四勾股形之即八等边形之每一边故以丙丁一边自乗折半开方得丙子或子丁于丙子内再加乙丙边之半卯丙得卯子与壬辰等即八等边形自中心至每边正中之垂线既得垂线与每边之半相乗八因之即得八等边形之面积也

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而八等边形之每一边一○○○○所得之八等边形面积为四八二八四二七一二故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰申酉正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未八等边形面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形面积六尺九十五寸二十九分三十五厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之八等边形之每边四五五○八九八五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为与八等边形面积相等之正方形每边之数自乗得六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每边为四五五○八九八五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边四五五○八九八五与申酉戌亥正方形之酉戌一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之癸干一边二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余之比既得癸干一边自乗得壬癸干坎正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之面积为相等也

如有八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之八等边形之面积四八二八四二七一二为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之每边与正方形之每边相等八等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率八等边形之每边四五五○八九八五为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘开方得二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为三率求得四率一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之面积与正方形之面积相等八等边形之每边与正方形之每边不同故以八等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

设如九等边形每边一尺二寸问面积几何

法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度爰以二十度之正三万四千二百零二为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺七寸五分四厘二豪八丝三忽有余为九等边形外切圜之半径或用求圜内容九等边形之一边之定率比例以定率之圜内容九等边形之每边三四二○二○一四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺五寸零八厘五豪六丝五忽有余折半得一尺七寸五分四厘二豪八丝二忽有余为九等边形外切圜之半径乃以此半径为九等边形之每边折半为勾求得股一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线或以二十度之正三万四千二百零二为一率二十度之余九万三千九百六十九为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝二忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得九十八寸九十分八十九厘有余九因之得八尺九十寸一十八分零一厘有余即九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十度将甲乙边折半于癸自圜心子作子癸丑半径线遂平分甲乙弧于丑则甲丑弧为二十度甲癸即二十度之正子癸即二十度之余是故二十度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之半径甲子之比又二十度之正与二十度之余之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之垂线子癸之比也【此即圜内容九等边形之法而转用之也】

又法以二十度之正切三万六千三百九十七为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝七忽有余为九等边形内容圜之半径或用求圜外切九等边形之一边之定率比例以定率之圜外切九等边形之每边三六三九七○二四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺二寸九分六厘九豪七丝二忽有余折半得一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形内容圜之半径即九等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九厘有余为九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一内容圜形自甲角过圜心癸作甲癸子线遂平分戊巳边于子则戊子即二十度之正切故以二十度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半戊子与所得之内容圜半径癸子之比也【此即圜外切九等边形之法而转用之也】

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率九等边形面积六一八一八二四二○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率八尺九十寸一十八分二十六厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而九等边形之每一边一○○○○所得之九等边形面积为六一八一八二四二○故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰已一边一○○○○自乗之辰已酉戌正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未申九等边形面积六一八一八二四二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己癸干正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形面积八尺九十寸一十八分二十六厘有余之比也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之九等边形之每边四○二一九九六三为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为与九等边形面积相等之正方形每边之数自乗得八尺九十寸一十八分二十一厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每边为四○二一九九六三正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰巳一边四○二一九九六三与酉戌亥金正方形之戌亥一边一○○○○○○○○之比即同于今所设甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之戊已一边一尺二寸与今所得之癸干坎艮正方形之干坎一边二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余之比既得干坎一边自乗得癸干坎艮正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之面积为相等也

如有九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之九等边形之面积六一八一八二四二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之每边与正方形之每边相等九等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率九等边形之每边四○二一九九六三为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘开方得二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之面积与正方形之面积相等九等边形之每边与正方形之每边不同故以九等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

形每边一尺二寸问面积几何

法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度爰以十八度之正三万零九百零二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪二丝一忽有余为十等边形外切圜之半径或用求圜内容十等边形之一边之定率比例以定率之圜内容十等边形之每边三○九○一六九九为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺八寸八分三厘二豪八丝一忽有余折半得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为十等边形外切圜之半径乃以此半径为十等边形之每边折半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线或以十八度之正三万零九百零二为一率十八度之余九万五千一百零六为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘五豪九丝八忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得一尺一十寸七十九分五十八厘有余十因之得一十一尺零七寸九十五分八十厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为三十六度将甲乙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲乙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正丑子即十八度之余是故十八度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲子与所得之半径甲丑之比又十八度之正与十八度之余之比即如今所设之每边之半甲子与所得之垂线丑子之比也【此即圜内容十等边形之法而转用之也】又法以十八度之正切三万二千四百九十二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘六豪零八忽有余为十等边形内容圜之半径或用求圜外切十等边形之一边之定率比例以定率之圜外切十等边形之每边三二四九一九七○为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺六寸九分三厘二豪二丝有余折半得一尺八寸四分六厘六豪一丝有余为十等边形内容圜之半径即十等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十厘有余为十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一内容圜形自中心子至每边之正中作子丑垂线遂平分戊巳边于丑则戊丑即十八度之正切故以十八度之正切与半径十万之比同于今所设之毎边之半戊丑与所得之内容圜半径子丑之比也【此即圜外切十等边形之法而转用之也】

又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即十等边形之分角线【即十等边形外切圜之半径】乃以分角线为每边之半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形自中心至每边正中之垂线【即十等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分五十四厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形子为十等边形之中心试自中心子至戊巳二角作子戊子巳二线成子戊已三角形又自已角至丙角作巳丙线截子戊线于丑则又成巳丑戊三角形与子戊巳三角形为同式形故子戊线为首率【即理分中末线之全分】戊已边为中率【即理分中末线之大分】而所截之子丑一段与戊巳边等亦为中率丑戊一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为子戊首率与戊巳中率之比即同于戊已中率与丑戊末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得丑戊末率与子丑中率相加即得子戊首率为分角线又为十等边形外切圜之半径以子戊为戊巳边之半戊寅为勾求得子寅股即十等边形中心子至每边正中之垂线又为十等边形内容圜之半径既得子寅垂线与戊已边之半戊寅相乗得子戊巳一三角形之面积十因之即十等边形之面积也

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率十等边形面积七六九四二○八八三为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率一十一尺零七寸九十六分六十厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而十等边形之每一边一○○○○所得之十等边形面积为七六九四二○八八三故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边一○○○○自乗之辰巳戌亥正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰已午未申酉十等边形面积七六九四二○八八三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己干坎正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形面积一十一尺零七寸九十六分六十厘有余之比也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之十等边形之每边三六○五一○五八为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为十等边形面积相等之正方形每边之数自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每边为三六○五一○五八正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边三六○五一○五八与戌亥金木正方形之亥金一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之戊巳一边一尺二寸与今所得之干坎艮震正方形之坎艮一边三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余之比既得坎艮一边自乗得干坎艮震正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之面积为相等也

如有十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之十等边形之面积七六九四二○八八三为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之每边与正方形之每边相等十等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率十等边形之每边三六○五一○五八为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘开方得三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之面积与正方形之面积相等十等边形之每边与正方形之每边不同故以十等边形之面

【积先开方既得方边而后为线】

【与线】

【之比】

更面形

设如正方形每边一尺二寸今欲作与正方形积相等之圜面积问径几何

法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之正方形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余即所求之圜径也葢正方形之每边为一○○○○○○○○圜径为一一二八三七九一六则两面积相等故以子丑寅卯正方形之每边一○○○○○○○○与辰巳圜径一一二八三七九一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方形之每边一尺二寸与今所得之戊巳圜径一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余之比而两面积亦为相等也

设如正方形面积一尺四十四寸今欲作与正方边

相等之圜径问积几何

法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率圜面积七八五三九八一六为二率今所设之正方面积一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三厘有余即所求之圜面积也葢正方面积为一○○○○○○○○圜面积为七八五三九八一六则正方形之每边与圜径相等故以子丑寅卯正方面积一○○○○○○○○与辰巳圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方面积一尺四十四寸与今所得之戊巳圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余之比而正方形之每边与圜径亦为相等也

设如圜径一尺二寸今欲作与圜面积相等之三等

边形问每一边几何

法用面积相等边线不同之定率比例以定率之圜径一一二八三七九一六为一率三等边形之每边一五一九六七一三七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余即三等边形之每一边也葢圜径为一一二八三七九一六三等边形之每边为一五一九六七一三七则两面积相等故以子丑圜径一一二八三七九一六与寅卯辰三等边形之每边一五一九六七一三七之比即同于今所设之甲乙圜径一尺二寸与今所得之丙丁戊三等边形之毎边一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余之比而两面积亦为相等也

设如圜面积一尺四十四寸今欲作与圜径相等之五等边形问积几何

法用边线相等面积不同之定率比例以定率之圜面积七八五三九八一六为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之圜面积一尺四十四寸为三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五厘有余即五等边形之面积也葢圜面积为七八五三九八一六五等边形面积为一七二○四七七四一则圜径与五等边形之每边相等故以子丑圜面积七八五三九八一六与寅卯辰巳午五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙圜面积一尺四十四寸与今所得之丙丁戊己庚五等边形面积三尺一十五寸四十四分三十五厘有余之比而圜径与五等边形之每边亦为相等也

设如六等边形每边一尺二寸今欲作与六等边形面积相等之七等边形问每一边几何

法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形每边六二○四○三二四为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之六等边形每边一尺二寸为三率求得四率一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余即七等边形之每一边也葢六等边形每边为六二○四○三二四七等边形毎边为五二四五八一二六则两面积相等故以子丑寅卯辰巳六等边形之每边六二○四○三二四与午未申酉戌亥金七等边形之每边五二四五八一二六之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸干坎艮七等边形之每边一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余之比而两面积亦为相等也

设如五等边形面积一尺四十四寸今欲作与五等边形每边相等之八等边形问积几何

法用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形面积一七二○四七七四一为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之五等边形面积一尺四十四寸为三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二厘有余即八等边形之面积也葢五等边形面积为一七二○四七七四一八等边形面积为四八二八四二七一二则五等边形之每边与八等边形之每边相等故以子丑寅卯辰五等边形之面积一七二○四七七四一与巳午未申酉戌亥金八等边形之面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之面积一尺四

十四寸与今所得之己庚辛壬癸干坎

艮八等边形之面积四尺零四寸一十

二分八十二厘有余之比而五等边形

之每边与八等边形之每边亦为相等

也

御制数理精蕴下编卷二十二

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十三

体部一

立方

立方

立方者等边六面之体积也以形而言虽为六面十二边之所合以积而言则为自乗再乗之数因其纵横与髙俱相等故十二边皆如一线得其一边而十二边莫不相同其积之也自线而面自面而体次第相乗而后得其全积其之也必次第析之而后得其一边是故古人立为方廉长廉之制每积三位而得边之一位所谓一千商十定无疑三万才为三十余九十九万不离十百万方为一百推是也其法先从一角而剖其体以自一至九自乗再乗之数为方根与实相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方根止一位若有余实即初商方积外别成一缺角三面磬折体其附初商之三面者谓之方廉其附初商之三边者谓之长廉其附初商之角者谓之隅廉有三故以三为廉法隅惟一而隅之三面即符于三长廉之端合三方廉三长廉一隅始合次商之数故商除之法以初商自乗三因为三方廉面积视初商余实足方廉面积几倍即定为次商乃以次商乗三长廉为三长廉面积又以次商自乗为小隅面积共合三方廉三长廉及一小隅面积以次商数乗之为次商廉隅之共积所谓初商方积外别成一缺角三面磬折体者是也如次商外尚有不尽之实则初商次商方积外仍为三方廉三长廉一小隅又成一三面磬折体但较前方廉愈大长廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照次商之例逓析之实尽而止如开至多位实仍不尽者必非自乗再乗之正数此开立方之定法也体形不一而容积皆以立方为准故立方为算诸体之本诸体必通之立方而法乃可施也

设如正方体积一百二十五尺开立方问毎一边数几何

法列正方体积一百二十五尺自末位起算每方积三位定方边一位今积止有三位则于五尺上作记定单位以自一至九自乗再乗之方根数与之相审知与五尺自乗再乗之数恰合乃以五尺书于方积五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为五尺也如图甲乙丙丁戊己正方体形毎边皆五尺其中函一尺小方体一百二十五自边计之为五尺自面计之则为五尺自乗之二十五尺自通体计之则为五尺自乗再乗之一百二十五尺以积开之则与五尺自乗再乗之数相准故商除之恰尽也盖方积为三位是以方边止一位方积即五尺自乗再乗之数别无廉隅故不用次商如有余实则自成廉隅而用次商矣

设如正方体积一丈七百二十八尺开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈七百二十八尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位余积七百二十八尺续书于下【大凡以余积续书于下者每取方积之三位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除方积七百二十八尺足二尺即定次商为二尺书于方积八尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减恰尽是开得一丈二尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形毎边皆一丈二尺其中函积一丈七百二十八尺是为共积其先从一角所分戊乙庚己方体每边一丈即初商数其中函积亦一丈即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边一丈即初商数其厚二尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边一丈亦即初商数其阔其厚皆二尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其卯形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为二尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉夘一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积此立方廉隅之法所由生也三商以后皆仿此逓析开之

又法列积一丈七百二十八尺自末位起算作记定位同前乃截一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合则定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽乃以方边末位余积七百二十八尺续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积三百尺除方积七百二十八尺足二尺则定次商为二尺书于方积八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺与原积符合相减恰尽即定立方边为一丈二尺也此法止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗得数与原积相减虽为省去长廉小隅一层然方边位数少者还为简易至于方边位数过四位以上则累次自乗再乗反比逓析之理为烦矣

设如正方体积一十四万八千八百七十七尺开立方问每一边数几何【此题正方体积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积三位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也】

法列正方体积一十四万八千八百七十七尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于七尺上定单位八千尺上定十位其一十四万八千尺为初商积以初商本位计之则八千尺为初商积之单位而一十四万八千尺为一百四十八止与五自乗再乗之数相准即定初商为五书于方积八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五书于初商积之下相减余二万三千尺爰以方边第二位余积八百七十七尺续书于下共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积以除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以初商之五十尺与次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺为次商三长廉面积复以次商三尺自乗得九尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七千九百五十九尺为廉隅共法书于余积之左以次商之三尺乗之得二万三千八百七十七尺与余积相减恰尽是开得五十三尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形每边五十三尺其中函积一十四万八千八百七十七尺是为共积其从一角所分戊乙庚己方体每边五十尺即初商边数其中函积一十二万五千尺即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边五十尺即初商数其厚三尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边五十尺亦即初商数其阔其厚皆三尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其邜形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为三尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积也又法列积一十四万八千八百七十七尺自末位起算作记定位同前乃截一十四万八千尺为初商积与五十自乗再乗之数相准则定初商五十尺书于方积八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二万五千尺书于原积一十四万八千之下相减余二万三千尺乃合第二位积八百七十七尺共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四万八千八百七十七尺与原积符合相减恰尽即定立方边为五十三尺也此法亦止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗以减原积也

设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百六十尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百六十尺足二尺即定次商为二尺书于方积空尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与次商廉隅共积相减余一百三十二尺即一十三万二千寸复以方边第三位余积八百六十七寸续书于下共一十三万二千八百六十七寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十三万二千八百六十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺三寸为正方体积每一边之数也

设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺立方问每一边数几何

法列正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于六尺上定单位八千尺上定十位四百万尺上定百位其九千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万尺为初商积之单位而九千四百万尺为九十四止与四自乗再乗之数相准即定初商为四书于方积四百万尺之上而以四自乗再乗之六十四书于初商积之下相减余三千万尺爰以方边第二位余积八十一万八千尺续书于下共三十零八十一万八千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则八千尺为次商积之单位而三千零八十一万八千尺为三万零八百一十八而初商之四即为四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百为次商三方廉面积以除三万零八百一十八足五倍即定次商为五书于方积八千尺之上而以初商之四十与次商之五相乗得二百三因之得六百为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五千四百二十五为次商廉隅共法书于余积之左以次商之五乗之得二万七千一百二十五与次商廉隅共积相减余三百六十九万三千尺复以方边末位余积八百一十六尺续书于下共三百六十九万三千八百一十六尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十万零二千五百三因之得六十万零七千五百为三商三方廉面积以除三百六十九万三千八百一十六尺足六倍即定三商为六书于方积六尺之上而以初商次商之四百五十与三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百为三商三长廉面积复以三商之六自乗得三十六为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六十一万五千六百三十六为三商廉隅共法书于余积之左以三商之六乗之得三百六十九万三千八百一十六与三商廉隅共积相减恰尽是得四百五十六尺为正方体积毎一边之数也

设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸开立方问每一边数几何

法列正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作记即于七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈为初商积与七丈自乗再乗之数相准即定初商为七丈书于方积七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈书于初商积之下相减余四丈即四千尺爰以方边第二位余积四百二十八尺续书于下共四千四百二十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一万四千七百尺为次商三方廉面积以除方积四千四百二十八尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积八尺之上以存次商之位复以方边末位余积九百二十七寸续书于下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二万八千九百二十七寸为三商廉隅之共积仍以次商三方廉面积一万四千七百尺作一百四十七万寸为廉法以除四百四十二万八千九百二十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上又以初商之七丈为七百寸与三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一百四十七万六千三百零九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得四百四十二万八千九百二十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得七丈零三寸为正方体积毎一边之数也此法商出之方边有空位凡廉法除余积而数不足者皆依此例推之

设如正方体积三千九百三十万四千尺开立方问每一边数几何

法列正方体积三千九百三十万四千尺补三空位以足其分自末空位起算每隔二位作记乃于空尺上定单位四千尺上定十位九百万尺上定百位其三千九百万尺为初商积以初商本位计之则九百万尺为初商积之单位而三千九百为三十九止与三自乗再乗之数相准即定初商为三书于方积九百万尺之上而以三自乗再乗之二十七书于初商积之下相减余一千二百万尺爰以方边第二位余积三十万四千尺续书于下共一千二百三十万四千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四千尺为次商积之单位而一千二百三十万四千尺为一万二千三百零四而初商之三即为三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百为次商三方廉面积以除余积一万二千三百零四足四倍即定次商为四书于方积四千尺之上又以初商之三十与次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零七十六为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四乗之得一万二千三百零四与余积相减恰尽是开得三百四十尺为正方体积每一边之数也此法方积之末有三空位故所得方边之末亦补一空位凡设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之

设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作记于四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百七十九尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百七十九尺足二尺即定次商为二尺书于方积九尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉而积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减仍余一百五十一尺即一十五万一千寸又以方边第三位余积八十寸续书于下共一十五万一千零八十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十五万一千零八十寸足三寸即定三商为三寸书于方积空寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与余积相减仍余一万八千二百一十三寸即一千八百二十一万三千分又以方边第四位余积九百零四分续书于下共一千八百二十一万三千九百零四分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一万二千九百分三因之得四百五十三万八千七百分为四商三方廉面积以除一千八百二十一万三千九百零四分足四分即定四商为四分书于方积四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分与四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一万四千七百六十分为四商三长廉面积复以四商之四分自乗得一十六分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百五十五万三千四百七十六分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之四分乗之得一千八百二十一万三千九百零四分与余积相减恰尽是开得一丈二尺三寸四分为正方体积每一边之数也

设如正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺开立方问毎一边数几何

法列正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺自末位起算每隔二位作记于五尺上定单位空千尺上定十位空百万尺上定百位八十亿尺上定千位其八十亿尺为初商积以初商本位计之则八十亿尺为初商积之单位而八十亿尺为八止与二自乗再乗之数相合即定初商为二书于方积八十亿尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积六千万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则空百万尺为次商之单位而六千万尺为六十而初商之二即为二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除六十其数不足是次商为空位乃书一空于方积空百万尺之上以存次商之位复以方边第三位余积一十五万尺续书于下共六千零一十五万尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空千尺为三商之单位而六千零一十五万尺为六万零一百五十而初商之二即为二百次商之空即为空十故以初商次商之二空作二百自乗得四万三因之得十二万为三商三方廉面积以除六万零一百五十其数仍不足是三商亦为空位乃再书一空于方积空千尺之上以存三商之位复以方边末位余积一百二十五尺续书于下共六千零一十五万零一百二十五尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百万尺三因之得一千二百万尺为四商三方廉面积以除六千零一十五万零一百二十五尺足五尺即定四商为五尺书于方积五尺之上而以初商之二千尺与四商之五尺相乗得一万尺三因之得三万尺为四商三长廉面积复以四商之五尺自乗得二十五尺为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千二百零三万零二十五尺为四商廉隅共法书于余积之左以四商之五尺乗之得六千零一十五万零一百二十五尺与余积相减恰尽是开得二千零五尺为正方体积每一边之数也此法商出之方边有二空位凡开立方遇此类者皆依此例推之

设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺开立方问每一边数几何

法列正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作记于二尺上定单位六千尺上定十位四百万尺上定百位三十亿尺上定千位其三十亿尺为初商积以初商本位计之则三十亿尺为初商积之单位而三十亿尺为三止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积三十亿尺之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余二十亿尺爰以方边第二位余积二亿九千四百万尺续书于下共二十二亿九千四百万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四百万尺为次商积之单位而二十二亿九千四百万尺为二千二百九十四而初商之一即为一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除二千二百九十四足七倍因定次商为七而以初商之一十与次商之七相乗得七十三因之得二百一十为次商三长廉面积复以次商之七自乗得四十九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十九为次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大于次商廉隅之共积是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大于次商廉隅之共积是次商不可商六也又改商五而以初商之一十与次商之五相乗得五十三因之得一百五十为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百七十五为次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大于次商廉隅之共积是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十与次商之四相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百三十六为次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小于次商廉隅之共积可减也乃以次商之四书于方积四百万尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四与次商廉隅之共积相减余五亿五千万尺复以方边第三位余积六十四万六千尺续书于下共五亿五千零六十四万六千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则六千尺为三商积之单位而五亿五千零六十四万六千尺为五十五万零六百四十六而初商次商之一十四即为一百四十乃以初商之一百四十自乗得一万九千六百三因之得五万八千八百为三商三方廉面积以除五十五万零六百四十六足九倍因定三商为九而以初商次商之一百四十与三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十为三商三长廉面积复以三商之九自乗得八十一为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千六百六十一为三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六万三千九百四十九大于三商廉隅之共积是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十与三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十为三商三长廉面积复以三商之八自乗得六十四为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千二百二十四为三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九万七千七百九十二是小于三商廉隅之共积可减也乃以三商之八书于方积六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九万七千七百九十二与三商廉隅之共积相减余五千二百八十五万四千尺复以方边末位余积二百七十二尺续书于下共五千二百八十五万四千二百七十二尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九万零四百三因之得六百五十七万一千二百为四商三方廉面积以除五千二百八十五万四千二百七十二足八倍即定四商为八书于方积二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十与四商之八相乗得一万一千八百四十三因之得三万五千五百二十为四商三长廉面积复以四商之八自乗得六十四为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百六十万六千七百八十四为四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五万四千二百七十二与余积相减恰尽是开得一千四百八十八尺为正方体积毎一边之数也此法盖因方边之第三位第四位二数太大故次商廉隅之共积以次商之三方廉除得次商之边继而以次商之边与次商廉隅共法相乗大于原积甚多改商三次所乗之数始与次商廉隅之共积相准而后次商之数可定凡开立方遇此类者皆依此例推之如或廉隅共法与商出之数相乗得数大于廉隅共积几一倍者则改商必审其与廉隅共积相近小数始可为准也

设如有积一万四千七百三十四尺开立方问每一边数几何

法列积一万四千七百三十四尺自末位起算隔二位作记于四尺上定单位四千尺上定十位其一万四千尺为初商积以初商本位计之则四千尺为初商积之单位而一万四千为一十四止与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于方积四千尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余六千尺爰以方边第二位余积七百三十四尺续书于下共六千七百三十四尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则边与积皆仍为本位而初商之二则为二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺为次商三方廉面积以除方积六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺与次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺为次商三长廉面积复以次商之五尺自乗得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共一千五百二十五尺为次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大于次商廉隅之共积是次商不可商五尺也乃改商四尺书于方积四尺之上而以初商之二十尺与次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺为次商三长廉面积复以次商之四尺自乗得一十六尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百五十六尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺与余积相减仍余九百一十尺是开得二十四尺为方体每一边之数仍余九百一十尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増三空于总积之后复续书三空于九百一十尺之后为几百几十几寸之位是则九百一十尺作九十一万寸为三商廉隅之共积爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五万七千六百寸三因之得一十七万二千八百寸为三商三方廉面积以除余积九十一万寸足五寸即定三商为五寸书于余积空寸之上而以初商次商之二百四十寸与三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸为三商三长廉面积复以三商之五寸自乗得二十五寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十七万六千四百二十五寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之五寸乗之得八十八万二千一百二十五寸与余积相减仍余二万七千八百七十五寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书三空于原积空寸之后复续书三空于二万七千八百七十五寸之后为几百几十几分之位是则二万七千八百七十五寸作二千七百八十七万五千分为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百万零二千五百分三因之得一千八百万零七千五百分为四商三方廉面积以除余积二千七百八十七万五千分足一分即定四商为一分书于余积空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分与四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分为四商三长廉面积复以四商之一分自乗仍得一分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千八百零一万四千八百五十一分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一万四千八百五十一分与余积相减仍余九百八十六万零一百四十九分不尽是开得二十四尺五寸一分为方体每一边之数也此法原积本非自乗再乗所得之数虽逓析之终不能尽凡开立方遇此类者皆以此例推之

设如有方亭几座用方甎铺地共用一千七百二十八块其所铺之座数与毎座毎行之甎数相等问亭之座数几何

法列方甎一千七百二十八块为立方积用开立方法开之于八块上定单位一千块上定十位其一千块为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于方积一千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减恰尽爰以第二位余积七百二十八块续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除七百二十八足二倍即定次商为二书于方积八块之上而以初商之一十与次商之二相乗得二十三因之得六十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四书于余积之左以次商之二乗之得七百二十八与余积相减恰尽是得所铺亭数为一十二座也此法因所铺之亭数与每行甎数相等是每行甎一十二块其亭亦一十二座虽非立方形而法则立方法也故用立方开之

设如有方仓一座共盛粮八百七十八石八斗问仓髙几何

法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺为立方积用开立方法开之其二千尺为初商积以初商本位计之则二千尺为初商积之单位止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积二千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余一千尺爰以第二位余积一百九十七尺续书于下共一千一百九十七尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除一千一百九十七尺足三倍即定次商为三书于方积七尺之上而以初商之一十与次商之三相乗得三十三因之得九十为次商三长廉面积复以次商之三自乗得九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十九为次商廉隅共法书于余积之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺与余积相减恰尽是开得方仓之高为一十三尺也此法因粮是石法所问乃仓之尺数故先将石变为尺而开立方即得仓之髙也

设如有方石一块重一二万六千六百二十两问每边尺寸几何

法以石之定率每寸重二两五钱除二万六千六百二十两得一万零六百四十八寸为立方积用开立方法开之其一万寸为初商积以初商本位计之则空千位为初商积之单位而一万尺为一十与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于空千寸之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余二千寸爰以第二位余积六百四十八寸续书于下共二千六百四十八寸为次商廉隅之共积而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除二千六百四十八寸足二倍即定次商为二书于方积八寸之上而以初商之二十与次商之二相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千三百二十四为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸与余积相减恰尽是开得二十二寸为正方石毎一边之数也此法因石是两数所问乃石之寸数故先将石之两数变为寸而开立方即得石之寸数也

设如有水银一万六千三百四十四两六钱八分欲作一方匣盛之问匣高几何

法先以水银定率毎寸重一十二两二钱八分除一万六千三百四十四两六钱八分得一千三百三十一寸为立方积用开立方法开之其一千寸为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于一千寸之上而以一自乗再乗之一书于方积一千寸之下相减恰尽爰以第二位余积三百三十一寸续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三百三十一寸足一倍即定次商为一书于方积一寸之上而以初商之一十与次商之一相乗得一十三因之得三十为次商三长廉面积复以次商之一自乗仍得一为一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百三十一为次商廉隅共法书于余积之左以次商之一乗之仍得三百三十一与余积相减恰尽是开得一十一寸为方匣之高也

设如有方池一区其深与方相等容水四千零九十六尺问深几何

法列四千零九十六尺为立方积用开立方法开之其四千尺为初商积以初商本位计之则四千为初商积之单位与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于四千尺之上而以一自乗再乗之一书于方积四千尺之下相减余三千尺爰以第二位余积九十六尺续书于下共三千零九十六尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺则合于初商之数再合方廉长廉小隅面积必大于次商廉隅之共积可知故商九尺八尺七尺皆仍大于次商廉隅之共积乃改商六尺书于方积六尺之上而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方

廉三长廉一小隅面积共得五百一十

六为次商廉隅共法书于余积之左以

次商之六乗之得三千零九十六与余

积相减恰尽是开得一十六尺为池之

深也此法因池之深与方相等其所容

水数即正方体积故立方开之得一边

之数即池之深也

御制数理精蕴下编卷二十三

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十四

体部二

带纵较数立方

带纵和数立方【勾股法四条附】

带纵较数立方

带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多者则为带两纵相同之立方至于长与阔与髙皆不等者则为带两纵不同之立方开之之法大防与立方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与阔相等惟长不同为问者则以初商为髙与阔以之自乘又以初商加纵数为长以之再乘得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即初商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两纵相同之法如以长与阔相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘又以初商为髙以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一纵也其一长亷附于初商积之髙邉者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各带一纵也其两纵不同之法如以阔比髙多长比阔又多为问者则以初商为髙又以初商加阔纵为阔与髙相乘又加长纵为长以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则两纵其二方亷附于初商积之旁面者则一阔纵一长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各一纵也惟小隅则无论一纵两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之阔与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例递析推之法虽不一要皆本于正方而后加纵故凡商出之数皆为小边方体共十二边若一纵或两纵相同者则八边相等四边相等若两纵不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也

设如一纵立方积一百一十二尺其髙与阔相等长比髙阔多三尺问髙阔长各几何

法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与阔【因髙与阔等故四尺即方之髙与阔也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与阔四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲已为阔己戊为长甲乙甲已俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所之纵甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也葢因此法髙与阔俱止一位其积止一位之积故初商所得即髙与阔之边加入纵多即为长边也凡有带一纵无次商者依此法开之

设如一纵立方积二千四百四十八尺其髙与阔相等长比髙阔多五尺问髙阔长各几何

法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商亷隅之共积乃以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺【此一方亷初商数也】又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺【加倍为纵两方亷即初商加纵多也】两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商亷隅之共积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔十尺倍之得二十尺【此两长亷初商数也】与初商之长十五尺相并【此纵一长亷也】得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺为次商三长亷面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方亷三长亷一小隅面积共得四百七十四尺为亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱一十二尺加纵多五尺得一十七尺即立方之长也如图甲乙丙丁长方体形容积二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊阔皆十二尺甲己长十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数其从一角所分辛乙癸壬长方体形壬癸与辛乙皆十尺即初商数壬辛十五尺即初商加纵多之数辛乙癸壬长方积一千五百尺即初商自乗又以初商加纵多再乘之数所余子形丑形寅形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十尺即初商数子形丑形为二长方廉每阔十尺长十五尺其长比阔多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数卯形辰形巳形为三长廉其辰形巳形皆长十尺即初商数夘形比辰形巳形皆长五尺即纵多之数其阔与厚皆二尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔与高皆二尺亦即次商数合子丑寅三方廉夘辰巳三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆仿此递析开之

又法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十五尺再乘得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商积乃以初商之髙与阔十尺自乘得一百尺又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之髙与阔加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙与阔俱十二尺其长为十七尺也

设如带一纵立方积一万九千零八寸其髙与阔相等长比髙阔多一百二十寸问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其一万九千寸为初商积可商二十寸则以二十寸为髙与阔加纵多一百二十寸得一百四十寸为长即以髙与阔二十寸自乗得四百寸又以长一百四十寸再乘得五万六千寸大于原积二倍有余乃退商十寸书于原积九千寸之上而以所商十寸为初商之高与阔加纵多一百二十寸得一百三十寸为初商之长乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之长一百三十寸再乘得一万三千寸书于原积之下相减余六千零八寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之髙与阔十寸与初商之长一百三十寸相乘得一千三百寸倍之得二千六百寸两数相并得二千七百寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积六千零八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商之髙与阔十寸倍之得二十寸又与初商之长一百三十寸相并得一百五十寸以次商之二寸乘之得三百寸为次商三长廉面积又以次商之二寸自乘得四寸为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零四寸为廉隅共法以次商之二寸乘之得六千零八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱十二寸加纵多一百二十寸得一百三十二寸即立方之长也此法因带纵甚大按立方例所得初商数并加纵多所得初商积必大于原积防倍依次渐取小数开之又至甚烦故约略其分退商之至商出之积比原积微小而后可是则带纵立方立法之最难者也

设如带一纵立方积二丈零四十二尺四百一十五寸其髙与阔相等长比髙阔多一尺二寸问髙阔长各防何

法列积如开立方法商之其二丈为初商积可商一丈乃以一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积九百二十二尺足二尺则以二尺书于原积二尺之上而以初商之高与阔一十尺倍之得二十尺与初商之长一十一尺二寸相并得三十一尺二寸以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十尺四十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸书于余积之下相减仍余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之一丈二尺为高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为长乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙与阔一百二十寸倍之得二百四十寸与长一百三十二寸相并得三百七十二寸以三商之三寸乘之得一千一百一十六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万七千二百零五寸为防隅共法以三商之三寸乘之得一十四万一千六百一十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱一丈二尺三寸加纵多一尺二寸俱一丈三尺五寸即立方之长也

又法以初商积二丈商一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商积九百二十二尺四百一十五寸足二尺则以二尺书于原积二尺之上合初商次商共一丈二尺为初商次商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔一丈二尺自乘得一丈四十四尺又以初商次商之长一丈三尺二寸再乘得一丈九百尺零八百寸与原积相减余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商积乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方防面积以除三商积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上合初商次商三商共一丈二尺三寸为初商次商三商之髙与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺五寸为初商次商三商之长乃以初商次商三商之髙与阔一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之长一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸与原积相减恰尽即知立方之高与阔俱一丈二尺三寸其长为一丈三尺五寸也

设如带两纵相同立方积五百六十七尺其长与阔俱比髙多二尺问长阔髙各防何

法列积如开立方法商之共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小之数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为高加纵多二尺得九尺为长与阔即以长与阔九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与阔也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积五百六十七尺其甲乙为高甲子为阔甲巳为长甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所带之纵其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之积庚辛壬癸丙丁戊已磬折体形即所带之纵积也此法因长阔俱比高多故初商所得为髙于高加纵多即长与阔也

设如带两纵相同立方积三千四百六十八尺其长与阔俱比高多五尺问长阔高各防何

法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以初商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺【此一方廉长阔皆带一纵也】又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺【加倍为带纵两方廉即初商加纵多也】两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺【此两长廉即长阔各带一纵也】与初商之髙十尺相并【此一长廉初商数也】得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百零九尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高为十二尺加纵多五尺得十七尺为立方之长与阔也如图甲乙丙丁扁方体形容积三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊长甲已阔俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即纵多之数其从一角所分壬乙子癸扁方体形癸子与壬乙皆十尺即初商数壬癸与癸申皆十五尺即初商加纵多之数壬乙子癸扁方积二千二百五十尺即初商加纵多自乘又以初商再乘之数所余丑形寅形夘形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十五尺即初商加纵多之数丑形夘形为二长方廉每高十尺长十五尺其长比髙多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数辰形巳形午形为三长廉巳形长十尺即初商数辰形午形比巳形俱长五尺即纵多之数其阔与厚皆一尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔高皆二尺亦即次商数合丑寅夘三方廉辰巳午三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆仿此递析开之

又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加纵多五尺得十七尺为初商次商之长与阔乃以初商次商之长与阔十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺与原积相减恰尽即知立方之高为十二尺其长与阔得十七尺也

设如带两纵相同立方积一百零三万四千二百八十九寸其长与阔俱比高多三百三十寸问长阔髙各防何

法列积如开立方法商之其一百万寸为初商积可商一百寸乃以所商一百寸为高加纵多三百三十寸得四百三十寸为长与阔即以长与阔四百三十寸自乘得一十八万四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九万寸大于原积十倍有余是初商不可商一百寸也乃改商十寸为高【既大于原积十倍有余故取十分之一商之为十寸】加纵多三百三十寸得三百四十寸为长与阔即以长与阔三百四十寸自乘得一十一万五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五万六千寸仍大于原积是亦不可商一十寸也乃改商九寸书于原积九寸之上而以所商九寸为髙加纵多三百三十寸得三百三十九寸为长与阔即以长与阔三百三十九寸自乘得一十一万四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三万四千二百八十九寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸加纵多三百三十寸得三百三十九寸为立方之长与阔也

设如带两纵相同立方积一十一丈五百零九尺二百六十八寸其长与阔俱比高多二尺一寸问长阔髙各防何

法列积如开立方法商之其一十一丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积一丈之上而以所商二丈为初商之髙加纵多二尺一寸得二丈二尺一寸为初商之长与阔乃以初商之长与阔二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸书于原积之下相减余一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺与初商之长与阔二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺两数相并得一千三百七十二尺四十一寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千七百四十一尺零六十八寸足一尺则以一尺书于原积九尺之上而以初商之长与阔二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸与初商之髙二十尺相并得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸为次商三长廉面积又以次商之一尺自乘仍得一尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百三十七尺六十一寸为廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸书于余积之下相减仍余三百零三尺四百五十八寸即三十万三千四百五十八寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈一尺为髙加纵多二尺一寸得二丈三尺一寸为长与阔乃以初商次商之长与阔二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五万三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸与初商次商之长与阔二百三十一寸相乘得四万八千五百一十寸倍之得九万七千零二十寸两数相并得一十五万零三百八十一寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积三十万零三千四百五十八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商次商之长与阔二百三十一寸倍之得四百六十二寸与初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸为三商三长廉面积又以三商之二寸自乘得四寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十五万一千七百二十九寸为廉隅共法以三商之二寸乘之得三十万三千四百五十八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高得二丈一尺二寸加纵多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之长与阔也

设如带两纵不同立方积一百九十二尺其阔比高多二尺其长比阔又多二尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其积一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺为髙加阔比髙多二尺得七尺为阔再加长比阔多二尺得九尺为长即以高五尺与阔七尺相乘得三十五尺又以长九尺再乘得三百一十五尺大于原积乃改商四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙加阔比髙多二尺得六尺为阔再加长比阔多二尺得八尺为长即以髙四尺与阔六尺相乘得二十四尺又以长八尺再乘得一百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺其阔为六尺其长为八尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百九十二尺其甲乙为髙四尺甲已为阔六尺己戊为长八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即阔比髙所带之纵己戊比己辛所多辛戊四尺即长比髙所带之纵甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方积庚壬癸子丙丁戊辛已磬折体形即长阔两纵所多之长方积也此法因长比阔多阔又比髙多故初商所得即为髙于髙加阔纵为阔于阔加长纵为长也

设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其阔比髙多二尺其长比阔又多四尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长乃以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺【此带阔纵一方廉也】又以初商之高十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺【此带长纵一方廉也】又以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺【此带长阔两纵一方廉也】三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上而以初商之髙十尺【此一长廉初商数也】与初商之阔十二尺相并【此带阔纵一长廉也】得二十二尺又与初商之长十六尺相并【此带长纵一长廉也】得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十二尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高得十二尺加阔比髙多二尺得十四尺为阔又加长比阔多四尺得十八尺为长也如图甲乙丙丁长方体形容积三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊阔十四尺甲已长十八尺甲戊比甲庚所多二尺即阔比髙所多之数甲已比辛己所多六尺即长比髙所多之数其从一角所分壬乙子癸长方体形壬乙与癸子皆十尺即初商之数壬未与癸申皆十二尺即初商之髙加阔多之数壬癸与未申皆十六尺即初商之髙加阔多又加长多之数壬乙子癸长方体形所容一千九百二十尺即初商积所余丑形寅形夘形为三方廉其夘形之髙十尺即初商之数其带阔纵二尺如酉即阔多之数其丑形之髙十尺亦即初商之数其带长纵六尺如戌即长多之数其寅形之阔十尺又带阔多二尺如亥即初商之髙加阔多之数其带长纵六尺如干即初商之髙加阔多又加长多之数其厚皆二尺即次商之数辰形巳形午形为三长廉其辰形之长十尺即初商之数巳形比辰形所多二尺如坎即阔多之数其午形比辰形所多六尺如艮即长多之数其阔与厚皆二尺亦即次商之数其已形一小正方体为隅其长阔与髙俱二尺亦即次商之数合三方廉三长廉一小隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆仿此递析开之

又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加阔比髙多二尺得十四尺为初商次商之阔再加长比阔多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之高十二尺与初商次商之阔十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乘得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙为十二尺其阔为十四尺其长为十八尺也

设如带两纵不同立方积三十万零一百六十寸其阔比髙多九十二寸其长比髙多一百一十四寸问髙阔长各防何

法列积如开立方法商之其三十万寸为初商积可商六十寸乃以所商六十寸为髙加阔比髙多九十二寸得一百五十二寸为阔再加长比髙多一百一十四寸得一百七十四寸为长即以高六十寸与阔一百五十二寸相乘得九千一百二十寸又以长一百七十四寸再乘得一百五十八万六千八百八十寸大于原积五倍有余是初商不可商六十寸也乃改商二十寸书于原积空千寸之上而以所商二十寸为高加阔比髙多九十二寸得一百一十二寸为阔又以高二十寸加长比高多一百一十四寸得一百三十四寸为长乃以高二十寸与阔一百一十二寸相乘得二千二百四十寸又以长一百三十四寸再乘得三十万零一百六十寸书于原积之下相减恰尽是知次商为空位而立方之髙为二十寸其阔为一百一十二寸其长为一百三十四寸也

设如带两纵不同立方积一万三千二百八十四寸其阔比髙多三寸其长比阔多一百一十一寸问髙阔长各防何

法列积如开立方法商之其一万三千寸为初商积可商二十寸乃以所商二十寸为高加阔比髙多三寸得二十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百三十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得六万一千六百四十寸大于原积四倍有余是初商不可商二十寸也乃退商十寸而以所商十寸为髙加阔比高多三寸得十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百二十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得一万六千一百二十寸仍大于原积乃复退商九寸书于原积四寸之上而以所商九寸为髙加阔比髙多三寸得十二寸为阔再加长比阔多一百一十一寸共一百二十三寸为长即以高九寸与阔十二寸相乘得一百零八寸又以长一百二十三寸再乘得一万三千二百八十四寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸其阔为十二寸其长为一百二十三寸也

设如带两纵不同立方积一十三丈二百四十九尺五百四十五寸其阔比髙多一尺其长比阔又多二尺二寸问髙阔长防何

法列积如开立方法商之其一十三丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积三丈之上而以所商二丈为初商之髙加阔比髙多一尺得二丈一尺为初商之阔再加长比阔多二尺二寸得二丈三尺二寸为初商之长即以初商之髙二丈与初商之阔二丈一尺相乘得四丈二十尺又以初商之长二丈三尺二寸再乘得九丈七百四十四尺书于原积之下相减余三丈五百零五尺五百四十五寸即三千五百零五尺五百四十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙二丈作二十尺初商之阔二丈一尺作二十一尺相乘得四百二十尺又以初商之长二丈三尺二寸作二十三尺二寸与初商之髙二十尺相乘得四百六十四尺又以初商之阔二十一尺与初商之长二十三尺二寸相乘得四百八十七尺二十寸三数相并得一千三百七十一尺二十寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千五百零五尺五百四十五寸足二尺则以二尺书于原积九尺之上而以初商之髙二十尺与初商之阔二十一尺初商之长二十三尺二寸相并得六十四尺二寸以次商之二尺乘之得一百二十八尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千五百零三尺六十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得三千零七尺二百寸书于余积之下相减仍余四百九十八尺三百四十五寸即四十九万八千三百四十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈二尺为髙加阔比髙多一尺得二丈三尺为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺二寸为长乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸初商次商之阔二丈三尺作二百三十寸相乘得五万零六百寸又以初商次商之长二丈五尺二寸作二百五十二寸与初商次商之髙二百二十寸相乘得五万五千四百四十寸又以初商次商之阔二百三十寸与初商次商之长二百五十二寸相乘得五万七千九百六十寸三数相并得一十六万四千寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积四十九万八千三百四十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙二百二十寸与初商次商之阔二百三十寸初商次商之长二百五十二寸相并得七百零二寸以三商之三寸乘之得二千一百零六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十六万六千一百一十五寸为廉隅共法以三商之三寸乘之得四十九万八千三百四十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙得二丈二尺三寸加阔比髙多一尺得二丈三尺三寸为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺五寸为长也

设如带两纵不同立方积一百三十二万八千二百五十尺其阔比髙多五尺其长比阔又多五尺问髙阔长各防何

法列积如开立方法商之其一百万尺为初商积可商一百尺乃以一百尺书于原积一百万尺之上而以所商之一百尺为初商之髙加阔比髙多五尺得一百零五尺为初商之阔再加长比阔多五尺得一百一十尺为初商之长乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之长一百一十尺再乘得一百一十五万五千尺书于原积之下相减余一十七万三千二百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之髙一百尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千尺又以初商之阔一百零五尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千五百五十尺三数相并得三万三千零五十尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一十七万三千二百五十尺不足一十尺仅足五尺是次商为空位也乃书一空于原积八千尺之上以存次商之位复以所商五尺书于原积空尺之上而以初商次商之髙一百尺与初商次商之阔一百零五尺初商次商之长一百一十尺相并得三百一十五尺以三商之五尺乘之得一千五百七十五尺为三商三长廉面积又以三商五尺自乘得二十五尺为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三万四千六百五十尺为廉隅共法以三商之五尺乘之得一十七万三千二百五十尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙为一百零五尺加阔比髙多五尺得一百一十尺为阔又加长比阔多五尺得一百一十五尺为长也

设如一尺土方三万九千六百八十八尺筑堤一段其髙与阔相等其长比高阔多六十尺问髙阔长各防何

法列积用带一纵立方法开之其三万九千尺为初商积可商三十尺乃以所商三十尺为髙与阔加纵多六十尺得九十尺为长即以髙与阔三十尺自乘得九百尺又以长九十尺再乘得八万一千尺大于原积乃改商二十尺书于原积九千尺之上而以所商二十尺为初商之髙与阔加纵多六十尺得八十尺为初商之长即以初商之髙与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺再乘得三万二千尺书于原积之下相减余七千六百八十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺与初商之高与阔二十尺相乘得一千六百尺倍之得三千二百尺两数相并得三千六百尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积七千六百八十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔二十尺倍之得四十尺与初商之长八十尺相并得一百二十尺以次商之二尺乘之得二百四十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千八百四十四尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得七千六百八十八尺书于余积之下相减恰尽是知堤之髙与阔俱二十二尺加长比髙阔多六十尺得八十二尺为堤一段之长也

设如有仓一座容米二千四百石其仓之长与阔俱比髙多五尺问仓之长阔髙各防何

法将米二千四百石用每石定法二尺五百寸乘之得六千尺乃以六千尺为带两纵相同立方积用带两纵相同法开之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余三千七百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千七百五十尺足七尺乃按法算之得廉隅共法八百五十四尺以次商之七尺乘之得五千九百七十八尺大于次商廉隅之共积乃改商六尺按法算之得廉隅共法八百零一尺以次商之六尺乘之仍大于次商廉隅之共积又改商五尺书于原积空尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺与初商之高十尺相并得四十尺以次商之五尺乘之得二百尺为次商三长廉面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七百五十尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得三千七百五十尺书于余积之下相减恰尽是知仓之高为一十五尺加纵多五尺得二十尺为仓之长与阔也

设如挑河一段但知挑出土方七万六千一百四十尺其宽比深多三尺其长比宽多二百六十四尺问宽长深各防何

法列积用带两纵不同立方法开之其七万六千尺为初商积可商四十尺因长纵甚多故取小数商二十尺为深加宽比深多三尺得二十三尺为宽再加长比宽多二百六十四尺得二百八十七尺为长以三数相乘得十万三千二百零二十尺大于原积乃改商十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之深加宽比深多三尺得十三尺为初商之宽再加长比宽多二百六十四尺得二百七十七尺为初商之长乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之长二百七十七尺再乘得三万六千零十尺书于原积之下相减余四万零一百三十尺为次商亷隅之共积乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之宽十三尺与初商之长二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺与初商之长二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三数相并得六千五百零一尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积四万零一百三十尺足五尺则以五尺书于原积空尺之上而以初商之深十尺与初商之宽十三尺初商之长二百七十七尺相并得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺为次商三长亷面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得八千零二十六尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得四万零一百三十尺书于余积之下相减恰尽是知挑河之深为十五尺加宽比深多三尺得十八尺为宽再加长比寛多二百六十四尺得二百八十二尺为河一段之长也

纵和数立方

纵较数立方其法已难而纵和数立方立法尤难故古无传而以理推之则法有与较数相对待者其一纵立方高与阔相等惟长不同如以长与高和或长与阔和为问者则以初商为高与阔而与和数相减余为长乃以高与阔自乗以长再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数除原积得数约开平方可得几数取略大数以定初商初商减积有余实者其初商方积外有二方亷一长亷成两面磬折体形而初商之高与阔少一次商初商之长多一次商故内少一方亷积商除之法则以初商之高与阔与初商之长相乗倍之为二方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷积与余实相加始足次商二方亷一长亷之共积故以次商与初商之长相减余为初商次商之共长与初商相乗倍之为二方亷面积又以初商次商之共长与次商相乗为一长亷面积合二方亷一长亷面积以次商乗之为二方亷一长亷之共积所谓初商方积外成两面磬折体形是也其两纵相同立方长与阔相等惟高不同如以高与阔和或高与长和为问者则以初商为高与和数相减余为长与阔乃以长与阔自乗以高再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数自乗除原积约足几倍取略大数以定初商初商减积有余实者初商方积外止一方亷成一扁方体形而初商之高少一次商初商之长与阔各多一次商故内少二方亷一长亷积商除之法则以初商之长与阔自乗为一方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商以次商与初商之长与阔相减余为初商次商之长与阔而与初商相乗次商再乗倍之为二方亷积又以次商自乗初商再乗为一长亷积合二方亷一长亷积与余实相加始足次商一方亷积故以初商次商之长与阔自乗次商再乗为一方亷积所谓初商方积外成一扁方体形是也其两纵不同立方与两纵相同立方同但带两纵相同者其次商积为一正方廉带两纵不同者其次商积为一长方廉耳要之定商皆以小于半和为准有时退商而反不足进商而反有余须合初商次商以斟酌之至次商以后因有益积之法故廉法亦不足凭则又须较量而増损之可也

设如带一纵立方积七百六十八尺其高与阔等长与阔和二十尺问高阔长各防何

法列积如开立方法商之其积七百六十八尺可商九尺则以九尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十一尺为长即以高与阔九尺自乘得八十一尺又以长十一尺再乘得八百九十一尺大于原积乃退商八尺书于原积八尺之上而以所商八尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十二尺为长即以髙与阔八尺自乘得六十四尺又以长十二尺再乘得七百六十八尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱八尺长十二尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积七百六十八尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙乙丙俱八尺丙丁为十二尺乙丙与丙丁共二十尺即长阔之和初商所得即高与阔于长阔和内减去初商所余即长也此法与较数带纵立方有加减之异彼以所商之数与较数相加此则以所商之数与和数相减也

设如带一纵立方积二千四百四十八尺其高与阔相等长与阔和二十九尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔与长阔和二十九尺相减余十九尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十九尺再乘得一千九百尺书于原积之下相减余五百四十八尺乃以初商之髙与阔十尺与初商之长十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除余积五百四十八尺足一尺因仍益积且初商之长尚减去次商数故取大数为二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺与余积五百四十八尺相加得七百四十八尺为次商二方廉一长廉之共积乃以次商二尺与初高之长十九尺相减余十七尺为初商次商之长与初商之高与阔十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺为二方廉面积又以次商二尺与初商次商之长十七尺相乘得三十四尺为一长廉面积合二方廉一长廉面积共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱十二尺长十七尺也如图甲乙丙丁长方体形甲乙高乙戊阔皆十二尺戊丙长十七尺乙戊与戊丙共二十九尺即长阔之和其从一角所分己乙壬癸长方体形己乙与乙庚皆十尺即初商数壬庚十九尺即长阔和内减初商所余之数比戊丙多子壬一段即次商数己乙壬癸长方积一千九百尺即初商自乘又以初商与长阔和相减之余再乘之数比初商原体积多丑寅壬癸一扁方体形因初商积内多减去此积故以初商自乗次商再乗而得丑寅壬癸扁方体积与余积相加即得甲己辛庚丙丁两面磬折体形其辰形巳形为两方廉其阔十尺即初商数其长十七尺即长阔和内减初商次商之数其厚皆二尺即次商数午形为一长廉其长十七尺与方廉同其阔与厚皆二尺亦即次商数合二方廉一长廉共成一磬折体形附于长方体之两面而成甲乙丙丁之总长方体积也

设如带一纵立方积九万九千九百五十四尺其高与阔相等长与阔和一千二百四十三尺问高阔长各防何

法列积如开立方法商之其九万九千尺为初商积可商四十尺而长阔和为一千二百四十三尺按法相乘过大于原积爰以长阔和一千二百四十三尺除原积九万九千九百五十四尺足八十尺有余以八十尺开平方约足九尺乃以九尺书于原积四尺之上而以所商九尺为髙与阔与长阔和一千二百四十三尺相减余一千二百三十四尺为长即以髙与阔九尺自乘得八十一尺又以长一千二百三十四尺再乘得九万九千九百五十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱九尺长一千二百三十四尺也此法葢因带一纵甚多高与阔甚少其长阔和比长所多无防故以长阔和除原积即得髙与阔自乘之一面积而开平方所得即髙与阔与长阔和相减所余即长也

设如带两纵相同立方积三百八十四尺其长与阔相等高与阔和十四尺问髙阔长各防何

法列积如开立方法商之其积三百八十四尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积四尺之上而以所商六尺为高与高阔和十四尺相减余八尺为长与阔即以长与阔八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺长与阔皆八尺也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积三百八十四尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙六尺乙丙与丙丁皆八尺甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高于高阔和内减去初商所余为阔亦即长也

设如带两纵相同立方积六千九百一十二尺其长与阔相等高与阔和三十六尺问高阔长各防何法列积如开立方法商之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之长与阔即以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺书于原积之下相减余一百五十二尺乃以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺以除余积一百五十二尺不足一尺因仍益积且初商之长与阔内尚减去次商数故取大数为二尺书于原积二尺之上而以次商二尺与初商之长与阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之长与阔与初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺为二方廉积又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千尺与余积一百五十二尺相加得一千一百五十二尺为次商一方廉积乃以初商次商之长二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺长与阔皆二十四尺也如图甲乙丙丁扁方体形容积六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊长甲己阔俱二十四尺甲己与甲乙共三十六尺即高与阔之和其从一面所分庚乙癸子扁方体形庚乙十尺即初商数庚丑与庚寅皆二十六尺即高阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积六千七百六十尺即初商与高阔和相减之余数自乘又以初商再乘之数比初商原体积多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与阔与初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊扁方体形其甲戊长甲己阔皆二十四尺即高阔和内减初商次商之数甲庚厚二尺即次商数附于初商扁方体之一面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆仿此递析推之

设如带两纵相同立方积三百九十六万八千零六十四尺其长与阔相等高与阔和一千尺问高阔长各防何

法列积如开立方法商之其三百万尺为初商积可商一百尺而高阔和为一千尺按法相乘过大于原积爰以髙阔和一千尺自乘得一百万尺以除原积三百九十六万八千零六十四尺足三尺取略大数为四尺乃以四尺书于原积四尺之上而以所商四尺为髙与高阔和一千尺相减余九百九十六尺为长与阔即以长与阔九百九十六尺自乘得九十九万二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六万八千零六十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺长与阔俱九百九十六尺也此法葢因带两纵甚多而高数甚少其高阔和比原长原阔所多无防故以高阔和自乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔亦即长边也

设如带两纵不同立方积四百八十尺高与阔和十四尺高与长和十六尺问高阔长各防何

法列积如开立方法商之其积四百八十尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积空尺之上而以所商六尺为高与高与阔和十四尺相减余八尺为阔又以高六尺与高与长和十六尺相减余十尺为长即以高六尺与阔八尺相乘得四十八尺又以长十尺再乘得四百八十尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺其阔为八尺其长为十尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积四百八十尺其甲乙为高六尺乙丙为阔八尺甲己为长十尺甲己与甲乙共十六尺即高与长之和甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高与高阔和相减所余为阔以高与高长和相减所

余即长也设如带两纵不同立方积八千零六十四尺高与阔和三十六尺高与长和四十尺问高阔长各防何法列积如开立方法商之其八千尺为初商积可商二十尺因欲得小于半和之数乃退商十尺书于原积八千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之阔又以初商之高十尺与高长和四十尺相减余三十尺为初商之长即以初商之高十尺与初商之阔二十六尺相乘得二百六十尺以初商之长三十尺再乘得七千八百尺书于原积之下相减余二百六十四尺为一长方廉积其厚即次商之数其长与阔比初商之长与阔各少一次商之数乃以初商之长三十尺与初商之阔二十六尺相乘得七百八十尺以除余积二百六十四尺不足一尺因仍益积且初商之长阔尚减去次商数故取大数为二尺书于原积四尺之上而以所商二尺与初商之阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之阔以所商二尺与初商之长三十尺相减余二十八尺为初商次商之长即以初商次商之阔二十四尺与初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之长二十八尺与初商之高十尺相乘得二百八十尺两数相并得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺为二方廉积又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千零八十尺与余积二百六十四尺相加得一千三百四十四尺为次商一方廉积乃以初商次商之阔二十四尺与长二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺阔二十四尺长二十八尺也如圗甲乙丙丁扁长方体形容积八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊长二十八尺甲己阔二十四尺甲乙与甲己共三十六尺即高与阔之和甲乙与甲戊共四十尺即高与长之和其从一面所分庚乙癸子扁长方体形庚乙十尺即初商数庚丑三十尺即高与长和内减初商之数庚寅二十六尺即高与阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积七千八百尺即初商之长与初商之阔相乘又以初商之高再乘之数比原长原阔多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与初商之髙相乘以初商次商之阔与初商之髙相乘两数相并以次商再乘即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊一扁长方体形其甲巳阔二十四尺即髙阔和内减初商次商之数甲戊长二十八尺即髙长和内减初商次啇之数甲庚厚二尺即次啇数附于初啇扁长方体之一面而成甲乙丙丁之总扁长方体积也三商以后皆仿此逓折推之

设如带两纵不同立方积一十七万二千六百九十二尺髙与阔和一百二十九尺髙与长和二百四十尺问髙阔长各几何

法列积如开立方法商之其一十七万二千尺为初商积可啇五十尺而长即为一百九十尺阔即为七十九尺按法相乘过大于原积爰以髙与阔和一百二十九尺与髙与长和二百四十尺相乘得三万零八百六十尺以除原积一十七万二千六百九十二尺足五尺取略大之数为六尺乃以六尺书于原积二尺之上而以所商六尺为髙与髙与阔和一百二十九尺相减余一百二十三尺为阔又以髙六尺与髙与长和二百四十尺相减余二百三十四尺为长即以阔一百二十三尺与长二百三十四尺相乘得二万八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七万二千六百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为六尺阔为一百二十三尺长为二百三十四尺也此法盖因带两纵甚多而髙数甚少其髙与阔和比原阔所多无几髙与长和比原长所多亦无防故以高与阔和与高与长和相乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔与高与长和相减所余即长也

附勾股法四条

设如勾股积六尺勾较二尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾较二尺除之得七十二尺折半得三十六尺为长方体积乃以勾较二尺折半得一尺为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔三尺为勾加勾较二尺得五尺为以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾较必得股自乘积以勾较除之始得勾和而勾和为二勾一勾较之共数将勾和半之为一勾半勾较之共数今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之髙与阔勾与半勾较之共数为带纵立方之长半勾较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其长为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之长又为勾较与勾和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉自乘之正方内申戌乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾较甲乙丙长即勾和今以股自乘之数用勾较除之得勾和即如寅卯辰巳之长方体积用勾较除之而得干坎辰巳之长方体积其午未辰巳之髙阔相乘之面积未减而坎未之长即为勾和矣勾和既为二勾一勾较之共数折半则得一勾半勾较之共数故将所得之干坎辰巳长方体积折半为艮震辰巳长方体积其巳辰髙未辰阔仍皆为勾与巽未等其震未长为勾与半勾较之共数震巽为半勾较即长比髙阔所多之数故以勾较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为勾也

设如勾股积六尺勾和八尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾和八尺除之得十八尺折半得九尺为扁方体积乃以勾和八尺折半得四尺为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔三尺为勾于勾和八尺内减勾三尺余五尺为以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾和必得股自乘积以勾和除之始得勾较半之为半勾较今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之长与阔半勾较为带纵立方之髙一勾半勾较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其髙为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之髙又为勾较与勾和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉自乘之正方内申戊乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾较甲乙丙长即勾和今以股自乘之数用勾和除之则得勾较即如寅卯辰巳之长方体积用勾和除之而得干卯辰坎扁方体积其卯午辰未之长阔相乘之面积未减而干卯之髙即为勾较矣折半则得艮卯辰震扁方体积其卯午长午辰阔仍皆为勾而艮卯之髙为半勾较其艮卯与卯午即髙与长阔之和为一勾半勾较之共数而勾和乃二勾一勾较之共数故以勾和折半得一勾半勾较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为勾也

设如勾股积六尺股较一尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股较一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺为长方体积乃以股较一尺折半得五寸为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔四尺为股加股较一尺得五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积有股较必得勾自乘积以股较除之始得股和而股和为二股一股较之共数将股和半之为一股半股较之共数今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之髙与阔股与半股较之共数为带纵立方之长半股较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之则成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其长为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之长又为股较与股和相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳之长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股较除之得股和即如寅卯辰巳之长方体积用股较除之仍得寅卯辰巳之长方体积其午未辰巳髙阔相乘之面积与卯未之长俱未减而卯未之长即命为股和矣股和既为二股一股较之共数折半则得一股半股较之共数故将所得之寅卯辰已长方体积折半为干坎辰已长方体积其未辰阔已辰髙仍皆为股与艮未等其坎未长为股与半股较之共数坎艮为半股较即长比髙阔所多之数故以股较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为股也

设如勾股积六尺股和九尺求勾股各几何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股和九尺除之得十六尺折半得八尺为扁方体积乃以股和九尺折半得四尺五寸为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔四尺为股于股和九尺内减股四尺余五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积股和必得勾自乘积以股和除之始得股较半之为半股较今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之长与阔半股较为带纵立方之髙一股半股较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其髙为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之髙又为股和与股较相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股和除之则得股较即如寅夘辰巳之长方体积用股和除之而得干夘辰坎扁方体积其夘午辰未长阔相乘之面积未减而干夘之高即为股较矣折半则得艮夘辰震扁方体积其夘午长午辰阔仍皆为股而艮夘之高为半股较其艮夘与夘午即高与长阔之和为一股半股较之共数而股和乃二股一股较之共数故以股和折半得一股半股较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为股也

御制数理精蕴下编卷二十四

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十五

体部三

各体形总论

直线体

各体形总论

体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆

者　　　　【为】球之外面切于各面之中心而各体又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则葢体成于面面生于线理固然也有积求边则必

以方圆为比例是以边线等者体积不等如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○则正方体

积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球体积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面体积为四七一四○四五二一十二面体积六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径

得一二四○小余七○○九八如圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球径与各等面体之一边俱设为一二四○小余七○○九八则【面】圆球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面体积为一四六三五四七九○五一二十面体

积为四一六六七三○四六三此各形之体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】皆以球积比例者也葢因各形之边线相等体积不同

故皆定为体与体之比例也体积等者边线不　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】等如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则

正方体之每边为一○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】○○而圆球径为一二四○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七二边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边

比例者也或以圆　　　　　　　　　　【算】球径设为一○○○○○○○○则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二

九八八七三○七一九二三如　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九

八八七三○七一九二三　　　　　　　　　　　　　【本】则圆球径为一○○○○○○○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八八一八九五二十面体之每边为六二一四

四三三二此各形之边　　　　　　　　　　　　【也】线皆以球径比例者也葢因各形之体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之正方此方所以为立法之原入

直线体

设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何

法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边得二尺五寸一分有余试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相等也

设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边几何

法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方体积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用八倍其积开立方止以毎边二尺倍之而即得也此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例【见几何原本十巻第四节】故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫六十四与三十二三十二与十六十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位故为连比例隔二位相加之比例也

设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即同于其相当二界各作两正方体积之比例【见几何原本十巻第五节】故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体将其积倍之即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体故开立方得己癸为所求之长也既得己癸之长则以甲戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比得己庚为所求之高也若以原阔自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为今所求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为今所求之高皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也

设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之长又以原阔八寸倍之得一尺六寸即所求之阔又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍是故不用八倍其积开立方止以各边之数倍之而即得也此法盖因两长方体之比例既同于其相当二界各作正方体之比例而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例故两长方体积之比例较之两体各界之比例亦为连比例隔二位相加之比例也

设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即堑堵体形之积也葢堑堵体形即平行二勾股面之三棱长体如甲乙丙丁戊己堑堵体形其两端之二面皆为勾股形一为甲乙丙一为丁戊己俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁己长方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊长方体形凡平行面之长方体自其一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体之积相等【见几何原本五卷第十七节】夫一长方体所分两三棱体之积既相等则三棱体积必为长方体积之一半故将所得之甲乙丙丁庚戊长方体积折半即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也

又法以阔五尺与高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之积也如甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也

设如刍荛体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何法以阔四尺与长十二尺相乘得四十八尺又与高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍荛体形之积也葢刍荛体形即平行两三角面之三棱长体【有直角为堑堵体无直角为刍荛体】如甲乙丙丁戊己刍荛体形其两端之二面皆为三角形一为甲乙丙一为丁戊巳俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁已长方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸长方体形凡平行面之三棱体积为平行面方体积之一半【见几何原本五卷第二十节】故将所得之辛乙丙丁壬癸长方体积折半即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也

又法以阔四尺与高四尺相乘得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乘得九十六尺即刍荛体形之积也如甲乙丙丁戊己刍荛体形以乙丙阔与甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也

设如方底尖体形底方毎边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问自尖至底中立垂线之高几何法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五豪三丝有余为勾以自尖至四角之斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六豪八丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙巳为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也

又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰用平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三豪五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六豪七丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线而以此甲庚为底邉折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也

设如方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何法以下方每边六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其高又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等【见几何原本五卷第二十三节】试将甲己高倍之得壬己与乙丙丁戊底面积相乘得癸乙丁子正方体形此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆与尖方体之底面积等又自甲心依各棱至各角剖之则成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方体此每一尖方体俱为倍高正方体之六分之一既为倍高正方体之六分之一则必为同高扁方体之三分之一故将所得庚乙丁辛之同高方体积三分之而得甲乙丙丁戊尖方体之积也

设如阳马体形底方毎边六尺高亦六尺问积几何法以底方毎边六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳马体与尖方体形虽不同而法则一葢尖方体形尖在正中阳马体形尖在一隅然大凡体形其底面积等高度又等则其体积亦必相等【见几何原本二巻第二十二节】故今阳马体之乙丙丁戊底面积即如尖方体之底其甲丁高度即如尖方体之高度故形虽不同而积则一也

设如鼈臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何法以长与阔四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲乙丙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半葢各类尖体其底面积等其高又等则其体积亦等【见几何原本二卷第二十二节】今甲乙丙丁鼈臑体之乙丙丁底积为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙丁戊底面积之一半则甲乙丙丁鼈臑体积亦必为甲戊乙丙丁阳马体积之一半鼈臑体既为阳马体之一半而阳马体又为长方体之三分之一则鼈臑体必为长方体之六分之一故将所得甲庚戊乙丙己长方体积六分之即得甲乙丙丁鼈臑体之积也又凡正方体或长方体按法剖之即成堑堵阳马鼈臑各体而自得其相比之率也如图甲乙丙丁戊己正方体自其庚乙一面对角线至对面戊辛对角斜线平分之即得甲乙辛戊己与庚乙丙丁戊二堑堵体又将庚乙丙丁戊堑堵体自其上棱戊角至乙对角依乙丙下棱斜剖之则得戊乙丙丁辛一阳马体乙丙戊庚一鼈臑体又将戊乙丙丁辛阳马体自其戊乙相对斜棱平分之则得戊乙丁辛与戊乙丙丁二鼈臑体夫一正方体剖之得二堑堵体是堑堵体为正方体二分之一也一堑堵体剖之得一阳马体一鼈臑体而一阳马体剖之又得二鼈臑体是阳马体为堑堵体之三分之二即为正方体之三分之一而鼈臑体为堑堵体之三分之一即为正方体之六分之一也

设如上下不等正方体形上方毎边四尺下方毎边六尺高八尺问积几何

法以上方每边四尺自乘得一十六尺下方每边六尺自乘得三十六尺又以上方毎边四尺与下方毎边六尺相乘得二十四尺三数相并得七十六尺与高八尺相乘得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形戊丁上方边自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方边自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方边与庚丙下方边相乘得壬癸子丑长方面形将此三方面形相并与高八尺相乘得三长方体形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙庚丙辛长方体比甲戊丁己长方体多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已巳四方廉体又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已丑辛四长廉体而壬癸子丑长方体比甲戊丁巳长方体多壬癸戊甲巳丁子丑二方廉体若将共多之六方廉体四长廉体俱截去则此三长方体之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得十二堑堵体十二阳马体将甲戊丁已类三长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等三正方体故三归之而得甲乙丙丁上下不等一正方体形之积也又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率高八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体之共高乃以下方边六尺自乘得三十六尺与所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三归之得二百八十八尺为大尖方体之积又以高八尺与共高二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之高以上方边四尺自乘得十六尺与上高十六尺相乘得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形加戊甲丁小尖方体形遂成戊乙丙大尖方体形先以上方边与丁方边相减折半如巳庚下方边折半如己辛依勾股比例巳庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下方面相乘三归之得戊乙丙大尖方体积以戊癸与甲丁上方面相乘三归之得戊甲丁小尖方体积于戊乙丙大尖方体积内减去戊甲丁小尖方体积所余必甲乙丙丁上下不等正方体形之积也

设如上下不等长方体形上方长四尺阔三尺下方长八尺阔六尺高十尺问积几何

法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上阔三尺与下长八尺相乘得二十四尺以下阔六尺与上长四尺相乘得二十四尺四数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形戊丁上长与甲戊上阔相乘得一甲戊丁庚长方面形倍之得二甲戊丁庚长方面形已丙下长与乙己下阔相乘得一乙己丙辛长方面形倍之得二乙己丙辛长方面形甲戊上阔与已丙下长相乘得一壬癸子丑长方面形乙己下阔与戊丁上长相乘得一寅卯辰巳长方面形将此六长方面形相并与高十尺相乘得六长方体形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛长方体比二甲戊丁庚长方体为多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方廉体又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚丑辛八长廉体而一壬癸子丑长方体比一甲戊丁庚长方体多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉体而一寅卯辰巳长方体比一甲戊丁庚长方体多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉体若将共多之十二方廉体八长廉体俱截去则此六长方体之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得二十四堑堵体二十四阳马体将六长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等六长方体故六归之而得甲乙丙丁上下不等长方体形之积也

又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也此法与前法同此法之以上长倍之加下长与上阔相乘之数即前法之上长上阔相乘倍之又加上阔与下长相乘之数也又此法之以下长倍之加上长与下阔相乘之数即前法之下长下阔相乘倍之又加下阔与上长相乘之数也图解并同又法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺又以上长四尺与下阔六尺相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺与高十尺相乘得八百四十尺三归之得二百八十尺亦即上下不等长方体形之积也葢此法与上下不等正方体求积之法同但正方体上下俱系正方面故止用上下方边各自乘上方边与下方边相乘此则上下方面各有长阔既用上方长阔相乘下方长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘上阔相加折半以取中数乃可相并而与高数相乘三归之而得体积也又法以上长四尺与下长八尺相减余四尺折半得二尺为一率高十尺为二率下长八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等长方体形上补成一尖长方体之共高乃以下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所得共高二十尺相乘得九百六十尺三归之得三百二十尺为大尖长方体之积又以高十尺与共高二十尺相减余十尺为上小尖长方体之高以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高十尺相乘得一百二十尺三归之得四十尺为上小尖长方体之积与大尖长方体积三百二十尺相减余二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形加戊甲丁小尖长方体形遂成戊乙丙大尖长方体形先以上长与下长相减折半如己庚以下长折半如己辛依勾股比例己庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下长方面相乘三归之得戊乙丙大尖长方体积以戊癸与甲丁上长方面相乘三归之得戊甲丁小尖长方体积于戊乙丙大尖体积内减去戊甲丁小尖体积所余必甲乙丙丁上下不等长方体形之积也

设如上下不等刍荛体形上长十尺下长十四尺下阔五尺高十二尺问积几何

法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺为上下相等刍荛体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下阔五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍荛体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍荛体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍荛体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍荛体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛阔【与乙丙等】相乘即得己辛壬庚刍荛体之底面积与甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊刍荛体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙阔相乘得乙辛与庚丁二尖方体之底面积与高相乘三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与甲己辛壬戊一刍荛积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍荛体之总积也

设如两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸高三尺七寸问积几何

法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等【见几何原本五巻第十九节】故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立之长方体为相等也

设如空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何

法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸为内方边与外方边相乘长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅巳子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为内方边长为外方边也

又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乘再乘得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边加较四寸得一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅则空心正方体变为甲戊辛庚丙丁壬磬折体形其甲戊即磬折体之厚为甲乙外方边与戊己内方边之较依开立方次商法分之得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅体与共积相减余三方廉体三长廉体三归之则余癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方体则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即空心方体之内方边以甲戊与戊乙相加得甲乙即空心方体之外方边也

设如大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边各几何

法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乘再乘得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺即小正方之边数加较四尺得十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减去戊己庚辛小正方体余壬甲戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊边较自乘再乘得巳一小隅体与磬折体积相减余三方廉体三长廉体三归之则得癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也

设如大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何

法以共边二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百一十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔八尺即小正方之边数与共边二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙癸子一总正方体内减甲乙丙丁与戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅卯三方廉体辰巳午三长廉体三归之则得丑一方廉体辰一长廉体共成未壬乙丙戊申一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊申之长方面形其未壬阔与壬甲等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长阔和用带纵和数开平方法算之得未壬阔即小正方之边数与长阔和相减余壬戊长即大正方之边数也

御制数理精蕴下编卷二十五

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十六

体部四

曲线体

曲线体

设如长圎体径与髙皆七尺问积防何

法以长圎体径七尺用求圎面积法求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁长圎体之积也

又法以长圎体径七尺用径求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余与髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余为长圎体之外面积以半径三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先求得乙己丙戊圎周与甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面积为底以庚甲半径乗之得庚甲丙辛长方体为甲乙丙丁长圎体积之二倍葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等而长圎体之半径又与长方体之髙度等则长圎体为长方体之一半【见防何原本五卷第二十四节】故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也

又法用长方体长圎体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之长圎体径七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺为三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余即长圎体之积也此法葢以长方体与长圎体为比例定率之一○○○○○○○○○为长方体积而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积故以径自乗髙再乗得长方体积彼定率之长方体与长圎体之比即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也

设如尖圎体底径六尺中髙六尺问积防何

法以底径六尺用求圎面积法求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余三归之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余即尖圎体之积也如圗甲乙丙丁戊尖圎体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底面积以甲己髙乗之得庚乙丁辛长圎体为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍葢因上下面平行各体与平底尖体同底同髙者其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一【见防何原本五卷第二十三节】故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之即得甲乙丙丁戊尖圎体积也

又法用尖方体尖圎体之定率比例以尖方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺成尖方体积为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余即尖圎体之积也盖尖方体为长方体之三分之一而尖圎体为长圎体之三分之一故尖方体与尖圎体之比即同于长方体与长圎体之比也

又捷法定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积二六一七九九三八八为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余即尖圎体之积也此法葢以长方体与尖圎体为比例长方体积为一○○○○○○○○○则长圎体积为七八五三九八一六三将此长圎体积三归之则得尖圎体积为二六一七九九三八八故定率之长方体与尖圎体之比即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也

设如尖圎体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何

法以底周二十二尺用周求径法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎体以乙丙丁戊底周求得乙丁底径折半得乙巳半径为勾以自尖至底周之甲乙斜线为求得甲巳股即中垂线之髙也

设如圎　　　　　　【与】球径二尺问外面积几

何法以　　　　　　　　　　　【球】圎球径二尺用径求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余与径二尺相乗得一十二尺五

十六寸六十三分七十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】即圎

球之外面积也如圗甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径

径等者其圎面积为　　　　　　　　　　　　　　　　【癸】球体外面积之

四分之一而圎面半径　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】与球体全径等者其圎面积与球体外面【圎体此球体之乙见

几何】积等　　　　　　　　　　　【原】故圎球全径与全周相乗【本】而得圎球之

外面积　　　　　　【十】也设如圎球径一尺二

寸问积　　　　　　　　　　　【巻】几何法以圎球径一尺二寸用径求圎面积法求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四

【第】十丝有余以圎球径一尺二寸乗之

得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余为长圎体积三归之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余倍之得九百零四寸七

百七十八分六百八　　　　　　　　　　　　　　　　【八】十二厘有余即

圎球之体积　　　　　　　　　　　　　【节】也如圗甲乙丙丁圎球体求得戊己庚辛平圎面积以甲丙全径乗之得与圎球同径同髙之壬戊庚丁全径与长圎体之戊庚底径度等而

【有】球体之甲丙全径又与长圎体之壬

戊髙度等则球体积为长圎体积之三

分之【余以半径六寸乗之得二】二试以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】圎球同径

之平圎面积为　　　　　　　　　　　　　　【见】底圎球之半径为髙

作一甲乙丁尖圎体则其积为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【防】乙丁半球体积之半夫尖圎体与长圎体同底同髙其比例为三分之一而尖圎

【何】体又为半球体之二　　　　　　　　　　　　　　　　　【原】分之一则半

球体必为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【本】之三分之二半

球体既为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【十】之三分之二则全球体必为全长圎体之三分之二可知故以所得壬戊庚癸长圎体积三归

倍　　　　　　　　　【卷】之即得

甲乙丙丁　　　　　　　　　　　　【第】圎球体积也又法以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【九】圎

球径一尺二寸用　　　　　　　　　　　　　　　【节】求圎球之外面积法求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之

体积也如圗甲乙丙丁圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】球体先求得外面积乃以此外面积为底戊丙半径为髙作一戊己庚尖圎体其体积必

与　　　　　　　　　【零】圎球体积等葢尖圎体之底面【四】积与球体之外面积等尖圎体之髙度与球体之半径等则其体积【寸七百七十见防何原本五卷】亦必等故以戊丙半径与外面积相乗三归之即如得戊己庚尖圗体积

而为甲乙　　　　　　　　　　　　【第】丙丁圎

球体积也又　　　　　　　　　　　　　【二】法以方邉球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】径相等方积球积不同之定率比例以方积一

○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【五】○○○为一率球积

五二三五九八七七五为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【节】二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九

八分六百八十三厘有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】球之

体积也此法葢因　　　　　　　　　　　　　　　【十】圎球径与正方邉相等而圎球积与正方积不同故以圎球径自乗再乗作正方积为体与体之

比例如子　　　　　　　　　　　　【三】丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为

一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积

为五二三五九八七七五故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○【余】

○与子丑圎球径所得　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】之子午丑未圎球体积五二三五九八七七五之比

即同于　　　　　　　　　　　【比】今所设之甲丙圎球径一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积

一尺七百二十八寸与今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】所得之甲乙丙丁圎球体积九百零四寸七百七十八分六百

又法用　　　　　　　　　　　【寅】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【邜】等球径方邉

不同之定率比例　　　　　　　　　　　　　　　【正】以圎球径一○○○○○○○○为一率正方邉八○五

九九五九七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】设之圎球径一尺二寸为三率求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有【邉】余为与圎球积相等之正方体每邉之数自乗再乗得九百零四寸七百七十

八分六百四十九　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圎球之

体积　　　　　　　　　　【○】也此法葢以圎球积与正方【五】积设为相等使圎球径与正方邉不同先定为线与线之比例既得线而后自

乗再乗　　　　　　　　　　　【九】之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅

邜辰巳正方体之　　　　　　　　　　　　　　　【九】每一邉是子午丑未圎球积与寅邜辰巳正方积相等故子丑圎球径一○○○○○○○○与五九七之比即同于今所设之甲丙圎

【积】球径一尺二寸与今所得之戊巳正

方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲

乙丙丁　　　　　　　　　　　【六】圎球体积为相

等也又法以二十一分为一率十一分为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零五寸一百四十二分

八百五十七厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】为圎球之体积也葢以正方体积一○○○○○○○

【问】○○圎球体积五二三五九八七七

五之定率约之则正方体积二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】十一而圎球体积得一○九九有余进而【防】

为十一则圎球体积稍大　　　　　　　　　　　　　　　　　　【何】故今所得之圎

球体积亦稍大也设如圎球

法用　　　　　　　　　　【○】球径方邉相　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球积方积不

同之定率比　　　　　　　　　　　　　【○】例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八

五九三一七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】设之圎球积六尺为三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘

有　　　　　　　　　【○】余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四

厘五豪零二　　　　　　　　　　　　　【○】忽有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【为】球之径也葢圎球积为五二三五九八七七五

则正方积为一○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】○○○○○若圎球积为一○○○○○○○○○则正方积为一九○九八五九三一

七　　　　　　　　　【率】其比例仍同故以圎球积一○○

○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【也】○为一率者即如以圎球积五二三五九八七七五为一率而以正方积一九○九八五九三一七为二率者即如以正方积一○○○

又法用　　　　　　　　　　　【○】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○

○九八为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圎球积六尺开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余为三率求得四率二尺二寸

五分四厘五豪零二忽有　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】余即圎球之径也此法亦以圎球积与正方积设

为　　　　　　　　　【○】相等使圎球径与正方邉　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】不同故以圎球积开立方得立方邉为线与

线之比例葢方邉为八○五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】九九五九七则球径为一○○○○○○○○

若方邉为一○○　　　　　　　　　　　　　　　【为】○○○○○○则球径为一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○为一率者即如以方邉八○五九九【二】五九七为一率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○率也

设如撱圎体大径六寸小径四寸问积几何

法以小径四寸用径求圎面积法求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余以大径六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余为长圎体积三归之得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余倍之得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也如圗甲乙丙丁撱圎体以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积再以甲丙大径乗之得壬戊庚癸长圎体此撱圎体积即为

长圎体积之三分之二亦如圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【大】球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁撱圎体积

也又法以小径四寸自乗得十六寸以径六寸再乗得九十六寸为长方体积

乃用方积　　　　　　　　　　　　【为】球积不同方　　　　　　　　　　　　　　　　　　【撱】邉球径相等之定率比例以方积一○○○○○

○○○○为　　　　　　　　　　　　　【圎】一率球积五二三五九八七七五为二率今所得之长方体积九十六寸为三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也葢函撱圎之长方体与所

函撱圎体之比　　　　　　　　　　　　　　【体】同于函球之正方【之】体与所【积也见几何原本十卷第十】函球体之比如甲乙丙丁撱圎体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以乙丁小径自乗又以甲丙大径再乗遂成戊己庚辛长方体形此长方体积与撱圎体积之比即同于正

【四】方体积与圎球体积之比故以定率

之正方　　　　　　　　　　　【节】体积为一率圎球体积为二率今所得之长方体积为三率求得四率

设如撱圎体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各防何

法用方积球积不同方邉球径相等之

定率比例以　　　　　　　　　　　　　【开】球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之撱圎体积五十寸为三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余为长方体积乃以大径比小径多二寸为长与濶之较用带一縦开立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有余即撱圎体之小径加大径比小径多二寸得五寸九分九厘二豪有余即撱圎体之大径也如圗甲乙丙丁撱圎体【立】用球积与方积之定率比例即成戊己庚辛长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚濶即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径多二寸即长濶之较故用带一縦方法算之得濶为撱圎体之小径得长为撱圎体之大径也

设如上下不等圎面体上径四尺下径六尺髙八尺问积防何

法以上径四尺用径求圎面积法求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余又以下径六尺用径求圎面积法求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余又以上径四尺与下径六尺相乗得二十四尺开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余用径求圎面积法求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余三数相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余与髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圎面体之积也葢上下不等圎面体立法与上下不等正方体同理但上下不等正方体上下俱系方面故求得上中下三方面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积也

又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙乃以下径六尺用径求圎面积法求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余与所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余三归之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余为大尖圎体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上尖圎体之髙以上径四尺用径求圎面积法求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余与上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余三归之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余为上小尖圎体之积与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余即上下不等圎面体之积也如圗甲乙丙丁上下不等圎面体如戊甲丁小尖圎体遂成戊乙丙大尖圎体故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也

又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例以正方体积一○○○○○○○○○为一率圎面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圎面体之积也

又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺相乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有余即上下不等圎面体之积也此法葢以三上下不等正方体与一上下不等圎面体为比例夫一上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为七八五三九八一六三若三上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为二六一七九九三八八故以上径自乗下径自乗上下径相乗三数相并以髙乗之所得为三上下不等正方体积彼定率之三上下不等正方体与一上下不等圎面体之比即同于今所得之三上下不等正方体积与所求之一上下不等圎面体积之比也

设如上下不等撱圎面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何

法以上大径四尺与上小径三尺相乗得一十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃用方积圎积之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率圎积七八五三九八一六三为二率三数相并之八十四尺为三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有余与髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有余三归之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢上下不等撱圎面体立法与上下不等圎面体同但上下不等圎面体上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系撱圎面故必求得上中下三长方面积相并用定率比例得三撱圎面积乃与髙相乗三归之而得体积也又法以上大径四尺与下大径八尺相减余四尺折半得二尺为一率髙十尺为二率下大径八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等撱圎面体上补成一尖撱圎体之共髙乃以下大径八尺小径六尺用求撱圎面积法求得下撱圎面积三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有余与所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有余三归之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余为大尖撱圎面体之积又以髙十尺与共髙二十尺相减余十尺为上小尖撱圎面体之髙以上大径四尺小径三尺用求撱圎面积法求得上撱圎面积九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有余与上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有余三归之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有余为上小尖撱圎面体积与大尖撱圎面体积二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余相减余二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有余即上下不等撱圎面体积也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面体如戊甲丁小尖撱圎面积遂成戊乙丙大尖撱圎面体故于戊乙丙大尖撱圎面体内减戊甲丁小尖撱圎面体而得甲乙丙丁上下不等撱圎面体之积也又法用上下不等长方体与上下不等撱圎面体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六归之得二百八十尺成上下不等长方体积为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢长方面积与撱圎面积之比同于方面积与圎面积之比故上下不等长方体与上下不等撱圎面体之比即同于长方体与长圎体之比也

又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有余即上下不等撱圎面体之积也此法葢以六上下不等长方体与一上下不等撱圎面体为比例夫一上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为七八五三九八一六三若六上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为一三○八九九六九四故以上大径倍之加下大径与上小径相乗以下大径倍之加上大径与下小径相乗两数相并以髙乗之所得为六上下不等长方体积彼定率之六上下不等长方体积与一上下不等撱圎面体积之比即同于今所得之六上下不等长方体积与所求之一上下不等撱圎面体积之比也

设如截　　　　　　【求】球体一段髙二寸底径九寸六分问积防何法以髙二寸为首率底径九寸六分折半得四寸八分为中率求得末率一

尺一寸五分二厘为　　　　　　　　　　　　　　　　【得】圎球之截径加

髙二寸得一尺三寸五分二厘　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】为圎

球之全径折半得六寸七分六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【圎】厘为圎球之半径又以髙二寸为勾底径九寸六分折半得四寸八分为股求得五寸二分作平圎半径用求圆面积法面积八十四寸九十四分八十六厘有

余即为截　　　　　　　　　　　　【圎】球体一段之外面积与【体】圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘有余三归之得一百九十一寸四百

一十七分五百一十二厘有余为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】自

圎球中　　　　　　　　　　　【一】心所分球面尖圎体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】积又以截球体底径九寸六分用求平圎面

【九】积法求得截球体之底面积七十二

寸三十八分二十　　　　　　　　　　　　　　　【十】二厘有余于圎球

半径六寸七　　　　　　　　　　　　　【一】分六厘内减去截球体

之髙二寸余　　　　　　　　　　　　　【寸】四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积与球面尖四百一十七分五百一十二厘有余相

减余七十　　　　　　　　　　　　【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八厘有余即截球体一段之积也如

圗甲乙　　　　　　　　　　　【邜】丙截球体一段其乙丙底径即如弧矢形之长其甲丁髙即如弧

矢形之矢濶故甲丁为首率乙丙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】底

径折半　　　　　　　　　　　【圎】得乙丁为中率求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【面积】丁【之四倍若甲辛壬半球体】戊末率为截球径与甲丁

【其见】髙相加得甲戊为圎球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【各】全径折

半得甲巳为圎球　　　　　　　　　　　　　　　【面】半径又以甲丁为

勾乙丁为股　　　　　　　　　　　　　【形】求得甲乙乃以甲乙

为半径求　　　　　　　　　　　　　【】得　　　　　　　　　　　　　　　【矢】庚乙丙平圎面积

即与甲乙丙截球　　　　　　　　　　　　　　　【求】体一段之外面积

等葢圎　　　　　　　　　　　【圎】面半径与球体半径等者其

圎面积为　　　　　　　　　　　　【径】球体外面积之四分之一

【法】而圎面半径【见防何原本十卷第八节】与球体全

径等者其圎面积与球体外面积等故甲辛戊壬圎球体其外面积为同径子外面积必为子丑寅邜平圎面积之二倍然则甲己半径求得平圎面积又辛己半径亦求得平圎面积两面积相并

必与甲辛壬半　　　　　　　　　　　　　　【体】球体之外面积等矣

今甲乙丙　　　　　　　　　　　　【底】截球体一段若以甲丁为半径求得平圎面积又以乙丁为半径求得平圎面积两面积相并亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等而甲乙自乗之正方与甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相并之积等则甲乙为半径所得之圎面积亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等故以甲乙为半径所得之庚乙丙平圎面

积即与甲乙　　　　　　　　　　　　　【径】丙截球体一段之外面

积相等也　　　　　　　　　　　　【求】既得截球体一段之外面积与甲巳圎球半径相乗三归之得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球得乙丙底面积与丁巳截半径相乗三归之得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减所余即甲

乙丙截　　　　　　　　　　　【减】球体一段之积

也又法先求得　　　　　　　　　　　　　　【去】圎球径一尺三寸五分二厘用径求周法求得圎周四尺二

寸四分七厘四豪三丝三忽有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【截】与截球体一段之髙二寸相乗得八十四

寸九十四分八十六厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】即为截

球一段之外　　　　　　　　　　　　　【体】面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十

二厘　　　　　　　　　　【之】有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【髙】圎球中心所分球

面　　　　　　　　　【二】尖圎体积又以截球体底径九寸

六分用求　　　　　　　　　　　　【寸】平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内

余四寸七分六厘与截　　　　　　　　　　　　　　　　　【则】球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘

有余为自　　　　　　　　　　　　【与】圎球中心　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】至截球径所

分平面尖圎　　　　　　　　　　　　　【巳】体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七

十一分八十八厘　　　　　　　　　　　　　　　【半】有余即截球体一

段之积也如　　　　　　　　　　　　　【径】圗甲乙丙截球体一段先求得甲戊全径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗得庚子丑

辛截长圎体一段之外面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【相】积与甲乙

丙截球体一　　　　　　　　　　　　　【乗】段之外面积等葢球体全径与长圎体底径髙度相等者其相当每【见防何原本十卷第十一节】段之外面积皆相等既得甲乙丙截球体一段之外面积

三归之而得己丙甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】球面尖圎体

积又以乙丙　　　　　　　　　　　　　【相】截球体底面积与丁己截半径相乗三归之而得己丙丁乙平

面尖圎体积与己丙　　　　　　　　　　　　　　　　【减】甲乙球面尖圎

体积相减余即得甲　　　　　　　　　　　　　　　　【余】乙丙截球体一

段之积也设　　　　　　　　【三】如空心圎球积二千寸厚三寸问内外

径数各防何法用球径方邉相等球积

方积不同之　　　　　　　　　　　　　【尺】定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九

○九八五九三一七为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】所设之空心圎球积二千寸为三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪为内径与外径相乗长方面积乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九

丝七忽有余即空心圎　　　　　　　　　　　　　　　　　【心】球外径也此

法盖以空心　　　　　　　　　　　　　【正】圎球体与空心正方体

为比例即　　　　　　　　　　　　【方】如用球积与方积定率为

比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】空心圎球体其甲丙外径与壬癸外方邉等其戊庚内径与寅邜内方邉等是以

甲　　　　　　　　　【之】乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比而空心圎球体与空

比即如　　　　　　　　　　　【十】球体积与方体积之比也既得空心正方体积则用算空心正方体法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体六归之得酉戌坎未一长方扁体用厚三寸除之得酉戌亥干一长方面积其酉戌濶与戊庚等即内径其酉干长与壬丑等即外径其酉寅巳干皆与壬酉厚度等酉寅巳干并之即长濶之较故以厚三寸倍之为带縦求得濶为内径长为外径

也又法用定率比例求得空心正方体积以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较自乗再乗得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减余三尺六百零三寸七百一八分六百三十四厘有余三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余以内外方邉之较六寸除之得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积以内外方邉之较六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余

即空心圎　　　　　　　　　　　　【度】球外径也如圗甲乙丙丁

戊己庚辛空心　　　　　　　　　　　　　　【自】圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚为甲丙外径与戊庚内径之较依开立方法分之得酉戌亥三方亷体干坎艮三长亷体震一小隅体以壬寅厚乗再乗得震一小隅体与空心正方体积相减余三方亷体三长亷体三归之则余酉一方亷体干一长亷体共成巽壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长濶之较故用带縦较数开平方法算之得邜辰濶与寅癸等即空心圎球之内径以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等

即空心圎　　　　　　　　　　　　【十】球之外径

也设如圎窖一座周二十四尺髙十尺问盛米防何法以周二十四尺用圎周求面积法求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余与髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为圎窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圎窖体积四百五十八尺三百六六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米数也此法与求长圎体积之法同如甲乙丙丁长圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面积用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁长圎体积既得体积则以一石积数二千五百寸与一石之比同于今所得之体积与今所求之米数之比也

设如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各防何

法以米一石为一率一石积数定率二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圎窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圎窖之面积乃用圎积方积之定率比例以圎积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之圎窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余即圎窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余即圎窖之周数也

设如积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何法以底周十四尺用圎周求面积法求得圎面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二豪有余为尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之尖圎堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有余即所堆之米数也此法与尖圎体求积之法同既得尖圎堆之积而以一石之积数定率为比例即得米数也

设如倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数防何法以底周六尺为半周倍之得一十二尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖圎堆之底面积以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁尖圎堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有余即倚壁所堆之米数也葢倚壁尖圎堆即尖圎体之一半故求得平圎面积折半与髙数相乗又以三归之得倚壁尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也

设如倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数防何

法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁内角尖圎堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也盖倚壁内角尖圎堆即尖圎体之四分之一故求得平圎面积四归之与髙数相乗又以三归之得倚壁内角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也

设如倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数防何

法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二豪有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八厘四十四豪有余为倚壁外角尖圎堆之底面积以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余即倚壁外角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁外角尖圎堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有余即倚壁外角所堆之米数也盖倚壁外角尖圎堆即尖圎体四分之三故求得平圎面积四归三因与髙数相乗又以三归之得倚壁外角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也

御制数理精蕴下编卷二十六

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十七

体部五

各等面体

各等面体

设如四面体每边一尺二寸求积几何

法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余为每一面之面积又以毎边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二得六寸九分二厘八豪二丝零二防有余为勾求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余为四面体自尖至底中心之立垂线或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线取其三分之一得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底之中之立垂线以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也如圗甲乙丙丁四面体其棱六角四平铺之则面亦四各成一等边三角形试以乙丙丁之一面为底以乙丙一边为丁丙一边折半得戊丙为勾求得乙戊股与甲戊等即每一面之中垂线与丁丙一边相乗折半得乙丙丁底面积又以甲丙一边为己丙中垂线之三分之二为勾求得甲己股为自尖至底中心之立垂线或以甲戊每一面之中垂线为己戊中垂线之三分之一为勾亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗三归之即得甲乙丙丁四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线防法以毎边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即自尖至底中心之立垂线也此法葢因甲丙为戊丙为勾求得甲戊股则甲戊自乗方为甲丙自乗方之四分之三【见等边三角形求中垂线法】又甲戊为己戊为勾求得甲己股则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八【己戊为甲戊三分之一则甲戊自乗方为九分己戊自乗方为一分甲己自乗方为八分】甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一边自乗三归二因得甲己自乗方积而开方得甲己为立垂线之髙数也

又用知一边求髙数之定率比例求自尖至底中心之立垂线以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之立垂线八一六四九六五八为二率今所设之四面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即四面体自尖至底中心之立垂线也

又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余即四面体之积也葢四面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也

又用体积相等边线不同之定率比例以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为与四面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余即四面体之积也葢四面体之每边为二○三九六四八九○正方体之每边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁四面体之积为相等也

如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等四面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体积与正方体积相等四面体之每边与正方体之每边不同故以四面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也

设如八面体每边一尺二寸求积几何

法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也如图甲乙丙丁戊己八面体其棱十二角六平铺之则面为八各成一等边三角形自体正中对四角平分截之则成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方体甲丙为二尖方体之共髙即甲乙丙丁正方形之对角斜线故以戊乙一边自乗得戊乙己丁正方面积为二尖方体之共底又以戊乙己丁正方面积倍之开平方即如甲乙为勾乙丙为股各自乗相并开方得甲丙为八面体之对角斜线即二尖方体之共髙以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗三归之得二尖方体积即八面体之总积也

又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率今所设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也葢八面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也

又用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为与八面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余即八面体之积也葢八面体之每边为一二八四八九八二九正方体之毎边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也

如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等八面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体积与正方体积相等八面体之每边与正方体之每边不同故以八面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也

设如十二面体每边一尺二寸求积几何

法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也如图甲乙丙丁戊十二面体其棱三十角二十平铺之则面十二各成一等边五角形先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线又求得子丑自中心至每边之垂线复求得己庚辛壬癸五等边形之面积次以辛壬一边为大分己辛两角相对斜线为全分故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比而得两角相对之斜线又自十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线【与己辛等】之一半而为十等边形之一边故寅卯与辰寅之比又同于理分中末线之大分与全分之比而得十二面体之中心至每边正中之斜线乃以辰寅斜线为每面中心至每邉之子丑垂线为勾求得辰子股即十二面体中心至每面中心之立垂线以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗三归之得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积十二因之即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也盖十二面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也

又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为与十二面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余即十二面体之积也葢十二面体之每邉为五○七二二二○七正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也

如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每邉之数则用邉线相等体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等十二面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率十二面体之每邉五○七二二二○七为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率求得四率一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体积与正方体积相等十二面体之每邉与正方体之每邉不同故以十二面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

设如二十面体每邉一尺二寸求积几何

法以二十面体分作二十三角尖体算之将每邉一尺二寸求得三等邉形之分角线为六寸九分二厘八豪二丝零二微有余自中心至每邉之垂线为三寸四分六厘四豪一丝零一微有余面积为六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每邉一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至邉之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余为二十面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五厘有余为一三角尖体积二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百厘有余即二十面体之总积也如圗甲乙丙丁戊二十面体其棱三十角十二平铺之则面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚类分角线又求得庚辛自中心至每邉之垂线复求得巳丙丁三等邉形之面积次自二十面体之正中截之则成十等邉之面形而其所截之处皆正当每邉之一半故其所截之壬癸等线亦为乙丙每邉之一半而为十等邉形之一邉故壬癸与子壬之比同于理分中末线之大分与全分之比而得二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以子壬斜线为每面中心至每邉之庚辛垂线为勾求得子庚股即二十面体中心至每面中心之立垂线以此子庚立垂线与己丙丁一面积相乗三归之得子己丙丁一三角尖体积二十因之即得甲乙丙丁戊二十面体之总积也

又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而二十面体之每一邉一○○○所得之二十面体积为二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面体之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰巳二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余之比也

又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之二十面体之每邉七七一○二五三四为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每邉为七七一○二五三四正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰巳二十面体之每邉七七一○二五三四与午未申酉正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每邉一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己二十面体之积为相等也

如有二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等二十面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为三率求得四率一尺二寸即二十面体之每一邉也此法葢因二十面体积与正方体积相等二十面体之毎邉与正方体之每邉不同故以二十面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

御制数理精蕴下编二十七

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十八

体部六

【面】球内容各等面

【体】体球外切各等

【庚】球内容各等面

体设如　　　　　　【俱】圆球径一尺二寸求内容四面体之每一边及体积

几何法　　　　　　　　　　　【为】以圆球径一尺二寸三归二

因得八　　　　　　　　　　　【自】寸为圆球内容四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得六十四寸二归三因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余即圆球内容四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有余与自尖至每面中心之立垂线八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有余三归之得一百一十寸八百五十

一分二百五十厘　　　　　　　　　　　　　　　【尖】有余即圆球内容四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊四面体甲己与丙至每面中心之立垂线相交于辛为四

面体之中心亦即圆　　　　　　　　　　　　　　　　【故】球之中心甲辛与丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与甲庚辛勾股形为同式【以甲乙圆甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂线为股己壬一面中垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂线为甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂线之三分之二为股庚辛四面体中心至每面中心之垂线为勾甲辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一甲角而己角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为】形己壬为丙壬一面中垂线之三分之一亦为甲壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而甲辛即【同】

圆球之半径故庚辛亦　　　　　　　　　　　　　　　　　【式】为圆球半径

之三分之一庚辛与辛已等今命　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】甲

辛圆球半径为三分　　　　　　　　　　　　　　　　【也】则甲乙圆球全径为六分以辛己一分与甲辛三分相加则得甲巳四分是甲巳立垂线为甲乙圆球全径之六分之四即三分之二

【六】球径三归二因即得甲己为四面体

自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每边自乘方之三分之【分之见前四面体求】二故以甲己立垂线自乘二归三因即得每一边自乘方积开平方得甲丙为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丙丁戊三角形面积与甲巳立垂线相乘三归之即得甲丙丁戊四面体之积

也又求边捷法以　　　　　　　　　　　　　　　【积】圆球径一尺二寸自乘三归二因得九十六寸开平方亦得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余为内容四面体之每一边也盖四

面体之甲巳立垂线既为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】乙圆球径之三分之二则甲己自乘方必为甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又为甲丙每边自乘方之三分之二即四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆

【○】球径自乘方之九分之六即三分之

二故以圆球径自乘三归二因开平方亦得四面体之每一边也如有四面体

之一边求外切　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线二归三因【○】即圆球径或以一边自乘二归三因开平方亦即得圆

球径也　　　　　　　　　　　【○】又用求球内各形之一边之

定率比例以　　　　　　　　　　　　　【○】定率之圆球径一○○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【为】○为一率圆球内容四面体之一边八一六四九六五八为二

【一】率今所设之圆球径一尺二寸为三

率求得四率九寸七分九厘七豪九丝

五　　　　　　　　　【率】忽八防有余即圆球内

容四面　　　　　　　　　　　【圆】体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○

【尺】球内容四面体积六四一五○○二

九为二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率一百一十寸八百五十

一分二百五十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】即圆球内容四面体

之积也　　　　　　　　　　　【自】又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○

○　　　　　　　　　【乘】为一率圆球内容四面体积一二

二五一七五三○为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【得】今所设之

圆球径一　　　　　　　　　　　　【一】尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一百一十寸八

百五十一分二百四　　　　　　　　　　　　　　　　【百】十九厘有余即圆球

内容四　　　　　　【四】面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容正方体

之每一边及体积几何法以圆球径一十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余即圆球内容正方体之每一边以一边自乘再乘得三百三十二寸五百五十

三分七百四十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球内

容正方体之积也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】圆球径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方体试以丙丁一边为股丁乙一边为勾求得丙乙即每一面之对角斜线勾与股既相等则丙乙每一面对角斜线自乘方为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍矣又试以丙乙对角斜线为股甲

丙一边为勾求得甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【如】即圆球径

则　　　　　　　　　【有】甲乙圆球径自乘方又为甲丙类

每边自乘方之三倍　　　　　　　　　　　　　　　　【正】矣故以圆球径

自乘三归即得每边自乘之积开　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】平方即得圆球内容正方体之一边以一边自乘再乘即得圆球内容正方体之

体之一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　【圆】球径则以一边

自乘三因之开平方即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圆球径也又用求球内各形之一边之定率

比例以定率　　　　　　　　　　　　　【内】之圆球径一○○○○

○○○○为　　　　　　　　　　　　　【容】一率圆球内容正方体之一边五七七三五○二六为二率今

【正】所设之圆球径一尺二寸为三率求

得四率六寸九分二厘八豪二丝零三

【方】防有余即圆球内容正

方体之　　　　　　　　　　　【体】一边也又用求球内各形之

体积之定率　　　　　　　　　　　　　【之】比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○

【积】○○○○为一率圆球内容正方体

积一九二四五○○八　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即

又用圆　　　　　　　　　　　【八】球积之定率比例以定率之

【寸】圆球积一○○○○○○○○○为

一率圆球内容正方体积三六七五五

二五九○为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　【即】之圆球径

一尺二寸　　　　　　　　　　　　【圆】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即圆球内容正方

体之积　　　　　　【球】也设如圆球径一尺二寸求内容八面体之每一边

及体积　　　　　　　　　　　【内】几何法以圆球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝

八忽　　　　　　　　　　【容】一防有余即圆球内容八面体之每一边也乃以八面体之每一边自乘得七十二寸以球径一尺二寸再乘得八百六十四寸三归之得二百八十

八面体之积也如图甲乙圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面体自正中对四角平分截之则成甲丙己丁

戊乙丁戊丙己二尖方体甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径为二尖方体之共髙即甲丙乙丁正方面之对角斜线试以甲丙一边为股

乙丙一边为勾则　　　　　　　　　　　　　　　【○】甲乙球径为勾与股既相等则甲乙自乘方为甲丙自

乘方之二倍故　　　　　　　　　　　　　　【○】以甲乙球径自乘折半开方即得甲丙为内容八面体之一边以戊丙一边自乘得戊丙己丁二尖方体之共底面积以甲乙共髙再乘三归之得二尖方体积即八面体之总积

也如有八面体之一边　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】求外切圆球径则以一边自乘加倍开平方得对【○】角斜

线即圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○

○为一率圆　　　　　　　　　　　　　【二】球内容八面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】体之一边七○七一○六七八为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得

四率八寸四分八厘五豪二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【求】丝八

忽　　　　　　　　　【得】一防有余即圆球内容八面体

之一边　　　　　　　　　　　【圆】也又用求球内各形之体积

之定率比例　　　　　　　　　　　　　【球】以　　　　　　　　　　　　　　　【积】定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○

【九】○○○○为　　　　　　　　　　　　　　【百】一率圆球内容八面

体积一六六六六六六　　　　　　　　　　　　　　　　　【零】六六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再

乘得一千七百二十八寸为三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】率求得四率二百八十八寸即圆球内

容八面　　　　　　　　　　　【寸】体之积也又　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】用圆球积之

【百】定率比例以定率之圆球积一【七】

○　　　　　　　　　【十】○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率今所设之圆球径一尺二八分六百八十四厘有余为三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余即圆球内容八面体之积也

设如圆　　　　　　【豪】球径一尺二寸求内容十二面体之每一边及体积几

何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为

二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　【三】圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八

丝六忽五防有余　　　　　　　　　　　　　　　【丝】即圆球内容十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余又用五等边形求外切圜径法求【即分角线】得半径三寸六分四厘二

七忽一防有余为勾圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【圜】球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七防有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余三归之得五十寸一百三十二分九百三十五厘为一五角尖体积十二因之得六百零一寸五百九十五

分二百二十厘有余即　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球内容十

二面体之总积也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一半而为十等边形之一边试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线即为所截十等边形外切

径与甲庚每边之半甲辰圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【既】球半径共成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾甲辰为庚辰即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之小分何以知之盖十二面体每面之壬子两角相对斜【得与甲丙】线为全分则子丑一【等与甲卯】边为大分若以壬子两角相对斜线为大分则子丑一边为小分两角相对斜线之一半庚辛为大分则每边之半甲庚即为小分矣又庚辰中心至每边正中之垂线既为十等边形外切圜之半径而庚辛为十等边形之一边则庚辛为大分而庚辰必为全分矣因庚辰全

分为股甲庚小分为勾而甲辰　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【等】圆球半径为故以理分中末线之全分为股小分为勾求得与小分之比同于甲辰半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也一边则用五等边形求面积法求得壬癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸五等边形外切圜半径【面体每一】乃以辰癸

圆　　　　　　　　　【面】球半径为【两角即分】已癸分角线为

勾求得辰巳股即　　　　　　　　　　　　　　　【角】圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线与壬癸子丑寅五等边形面积相乘三归之得辰壬癸子丑寅一五角尖体积十二因

之即　　　　　　　　　　【线】得圆球内容十二面体之总积

也如有十二面体之每一边求　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【与】外切圆球径则先求得自中心至每边正中

之垂线为股半边为勾求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】倍之即

圆球全径也又求　　　　　　　　　　　　　　　【甲】边法用求圆球内

容正方体　　　　　　　　　　　　【等】之一边法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余为圆球内容十二相对斜线乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三防为三率求得四率四寸二分八厘一

豪八丝六忽四防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】球内容

十二面体之每一边也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体试于每一面各作一斜线相连则十二斜线之二十四端合为八角遂成正方体形其十二面之十二斜线即正方体之十二边其八角即正方体之八

角皆切　　　　　　　　　　　【二】于圆球之面　　　　　　　　　　　　　　　　　【面】故用求球内容正方体法求得正方体之一边即十二面体每一面两角相对之斜线既得斜线则以理分中末线之全分与大分之比即同于两角相对之斜线与每一边之比而得十二面体之每一边也如

体之每一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边用正方体求外切圆球径之法亦即

得　　　　　　　　　【率】圆球

径矣又　　　　　　　　　　　【六】用求球内各形之一边之定

率比例以定　　　　　　　　　　　　　【百】率之圆球径一○○○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【零】为一率圆球内容十二面体之一边三五六八二二○九为二

率　　　　　　　　　【一】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝

六忽　　　　　　　　　　【寸】五防有余即圆球内容十

二面体　　　　　　　　　　　【五】之一边也又用求球内各形

之体积之定　　　　　　　　　　　　　【百】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○

【九】○○○○○为一率圆球内容十二

面体积三四八一四五四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得

五分三百九十二厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】球内容十二面体之积

也又用圆球积之定率比例以定率之

【尺】圆球积一○○○○○○○○○为

一　　　　　　　　　【二】率圆球内容十二面体积六六四

九○八八九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】设之圆

球径一尺二　　　　　　　　　　　　　【为】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率六百零一寸五百

九十五分三百九十一　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】厘有余即圆球内容十

二面体　　　　　　【率】之积也设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每

一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径求得四率六寸三分零八豪七丝七忽

三防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　【径】球内容二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余又用三等边形求外切圜径法求得半【一即分角】径三寸六分四厘二豪三丝七忽一防有余为勾圆球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二

忽七防有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【线】圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余为一三角尖体积二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余即圆球内容二十面体之总积也如图甲乙圆球尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而为十等边形之一边试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬为庚壬即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之大分何以知之盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径庚辛既为十等边形之一边则庚辛为大分庚壬必为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半径为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比

也又图子丑圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球内容子丙寅丑卯已二十面体自丙已二处横截之则所截之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面形试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为股丙寅为勾已寅为以甲丙丁戊己五等边面形言之则巳丙股为两角相对斜线即如理分中末线之全分丙寅勾与丙丁一边同即如理分中末线之大分今己丙全分既为股丙寅大分

既为勾巳寅与子丑同为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】圆球径既为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径【二十面体】为未巳分角线为勾

求得壬未股即圆　　　　　　　　　　　　　　　【之】球中心至内容二十面体每面中心之立垂线与辰巳午三等边形面积相乘三归之得壬辰巳

午一三角尖体积二十因之即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球内容二十面体之积也如有二十面

体之一边求外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边

为勾求得倍　　　　　　　　　　　　　　【也】之即圆

球全径　　　　　　　　　　　【与】也又用求球内各形之一边

之定率比例　　　　　　　　　　　　　【甲】以定率之圆球径一○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【壬】○○为一率圆球内容二十面体之一边五二五七三一一一

为　　　　　　　　　【等】二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三防有余即圆球内容

又用求　　　　　　　　　　　【内】球内各形之体积之定率比

例以定率之　　　　　　　　　　　　　【容】圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一

【二】率圆球内容二十面体积三一七○

一八八三三为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面

体之积　　　　　　　　　　　【面】也又用圆球积之定率比例

【体】以定率之圆球积一○○○○○○

○　　　　　　　　　【之】○○为一率圆球内容二十面体

积六○五四六一三七二为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】二率今

所设之圆球　　　　　　　　　　　　　【也】径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球

【至】球外切各等面

体设如　　　　　　【每】圆球径一尺二寸求外切四面体之每一边及体积

几何法　　　　　　　　　　　【面】以圆球径一尺二寸倍之得

二尺四　　　　　　　　　　　【中】寸为圆球外切四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得五尺七十六寸二归三因得八尺六十四寸开平方得二尺九寸三分九厘三豪八丝

七忽六防　　　　　　　　　　　　【心】有余即圆球外切四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有余与自尖至每面中心之立垂线二尺四寸相乘三归之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十

六　　　　　　　　　【之】厘有余即圆球外切四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己四面体丙乙与丁庚俱为自尖立垂线相交于辛为四面体之中心亦

即圆　　　　　　　　　　【自】球之中心辛乙与辛庚俱为【乘】圆球半径丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形为同【二归丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂线为股乙壬一面中垂线之三分之一为勾丙壬一面中垂线为丙庚辛勾股形以丙庚一面中垂线之三分之二为股庚辛圆球半径为勾丙辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一丙角而乙角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为同】式形乙壬为丁壬一面中垂线之三分之一亦为丙壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为丙辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一

而庚辛　　　　　　　　　　　【式】为圆球半径与甲辛等甲辛既为丙辛之三分之一则丙甲即为丙辛之三分之二与甲乙全径等故以【形】甲乙圆球径倍之得丙乙为四面体自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每一边自乘方之【见前四面体求积法】三分之二故以丙乙立垂线三因得每一边自乘方积开平方得丙丁为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丁戊己三角形面积与丙乙立垂线相乘三归之即得丙丁戊己四面体之积也如有

四面体之一边求内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径则先求得自尖至每面中心之立垂线折半即内容圆球径

也又用　　　　　　　　　　　【○】求球外各形之一边之定率

比例以定率　　　　　　　　　　　　　【○】之圆球径一○○○○

○○○○　　　　　　　　　　　　【为】为一率球外切四面体之一边二四四九四八九七四为二率今

【一】所设之圆球径一尺二寸为三率求

得四率二尺九寸三分九厘三豪八丝

七忽六　　　　　　　　　　　【率】防有余即圆球外切四

面体之　　　　　　　　　　　【球】一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○外切四面体积一七三二○五○八○

七为二率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余即【寸】圆球外切四面体之

积也又　　　　　　　　　　　【即】用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○

为　　　　　　　　　【外】一率圆球外切四面体积三三○

七九七三三七二为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【切】所设之

圆球径一尺　　　　　　　　　　　　　【正】二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率二尺九百九十

二寸九百八十三分七百九十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】四厘有余即圆球外

切四面　　　　　　【体】体之积也设如圆球径一尺二寸求外切正方体之

每一边及体积几何法因圆球径一尺之每一边自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方体积故他法皆不设止存此题以备一体焉

设如圆　　　　　　【有】球径一尺二寸求外切八面体之每一边及体积几

何法以　　　　　　　　　　　【余】圆球径一尺二寸折半得六

寸　　　　　　　　　【即】为圆球外切八面体中心至每面中心之立垂线自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸开平方得一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八防有【圆】余即圆球外切八面体之每一边也乃以八面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积九十三寸五十

三分零七厘四十三豪　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】有余与圆球半径六寸相乘三归之得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有余为一三角尖体积八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘外切八面体之总积也如图甲乙圆【癸】球径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面体自丁辛己庚四角平分之则成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方体将二尖方体自尖依各棱直剖之则又得子

丙丁庚类八三角尖体　　　　　　　　　　　　　　　　　【壬】圆球之外面

皆切于各面之中　　　　　　　　　　　　　　　【自】心圆球之半径即外切八面体中心至每一面中心之立垂线试自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面中垂线又自八面体中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂线复自八面体中心子至丁庚边正中壬作子壬线遂成壬癸子勾股形此形以子癸【即圆球半径】立垂线为股丙壬一面中垂线之三分之一癸壬为勾八面体中心至每边正中斜线子【子壬即八面体每边之一半盖壬丑与庚己平行其度相等折半于子故为每边之半】壬为夫癸壬既为丙壬一面中垂线之三分之一则乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之九分之一而丙壬一面中垂线自乘方原为丙丁每边自乘方之十二分之九则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方之十二分之一又子壬既为每边之半则其自乘方必为每边自乘方之四分之一今命为十二分之三癸壬勾自乘方既为每边自乘方十二分之一子壬自乘方又为每边自乘方十二分之三则子癸股自乘方必为每边自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圆

【圆】球半径自乘六因之得每边自乘方

积开平方得八面体之每一边也既得每一边则用等边三角形求面积法求

得丙丁庚一面积与子癸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圆球半径相乘三归之得子丙丁庚一三角尖体积八因之即得丙丁戊己庚辛八面体之总积也如有八面体之一边求内容径则求得自中心至每一面中心之立

垂线即内容圆　　　　　　　　　　　　　　【球】球之半径

也又用求球外各形之一边之定率比

例以定率之　　　　　　　　　　　　　【外】圆球径一○○○○○

○○○为一　　　　　　　　　　　　　【切】率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率今

所　　　　　　　　　【八】设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝

三忽八防　　　　　　　　　　　　【面】有余即圆球外切八面

体之一　　　　　　　　　　　【体】边也又用求球外各形之体

积之定率比　　　　　　　　　　　　　【之】例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○

【积】○○○为一率圆球外切八面体积

八六六○二五四○三　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余即圆

又用圆　　　　　　　　　　　【○】球积之定率比例以定率之

【○】圆球积一○○○○○○○○○为

一率圆球外切八面体积一六五三九

八六六八六为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圆球

径一尺二寸　　　　　　　　　　　　　【○】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余即圆球外切八面

体之积　　　　　　【○】也设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边

及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六

一八○三三九九为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝零【为】三防有余为圆球外切十二面体每一面中心至边之垂线又以全分一○○一率倍小分七六三九三二○二为二

率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　【球】球半径六寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二防有余为每一面中心至角之分角线乃以每一面之分角线为每一面中心至边之垂线为股求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八防有余倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六

防有余即　　　　　　　　　　　　【外】圆球外切十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘得数折半五因之得四十九寸九十五分二十六

厘零九豪有余　　　　　　　　　　　　　　【切】为圆球外切十二面

体之每一面之　　　　　　　　　　　　　　【十】积与圆球半径六寸相乘三归之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余为每一五角尖体积十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余即圆

二面体之总积也盖圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球外切十二

面体其　　　　　　　　　　　【分】圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切十二面体中

心至每一面中心之立垂线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【角】以圆球半径为理分中末线之全分则外切十二面体之每一面中心至边【即五等边形内容圜半径】之垂线为大分每一面中心至角之【即五等边形外切圆半径】分角线为倍小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰丙为倍小分何以知之寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为小分【盖十二面体中心至每边正中之垂线为全分则其每一面两角相对斜线之一半为大分而毎边之半即为小分见球内容十二面体法】试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全分巳卯既为全分而丙卯又为小分则巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形【寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之共九十度而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等辰角与巳角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】丑已丙勾股形之丑巳股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与大分之比也又凡五等边形自心至边之垂线为大分则自心至角之分角线即为倍小分如丙午未申酉五等边形其辰丑垂线为大分则辰申分角线为倍小分何以知之盖丙未两角相对斜线为全分则未甲一边为大分而酉未与丙申两两角相对斜线相交所截戌申一段即为小分成连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线平分丙未两角相对斜线于亥则成丙亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式形【辰丑申勾股形之辰角当丑申半边所对之弧为未申边所对之弧之一半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥勾股形之丙角等丑角与亥角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】夫丙未为全分则丙戌为大分丙未为大分则丙戌为小分若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰

申分角线亦即为倍小分今圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【定】球半径与每面中心至边之垂线之比既同于全分与大分之比则圆球半径与每面分角线之比亦即同于全分与倍小分之比也既得辰丑垂线又得辰申分角线则用股求勾法求得丑申勾倍

之得未申即　　　　　　　　　　　　　【率】圆球外切十二面体之每一边既得每一边又得每面中心至边之垂线则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘折半五因之得

丙午未申酉五等边形面积与寅　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【比】辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未申酉一五角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚十二面体之总积也如有十二

面体之一边求　　　　　　　　　　　　　　【例】内容圆球径则求得十二面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球

之半径也又用求球外各形之一边之

以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球径一○○○○○○

○○为一率　　　　　　　　　　　　　【体】圆球外切十二面体之每一边四四九○二七九七为二率今

所设　　　　　　　　　　【积】之圆球径一尺二寸为三率求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽

五防有　　　　　　　　　　　【一】余即圆球外切十二面体

之一边　　　　　　　　　　　【三】也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○

【二】○为一率圆球外切十二面体积六

九三七八六三六七为二　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百【○】四十厘有余即圆球外

切十二　　　　　　　　　　　【三】面礼之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二

四三五八为二率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【豪】球径

一尺二寸求得　　　　　　　　　　　　　　【零】圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺一百九十八寸八

百六十二分八百四十二厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】即圆球外切十二面体

之积也　　　　　　【忽】设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边及

体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八

一九六六○一为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽

六　　　　　　　　　【防】防有余为圆球外切二十面体每一面中心至边之垂线三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八防有余为每一面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方得七寸九分三厘九

有余即圆　　　　　　　　　　　　【庚】球外切二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积二十

七寸二十九分一十九厘有余与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球半径六寸相乘三归之得五十四寸五百八十三分八百厘有余为一三角尖体积二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有余即圆球外切二十面

体之总积也　　　　　　　　　　　　　【十】盖圆球外切二十面【面】

体其圆球之外面皆切于各面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】之中心圆球之半径即外切二十面体中心

至每一面中心之　　　　　　　　　　　　　　　【按】立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切二十面体之每一面中【即三等边形内容圜半径】心至边之垂线为小分每一面中心【即三等边形外切圜半径】至角之分角线为倍小分其每一面自一角至对边之中垂线为三小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙为倍小分丙丑即为三小分也何以知之寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为大分【盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分则每边之半为大分见球内容二十面体法】试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已卯既为全分而丙卯又为大分则已丙即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小

分故以寅辰圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也既得辰丑每面中心至边之垂线则以三因之即得丙丑每面自一角至对边之中垂线而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方即得午未为【丙】圆球外切二十面体之每一边既得午未一边与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘折半得丙午未一三角形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未一三角尖体积二十因之即丁戊己庚二十面体之总积也如有二

十面体之每一边求内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则求得二十面体中心至每面中心之立

垂线即内容　　　　　　　　　　　　　【率】圆球之半

径也又　　　　　　　　　　　【一】用求球外各形之一边之定

率比例以定　　　　　　　　　　　　　【尺】率之圆球径○○○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【九】为一率圆球外切二十面体之每一边六六一五八四五三为

二率　　　　　　　　　　【十】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率七寸九分三厘九豪零

一忽　　　　　　　　　　【一】四防有余即圆球外切二

十面体　　　　　　　　　　　【寸】之一边也又用求球外各形

之体积之定　　　　　　　　　　　　　【六】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○

【百】○○○○○为一率圆球外切二十

面体积六三一七五六九　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】九九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得

十六分零九十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【下】球外切二十面体之积

也又用圆球积之定率比例以定率之

【编】圆球积一○○○○○○○○○为

一　　　　　　　　　　　【卷】率圆球外切二十面体积一二○

六五六六九九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】设之

圆球径一尺二　　　　　　　　　　　　　　　　【十】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺零九十一

寸六百七十六分零九十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圆球外切二

十面体之积也御制数理精蕴

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十九

体部七

各等面体互容

更体形

各等面体互容

设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何

法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也

设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何

法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也

设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何

法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也

设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何

法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也

设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何

法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为四面体内容圆【之】

球全径乃用　　　　　　　　　　　　　【一】求球内容正方体之每一边法以球径自乗三归开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即正方体中

心至角之斜线四面体内　　　　　　　　　　　　　　　　　　【边】容圆球径

即正方体　　　　　　　　　　　　【也】外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即四面体内容正方体又法以四面体每边一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八归除之得八寸开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也此法与前法同盖四面体之自尖至底中心之立垂线自乗方为每边自乗方之三分之二【之每一即六】内容圆球径为立垂线之一半【分之四见球外切四】则内

容圆　　　　　　　　　　【面】球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一即为毎边自乗方之六分

之一而　　　　　　　　　　　【体】圆球内容正方体之每边自

乗方又　　　　　　　　　　　【法】为圆球径自乗方之三分之一故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也如有正方体之一边求外切四面体之一边则以正方体之毎边自乗以十八乗之开平方即得外切四面体之每

一边也设如四面体每边一尺二寸求内容八面体边几何

法以四面体每边一尺二寸折半得六寸即四面体内容八面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体以八面体之四面切于四面体之各面以八面体之六角切于四面体之六棱其各角皆当各棱之一半故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也如有八面体之一边求外切四面体之一边则以八面体之一边倍之即得外切四面体之每一边也

设如四面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何

法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余为四面体内容圆【面】

球全径乃用　　　　　　　　　　　　　【体】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一

为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　【内】之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余即四面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至毎一面中心之立垂线即十二面中心至各角之斜线四面体

【容】内容圆球径即十二面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】体外切圆

球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容十二面体之每一边即四二面体之每一边也如有十二面体之一边求外切四面体之每一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切四面体之每一边即十二面体外切四面体之每一边也

设如四面体每边一尺二寸求内容二十面体之每

一边几何

法以四面体毎边一尺二寸求得内容

圆　　　　　　　　　【丝】球全径四寸八分九厘八豪九丝

七忽九微有【六忽法见】余乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得

【题】之圆球全径折半得半径二寸四分

四厘九豪四丝八忽有微有余为三率求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得二寸八分零六豪八三微有余为二十面体每一面自角至对边之垂线自乘三归四因开平方得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余即四面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体以二十面体之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即二十面体中心至每一面中心之立垂线四面体内容

圆　　　　　　　　　【面】球径即二十面体内容　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】圆球径

故先求得四面体内　　　　　　　　　　　　　　　　【之】容圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】又求得球外切二十面体之一边即四面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切四面体之一边则

求得二十面　　　　　　　　　　　　　【边】体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】球径又求得球外切四面体之一边即二十面体外切四

设如八面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何

法以每边一尺二寸三归之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余即八面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体以正方体之八角切于八面体各面之中心试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线则壬辛为壬癸三分之二子丑亦为甲丁三分之二辛丑即为甲丁三分之一与丑庚等辛丑丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形辛丑既与丑庚等故以辛丑自乘倍之开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切八面体之一边则以正方体之一边自乘折半开平方得数三因之即外切八面体之一边也

设如八面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何

八面体之每边即内容四面体之每一边也何以知之盖甲乙丙丁八面体内容戊乙丙己四面体以乙丙己底面合于八面体之一面则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心【其戊乙边恰与乙丙边等】故八面体之每一边即内容四面体之每一边也

设如八面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何

法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为八面体内容圆球全径乃

用求　　　　　　　　　　【体】球内容十二面体之一边法以全径自乘三归开平方得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余为十二面体每一面两角相对斜线又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之每一面两角相对斜线为三率求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余即八面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心

至各角之斜线八面体内容　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球径

即十二面体外　　　　　　　　　　　　　　【一】切圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即八面体内容十二面边也如有十二面体之一边求外切八面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切八面体之一边即十二面体外切八面体之一边也

设如八面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何

法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸六归之得二十四寸开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九

微有余为八面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【豪】球半径乃

用　　　　　　　　　【七】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一

为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　【丝】之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得五寸六分一厘三二忽九微有余为毎一面自角至对边之垂线自乗三归四因开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余即八面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容二十面体中心至每面中

心之立垂线八面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球径即

二十面体内容　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球径故先求得八

面体内　　　　　　　　　　　【边】容圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　【也】又求得球外切二十面体之一边即八面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切八面体之一边则先求得二十面体内客圆球径又求得球外切八面体之一边即二十面体外切八面体

设如十二面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何

法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余即十二面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体以正方体之十二棱切于十二面体之各面则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线故用五等边面形有边求对角斜线法算之即得十二面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切十二面体之一边则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线用五等边面形有对角斜线求边法算之即得正方体外切十二面体之一边也

设如十二面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何

法以十二面体每边一尺二寸用求十

二面体外切圆　　　　　　　　　　　　　　【寸】球径法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至每边正中之斜线以此斜线为股每边之半六寸为勾求得一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零

四微有余为十二面体外切　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】圆球全径乃用求球内容四面体之一边法以球径自乗三归二因开平方得二尺七分五厘八豪九丝四忽六微有余即十二面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于十二面体之四角则十二面体中心至各角之斜线即四面体中心至各角之斜线

十二面体外切圆　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径即四面体外切圆球径故先求得十二面体外切圆

球径又求　　　　　　　　　　　　【○】得球内容四面体之一边即十二面体内容四面体之一边也如有四面体之一边求外切十二面体之

一边则先求得四面体外　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】切圆球径

【○】又求得球内容十二面体之一边即

四面体外切十二面体

之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容八面体之每

一边几何法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○为二率今所设之十二面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至毎边正中之斜线倍之得三尺一寸四分一厘六豪四丝零六微有余【即十二面体外切正方体之一边】为内容八面体两角相对斜线自乗折半开平方得二尺二寸二分一厘四豪七丝五忽二微有余即十二面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于十二面体之六棱则十二面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即十二面体内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切十二面体之一边则先求得八面体两角相对斜线折半为外切十二面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与小分之比同于十二面体中心至毎边正中之斜线与每边之半之比既得每边之半倍之即八面体外切十二面体之一边也

设如十二面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何

法以十二面体毎边一尺二寸用求十二面体中心至毎面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为每一面中心至边之垂线为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余倍之得二尺六寸七分二厘四豪三丝九

忽二微有余为十二面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球

全径乃用　　　　　　　　　　　　【面】求球内容二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为

二率今所得　　　　　　　　　　　　　【体】之圆球全径二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微为三率求得四率一尺四寸零四厘九豪八丝四忽四微有余即十二面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁戊十二面体内容己庚辛壬癸二十面体以二十面体之十二角切于十二面体各面之中心则十二面体中心至毎面中心之立垂线即内容二十面体中心至

各角之斜线十二面体　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】内容圆球径即二十面体外切圆球径故先求得十二面体内容圆球径又求得球内容二一边即十二面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切十二面体之一边则先求得二十面体外

切圆　　　　　　　　　　【为】球径又求　　　　　　　　　　　　　　　【二】得球外切十二面体之一边即二十面体外切十二面体之一

边也设如二十面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边

几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线九寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为以毎一面中心至边之垂线为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余

十面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　【寸】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【求】求球

内容正方体之一边　　　　　　　　　　　　　　　　【内】法以球径自乗三归开平方得一尺零四分七厘二豪一丝三忽四微有余即二十面体内容正方体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸正方体以正方体之八角切于二十面体之八面之中心则二十面体中心至毎一面中心之立垂线即内容正方体中心至角

之斜线二十面体　　　　　　　　　　　　　　　【容】内容圆球径即正

方　　　　　　　　　【四】体外切圆球径故先求得二十【面】

面体内容　　　　　　　　　　　　【体】圆球径又求得球内容正方体之一边即二十面体内客正方体之一边也如有正方体之一边求外切

二十面体之一边则先求　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】得正方体

【毎】外切圆球径又求得球外切二十面

体之一边即正方体外

切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二一边几何

法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得立垂线九寸厘六厘九豪一丝三忽五微有余【边即二法】倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面

体内客圆　　　　　　　　　　　　【见】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球内容四面体之毎一边法以球径自乗三归二因开平方得一尺四寸八分零九豪八丝三忽五微有余即二十面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于二十面体之四面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容四面体中心至角之

斜线二十面体内　　　　　　　　　　　　　　　【题】容圆球径即四面体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容四面体之一十面体内容四面体之毎一边也如有四面体之一边求外切二十面体之一边则先求得四面体外切圆球径又求

得　　　　　　　　　【面】球外切二十面体之一边即四面体外切二十面体之一边

也设如二十面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几

何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体中心至毎边正中之斜线倍之得一尺九寸四分一厘六豪四丝零六微有【即二十面体外切正方体之一边】余为内容八面体两角相对之斜线自乗折半开平方得一尺三寸七分二厘九豪四丝七忽一微有余即二十面体内容八体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于二十面体之六棱则二十面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即二十面体内容八面体之毎一边也如有八面体之每一边求外切二十面体之每一边则先求得八面体之角相对斜线折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与大分之比同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比既得毎边之半倍之即八面体外切二十面体之一边也

设如二十面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何

法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余【面体】见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面

体内容圆　　　　　　　　　　　　【中】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一

九　六六一为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为三率求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余即二十面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容十二

心至角之斜线二十面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】球

径即十二面体外切　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即二十面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切二十面体之一边则先求

得十二面体外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】又求得球外切二十面体之一边即十二面体外切二十面体之