Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von
constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die
unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe
kann, — wie die Hauptgruppe der Geometrie — aus der Gruppe der
projectivischen dadurch ausgeschieden werden, dass man ein Gebilde fest
hält, welches durch zwei Gleichungen, eine lineare und eine
quadratische, dargestellt wird. Dabei hat man zwischen Reellem und
Imaginärem zu unterscheiden, wenn man sich der Form, unter der die
Theorie gewöhnlich dargestellt wird, anschliessen will. Hierher zu
rechnen sind vor Allem die elementare Geometrie selbst, dann z. B. die
in neuerer Zeit entwickelten Verallgemeinerungen der gewöhnlichen
Krümmungstheorie u. s. w.
Schlussbemerkungen.
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Zum Schlusse mögen noch zwei Bemerkungen ihre Stelle finden, die mit dem
bisher Vorgetragenen in enger Beziehung stehen; die eine betrifft den
Formalismus, durch welche man die begrifflichen Entwicklungen den
Vorangehenden repräsentiren will, die andere soll einige Probleme
kennzeichnen, deren Inangriffnahme nach den hier gegebenen
Auseinandersetzungen als wichtig und lohnend erscheint.
Man hat der analytischen Geometrie häufig den Vorwurf gemacht, durch
Einführung des Coordinatensystems willkürliche Elemente zu bevorzugen,
und dieser Vorwurf trifft gleichmässig jede Behandlungsweise
ausgedehnter Mannigfaltigkeiten, welche das Einzelne durch die Werthe
von Veränderlichen characterisirt. War dieser Vorwurf bei der
mangelhaften Art, mit der man namentlich früher die Coordinatenmethode
handhabte, nur zu oft gerechtfertigt, so verschwindet er bei einer
rationellen Behandlung der Methode. Die analytischen Ausdrücke, welche
bei der Untersuchung einer Mannigfaltigkeit im Sinne einer Gruppe
entstehen können, müssen, ihrer Bedeutung nach, von dem
Coordinatensysteme, insofern es zufällig gewählt ist, unabhängig sein,
und es gilt nun, diese Unabhängigkeit auch formal in Evidenz zu setzen.
Dass dies möglich ist und wie es zu geschehen hat, zeigt die moderne
Algebra, in der der formale Invariantenbegriff, um den es sich hier
handelt, am deutlichsten ausgeprägt ist. Sie besitzt ein allgemeines und
erschöpfendes Bildungsgesetz für invariante Ausdrücke und operirt
principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die
formale Behandlung stellen, auch wenn andere Gruppen, als die
projectivische, zu Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich
doch mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus nur als
präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffsbildung verwerthen,
oder will man ihn benutzen, um an seiner Hand in noch unerforschte
Gebiete einzudringen. —
Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst durch
einen Vergleich der vorgetragenen Anschauungen mit der sog. Galoisschen
Theorie der Gleichungen.
In der Galoisschen Theorie, wie hier, concentrirt sich das Interesse auf
Gruppen von Aenderungen. Die Objecte, auf welche sich die Aenderungen
beziehen, sind allerdings verschieden; man hat es dort mit einer
endlichen Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von
Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich
lässt sich bei der Identität des Gruppenbegriffes doch weiter
verfolgen[^31], und es mag dies hier um so lieber angedeutet werden, als
dadurch die Stellung characterisirt wird, die man gewissen von Lie und
mir begonnenen Untersuchungen[^32] im Sinne der hier entwickelten
Anschauungen zuzuweisen hat.
In der Galoisschen Theorie, wie sie z. B. in Serrets Traité d'Algèbre
supérieure[19] oder in C. Jordans Traité des substitutions[20]
dargestellt wird, ist der eigentliche Untersuchungsgegenstand die
Gruppen- oder Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst
aus ihr als eine Anwendung. Entsprechend verlangen wir eine
Transformationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche von
Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt werden können. Die
Begriffe der Vertauschbarkeit, der Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in
der Substitutionstheorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der
Transformationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der
Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannigfaltigkeit.
In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symmetrischen Functionen
der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, sodann aber
diejenigen Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so durch eine
grössere Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei
der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe
fragen wir entsprechend zunächst nach den Körpern (§.5), nach den
Gebilden, die durch alle Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben.
Aber es gibt Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der
Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe
gegründeten Behandlung besonders interessant, sie haben ausgezeichnete
Eigenschaften. Es kommt das also darauf hinaus, im Sinne der
gewöhnlichen Geometrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und
Schraubenflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Standpunct der
projectivischen Geometrie und verlangt insbesondere, dass die
Transformationen, durch welche die Gebilde in sich übergehen,
vertauschbar sein sollen, so kommt man auf die von Lie und mir in dem
citirten Aufsatze[18] betrachteten Gebilde und auf das in §.6. desselben
gestellte allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Bestimmung
aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer linearer Transformationen
in der Ebene gehört als ein Theil in die soeben genannte allgemeine
Transformationstheorie[^33].
Noten.
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I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung in
der neueren Geometrie.
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Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer analytischer
Geometrie hat man zur Zeit nicht mehr als einen wesentlichen zu
betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als die Schlussweise sich
auf beiden Seiten allmählich ganz ähnlich gestaltet haben. Daher wählen
wir im Texte zur gemeinsamen Bezeichnung beider das Wort „projectivische
Geometrie". Wenn die synthetische Methode mehr mit räumlicher Anschauung
arbeitet und ihren ersten, einfachen Entwickelungen dadurch einen
ungemeinen Reiz ertheilt, so ist das Gebiet räumlicher Anschauung der
analytischen Methode nicht verschlossen, und man kann die Formeln der
analytischen Geometrie als einen präcisen und durchsichtigen Ausdruck
der geometrischen Beziehungen auffassen. Man hat auf der anderen Seite
den Vortheil nicht zu unterschätzen, den ein gut angelegter Formalismus
der Weiterforschung dadurch leistet, dass er gewissermaßen dem Gedanken
vorauseilt. Es ist zwar immer an der Forderung festzuhalten, dass man
einen mathematischen Gegenstand noch nicht als erledigt betrachten soll,
so lange er nicht begrifflich evident geworden ist, und es ist das
Vordringen an der Hand des Formalismus eben nur ein erster aber schon
sehr wichtiger Schritt.
II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen.
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Wenn man z. B. beachtet, wie der mathematische Physiker sich durchgängig
der Vortheile entschlägt, die ihm eine nur einigermaßen ausgebildete
projectivische Anschauung in vielen Fällen gewähren kann, wie auf der
anderen Seite der Projectiviker die reiche Fundgrube mathematischer
Wahrheiten unberührt lässt, welche die Theorie der Krümmung der Flächen
aufgedeckt hat, so muss man den gegenwärtigen Zustand des geometrischen
Wissens als recht unvollkommen und als hoffentlich vorübergehend
betrachten.
III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.
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Wenn wir im Texte die räumliche Anschauung als etwas Beiläufiges
bezeichnen, so ist dies mit Bezug auf den rein mathematischen Inhalt der
zu formulirenden Betrachtungen gemeint. Die Anschauung hat für ihn nur
den Werth der Veranschaulichung, der allerdings in pädagogischer
Beziehung sehr hoch anzuschlagen ist. Ein geometrisches Modell z. B. ist
auf diesem Standpuncte sehr lehrreich und interessant.
Ganz anders stellt sich aber, die Frage nach dem Werthe der räumlichen
Anschauung überhaupt. Ich stelle denselben als etwas selbständiges hin.
Es gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht, wie die im Texte
besprochenen Untersuchungen, nur eine veranschaulichte Form abstracterer
Untersuchungen sein will. In ihr gilt es, die räumlichen Figuren nach
ihrer vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und (was die
mathematische Seite ist) die für sie geltenden Beziehungen als evidente
Folgen der Grundsätze räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell —
mag es nun ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein —
ist für diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache
selbst.
Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, Geometrie
als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für sich gewiss
nichts Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen Gesichtspunct
ausdrücklich einmal wieder hervorzuheben, da die neuere Forschung ihn
fast ganz übergeht. Hiermit hängt zusammen, dass umgekehrt die neuere
Forschung selten dazu verwendet wurde, wenn es galt, gestaltliche
Verhältnisse räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen, und doch scheint sie
gerade in dieser Richtung sehr fruchtbar.
IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.
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Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei Dimensionen hat,
braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht discutirt zu werden;
ebenso wenig kann man aber vom mathematischen Standpuncte aus Jemanden
hindern, zu behaupten, der Raum habe eigentlich vier, oder unbegränzt
viele Dimensionen, wir seien aber nur im Stande, drei wahrzunehmen. Die
Theorie der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger
je mehr in den Vordergrund neuerer mathematischer Forschung tritt, ist,
ihrem Wesen nach, von einer solchen Behauptung vollkommen unabhängig. Es
hat sich in ihr aber eine Redeweise eingebürgert, die allerdings dieser
Vorstellung entflossen ist. Man spricht, statt von den Individuen einer
Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines höheren Raumes etc. An und für
sich hat diese Redeweise manches Gute, insofern sie durch Erinnern an
die geometrischen Anschauungen das Verständniss erleichtert. Sie hat
aber die nachtheilige Folge gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die
Untersuchungen über Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen
als solidarisch erachtet werden mit der erwähnten Vorstellung von der
Beschaffenheit des Raumes. Nichts ist grundloser als diese Auffassung.
Die betr. mathematischen Untersuchungen würden allerdings sofort
geometrische Verwendung finden, wenn die Vorstellung richtig wäre, —
aber ihr Werth und ihre Absicht ruht, gänzlich unabhängig von dieser
Vorstellung, in ihrem eigenen mathematischen Inhalte.
Etwas ganz anders ist es, wenn Plücker gelehrt hat, den wirklichen Raum
als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen aufzufassen,
indem man als Element des Raumes ein von beliebig vielen Parametern
abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) einführt (vergl. §.5 des
Textes).
Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig ausgedehnten
Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des Raumes betrachtet, ist
wohl zuerst von Grassmann in seiner Ausdehnungslehre (1844, [17])
entwickelt worden. Bei ihm ist der Gedanke völlig frei von der erwähnten
Vorstellung von der Natur des Raumes; letztere geht auf gelegentliche
Bemerkungen von Gauss zurück und wurde durch Riemanns Untersuchungen
über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in welche sie mit
eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt.
Beide Auffassungsweisen — die Grassmannsche wie die Plückersche — haben
ihre eigentümlichen Vorzüge; man verwendet sie beide, zwischen ihnen
abwechselnd, mit Vortheil.
V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.
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Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere
Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie,
welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden kann
und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie
vielfach besprochen und disputirt wird. Wenn wir im Texte diesen Namen
überhaupt nicht berührt haben, so geschah es aus einem Grunde, der mit
den in der vorstehenden Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt
ist. Man verknüpft mit dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine Menge
unmathematischer Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so viel
Eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber
unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen haben.
Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der Begriffe
beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen motiviren.
Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit ihren
Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen bestimmten Werth.
Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein einmaliges,
abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom keine
mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome ist, sondern
dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches in den
vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm zum Ausdruck
gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und sollte man mit Bezug
auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie durchführen; man würde dadurch
an Einsicht in die gegenseitige Stellung der Axiome gewinnen.
Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen
mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit
von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits bemerkt und wie in §.10
des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit der unabhängig von aller
Parallelentheorie erwachsenen projectivischen Maßbestimmung auf das
Innigste zusammen. Wenn das Studium dieser Maßbestimmung an und für sich
hohes mathematisches Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen
gestattet, so kommt hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene
Maßbestimmung als speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt,
dieselbe von einem erhöhten Standpuncte aufzufassen.
Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die Frage,
welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe als absolut
gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch Erfahrung nur
approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — betrachten wollen.
Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so geben uns die fragl.
mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie man dann eine exactere
Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine
philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss
betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung
nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig
betrachtet werden von der Antwort, die man von der einen oder der
anderen Seite auf die Frage geben mag.
VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von
constantem Krümmungsmaße.
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Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung in einer
fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir
beachten, dass wir in den geraden Linien nur die (im Sinne der
Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns
haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine
projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und
das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die
sich sonst der Auffassung der Liniengeometrie als einer Maßgeometrie
entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen
an das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades
gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt.
Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die
Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den beiden
Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der Fläche. Rücken
aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss
unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle,
dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es
unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer
Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben
also den Satz:
Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche
zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche
noch keine Maßbestimmung.
Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen der
Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen
zusammenfallen lassen kann[^34].
Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss man die
Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man, indem
man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält. Der
Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man
die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als
Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der
Ebene eine projectivische Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die
Fläche überträgt[^35]. Dies ist eine eigentliche Maßbestimmung von
constanter Krümmung und man hat also den Satz:
Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie man einen
ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält.
Entsprechend findet man[^36]:
Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der
Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst
wählt.
Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der
Fläche Linien von verschwindender Länge. Der Ausdruck für das
Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen
nur um einen Factor verschieden. Ein absolutes Bogenelement auf der
Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den
Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. —
Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für
Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt
zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst erst,
wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie
constante oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex ein
allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung
eines Complexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten
Bogenelements geknüpft. Unabhängig davon sind die
Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene
schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem Winkel reden,
den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden[^37].
VII. Zur Interpretation der binären Formen.
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Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter
Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem
Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form
ertheilt werden kann.
Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine
quadratische Δ, und eine Invariante R[^38]. Aus f und Q setzt sich
eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades
Q^2 + λ ⋅ Rf^2
zusammen, unter denen auch Δ^3 enthalten ist. Man kann
zeigen[^39], dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen
von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe
annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.
Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun
folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare
Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte,
welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten
Kreises. Derselbe mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die
drei Puncte f die geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch
die Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die
beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q^2+λ Rf^2 ist durch 6 Puncte
repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und
β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten
ist:
(α, β), (α, 120+β), (α, 240+β) , (-α,
-β), (-α, 120-β), (-α, 240-β)
Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu
sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben
entsteht.
Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine
Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu
bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH+λ jf, die alle
zu dem nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen
Factoren, in welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind.
—
Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander
rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel
bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH+λ jf sind,
unter x, y, z Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden,
durch das Schema
x, y, z,
x, -y, -z,
-x, y, -z,
-x, -y, z
vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines
symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen
des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in
der Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von
iH+λ jf spielt, gekennzeichnet ist.
Erlangen im October 1872.
* * * * *
[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: Annali di
Matematica pura et applicata 1896, 2, 167-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610.
[2] K. G. C. v. Staudt, Geometrie Der Lage, Fr. Korn, Nürnberg, 1847.
[3] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Erstes Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1856.
[4] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Zweites Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1857.
[5] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Drittes Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1860.
[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 257-277 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841.
[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: Crelle’s Journal für die
reine und angewandte Mathematik 1866, 66, 15-22 −
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6.
[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Zweiter
Aufsatz.” In: Mathematische Annalen 1873, 6, 112-145 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189.
[9] P. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen Über Zahlentheorie, Vieweg,
Braunschweig, 1863.
[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe,
mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 145-208 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331.
[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig vielen
Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes
entspricht.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1871, 7,
191-209 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871.
[12] H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, Enslin, Berlin, 1862.
[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster
Ordnung; insbesondere über eine Classification derselben.” In:
Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der
Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 8, 473-490 −
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872.
[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie.”
In: Mathematische Annalen 1872, 5, 427-434 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803.
[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 22,
429-448 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872.
[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie der Ebene.” In: Mathematische Annalen 1872, 6, 203-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192.
[17] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer Zweig Der
Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die Übrigen Zweige
Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, Die Lehre Vom
Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.
[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch
ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren
linearen Transformationen in sich übergehen.” In: Mathematische Annalen
1871, 3, 50-84 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297.
[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris,
1866.
[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques,
Gauthier-villard, Paris, 1870.
[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner,
Leipzig, 1872.
[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen
algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600.
[^1]: Vergl. Note I. des Anhangs.
[^2]: Vergl. Note II
[^3]: Vergl. Note III
[^4]: Vergl. Note IV
[^5]: Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen
Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich
erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel
weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die
Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt
worden wären.
[^6]: Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der
räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb
schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen
können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere
Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden.
[^7]: Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der
Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen
eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen
Zahl discreter Grössen auftreten.
[^8]: Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der
Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de mouvements.
Annali di Matematica. t. II[1]
[^9]: Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus
nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings
immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu
sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von
Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur
Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche
eine Sinuslinie sich selber superponiren.
[^10]: Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung,
welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem
Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also
z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie.
[^11]: Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich
nothwendig.
[^12]: Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein
beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der
gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die
Transformationen der Hauptgruppe anwendet.
[^13]: Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von
Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in
Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie gern
an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen
Inhalt.
[^14]: Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt,
hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu
Grunde gelegt.
[^15]: Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form
angewendet.
[^16]: Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem
Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n
Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen
[^17]: Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf
mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf
bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die
sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten.
[^18]: Vergl. Note III.
[^19]: Vergl. Note V
[^20]: Vergl. Note VI.
[^21]: Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der
Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus
gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist
(Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].)
[^22]: Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der
projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die
bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der
Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von
vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.
[^23]: Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und
metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6].
[^24]: Vergl. Note VII.
[^25]: Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen
V.[10]
[^26]: Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns
Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278).
[^27]: Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man
den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im
Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe
der reciproken Radien befinden, keine conformen
Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele
andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]).
[^28]: Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle
Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte
gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe
ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl.
dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen.
Göttinger Nachrichten. Oct. 1872.
[^29]: Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie.
[^30]: Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe
der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872.
Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der
Ebene[15,16].
[^31]: Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung
zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die
Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt.
[^32]: Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen
Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich
vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen,
Math. Annalen Bd. IV. [18].
[^33]: Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit
hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner
Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In
§.7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche
Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich kleine
Transformationen zugeben, bieten gleiche
Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle
Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an
verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math.
Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt
(vergl. namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania.
Mai 1872.)
[^34]: Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei
unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute
Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen
Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit
finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen
befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das
Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern.
[^35]: Vergl. §.7 des Textes.
[^36]: Vergl. §.4 des Textes.
[^37]: Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische
Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6]
[^38]: Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der
binären Formen[21]
[^39]: Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22]
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