句股容员
甲乙丙句股形 求容员径卯戌【即丁辛】
法于甲丙上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容员之径
试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如之度自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作
辛氐及房戊之垂线穿而
过之与癸辰线遇于辰又
引氐辛线至癸引房戌线
至女得女辰女房癸辰癸
氐四线皆如甲丙女卯
女亢癸丑癸未四线皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己防为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之而立即所谓和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也
然则何以又为和较试即以原论之甲丙上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于之数古人以和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八每一上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣【因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显】
相似两句股并求简法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线【两句者一为己辛大句一为壬乙小句即辛甲也则己甲为两句合线】
法以两【一癸己大一癸乙小】并之为三率以癸角之正【两癸
角等只用其一】为二率二三相
乗为实半径全数为法
实如法而一得四率己
甲即【己辛壬乙】两句之合
数
何以知之曰试引癸己
至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣
有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和 丙甲
原法以甲为心作乙己卯
象限 又以丙甲半之
于丁以丁为心作甲戊丙
半圆
次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防
法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也
又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也
又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与
戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而
己防所割之己丙弧及辛丙
弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度辛
丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其
度角等者度亦等】
又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛则交角等【皆十字正角】
又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边丙辛边亦等矣 凖上论己辛与丙辛必等故用己防以求辛防而和数中句股可分也
又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二防其一为己其一为丑自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲为是两句股形等也】凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似【句股之正角必负员周亦两两相对如辛防在戊丙象限内即有壬防在戊甲象限与之相对皆与象限上己防丑相应其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度】试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也
凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理
句股和较
与句股较【相和即 加句即 减股即 内减存较和 股和 句较 句股较相较即 减句即 加股即 用减存较较 股较 句和 句股较】
与句股和【相和即 减即 减股即 减句即和和 句股和 句和 股和相较即 加句 加股 加句较股和较 较即股 较即句 较即】
与句较相和 【加句即 减句即两 减即两 句较 句较】
相较【即句】
句与股较【相和即 加句股 减股 加句较减句较和 较即 较即句 股较即股相较即 加句股较股 加股 加句股较股句较较 较即股 较即句 较较即】
句与股和【相和即 减即 减股即 减句即句和和 句股和 句和 股和
相较即 减股即 减即 加句即句和较 句较 句股较 股和】
句与句股较【相和即股】
相较 【加句股 加两句股较即句 较即股】
句与句股和相和
相较【即 减股即 加股即两股 两句 句股和】
句与句较相和【即】
相较 【加句 加两句较即句 较即】
句与句和相和
相较【即】
句股较句较【相较即股较】 句股较股较【相较即句和内减两句又两股较
相和即股 相和即和内减两句 句较】
句较股较【相较即句股较】
【相和即两内减一句一股】
句股和句和【相较即股较】 句股和股和【相较即句较
相和即两句 相和即两股一股一 一句一】
句和股和【相较即句股较】
【相和即两一句一股】
句股较与【句股】和【相和即两股】 句股较与【句】和【相和即股和】 句股较与股和相和
【相较即 相较即两句 句和】
句较句和【相和即两】 句较与【句股】和【相和即股和】 句较与股和相和
【相较即两句】 相较 【相较即句股和】
和较和和【相和半之为句股和】 和较较和【相和半之为股
相较半 相较半之之为 为句较】
和较较较【相和半之为句】 和较句较和【相和半之为句
相较半之 相较半之为股较 为股较】
和较句和较【相和半之为句】 和较句较较【相和半之仍为和较
相较半之为股较】 相较即减尽
和和较和【相和半之为股和】 和和较较【相和半之为句和
相较半之为句】 相较【半之为股】
和和句较和【相和半之为句和】 和和句和较【相和半之即股和
相较半之为股】 相较【半之为句】
和和句较较【相和半之即句股和】 较和较较【相和半之为
相较半 相较半之之为 为句股较】
较和句较和【相和半之为】 较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】
【相较半之为句股较】 相较恰尽
较和句较较【相和半之为股】 较较句较和【相和半之为句与股较
相较半之为句较】 相较恰尽
较较句和较【相和半之为】 较较句较较【相和半之为句
相较半之 相较半之为句股较 为股较】
句较和句和较【相和半之为】 句较和句较较【相和半之为句
相较半之 相较半之为句股较 为股较】
句和较句较较【相和半之为股】
【相较半之为句较】