句股积求句股句股积与较较求诸数
第一法
假如句股积【一百二十】较较【十二】
法以积四之得【四百八十】较较自之【一百四十四】两数相减余【三百三十六】折半【一百六十八】为实较较【十二】为法除之得句股较【十四】以加较较【十二】共得【二十六】为【有有句股较即诸数可求】论曰甲乙丙丁合形为自乗大方幂甲小方为句股较幂幂内减句股较幂所余丙乙丁磬折形原与四
句股积等于中又减去乙小方
为较较自乗幂仍余丁丙二
长方并以句股较为其长以
较较为其濶故折半而用其一
为实以较较为法除之得句股较矣【是以濶求长】
第二法
置四句股积【四百八十】与较较自幂【一百四十四】相加得共【六百二十四】折半【三百十二】为实较较【十二】为法除之得【二十六】为内减去较【十二】得余【十四】为句股较
论曰乙丙丁磬折形原与四句股积等今加一小方形如己为较自乗幂与乙等又丁丙二长方原相等于是合丁己为一长方合乙丙为一长方必亦相等矣【并以
较较为濶以为长】故折半而用其一
为实以较较为法除之即得
矣【亦是以濶求长】
第三法
置四句股积【四百八十】为实较较【十二】为法除之得【四十】为较和以较较【十二】加较和四十得【五十二】折半【二十六】为以较较【十二】减较和【四十】得【二十八】折半【十四】为句股较于前图乙丙丁磬折形即四句股积移丁长方置于戊
为乙丙戊长方其长如
较和其阔如较较故以
较较除之得较和【若以
较和除之亦得较较】
又简法
置句股积【一百二十】为实以较较【十二】半之得【六】为法除之得【二十】为半较和以半较较【六】加半较和【二十】得【二十六】为又以半较【六】减半和【二十】得【十四】为句股较
论曰长方形濶【十二】如较较长【四十】如较和其积如四
句股今只用一句股积是四
之一也积四之一者其边必
半观图自明
句股积与较和求诸数
第一法
假如句股积【一百二十】较和【四十】
法以积四之得四百八十较和自之得【一千六百】两数相减余【一千一百二十】折半得【五百六十】为实较和【四十】为法除之得【十四】为句股较以减较和得【二十六】为自乗【六百七十六】加四句股积【四百八十】得【一千一百五十六】平方开之得【三十四】为句股和以与句股较【十四】相加得【四十八】折半【二十四】为股又相减得【二十】折半得【一十】为句
句【一十】 股【二十四】 【二十六】
句股和【三十四】 句股较【十四】 较和【四十】
较较【十二】
论曰总方为较和【四十】自乗
之幂内分甲戊己方为自
乗幂乙小方为句股较自乗
幂于幂内减去戊己磬折
形即四句股积则所余者甲
小方即句股较幂与乙方等以甲小方合丁长方即与乙丙长方等【以丁丙小长方原相等故】此二长方并以句股较【十四】为濶以较和为长【四十】故折半而用其一为实较和【四十】为法除之即得句股较【是为以长求濶】
第二法
较和自乗【一千六百】与四句股积【四百八十】两数相加【二千○八十】折半【一千○四十】为实较和【四十】为法除之得【二十六】为以减较和得【十四】为句股较余如前【观后图自明】
第三法
置四句股积【四百八十】为实较和【四十】为法除之得【十二】为较较余同较较第三法
又简法
句股积【一百二十】为实较和【四十】半之得【二十】为法除之得【六】为较较之半余并同较较简法
论曰乙丁丙甲戊己合形为
较和【四十】自乗之大方外加一庚
辛长方为四句股积与戊己磬
折形等于是中分之为两长方
【乙丁庚辛合为左长方丙甲己戊合为右长方】并以为濶【二十六】较和【四十】为长故折半为实以较和除之得【亦为以长求濶】借此图可解第三法之理何则庚辛长方形既为四句股积而其濶【十二】如较较其长【四十】如较和是【十二】与【四十】相乗之积也故以较较除之得较和若以较和除之即复得较较
若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方则其濶皆【六】加半较其长【二十】如半和而其积皆【一百二十】为一句股积矣此又简法之理也
句股积与和较求诸数
第一法
假如句股积【六千七百五十】和较【六十】
法以和较自之得【三千六百】与四句股积【二万七千】相减余【二万三千四百】折半【一万一千七百】为实和较【六十】为法除之得【一百九十五】为加较【六十】得句股和【二百五十五】幂内减四句股积开方得句股较以加句股和折半得股以减句股和折半得句
句【七十五】 股【一百八十】 【一百九十五】句股和【二百五十五】 句股较【百○五】 和和【四百五十】较和【三百】 和较【六十】 较较【九十】第二法
以和较自乗【三千六百】与四句股积【二万七千】相加得【三万○六百】折半【一万五千三百】为实和较【六十】为法除之得【二百五十五】为句股和内减和较【六十】得【一百九十五】为
论曰丁丙方为句股和自乗方幂
内减甲戊方为自乗幂其余丁
戊丙磬折形四句股积也内减戊
乙小方为和较自乗积则所余
丁戊长方与戊丙长方等而并以
为长和较为濶故以和较除之得此第一法减四句股积之理也
若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等乃并之为庚戊长方与辛乙等并以句股和为长和较为濶此第二法加四积之理也【两法并以濶求长】
第三法
置四句股积【二万七千】为实和较【六十】除之得【四百五十】为和和以与和较相加折半为句股和又相减折半为此如有句股积有容圆径而求句股乃还元之法也
论曰前图中辛乙长方并戊丙
长方是四句股积联之为辛丙
长方则其濶丁辛和较也其长丁丙和和也
又简法
置句股积【六千七百五十】为实半和较【三十】除之得【二百二十五】为半和和以与半和较相加得二百五十五为句股和又相减得【一百九十五】为 此如有容圆半径以除句股积而得半和和句股积与和和求诸数
第一法
假如句股积【六千七百五十】和和【四百五十】
法以积四之得【二万七千】和和自之得【二十○万二千五百】两数相减余【十七万五千五百】折半【八万七千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【一百九十五】为以减和和得【二百五十五】为句股和
第二法
以四句股积与和和幂两数相加得【二十二万九千五百】折半得【十一万四千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【二百五十五】为句股和以减和和得【一百九十五】为
论曰甲乙大方和和自乗也内分甲丁方自乗也
与丁丙方等丁乙方句股和
自乗也于丁乙内减去丁丙
幂则所余者四句股积即
壬乙丙戊二小长方也而己
辛小长方与丙戊等则己乙
长方亦四句股积也今于甲乙大方内减去己乙则所余者甲戊己戊二长方并以为濶和和为长故以和和除之而得此第一法减四句股积之理也是为以长求濶
又论曰若于甲乙大方外増一甲庚长方与己乙等而中分之于癸戊则癸乙与癸庚两长方等并以句股和为濶和和为长故以和和除之而先得句股和此苐二法加四句股积之理也亦是以长求濶
第三法
置四句股积【二万七千】为实和和【四百五十】除之得和较【六十】此如并句股除四倍积而得容员径
又简法
置句股积【六千七百五十】为实半和和【二百二十五】除之得半和较【三十】此如合半句半股半除积得容员半径欲明加减用四句股之理当观古图
甲乙丙句股形 甲丙句六
甲乙股八 乙丙十
甲丁句股和十四 壬辛句
股较二甲己大方句股和自
乗幂也其积一百九十六 丙戊次方自乗幂也其积一百 壬庚小方句股较自乗幂也其积四 甲己和幂内减幂所余者四句股也 幂内减较幂所余者亦四句股也 句股之积并二十四
甲丁句股和十四癸丁十子丁句股较二甲丙方爲句股和自乗幂【一百九十六】内减癸辛幂【一百】余【九十六】爲甲己丙磬折形【亦卽四句股积】内分甲己直形移置于丙戊成乙戊长方卽爲【和较乗和和】又壬丁小方爲句股较自乗其幂四以减幂一百余九十六爲癸壬辛巳磬折形【亦卽
四句股积】内分癸壬直
形移置于辛庚成
己庚长方卽爲
较较乗较和
假如方环田有积有田之濶问内外方各若干
法以积四之一爲实田濶除之得数爲内外二方半和与田濶相加得外方又相减得内方【葢田濶卽如半较】若但知外方及内小方及环田积法即并大小方边为和以除积得数为较较与和相加折半为外周大方又相减折半为小方以两方之较折半为环田濶
若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方边不能知濶
总论曰较较乗较和之积与和较乗和和之积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学者所宜深玩
又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自
丙望甲作斜线切员池于辛
乃自丙取乙丙之度截斜线
于丁又自甲取甲乙之度截
斜线于戊末但量丁戊有若
干尺即圆池径
解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙于丁则丁甲为句较甲乙股截于戊则戊丙为股较而丁戊为和较故即为圆径 其句股不必问其丈尺但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法【凡城堢墩台锥塔员柱之类形正员者并同一法也】
句股容方【系鲍燕翌法】
句股形引股线法
即依正角作方形于形外 又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙至戊而令
乙丁与戊丁等
法曰以乙丙分甲乙得数减一余
用归甲乙得之
解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲
丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得
【勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数】
句股形截股法
即依正角作方形于形内 又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊于丙而
令乙丁与乙丙等
法曰以丁戊分甲丁得数加一共
用归甲丁得之 【勿庵又法句股相乗为实句股
和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法】
解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳【勿庵补例】
设甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股长出至丁
而令引出之乙丁股分与所当之丁
戊句等问若干答曰乙丁十六
法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】
【廿八】为实句股相减得较【八】为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等 若如鲍法以句【八】除股【十六】得【二】内减去一仍余一用为法以除股【十六】仍得【十六】为乙丁又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等
法以句十二乗股【四十八】得积【五百
七十六】为实 句减股得较【三十六】为
法除之得【十六】为乙丁
或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁
又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法以句乗股得【二十四】为实 句股较【二】为法除之得【十二】为乙丁
或以句【四】除股【六】得【一半】内减一余【半】为法以除股【六】
亦得【十二】为乙丁
解曰半为除法则得倍数此畸零除
法也详别卷
又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等
法以句乗股得【三百六十】为实句股较【十八】为法除之得乙丁【二十】
或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减
一余【一半】为法以除股【三十】亦得乙
丁【二十】
解两法相同所以然之故 葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣
以上补第一条之例
设甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊【三十五】欲截甲
丁股于乙截甲戊于丙而令所截
之乙丁与乙丙等问其数若干
答曰乙丁一十二
法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实并句股得和【四十九】为法除之得【一十二】为所截乙丁与乙丙截句等
如鲍法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股
设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等该若干 答曰一百二十
法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实句股和【五百二十九】为法除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等
或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实法除实亦得【一百二十】为乙丁截股
解两法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例
按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之
分角线至对边【亦系鲍法】
甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁线至对边欲知丁防之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙或甲丁即得
甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作线至甲丙股欲知丁防所在
法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜
方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜
方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚
句股形成甲寅长方此即句股相乗
实以句和除之也【甲乙为乙壬即句】得壬寅边
丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句求股求得丁丙或丁甲即得
按上鲍法此寅甲长方为句和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和以减句和得股较即其他可知】
求丁己线法 一率甲丙股 二率甲乙 三率壬寅 四率丁己【即壬丑】
甲乙丙鋭角形 求分乙角作线至甲丙边之丁防
法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙
形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛
乙长斜方形自此以下至成丁己乙
戊四斜方【并同前法】
次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊四率得丁丙
或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁甲乙丙钝角形 法先从形外求得甲辰外垂线 引乙丙线与之相遇 次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长
斜方形 余同前法
甲乙丙钝角形 甲辰垂线在形外
与右图同法