~#P s = ½ M v²#~.
In dieser Form zeigt die Gleichung, wie die ^Ursache^, daß nämlich die
Kraft ~P~ längs des Weges ~s~ wirkt, zusammenhängt mit der Wirkung, daß
nämlich eine Masse ~M~ eine Geschwindigkeit ~v~ erhalten hat.
Ebenso kann ~M~ aus dieser Gleichung berechnet werden, wenn die anderen
Größen bekannt sind.
Wenn die Kraft ~P~ längs des Weges ~s~ gewirkt hat, so ist diese
^Energie^ (~P s~) nicht mehr vorhanden; sie ist aber nicht aus der Natur
verschwunden, sondern als Ersatz derselben ist eine Geschwindigkeit ~v~
vorhanden, welche eine Masse ~M~ erhalten hat. #Die mit der
Geschwindigkeit ~v~ behaftete Masse ~M~ stellt das Äquivalent für die
verschwundene Energie ~P s~ dar.# Diese Masse ~M~ behält nun nach dem
Trägheitsgesetz ihre Geschwindigkeit unverändert und immerfort bei, in
ihr ^lebt^ gleichsam (daher der Ausdruck lebendige Kraft) die vorher in
^ruhender Form^ vorhanden gewesene Energie ~P s~.
Stellt sich der Masse ~M~ auf ihrer Bahn früher oder später ein
Hindernis in den Weg, zu dessen Überwindung sie eine gewisse Kraft ~P~
braucht, so kann sie dies Hindernis überwinden auf die Wegstrecke ~s~
hin, welche sich berechnet aus
α²
~s = ---~, wobei ~α = v~,
2 φ
P
~φ = -~, also
M
v² · M
~s = ------~, oder in anderer Form
2 P
½ ~M v² = P s~.
Dies ist dieselbe Gleichung wie vorher, und sie gibt an, wie nun die
Ursache, nämlich daß eine Masse eine Geschwindigkeit hat, zusammenhängt
mit der Wirkung, daß nämlich eine Kraft längs eines Weges ausgeübt wird.
Eine mit der Geschwindigkeit ~v~ behaftete Masse ~M~ besitzt also
Arbeitsfähigkeit, und stellt also eine ^Energie^ dar, ihre Größe ist
ausgedrückt durch ½ ~M v²~; d. h. #die Energie eines in Bewegung
befindlichen Körpers ist proportional der Masse und proportional dem
Geschwindigkeitsquadrate#. Diese Energie einer in Bewegung befindlichen
Masse nennt man die ^lebendige Kraft^ dieser Masse. (Leibnitz, 1646.)
Aufgaben:
#249.# Wie lange muß eine konstante Kraft von 20 _kg_ auf einen frei
beweglichen 840 _kg_ schweren Körper wirken, bis er eine Geschwindigkeit
von 4 _m_ erlangt hat; welche Strecke hat er dabei durchlaufen und
welche Arbeit wurde aufgewendet?
#250.# Welche Geschwindigkeit bekommt ein Körper von 700 _kg_ Gewicht,
wenn auf ihn eine Kraft von 30 _kg_ längs eines Weges von 65 _m_ wirkt;
welche Beschleunigung erhält er und wie lange braucht er dazu?
#251.# Welcher Masse kann eine Kraft von 60 _kg_, welche längs eines
Weges von 2 _m_ wirkt, eine Geschwindigkeit von 100 _m_ erteilen?
#252.# Welche Kraft übt eine Masse von 400 _kg_ und 3½ _m_
Geschwindigkeit aus, wenn sie 1220 _m_ weit läuft, bis sie stehen
bleibt; welche Verzögerung hat sie und wie lange braucht sie?
#253.# Auf welche Länge kann eine Masse von 750 _kg_ bei 40 _m_
Geschwindigkeit eine konstante Kraft von 9 _kg_ hervorbringen; wie groß
ist die Verzögerung und wie lange bewegt sich der Körper?
#254.# Ein Geschoß von 7,7 _kg_ Gewicht verläßt das 1,4 _m_ lange Rohr
mit 440 _m_ Geschwindigkeit, wie groß ist der Druck der Pulvergase,
welche Beschleunigung erfährt das Geschoß und wie lange braucht es, um
das Rohr zu durchlaufen?