Wenn von einem Körper ~A~ eine Kraft ausgeht, welche auf einen Körper
~B~ wirkt, so unterliegt auch ~A~ selbst dem Einflusse einer von ~B~ aus
zurückwirkenden gleich großen Kraft; wird ~B~ durch die Kraft nach der
einen Richtung bewegt, so wird ~A~ nach der anderen Richtung bewegt,
^Wirkung^ und ^Gegenwirkung^. Ist z. B. eine elastische Feder zwischen
zwei Kugeln ~A~ und ~B~ gespannt und man läßt beide zugleich los, so
bewegen sich beide nach entgegengesetzten Richtungen.
Wirken die Kräfte dabei auf gleiche, frei bewegliche Massen, so erhalten
diese dieselbe Geschwindigkeit; wirken sie auf verschiedene Massen, so
erhalten sie verschiedene Geschwindigkeiten, welche sich verhalten
umgekehrt wie die Massen; denn die gleichen Kräfte bringen
Beschleunigungen hervor, welche sich umgekehrt wie die Massen verhalten,
~m₁ : m₂ = g₂ : g₁~;
die erlangten Geschwindigkeiten sind aber den Beschleunigungen
proportional,
~g₂ : g₁ = v₂ : v₁~; also folgt
~m₁ : m₂ = v₂ : v₁~; d. h. ^die in derselben Zeit erlangten
Geschwindigkeiten sind den Massen umgekehrt proportional^.
Solche Wirkungen entstehen beim Stoße, d. h. beim Zusammentreffen zweier
in Bewegung befindlicher Massen. Sind die Massen unelastisch, so tritt
beim Zusammentreffen eine Geschwindigkeitsänderung und eine bleibende
Formveränderung ein, bis beide Massen dieselbe Geschwindigkeit haben.
Es seien die Massen ~m₁~ und ~m₂~, ihre Geschwindigkeiten ~v₁~ und
~v₂~, beide nach derselben Seite gerichtet, und ~v₂ > v₁~, so daß
das folgende ~m₂~ das vorangehende ~m₁~ einholt, es sei dann ~v~
die schließliche gemeinschaftliche Geschwindigkeit so, bekommt
~m₁~ einen Geschwindigkeitszuwachs = ~v - v₁~ und ~m₂~ einen
Geschwindigkeitsverlust = ~v₂ - v~, beide verhalten sich umgekehrt wie
die Massen, also (~v - v₁) : (v₂ - v) = m₂ : m₁~; hieraus ist:
v₁ m₁ + v₂ m₂
~v = -------------~.
m₁ + m₂
Laufen die Massen einander entgegen, so ist eine Geschwindigkeit, etwa
~v₂~ negativ zu nehmen, also ist
v₁ m₁ - v₂ m₂
~v = -------------~.
m₁ + m₂
Sind die Massen einander gleich, so ist im ersten Falle ~v = ½ (v₁ +
v₂)~, im zweiten Falle ~v = ½ (v₁ - v₂)~, ist hiebei ~v₁ = v₂~, so ist
~v~ = 0, d. h. treffen gleiche unelastische Massen mit gleichen
Geschwindigkeiten aufeinander, so heben sich ihre Bewegungen auf, sie
sind nach dem Stoße beide in Ruhe.
Wenn zwei ^elastische^ Massen aufeinander stoßen, so tritt zuerst auch
eine Zusammendrückung der getroffenen Stellen ein und eine
Geschwindigkeitsänderung bis beide Körper dieselbe Geschwindigkeit
haben; aber dann kehren die einwärts gedrückten Stellen in die
ursprüngliche Lage zurück und bringen einen gegenseitigen Druck hervor,
welcher den Massen wieder eine Geschwindigkeitsänderung erteilt, welche
ebenso groß ist wie die beim Zusammendrücken erhaltene.
Es seien die Massen ~m₁~ und ~m₂~, ihre Geschwindigkeiten ~v₁~ und ~v₂~,
so ist die Geschwindigkeitsänderung beim Zusammendrücken wie vorher ~v -
v₁~ beim ersten und ~v₂ - v~ beim zweiten, wobei
v₁ m₁ + v₂ m₂
~v = -------------~.
m₁ + m₂
Beim Ausdehnen erhält jeder Körper dieselbe Geschwindigkeitsänderung;
deshalb hat ~m₁~ die schließliche Geschwindigkeit
(v₁ m₁ + v₂ m₂ )
~c₁ = v₁ + 2 (------------- - v₁)~ also
( m₁ + m₂ )
v₁ (m₁ - m₂) + 2 v₂ m₂
~c₁ = ----------------------~;
m₁ + m₂
ebenso hat ~m₂~ die schließliche Geschwindigkeit
( v₁ m₁ + v₂ m₂)
~c₂ = v₂ - 2 (v₂ - ------------)~ also
( m₁ + m₂ )
v₂ (m₂ - m₁) + 2 v₁ m₁
~c₂ =-----------------------~.
m₁ + m₂
Bewegen sich die Körper gegeneinander, so ist eine Geschwindigkeit, etwa
~v₂~, als negativ zu nehmen, dann ist:
v₁ (m₁ - m₂) - 2 v₂ m₂
~c₁ = ----------------------
m₁ + m₂
und
v₂ (m₁ - m₂) + 2 v₁ m₁
~c₂ = ---------------------~.
m₁ + m₂
Sind beide Massen einander gleich, so ist im ersten Falle ~c₁ = v₂~ und
~c₂ = v₁~ d. h. die Massen gehen mit vertauschten Geschwindigkeiten
weiter; im zweiten Falle ist ~c₁ = -v₂~, ~c₂ = v₁~ d. h. die Massen
gehen mit vertauschten Geschwindigkeiten und nach entgegengesetzten
Richtungen auseinander. Ist hiebei ein Körper zuerst in Ruhe, also im
ersten Falle ~v₁~ = 0, so ist ~c₁ = v₂~, ~c₂~ = 0, d. h. es kommt der
zweite, stoßende Körper in Ruhe, und der erste geht mit dessen
Geschwindigkeit fort.
Stößt ein Körper gegen eine feste Wand, so kann man deren Masse als
unendlich groß ansehen, also etwa im ersten Fall ~m₁ = ∞~, ~v₁~ = 0
setzen; um die Werte von ~c₁~ und ~c₂~ zu finden, dividiere man Zähler
und Nenner mit ~m₁~, setze dann ~m₁ = ∞~, also
1
~-- = 0~,
m₁
so wird ~c₁~ = 0, ~c₂~ = -~v~; der Körper ~m₂~ geht also von der Wand
mit derselben Geschwindigkeit wieder zurück.
Sind die Massen nicht vollständig elastisch, so geschieht die Ausbiegung
der getroffenen Stellen nicht vollständig und nicht mit derselben Kraft
wie die Einbiegung, es sind also auch die Geschwindigkeitsänderungen
während des Ausbiegens kleiner als die beim Einbiegen.