g t²
~#v = g t (I), s = ---- (II)#~
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[Abbildung: Fig. 351.]
enthalten die ^Fallgesetze^ und wir betrachten jetzt, wie sie ihr
berühmter Entdecker ^Galilei^ gefunden und bewiesen hat. Der ^schiefe
Turm zu Pisa^ gab ihm Gelegenheit, zu untersuchen, von welcher Höhe er
eine Bleikugel fallen lassen müsse, damit sie nach einer oder nach zwei
oder nach drei Sekunden zu Boden fällt, und er fand, daß die Höhe bei
zwei Sekunden 4 mal, bei drei Sekunden 9 mal so groß sein muß wie bei
einer Sekunde: ^die Fallhöhen verhalten sich wie die Quadrate der
Zeiten^ (~II~). Hieraus das Fallgesetz ahnend, untersuchte er es durch
den Fall auf der schiefen Ebene: Er nahm eine lange Holzrinne, mit
glattem Pergament ausgekleidet, neigte sie etwas (schiefe Ebene) und
ließ Elfenbeinkugeln herabrollen. Hiebei ist die Masse der Kugel
dieselbe wie beim freien Falle, aber während beim freien Falle die ganze
Schwerkraft auf die Masse bewegend wirkt, ^wirkt auf der schiefen Ebene
bloß die parallel der schiefen Ebene wirkende Komponente^ ~P = Q · sin
α~ bewegend. Diese ist aber kleiner (~sin α~ mal größer), deshalb bringt
diese Kraft auch eine kleinere Beschleunigung hervor (eine ~sin α~ mal
größere Beschleunigung). Die Bewegung ist also auch eine gleichförmig
beschleunigte Bewegung, nur statt ~g~ steht überall ~g · sin α~; so fand
Galilei, daß stets der Weg ~s~ ausdrückbar war durch
t²
~s = g · sin α · --~,
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wie er auch die Neigung ~α~, die Zeit ~t~ oder den Weg ~s~ veränderte.
So fand und bewies Galilei nicht bloß das Gesetz vom freien Falle,
sondern auch das vom Falle auf der schiefen Ebene; bei letzterer ist
also die Beschleunigung = ~#g sin α#~, demnach ~#v = g t · sin α#~, und
~#s = ½ g t² · sin α#~.
Die ^Atwoodsche Fallmaschine^ (1784) besteht aus einer vertikalen Säule,
auf welcher oben eine sehr leicht ^drehbare leichte Rolle^ angebracht
ist; um sie ist ein Faden gelegt, an dessen Enden cylindrische Gewichte
von etwa je 200 _g_ hängen; diese halten sich das Gleichgewicht. Legt
man auf ein Gewicht ein Übergewicht etwa von 10 _g_, so sinkt dieses,
während das andere steigt; aber diese Bewegung ist sehr langsam. Würde
man nämlich das Übergewicht, 10 _g_, frei fallen lassen, so würde die
Kraft von 10 _g_ dazu verwendet werden, um eine Mass von 10 _g_ in
Bewegung zu setzen, das gäbe die Beschleunigung ~g~ = 10 _m_. Liegen
aber die 10 _g_ Übergewicht auf dem einen Gewichte, so wird nun die
Kraft von 10 _g_ dazu verwendet, um die Masse von 410 _g_ in Bewegung zu
setzen, also eine 41 mal größere Masse; ^deshalb bekommt diese 41 mal
größere Masse auch nur eine 41 mal kleinere Beschleunigung^, ~g′~ =
¹⁰/₄₁ _m_, ^macht also eine verhältnismäßig langsame Bewegung^. Man
bringt ein passendes Übergewicht an und untersucht, ob die Fallräume dem
Gesetz entsprechen; man macht mehrere Versuche mit verschiedenen
Übergewichten, wohl auch mit verschiedenen Massen, und findet, daß auch
diese Bewegungen dem Gesetz entsprechen.
Mit diesem Apparat kann man auch die Richtigkeit des ersten Gesetzes ~v
= g t~ beweisen durch Messung der Endgeschwindigkeiten. Man gibt dem
Übergewichte die Form eines Stäbchens, das horizontal auf das Gewicht
gelegt wird, so daß seine Enden herausragen; man beobachtet dann, wie
weit das Gewicht in einer Sekunde heruntersinkt, und bringt an dieser
Stelle einen Ring an, der das Gewicht durchgehen läßt, das herausragende
Übergewicht aber auffängt. Die Gewichte bewegen sich dann mit der ihnen
eigentümlichen Geschwindigkeit weiter, ohne daß die Schwerkraft an ihnen
beschleunigend wirkt, sie legen also in den folgenden Sekunden Räume
zurück, die der Endgeschwindigkeit der ersten Sekunde entsprechen. Man
mißt diese Räume und findet so das Gesetz der Endgeschwindigkeit
bestätigt. Wenn etwa das Gewicht in der ersten Sekunde 12 _cm_
zurücklegt (~s₁~ = ½ · 24 · 1²), so findet man, daß es, vom Übergewichte
befreit, in jeder folgenden Sekunde 24 _cm_ zurücklegt (~v₁~ = 24 · 1).
Hat es in den ersten zwei Sekunden 48 _cm_ zurückgelegt (~s₂~ = 24 · 2²)
so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden
Sekunde 48 _cm_ zurücklegt (~v₂~ = 24 · 2) u. s. f.
Bei der Wirkung einer konstanten Kraft, also auch beim freien Falle, ist
die ^Beschleunigung konstant^, d. h. der Geschwindigkeitszuwachs ist in
gleichen Zeiten gleich groß. ^Die Endgeschwindigkeit ist proportional
der Zeit^ (~v = g t~), ^und der Weg oder die Fallhöhe ist proportional
dem Quadrate der Zeit^ (~s~ = ½ · ~g t~²). Aus beiden Gleichungen
folgt: ~v = √(2 g s)~, #die Endgeschwindigkeit ist proportional der
Quadratwurzel der Fallhöhe# (und proportional der Quadratwurzel aus der
Beschleunigung).
Aufgaben:
#181.# Wie lange braucht ein Körper, um eine Höhe von 68 _m_ (274 _m_)
zu durchfallen, und welche Endgeschwindigkeit erlangt er?
#182.# Mit welcher Endgeschwindigkeit kommt das Wasser am Fuße eines 23
_m_ hohen Wasserfalles, oder einer 2,4 _m_ hohen Schleuse an?
#183.# Von welcher Höhe muß ein Körper herunterfallen, um eine
Endgeschwindigkeit von 1 _m_ (30 _m_, 50 _m_) zu erlangen?