Wenn ~Q~ und die Hebelarme bekannt sind, so kann ich aus diesen drei
Gleichungen nacheinander die unbekannten ~P′~, ~P′′~, ~P~ berechnen;
wenn nur ~P~ gefunden werden soll, so kann man durch Multiplikation der
drei Gleichungen sofort erhalten:
~Q : P = b b′ b′′ : a a′ a′′~.
Nennen wir die der Kraft ~P~ zugewendeten Hebelarme ~b~, ~b′~, ~b′′~ die
Kraftarme, die anderen die Lastarme, so heißt dieser Satz: #Der
zusammengesetzte Hebel ist im Gleichgewichte, wenn sich die Last zur
Kraft verhält wie das Produkt aller Kraftarme zum Produkt aller
Lastarme#; oder wenn:
~Q · a a′ a′′ = P · b b′ b′′~, d. h. ^wenn die Last mal allen Lastarmen
gleich ist der Kraft mal allen Kraftarmen^. Das Gesetz gilt ebenso, wenn
man eine andere Anzahl als drei Hebel nimmt. Der Kraftgewinn
Q
~-~
P
ist aus obiger Gleichung:
Q b b′ b′′ b b′ b′′
~- = -------- = - · -- · ---~;
P a a′ a′′ a a′ a′′
aber
b
~-~
a
ist der Kraftgewinn des ersten Hebels,
b′
~--~
a′~
der des zweiten,
b′′
~---~
a′′
der des dritten; also #der Kraftgewinn des zusammengesetzten Hebels ist
gleich dem Produkte der Kraftgewinne der einzelnen Hebel#. Man kann
einen tausendfachen Kraftgewinn erzielen, wenn man drei Hebel
zusammensetzt, deren jeder einen zehnfachen Kraftgewinn hat; ^man kann
also großen Kraftgewinn erzielen, ohne daß die einzelnen Hebel
unpraktische Verhältnisse bekommen^.
Man macht von dem zusammengesetzten Hebel auch eine wichtige Anwendung,
^um eine kleine, kaum sichtbare, nicht meßbare Bewegung in eine größere,
deutlich sichtbare, gut meßbare zu verwandeln^; denn auch die Wege,
welche ~Q~ und ~P~ beim Drehen zurücklegen, verhalten sich wie: ~a a′
a′′ : b b′ b′′~. Wenn also das Ende von ~a~ nur eine ganz kleine
Bewegung macht, so macht das von ~b′′~ eine viel größere. Eine solche
Vorrichtung nennt man dann #Fühlhebel#, wie beim Aneroidbarometer und
beim Muschenbrookschen Apparat.
[Abbildung: Fig. 325.]
Wir betrachten die Arbeiten, welche die zwei an einem Hebel angreifenden
Kräfte verrichten. Da die Kräfte sich verhalten umgekehrt wie die
Hebelarme
~P : Q = b : a~
und die Kraftwege sich verhalten gerade so wie die Hebelarme
(Weg ~P~) : (Weg ~Q~) = ~a : b~,
so folgt durch Multiplikation beider Proportionen:
~P~ · (Weg ~P~) = ~Q~ · (Weg ~Q~).
Da aber Kraft mal Weg das Maß der Arbeit ist, so heißt das: #die Arbeit
der Kraft ist gleich der Arbeit der Last#.
Da beim zusammengesetzten Hebel ebenso ist:
~P : Q = a · a′ · a′′ : b · b′ · b′′~ (Fig. 324)
und die Kraftwege sich verhalten, wie die Produkte der Hebelarme
(Weg ~P~) : (Weg ~Q~) = ~b · b′ · b′′ : a · a′ · a′′~,
so folgt durch die Multiplikation beider Proportionen
~P~ · (Weg ~P~) = ~Q~ · (Weg ~Q~), d. h. #auch beim zusammengesetzten
Hebel ist die Arbeit der Kraft gleich der Arbeit der Last#.
Dieser Satz von der ^Gleichheit der Arbeit^ findet sich bei allen
Maschinen bestätigt, ^Gesetz der Maschinen^; es ist derselbe Satz, den
wir früher die ^goldene Regel der Mechanik^ genannt haben.
Aufgabe:
#162.# Bei einem dreifach zusammengesetzten Hebel gibt der erste Hebel
einen 5 fachen, der zweite einen 6 fachen, der dritte einen 2½ fachen
Kraftgewinn. Welche Last kann durch eine Kraft von 12 _kg_ gehoben
werden?