(Kraft) = (träge Masse) . (Beschleunigung),
wobei die „träge Masse“ eine charakteristische Konstante des
beschleunigten Körpers ist. Ist nun die beschleunigende Kraft die
Schwere, so ist andererseits
(Kraft) = (schwere Masse) . (Intensität des Schwerefeldes),
wobei die „schwere Masse“ ebenfalls eine für den Körper
charakteristische Konstante ist. Aus beiden Relationen folgt:
(Beschleunigung) = (schwere Masse) / (träge Masse) . (Intensität des
Schwerefeldes)
Soll nun, wie die Erfahrung ergibt, bei gegebenem Schwerefelde die
Beschleunigung unabhängig von der Natur und dem Zustande des Körpers
stets dieselbe sein, so muß das Verhältnis der schweren zur trägen
Masse ebenfalls für alle Körper gleich sein. Man kann also dies
Verhältnis bei passender Wahl der Einheiten zu 1 machen; dann gilt der
Satz: Die +schwere+ und die +träge+ Masse eines Körpers sind einander
gleich.
Die bisherige Mechanik hat diesen wichtigen Satz zwar +registriert+,
aber nicht +interpretiert+. Eine befriedigende Interpretation kann nur
so zustande kommen, daß man einsieht: +Dieselbe+ Qualität des Körpers
äußert sich je nach Umständen als „Trägheit“ oder als „Schwere“.
Inwiefern dies tatsächlich der Fall ist, und wie diese Frage mit dem
allgemeinen Relativitätspostulat zusammenhängt, wird im nächsten
Paragraphen dargelegt werden.
§ 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das
allgemeine Relativitätspostulat.
Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von
Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit
den Fall vor uns haben, der im +Galilei+schen Grundgesetz vorgesehen
ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen +Galilei+schen
Bezugskörper zu wählen, relativ zu dem ruhende Punkte ruhend bleiben,
bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharren. Als
Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen Kasten von der Gestalt
eines Zimmers; darin befinde sich ein mit Apparaten ausgestatteter
Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine Schwere. Er muß sich mit
Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht beim leisesten Stoß gegen
den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers entschweben will.
In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und
an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter
Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in
gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine
Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen —
falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an
dem nicht mit einem Stricke gezogen wird.
Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung
des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn
übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen,
wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er
steht dann im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses
auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in
der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens
nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter
Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird sich
ferner überzeugen, +daß die Beschleunigung des Körpers gegen den Boden
immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den Versuch
ausführen mag+.
Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom
Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu
dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich
konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick
verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht
falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an
demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem
Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei.
Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit
seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht,
wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben,
daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die
bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten,
wenn er auch gegen den zuerst betrachteten „+Galilei+schen Raum“
beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten
Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander
beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein
verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen.
Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der
fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern
dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf
dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies
Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten
das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die Voraussetzung
eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner
Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“
vorauszusetzen.
Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein
Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt
werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir
fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten
wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine
Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht
gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die
+schwere Masse+ des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber ein
Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen: „Das
Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens mitzumachen
und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die Seilspannung
ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren gerade zu
bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im Seile ist die
+träge Masse+ des Körpers.“ Wir sehen aus diesem Beispiele, daß unsere
Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz von der Gleichheit der
trägen und schweren Masse als +notwendig+ erscheinen läßt. Damit ist
eine physikalische Interpretation dieses Satzes gewonnen.
Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine
allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der
Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung
des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das
Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem
Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird.
Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das
zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man
könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes
stets eine nur +scheinbare+ sei. Man könnte denken, daß, was auch
immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, man immer einen
anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn +kein+
Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle
Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau.
So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen,
daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner
ganzen Ausdehnung) verschwindet.
Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip
am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl
richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter
infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran
die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand
zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens
zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein
Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber
(während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn
gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des
letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart,
daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit
immer mehr abnimmt.“
§ 21. Inwiefern sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und der
speziellen Relativitätstheorie unbefriedigend?
Wie schon mehrfach erwähnt, geht die klassische Mechanik von dem
Satze aus: Von anderen materiellen Punkten hinreichend entfernte
materielle Punkte bewegen sich geradlinig gleichförmig oder verharren
im Ruhezustande. Wir haben auch mehrfach hervorgehoben, daß das
Grundgesetz nur gültig sein kann für Bezugskörper _K_ von gewissen
ausgezeichneten Bewegungszuständen, welche relativ zueinander sich
in gleichförmiger Translationsbewegung befinden. Relativ zu anderen
Bezugskörpern _K_ gilt der Satz nicht. Sowohl in der klassischen
Mechanik wie in der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet man
demgemäß zwischen Bezugskörpern _K_, relativ zu denen die Naturgesetze
gültig sind, und zwischen Bezugskörpern _K_, relativ zu welchen die
Naturgesetze nicht gelten.
Mit dieser Sachlage kann sich aber kein konsequent denkender
Mensch zufrieden geben. Er fragt: „Wie ist es möglich, daß gewisse
Bezugskörper (bzw. deren Bewegungszustände) vor anderen Bezugskörpern
(bzw. deren Bewegungszuständen) ausgezeichnet sind? +Welches ist der
Grund für diese Bevorzugung?+“ Um deutlich zu zeigen, was ich mit
dieser Frage meine, will ich mich eines Vergleichs bedienen.
Ich stehe vor einem Gasherde. Auf demselben stehen nebeneinander
zwei Kochtöpfe, die einander zum Verwechseln ähnlich sind. Beide
sind zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Ich nehme wahr, daß aus dem
einen unaufhörlich Dampf entweicht, aus dem anderen nicht. Hierüber
wundere ich mich, auch wenn mir ein Gasherd und ein Kochtopf noch nie
zu Gesicht gekommen ist. Nehme ich nun unter dem ersteren Kochtopfe
ein bläulich leuchtendes Etwas wahr, unter dem letzteren nicht,
so schwindet meine Verwunderung auch dann, wenn ich noch nie eine
Gasflamme wahrgenommen habe. Denn ich kann nur sagen, daß dieses
bläuliche Etwas das Entweichen des Dampfes verursachen wird, oder
wenigstens +möglicherweise+ verursacht. Nehme ich aber bei keinem Topfe
das bläuliche Etwas wahr, und sehe ich, daß der eine unaufhörlich
dampft, der andere nicht, so bin ich so lange verwundert und
unbefriedigt, bis ich irgendeinen Umstand wahrgenommen habe, den ich
für das verschiedene Verhalten beider Töpfe verantwortlich machen kann.
Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen
Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich
das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen _K_
und _K′_ zurückführen könnte[12]. Diesen Mangel fühlte schon +Newton+
und suchte ihn vergeblich zu entkräften. Am klarsten hat ihn aber E.
+Mach+ erkannt und seinetwegen gefordert, daß die Mechanik auf eine
neue Grundlage gestellt werden müsse. Dieser Einwand läßt sich nur
durch eine Physik vermeiden, welche dem allgemeinen Relativitätsprinzip
entspricht. Denn die Gleichungen einer solchen Theorie gelten für jeden
Bezugskörper, in was für einem Bewegungszustande derselbe auch sein mag.
§ 22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip.
Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine
Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem
Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich
der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, so wie
er sich im +Galilei+schen Gebiete relativ zu einem +Galilei+schen
Bezugskörper _K_ abspielt. Dann kann man durch rein theoretische
Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, wie sich dieser
bekannte Naturvorgang von einem relativ zu _K_ beschleunigten
Bezugskörper _K′_ aus ausnimmt. Da aber relativ zu diesem neuen
Bezugskörper _K′_ ein Gravitationsfeld existiert, so erfährt man bei
der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den studierten Vorgang
beeinflußt.
So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber _K_
eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem
+Galilei+schen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper _K′_
(Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige Bewegung
ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem Einfluß
des relativ zu _K′_ herrschenden Gravitationsfeldes auf den bewegten
Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die Bewegung
der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung nichts
prinzipiell Neues liefert.
Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn
man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt.
Gegenüber dem +Galilei+schen Bezugskörper _K_ pflanzt sich dieser in
gerader Linie mit der Geschwindigkeit _c_ fort. In bezug auf den
beschleunigten Kasten (Bezugskörper _K′_) ist, wie leicht abzuleiten
ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine Gerade mehr. Hieraus
ist zu schließen, +daß sich Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern im
allgemeinen krummlinig fortpflanzen+. Dies Ergebnis ist in zweifacher
Hinsicht von großer Wichtigkeit.
Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden.
Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der
Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für
die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur
äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der
Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich
dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne,
welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich
sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen
gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne
an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens
oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster
Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen
dürfen.
Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen
Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der
Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen
der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit
beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur
dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit
dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz
die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie
überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht
zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie
kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse
gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder
auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann.
Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben,
die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine
Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen
Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der
Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik für
die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen wir,
daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie streng
realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen Massen
relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. Ist deshalb
die Elektrostatik durch +Maxwell+s Feldgleichungen der Elektrodynamik
über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die Elektrostatik ist als
Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die Gesetze der letzteren
führen direkt auf die ersteren in dem Falle, daß die Felder zeitlich
unveränderlich sind. Es ist das schönste Los einer physikalischen
Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den
Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt.
Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir
gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand
setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen
auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des
Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste
Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den
Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das
Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.
Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des
Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete,
in denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches
Gebiet auf einen beliebig bewegten Bezugskörper _K′_, so ist in bezug
auf _K′_ ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld
vorhanden[13]. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon
ab, wie wir die Bewegung von _K′_ wählen. Das allgemeine Gesetz des
Gravitationsfeldes muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie für
alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun auch
keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden
können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern
spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu
können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen!
Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen
desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen
Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief
im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der
Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.
§ 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden
Bezugskörper.
Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische
Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle
der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer
gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen
Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und
verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen;
ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und
das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.
Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen
aus. Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu
einem Bezugskörper _K_ von passend gewähltem Bewegungszustande kein
Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet
ist dann _K_ ein +Galilei+scher Bezugskörper, und es gelten relativ
zu _K_ die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. Dasselbe
Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper _K′_ bezogen,
welcher relativ zu _K_ gleichförmig rotiert. Um die Vorstellung zu
fixieren, denken wir uns _K′_ in Gestalt einer ebenen Kreisscheibe,
welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene gleichmäßig rotiere. Ein
exzentrisch auf der Kreisscheibe _K′_ sitzender Beobachter empfindet
eine Kraft, die in radialer Richtung nach außen wirkt, und welche von
einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper _K_ ruhenden Beobachter
als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der
Scheibe sitzende Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“
Bezugskörper auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen
Relativitätsprinzips berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ
zur Scheibe ruhende Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines
Gravitationsfeldes auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung
dieses Schwerefeldes eine solche, wie sie nach +Newton+s Theorie der
Gravitation nicht möglich wäre[14]. Aber da der Beobachter an die
allgemeine Relativität glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit
Recht, daß ein allgemeines Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse,
welches nicht nur die Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm
wahrgenommene Kraftfeld richtig erklärt.
Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren
und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte
Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in
bezug auf die Kreisscheibe _K′_ zu erhalten. Was wird er dabei für
Erfahrungen machen?
Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die
eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie
derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen
uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt
des nicht rotierenden +Galilei+schen Bezugskörpers _K_. Von diesem
aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit,
während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu
_K_ in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die
letztere Uhr von _K_ aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr in
der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann auf
der Kreisscheibe konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte der
Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf
unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird
also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in
welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition
der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten
Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich,
wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier
anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.
Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst
unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen
Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an
der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom
+Galilei+schen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper
nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er
dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so erfährt
er, von _K_ aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der Beobachter also
zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem
Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, so findet
er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., sondern eine
größere Zahl, während sich auf einer relativ zu _K_ ruhenden Scheibe
bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben müßte. Damit ist bereits
bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen Geometrie auf der rotierenden
Scheibe und damit überhaupt in einem Gravitationsfelde nicht genau
gelten können, wenigstens wenn man dem Stäbchen überall und in jeder
Orientierung die Länge 1 zuschreibt. Auch der Begriff der geraden
Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir sind deshalb nicht in der
Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten _x_, _y_, _z_ nach der in
der speziellen Relativität benutzten Methode exakt zu definieren.
Solange jedoch Koordinaten und Zeiten der Ereignisse nicht definiert
sind, haben auch Naturgesetze, in welchen diese vorkommen, keine exakte
Bedeutung.
Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine
Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat
bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen
Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die
folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.
§ 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum.
Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von
irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen,
indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“
Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt
gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter
„Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender
Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus,
indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum.
Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der
Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien.
Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung
gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der
Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden,
dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der
Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies
Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen
gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich
ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede
Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten
gehört.
Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten
Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur
an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate
zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie
die beiden anderen Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch
schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr
zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von
selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der
Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder
müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll.
Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die
Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das
benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als
„Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug
auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche
nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele
darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins
Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die
„Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die
gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“.
Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen
wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen
sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte
werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer
Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht
werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig
in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der
Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht.
Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist
die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind
auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische
Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr
durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die
Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder
überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer natürlichen
Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein
„Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise
durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von
Strecken.
Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in
+gleicher+ Weise temperaturempfindlich verhalten auf der verschieden
temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes Mittel, die
Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische Verhalten
der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen, so könnte
es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die Entfernung
1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen mit
ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die
krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die
Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere
ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für
starre Körper nicht voraussetzt[15]. Der Leser bemerkt, daß die hier
geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine
Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23).
§ 25. Gaußsche Koordinaten.
[Illustration: Fig. 3.]
Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach +Gauß+
folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte ein
System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die wir als
_u_-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl bezeichnen. In der
Zeichnung sind die Kurven _u_ = 1, _u_ = 2 und _u_ = 3 gezeichnet.
Zwischen den Kurven _u_ = 1 und _u_ = 2 sind aber noch unendlich viele
eingezeichnet zu denken, welche allen reellen Zahlen entsprechen,
die zwischen 1 und 2 liegen. Es liegt dann ein System von _u_-Kurven
vor, welche unendlich dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine
_u_-Kurve soll eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der
Tischplatte eine und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der
Oberfläche der Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter _u_-Wert.
Ebenso sei auf die Fläche ein System von _v_ Kurven gezeichnet, die
denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen
versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es gehört
dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein _u_-Wert und ein _v_-Wert,
welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte nennen
(+Gauß+sche Koordinaten). Der Punkt _P_ der Figur hat beispielsweise
die +Gauß+schen Koordinaten _u_ = 3; _v_ = 1. Zwei benachbarten Punkten
_P_ und _P′_ auf der Fläche entsprechen dann die Koordinaten
_P: u; v_
_P′: u + du, v + dv_,
wobei _du_ und _dv_ sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit einem Stäbchen
gemessene Abstand von _P_ und _P′_ sei die ebenfalls sehr kleine Zahl
_ds_. Dann ist nach +Gauß+:
_ds²_ = _g₁₁ du²_ + _2g₁₂ du dv_ + _g₂₂ dv²_,
wobei _g₁₁_, _g₁₂_, _g₂₂_ Größen sind, die in ganz bestimmter Weise
von _u_ und _v_ abhängen. Die Größen _g₁₁_, _g₁₂_ und _g₂₂_ bestimmen
das Verhalten der Stäbchen relativ zu den _u_-Kurven und _v_-Kurven,
also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die
Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein
Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die
_u_-Kurven und _v_-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu versehen,
daß einfach
ds² = du² + dv²
wird. Dann sind die _u_-Kurven und _v_-Kurven gerade Linien im Sinne
der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht stehen. Dann
sind die +Gauß+schen Koordinaten einfach Kartesische. Man sieht, daß
die +Gauß+schen Koordinaten weiter nichts sind als eine Zuordnung je
zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, derart, daß
räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene Zahlenwerte
zugeordnet sind.
Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei
Dimensionen. Aber die +Gauß+sche Methode läßt sich auch auf ein
Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt z. B.
ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende
Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen
_x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ zugeordnet, welche „Koordinaten“ genannt werden.
Benachbarten Punkten entsprechen benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun
benachbarten Punkten _P_ und _P′_ ein durch Messungen ermittelbarer,
physikalisch wohldefinierter Abstand _ds_ zugeordnet, so gilt eine
Formel:
_ds²_ = _g₁₁ dx₁²_ + _2 g₁₂ dx₁ dx₂_ ... + _g₄₄ dx₄²_ ,
wobei die Größen g₁₁ usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum
variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist,
ist es möglich, die Koordinaten _x₁_···_x₄_ den Punkten des
Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach
_ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_
wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen,
welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.
Die angegebene +Gauß+sche Darstellung für _ds²_ ist übrigens nicht
immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete des
betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen
lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte
und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil
der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische
Verhalten der Stäbchen also +beinahe+ ein solches, wie es gemäß den
Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten der
Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich
zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über einen
beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.
Zusammenfassend können wir also sagen: +Gauß+ hat eine Methode zur
mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen
Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. Jedem
Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (+Gauß+sche Koordinaten)
zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die Zuordnung erfolgt
so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß
benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (+Gauß+sche
Koordinaten) zugeordnet werden. Das +Gauß+sche Koordinatensystem ist
eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen Koordinatensystems.
Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua anwendbar, allerdings nur
dann, wenn kleine Teile des betrachteten Kontinuums mit Bezug auf
das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto größerer Annäherung
Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des
Kontinuums ist.
§ 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie
als Euklidisches Kontinuum.
Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken
+Minkowski+s etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen
Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen,
vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt, die
wir „+Galilei+sche Koordinatensysteme“ genannt haben. Für sie sind die
vier Koordinaten _x_, _y_, _z_, _t_, welche ein Ereignis oder — anders
ausgedrückt — einen Punkt des vierdimensionalen Kontinuums bestimmen,
in einfacher Weise physikalisch definiert, wie im ersten Teile dieses
Büchleins ausführlich dargelegt ist. Für den Übergang von einem
+Galilei+schen System zu einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig
bewegten gelten die Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche
die Basis für die Ableitung der Konsequenzen der speziellen
Relativitätstheorie bilden und ihrerseits weiter nichts sind als der
Ausdruck der universellen Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für
alle +Galilei+schen Bezugssysteme.
+Minkowski+ fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden einfachen
Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse betrachtet,
deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum durch die
räumlichen Koordinatendifferenzen _dx_, _dy_, _dz_ und die zeitliche
Differenz _dt_ bezüglich eines +Galilei+schen Bezugskörpers _K_ gegeben
seien. Bezüglich eines zweiten +Galilei+schen Systems seien die
analogen Differenzen für diese beiden Ereignisse _dx′_, _dy′_, _dz′_,
_dt′_. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung:
_dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_ = _dx′²_ + _dy′²_ + _dz′²_ −
_c²_ _dt′²_.
Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur
Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten
Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe
_ds²_ = _dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_
hat für alle bevorzugten (+Galilei+schen) Bezugskörper denselben Wert.
Ersetzt man _x_, _y_, _z_, sqrt(−1) _ct_ durch _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_,
so erhält man auch das Resultat, daß
_ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_
von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist. Die Größe _ds_ nennen
wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen Punkte.
Wählt man also die imaginäre Variable sqrt(−1) _ct_ statt des reellen
_t_ als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche Kontinuum
gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein „Euklidisches“
vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den Darlegungen des
letzten Paragraphen hervorgeht.
§ 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie
ist kein Euklidisches Kontinuum.
Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher
Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte
physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach §
26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen.
Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine
Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu
dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit
stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld
vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel,
daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der
Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen
Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat.
Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der
Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das
raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden
kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für
das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler
Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus
gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren,
so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System
(Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest
angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist
das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat.
Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese
Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen das vierdimensionale
raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf +Gauß+sche
Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir
vier Zahlen _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ (Koordinaten) zu, die gar keine
unmittelbare physikalische Bedeutung besitzen, sondern nur dazu
dienen, die Punkte des Kontinuums in bestimmter, aber willkürlicher
Weise zu numerieren. Solche Koordinaten legen wir der Beschreibung der
physikalischen Vorgänge zugrunde. Bei dieser Zuordnung ist zwischen
„räumlicher“ und „zeitlicher“ Ausdehnung nicht unterschieden, so daß
man nicht mehr die Koordinaten _x₁_, _x₂_, _x₃_ als „räumliche“, die
Koordinaten _x₄_ als „zeitliche“ unterscheiden kann.
Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt
gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis
die bestimmten Koordinaten _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ zuschreibe, wenn
diese Koordinaten selbst nichts bedeuten? Bei genauerer Überlegung
zeigt sich jedoch, daß diese Sorge nicht begründet ist. Betrachten
wir z. B. einen beliebig bewegten materiellen Punkt! Hätte derselbe
nur eine momentane Existenz ohne Dauer, so wäre er raum-zeitlich
beschrieben durch ein einziges Wertsystem _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_.
Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl
von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte
sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine
(eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten
Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum.
Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische
Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über
Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in unserer
mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien, welche die
betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses System _x₁_,
_x₂_, _x₃_, _x₄_ von Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche
Begegnungen in Wahrheit die einzigen tatsächlichen Konstatierungen
zeit-räumlichen Charakters sind, die wir in physikalischen Aussagen
antreffen, wird der Leser nach eingehender Überlegung ohne Zweifel
zugeben.
Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu
einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die
Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers.
Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die
Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit
Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von
Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch
Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt.
Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine
Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz
zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich in
+Gauß+schen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier Koordinaten
_x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen
Kontinuums durch +Gauß+sche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die
Beschreibung mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den
Mängeln der letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an
den Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.
§ 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips.
Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung
des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen.
Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper _K_, _K′_ usw. sind für
die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze)
gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag“, läßt sich
nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von starren Bezugskörpern
bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne der bei der speziellen
Relativitätstheorie befolgten Methode im allgemeinen nicht möglich ist.
An die Stelle des Bezugskörpers hat das +Gauß+sche Koordinatensystem
zu treten. Dem Grundgedanken des allgemeinen Relativitätsprinzips
entspricht die Aussage: „+Alle Gaußschen Koordinatensysteme sind
für die Formulierung der allgemeinen Naturgesetze prinzipiell
gleichwertig.+“
Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen
Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße
Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der
speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze
ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man
statt der Raum-Zeit-Variabeln _x_, _y_, _z_, _t_ eines (+Galilei+schen)
Bezugskörpers _K_ unter Benutzung der Lorentz-Transformation die
Raum-Zeit-Variabeln _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ eines neuen Bezugskörpers
_K′_ einführt. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen
müssen die Gleichungen bei Anwendung +beliebiger Substitutionen+
der +Gauß+schen Variabeln _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ in Gleichungen
derselben Form übergehen; denn jede Transformation (nicht nur die
Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines +Gauß+schen
Koordinatensystems in ein anderes.
Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht
verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken
der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt
charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich
auf +Galilei+sche Gebiete, d. h. auf solche, in welchen kein
Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein
+Galilei+scher Bezugskörper, d. h. ein starrer Körper von so gewähltem
Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der +Galilei+sche Satz von der
gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“ materieller Punkte gilt.
Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben +Galilei+schen Gebiete
auch auf Nicht-+Galilei+sche Bezugskörper zu beziehen. Relativ zu
diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art vorhanden (§ 20
und § 23).
Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in
Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers
versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der
Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine
physikalische Zeitdefinition direkt mit Hilfe von Uhren durchaus nicht
jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie.
Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als
Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung
beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen
Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man
sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt
zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß
die gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren
unendlich wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper,
den man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte,
ist im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen +Gauß+schen
vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem
+Gauß+schen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt, ist
die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz der
räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt der
Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm ruhende
materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske als
Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip
fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem
Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als
Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der
Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein.
In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen
auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen
Relativitätsprinzip innewohnt.
§ 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen
Relativitätsprinzips.
Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet
ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden
Methoden keine Schwierigkeiten mehr.
Wir gehen aus von der Betrachtung eines +Galilei+schen Gebietes, d. h.
eines solchen, in welchem relativ zum +Galilei+schen Bezugskörper _K_
kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten von Maßstäben und Uhren
in bezug auf _K_ ist aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt,
ebenso das Verhalten von „isolierten“ Massepunkten; letztere bewegen
sich geradlinig und gleichförmig.
Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges +Gauß+sches
Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper _K′_.
In bezug auf _K′_ besteht dann ein Gravitationsfeld _G_ (besonderer
Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten von
Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten in
bezug auf _K′_. Dies Verhalten interpretiert man als das Verhalten
von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung des
Gravitationsfeldes _G_. Man führt hierauf die Hypothese ein, daß
die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei
bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor
sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld +nicht+ durch
bloße Koordinatentransformation aus dem +Galilei+schen Spezialfall
ableiten läßt.
Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem
+Galilei+schen Spezialfall durch bloße Transformation der Koordinaten
abgeleiteten Gravitationsfeldes _G_ und formuliert dies Verhalten
durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur Beschreibung
benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag.
Dies Gesetz ist noch nicht das +allgemeine+ Gesetz des
Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld _G_ von
spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der
Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen
Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter
Berücksichtigung der folgenden Forderungen:
a) Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem allgemeinen
Relativitätspostulat genügen.
b) Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so ist für
deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß § 15
allein deren Energie maßgebend.
c) Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem Gesetz von der
Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen.
Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß
des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu
ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes
nach bekannten Gesetzen ablaufen, d. h. in den Rahmen der speziellen
Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im
Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei
bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist.
Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete
Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus,
sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher
der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das
Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse,
sondern sie hat auch schon ein Beobachtungsergebnis der Astronomie
erklärt, dem gegenüber die klassische Mechanik versagt.
Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder
als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit
Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen
die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die
+Newton+sche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich also
hier ohne besondere Annahme, während +Newton+ die dem Quadrat der
Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt proportionale
Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert man die
Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der +Newton+schen
Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer Kleinheit fast alle noch
der Beobachtung entziehen müssen.
Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen.
Nach der +Newton+schen Theorie bewegt sich ein Planet um die Sonne
in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage ewig
beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten auf den
betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne abgesehen
werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete Bewegung der
Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn des Planeten eine
gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn +Newton+s Theorie
genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf den der Sonne nächsten
Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter Genauigkeit prüfbare
Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche die heute erreichbare
Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet. Vom Planeten Merkur aber
wissen wir seit +Leverrier+, daß die Ellipse seiner im obigen Sinne
korrigierten Bahn gegenüber den Fixsternen nicht feststeht, sondern,
wenn auch ungeheuer langsam, in der Ebene der Bahn im Sinne der
Umlaufbewegung rotiert. Für diese Rotationsbewegung der Bahnellipse
ergab sich ein Betrag von 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher
Betrag bis auf wenige Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung
dieser Erscheinung nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter
Zugrundelegung von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig
wahrscheinlichen Hypothesen.
Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede
Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig
rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur
zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit
festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro
Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung verlangt.
Außerdem haben aus der Theorie bisher nur zwei Konsequenzen gezogen
werden können, die sich nicht wegen ihrer Kleinheit der Beobachtung
entziehen müssen, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das
Gravitationsfeld der Sonne und eine Spektralverschiebung des von
großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde
in entsprechender Weise (d. h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten
Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenzen der
Theorie ihre Bestätigung finden werden.
[12] Der Einwand ist besonders dann von Gewicht, wenn der
Bewegungszustand des Bezugskörpers ein solcher ist, daß er zu
seiner Aufrechterhaltung keiner äußeren Einwirkung bedarf, z. B.
in dem Falle, daß der Bezugskörper gleichmäßig rotiert.
[13] Dies folgt durch Verallgemeinerung der Betrachtung des § 20.
[14] Das Feld verschwindet im Mittelpunkt der Scheibe und nimmt
proportional dem Abstand von diesem nach außen hin zu.
[15] Unser Problem ist den Mathematikern in folgender Form
entgegengetreten. Ist im Euklidischen, dreidimensionalen
Meßraume eine Fläche, z. B. ein Ellipsoid, gegeben, so gibt es
auf dieser Fläche eine zweidimensionale Geometrie, ebensogut
wie in der Ebene. +Gauß+ hat sich das Problem gestellt, diese
zweidimensionale Geometrie prinzipiell zu behandeln, ohne zu
benutzen, daß die Fläche einem Euklidischen Kontinuum von drei
Dimensionen angehört. Denkt man sich +in der Fläche+ mit starren
Stäbchen Konstruktionen ausgeführt (ähnlich wie vorhin auf der
Tischplatte), so gelten für diese andere Gesetze als gemäß der
Euklidischen Geometrie der Ebene. Die Fläche ist in bezug auf
die Stäbchen kein Euklidisches Kontinuum, und es lassen sich
+in der Fläche+ keine Kartesischen Koordinaten definieren.
+Gauß+ zeigte, nach welchen Prinzipien man die geometrischen
Verhältnisse in der Fläche behandeln kann, und wies damit
den Weg zu der +Riemann+schen Behandlung mehr-dimensionaler,
Nicht-Euklidischer Kontinua. So kam es, daß die Mathematiker die
formalen Probleme bereits seit langem gelöst haben, zu denen das
allgemeine Relativitätspostulat führt.