welche dem Additionstheorem gleichgerichteter Geschwindigkeiten nach
der Relativitätstheorie entspricht. Die Frage ist nun, welches von
diesen beiden Theoremen der Erfahrung gegenüber standhält. Hierüber
belehrt uns ein höchst wichtiges Experiment, welches der geniale
Physiker +Fizeau+ vor mehr als einem halben Jahrhundert ausführte, und
das seitdem von einigen der besten Experimentalphysiker wiederholt
wurde, so daß das Resultat unbezweifelbar ist. Das Experiment behandelt
folgende Frage. In einer ruhenden Flüssigkeit pflanze sich das Licht
mit einer bestimmten Geschwindigkeit _w_ fort. Wie rasch pflanzt es
sich in der Röhre _R_ der Figur
[Illustration]
in der Pfeilrichtung fort, wenn diese von der vorhin genannten
Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit _v_ durchströmt ist?
Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen
haben, daß +relativ zur Flüssigkeit+ die Lichtausbreitung immer mit
derselben Geschwindigkeit _w_ erfolgt, mag die Flüssigkeit relativ zu
anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also die Geschwindigkeit
des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die Geschwindigkeit der
letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht die Geschwindigkeit des
Lichtes relativ zur Röhre.
Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre
spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems _K_, die
Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems _K′_,
das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes bzw. des
bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also mit _W_ die
Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so ist diese durch die
Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die Galilei-Transformation
oder die Lorentz-Transformation der Wirklichkeit entspricht.
Das Experiment[9] entscheidet für die aus der Relativitätstheorie
abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der
Strömungsgeschwindigkeit _v_ auf die Lichtfortpflanzung wird nach den
letzten, ausgleichenden Messungen von +Zeemann+ durch die Formel (B)
genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt.
Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses
Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein
elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über
die elektromagnetische Struktur der Materie von +H. A. Lorentz+
gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des
Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie
keineswegs. Denn die +Maxwell-Lorentz+sche Elektrodynamik, auf welcher
die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz zur
Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik
herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und
Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf
welchen die Elektrodynamik aufgebaut war.
§ 14. Der heuristische Wert der Relativitätstheorie.
Der bisher dargelegte Gedankengang läßt sich wie folgt kurz
zusammenfassen. Die Erfahrung hat zu der Überzeugung geführt, daß
einerseits das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne) gelte und
daß andererseits die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im
Vakuum gleich einer Konstanten _c_ zu setzen sei. Durch Vereinigung
dieser beiden Postulate ergab sich das Transformationsgesetz für
die rechtwinkeligen Koordinaten _x_, _y_, _z_ und die Zeit _t_ der
Ereignisse, welche das Naturgeschehen zusammensetzen, und zwar ergab
sich nicht die Galilei-Transformation, sondern (abweichend von der
klassischen Mechanik) die Lorentz-Transformation.
In diesem Gedankengange spielte das Ausbreitungsgesetz des Lichtes
eine wichtige Rolle, dessen Annahme sich aus unserem tatsächlichen
Wissen rechtfertigt. Wir können aber, nachdem wir einmal im Besitz
der Lorentz-Transformation sind, diese mit dem Relativitätsprinzip
vereinigen und die Theorie in die Aussage zusammenfassen:
Jedes allgemeine Naturgesetz muß so beschaffen sein, daß es in
ein Gesetz von genau gleicher Fassung übergeht, wenn man statt
der Raum-Zeit-Variabeln _x_, _y_, _z_, _t_ des ursprünglichen
Koordinatensystems _K_ neue Raum-Zeit-Variable _x′_, _y′_, _z′_,
_t′_ eines Koordinatensystems _K′_ einführt, wobei der mathematische
Zusammenhang zwischen den gestrichenen und ungestrichenen
Größen durch die Lorentz-Transformation gegeben ist. Kurz
formuliert: Die allgemeinen Naturgesetze sind kovariant bezüglich
Lorentz-Transformationen.
Es ist dies eine bestimmte mathematische Bedingung, welche die
Relativitätstheorie einem Naturgesetze vorschreibt; dadurch wird
sie zu einem wertvollen heuristischen Hilfsmittel beim Aufsuchen
der allgemeinen Naturgesetze. Würde ein allgemeines Naturgesetz
aufgefunden, welches jener Bedingung nicht entspricht, so wäre
mindestens eine der beiden Grundvoraussetzungen der Theorie widerlegt.
Sehen wir nun zu, was letztere an allgemeinen Ergebnissen bisher
gezeitigt hat.
§ 15. Allgemeine Ergebnisse der Theorie.
Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle)
Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen
ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie
nicht viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d. h.
die Ableitung der Gesetze bedeutend vereinfacht und — was noch
ungleich wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen
Hypothesen, auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert.
Sie hat der +Maxwell-Lorentz+schen Theorie einen solchen Grad von
Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein
durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren
Gunsten gesprochen hätte.
Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der
Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen.
Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze
für rasche Bewegungen, bei welchen die Geschwindigkeiten _v_ der
Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind.
So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und
Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen
der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu
machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen
Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird
die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse _m_
nicht mehr durch den bekannten Ausdruck
m v²/2
gegeben, sondern durch den Ausdruck:
mc² / sqrt(1 − v²/c²).
Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit _v_
der Lichtgeschwindigkeit _c_ nähert. Es muß also die Geschwindigkeit
stets kleiner als _c_ bleiben, wie große Energien man auch auf die
Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den Ausdruck für die
kinetische Theorie in eine Reihe, so erhält man:
mc² + m v²/2 + 3/8 m v⁴/c² + ...
Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen
Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn v²/c² klein gegen
1 ist. Das erste Glied _mc²_ enthält die Geschwindigkeit nicht, kommt
also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage handelt, wie die
Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit abhängt. Über seine
prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen werden.
Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle
Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die
vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender
Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz
von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen
als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie
werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese
Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden.
Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der
Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems _K_ gelte, sondern
bezüglich eines jeden Koordinatensystems _K′_, das relativ zu _K_ sich
in gleichförmiger Translationsbewegung befindet (kurz gesagt, bezüglich
jedes „Galileischen“ Koordinatensystems). Für den Übergang zwischen
zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur klassischen Mechanik die
Lorentz-Transformation maßgebend.
Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen der
+Maxwell+schen Elektrodynamik kann man mit zwingender Notwendigkeit
durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgenden Schluß ziehen:
Ein mit der Geschwindigkeit _v_ fliegender Körper, der in Form von
Strahlung die Energie _E₀_ aufnimmt[10], ohne hierbei seine
Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme seiner Energie um
den Betrag:
E₀ / sqrt(1−v²/c²).
Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den
vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch:
(m + E₀ / c²) c² / sqrt((1−v²/c²).
Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der
Geschwindigkeit _v_ bewegter Körper von der Masse _m + E₀ / c²_. Man
kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie _E₀_ auf, so wächst
seine träge Masse um _E₀/c²_; die träge Masse eines Körpers ist keine
Konstante, sondern nach Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich.
Die träge Masse eines Körpersystems kann geradezu als Maß für seine
Energie angesehen werden. Der Satz von der Erhaltung der Masse eines
Systems fällt mit dem Satze von der Erhaltung der Energie zusammen und
gilt nur insoweit, als das System keine Energie aufnimmt und abgibt.
Schreibt man den Ausdruck für eine kinetische Energie in der Form
mc² + E₀ / sqrt(1−v²/c²)
so sieht man, daß die Form _mc²_, die uns schon vorhin auffiel, nichts
anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß[11], bevor
er die Energie _E₀_ aufgenommen hatte.
Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert
vorläufig daran, daß die Energieänderungen _E₀_, welche wir einem
System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich als Änderung
der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen. _E₀/c²_ ist zu klein
im Vergleich zu der Masse _m_, die vor der Energieänderung vorhanden
war. Auf diesem Umstande beruht es, daß ein Satz von der Erhaltung der
Masse von selbständiger Geltung mit Erfolg aufgestellt werden konnte.
Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der
+Faraday-Maxwell+schen Deutung der elektromagnetischen Fernwirkung
durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung
Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom
Typus des +Newton+schen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der
Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die
Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen
mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit _c_ in dieser
Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher Weise
dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert wird.
§ 16. Spezielle Relativitätstheorie und Erfahrung.
Die Beantwortung der Frage, inwieweit die spezielle Relativitätstheorie
durch die Erfahrung gestützt wird, ist nicht einfach zu beantworten aus
einem Grunde, der schon bei Gelegenheit des Fundamentalversuches von
+Fizeau+ erwähnt ist. Die spezielle Relativitätstheorie ist aus der
+Maxwell-Lorentz+schen Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen
auskristallisiert. Somit stützen alle Erfahrungstatsachen die
Relativitätstheorie, welche jene elektromagnetische Theorie stützen.
Ich erwähne hier als besonders wichtig, daß die Relativitätstheorie
in überaus einfacher Weise in Übereinstimmung mit der Erfahrung die
Einflüsse abzuleiten gestattet, welche das von den Fixsternen zu uns
gesandte Licht durch die Relativbewegung der Erde gegen jene Fixsterne
erfährt. Es ist dies die jährliche Wanderung des scheinbaren Ortes der
Fixsterne infolge der Erdbewegung um die Sonne (Aberration) und der
Einfluß der Radialkomponente der Relativbewegungen der Fixsterne gegen
die Erde auf die Farbe des zu uns gelangenden Lichtes; der letztere
Einfluß äußert sich in einer kleinen Verschiebung der Spektrallinien
des von einem Fixstern zu uns gelangenden Lichtes gegenüber der
spektralen Lage der gleichen, mit einer irdischen Lichtquelle erzeugten
Spektrallinie (+Doppler+sches Prinzip). Die experimentellen Argumente
zugunsten der +Maxwell-Lorentz+schen Theorie, welche alle zugleich
Argumente zugunsten der Relativitätstheorie sind, sind zu zahlreich,
um hier dargelegt zu werden. Sie engen tatsächlich die theoretischen
Möglichkeiten derart ein, daß sich keine andere Theorie als die
+Maxwell-Lorentz+sche der Erfahrung gegenüber hat behaupten können.
Zwei Klassen von bisher ermittelten experimentellen Tatsachen aber gibt
es, welche die +Maxwell-Lorentz+sche Theorie nur durch Hinzuziehung
einer Hilfshypothese darstellen kann, die an sich — d. h. ohne
Benutzung der Relativitätstheorie — befremdlich erscheint.
Es ist bekannt, daß die Kathodenstrahlen und die von radioaktiven
Substanzen ausgesandten sogenannten β-Strahlen aus negativ elektrischen
Körperchen (Elektronen) von sehr geringer Trägheit und großer
Geschwindigkeit bestehen. Dadurch, daß man die Ablenkung dieser
Strahlungen unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder
untersucht, kann man das Bewegungsgesetz dieser Körperchen sehr genau
studieren.
Bei der theoretischen Behandlung dieser Elektronen hat man mit der
Schwierigkeit zu kämpfen, daß die Elektrodynamik allein von ihrer Natur
keine Rechenschaft zu geben vermag. Denn da elektrische Massen eines
Vorzeichens sich abstoßen, müßten die das Elektron konstituierenden
negativen elektrischen Massen unter dem Einfluß ihrer Wechselwirkung
auseinander getrieben werden, wenn nicht noch Kräfte anderer Art
zwischen ihnen wirksam wären, deren Natur uns bisher dunkel ist.
Nimmt man nun an, daß die relativen Abstände der das Elektron
konstituierenden elektrischen Massen bei den Bewegungen des Elektrons
ungeändert bleiben (starre Verbindung im Sinne der klassischen
Mechanik), so gelangt man zu einem Bewegungsgesetz des Elektrons,
welches mit der Erfahrung nicht übereinstimmt. +H. A. Lorentz+ hat
als Erster, geführt durch rein formale Gesichtspunkte, die Hypothese
eingeführt, daß der Körper des Elektrons durch die Bewegung eine
Kontraktion in der Bewegungsrichtung erfahre, proportional dem Ausdruck
sqrt(1−v²/c²). Diese Hypothese, welche sich elektrodynamisch durch
nichts rechtfertigen läßt, liefert dann dasjenige Bewegungsgesetz,
welches die Erfahrung mit großer Präzision in den letzten Jahren
bestätigt hat.
Die Relativitätstheorie liefert dasselbe Bewegungsgesetz, ohne daß
sie irgendeiner speziellen Hypothese über den Bau und das Verhalten
des Elektrons bedürfte. Analog liegen die Dinge, wie wir in §
13 gesehen haben, bei dem Versuch von +Fizeau+, dessen Ergebnis
die Relativitätstheorie lieferte, ohne daß Hypothesen über die
physikalische Natur der Flüssigkeit gemacht werden mußten.
Die zweite Klasse von Tatsachen, auf die hier hingewiesen ist, bezieht
sich auf die Frage, ob bei Versuchen auf der Erde deren Bewegung im
Weltenraume sich bemerkbar mache. Es wurde schon in § 5 bemerkt, daß
alle derartigen Bemühungen ein negatives Resultat lieferten. Vor der
Aufstellung der Relativitätstheorie hatte es die Wissenschaft schwer,
sich mit diesem negativen Befunde auseinanderzusetzen; die Sachlage
war nämlich folgende. Die überkommenen Vorurteile über Zeit und Raum
ließen keinen Zweifel darüber aufkommen, daß die Galilei-Transformation
für den Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen maßgebend
sei. Angenommen nun, die +Maxwell-Lorentz+schen Gleichungen gelten
für einen Bezugskörper _K_, so findet man, daß sie nicht gelten für
einen relativ zu _K_ gleichförmig bewegten Bezugskörper _K′_, wenn man
annimmt, daß zwischen den Koordinaten von _K_ und _K′_ die Beziehungen
der Galilei-Transformation bestehen. Dadurch scheint es, daß von
allen Galileischen Koordinatensystemen eines (_K_) von bestimmtem
Bewegungszustande physikalisch ausgezeichnet sei. Physikalisch
interpretierte man dies Ergebnis dahin, daß man _K_ als relativ zu
einem hypothetischen Lichtäther ruhend ansah. Dagegen sollten alle
gegen _K_ bewegten Koordinatensysteme _K′_ gegen den Äther bewegt
sein. Dieser Bewegung von _K′_ gegen den Äther („Ätherwind“ relativ
zu _K′_) schrieb man die komplizierteren Gesetze zu, welche relativ
zu _K′_ gelten sollten. Auch relativ zur Erde mußte folgerichtig ein
solcher Ätherwind angenommen werden, und das Bestreben der Physiker war
lange darauf gerichtet, diesen nachzuweisen.
Hierfür hatte +Michelson+ einen Weg gefunden, der nicht fehlschlagen
zu können schien. Man denke sich an einem starren Körper zwei Spiegel
angeordnet, welche einander die reflektierende Seite zukehren. Ein
Lichtstrahl braucht eine ganz bestimmte Zeit _T_, um von einem Spiegel
zum anderen und wieder zurück zu gelangen, falls dies ganze System
gegen den Lichtäther ruht. Man findet für diesen Vorgang aber eine
etwas andere Zeit _T′_, wenn der Körper nebst Spiegeln relativ zum
Äther bewegt ist. Ja noch mehr! Die Rechnung ergibt, daß diese Zeit
_T′_ bei gegebener Geschwindigkeit _v_ gegen den Äther eine andere
sei, wenn der Körper senkrecht zu den Spiegelebenen bewegt ist, als
wenn er parallel zu den Spiegelebenen bewegt ist. So winzig die so
berechnete Differenz zwischen diesen beiden Zeitdauern auch sich
ergab, +Michelson+ und +Morley+ führten ein Interferenzexperiment
aus, bei welchem die Differenz deutlich hätte in Erscheinung treten
müssen. Das Experiment fiel aber negativ aus, zur großen Verlegenheit
der Physiker. +Lorentz+ und +FitzGerald+ zogen die Theorie aus dieser
Verlegenheit, indem sie annahmen, daß die Bewegung des Körpers gegen
den Äther eine Kontraktion in der Bewegungsrichtung bewirke, welche das
Verschwinden der genannten Zeitdifferenz gerade bewirken sollte. Ein
Vergleich mit den Darlegungen des § 12 zeigt, daß dieser Ausweg auch
vom Standpunkt der Relativitätstheorie der richtige war. Die Auffassung
der Sachlage ist aber nach der Relativitätstheorie eine unvergleichlich
befriedigendere. Nach ihr gibt es kein bevorzugtes Koordinatensystem,
welches zur Einführung der Ätheridee Anlaß gibt, mithin auch keinen
Ätherwind und kein Experiment, um einen solchen in Evidenz zu setzen.
Die Kontraktion bewegter Körper folgt hier ohne besondere Hypothesen
aus den beiden Grundprinzipien der Theorie; und zwar ergibt sich
als maßgebend für diese Kontraktion nicht die Bewegung an sich,
welcher wir keinen Sinn beizulegen vermögen, sondern die Bewegung
gegen den jeweilen gewählten Bezugskörper. So ist also für ein mit
der Erde bewegtes Bezugssystem der Spiegelkörper von +Michelson+ und
+Morley+ nicht verkürzt, wohl aber für ein relativ zur Sonne ruhendes
Bezugssystem.
§ 17. +Minkowski+s vierdimensionaler Raum.
Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von
„vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst
erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als
die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches
Kontinuum ist.
Der +Raum+ ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen, daß
es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen
(Koordinaten), _x_, _y_, _z_, zu beschreiben, und daß es zu jedem
Punkte beliebig „benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch solche
Koordinatenwerte (Koordinaten) _x₁_, _y₁_, _z₁_ beschrieben werden
kann, die den Koordinaten _x_, _y_, _z_ des erstgenannten beliebig nahe
kommen. Wegen der letzteren Eigenschaft sprechen wir von „Kontinuum“,
wegen der Dreizahl der Koordinaten von „dreidimensional“.
Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von +Minkowski+
kurz „Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem
Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren jedes
durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten _x_, _y_, _z_
und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert _t_ beschrieben ist. Die
„Welt“ ist in diesem Sinne auch ein Kontinuum; denn es gibt zu jedem
Ereignis beliebig „benachbarte“ (realisierte oder doch denkbare)
Ereignisse, deren Koordinaten _x₁_, _y₁_, _z₁_, _t₁_ sich von denen des
ursprünglich betrachteten Ereignisses _x_, _y_, _z_, _t_ beliebig wenig
unterscheiden. Daß wir nicht daran gewöhnt sind, die Welt in diesem
Sinne als vierdimensionales Kontinuum aufzufassen, liegt darin, daß
die Zeit in der vorrelativistischen Physik gegenüber den räumlichen
Koordinaten eine verschiedene, mehr selbständige Rolle spielt.
Darum haben wir uns daran gewöhnt, die Zeit als ein selbständiges
Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die Zeit gemäß der klassischen
Physik absolut, d. h. von der Lage und dem +Bewegungszustande+ des
Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in der letzten Gleichung der
Galilei-Transformation (_t′ = t_) zum Ausdruck.
Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale
Betrachtungsweise der „Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die
Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen
der Lorentz-Transformation
t′ = t − v/c² x / sqrt(1−v²/c²)
lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz
_Δt′_ zweier Ereignisse in bezug auf _K′_ auch dann im allgemeinen
nicht, wenn die Zeitdifferenz _Δt_ derselben in bezug auf _K_
verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse in bezug auf
_K_ hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf _K′_ zur Folge.
Auch hierin liegt nicht +Minkowski+s für die formale Entwicklung der
Relativitätstheorie wichtige Entdeckung. Diese liegt vielmehr in der
Erkenntnis, daß das vierdimensionale zeiträumliche Kontinuum der
Relativitätstheorie in seinen maßgebenden formalen Eigenschaften die
weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem dreidimensionalen Kontinuum
des Euklidischen geometrischen Raumes. Um diese Verwandtschaft
ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings statt der üblichen
Zeitkoordinate _t_ die ihr proportionale imaginäre Größe sqrt(−1)
_ct_ einführen. Dann aber nehmen die den Forderungen der (speziellen)
Relativitätstheorie genügenden Naturgesetze mathematische Formen an,
in denen die Zeitkoordinate genau dieselbe Rolle spielt wie die drei
räumlichen Koordinaten. Diese vier Koordinaten entsprechen formal genau
den drei räumlichen Koordinaten der Euklidischen Geometrie. Es muß
auch dem Nichtmathematiker einleuchten, daß durch diese rein formale
Erkenntnis die Theorie außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen
mußte.
Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von dem
wichtigen Gedanken +Minkowski+s, ohne den die im folgenden in ihren
Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie vielleicht
in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres Erfassen
dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos schwer
zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken weder
der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig ist, so
will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten Darlegungen
dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen.
[2] Damit ist auch der geraden Linie ein Naturobjekt zugeordnet.
Drei Punkte eines starren Körpers _A_, _B_, _C_ liegen dann in
einer Geraden, wenn bei gegebenen Punkten _A_ und _C_ der Punkt
_B_ so gewählt ist, daß die Summe der Entfernungen _A͞B_ und
_B͞C_ möglichst gering wird. Diese lückenhafte Andeutung mag in
diesem Zusammenhange genügen.
[3] Dabei ist allerdings angenommen, daß die Messung aufgehe, d. h.
eine ganze Zahl ergebe. Von dieser Schwierigkeit befreit man
sich durch die Anwendung geteilter Maßstäbe, deren Einführung
keine prinzipiell neue Methode verlangt.
[4] Eine weitere Untersuchung darüber, was hier „räumliche
Koinzidenz“ bedeutet, ist hier nicht nötig; denn dieser
Begriff ist insofern klar, als im einzelnen realen Falle
Meinungsverschiedenheiten darüber, ob er zutreffe oder nicht,
kaum auftreten dürften.
[5] Erst durch die im zweiten Teil des Büchleins behandelte
allgemeine Relativitätstheorie wird eine Verfeinerung und
Änderung dieser Auffassungen nötig.
[6] Wir nehmen ferner an, daß, wenn drei Ereignisse _A_, _B_,
_C_ derartig an verschiedenen Orten stattfinden, daß, wenn
_A_ gleichzeitig mit _B_ und _B_ gleichzeitig mit _C_ ist
(gleichzeitig im Sinne obiger Definition), das Kriterium der
Gleichzeitigkeit auch für das Ereignispaar _A_—_C_ erfüllt
sei. Diese Annahme ist eine physikalische Hypothese über das
Ausbreitungsgesetz des Lichtes; sie muß unbedingt erfüllt sein,
wenn es möglich sein soll, an dem Gesetz von der Konstanz der
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit festzuhalten.
[7] Vom Fahrdamm aus beurteilt!
[8] Etwa die Mitte des 1. und 100. Wagens.
[9] +Fizeau+ fand W = w + v(1−1/n²), wobei n = c/w der
Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für
(B) wegen der Kleinheit von vw/c² gegenüber 1 zunächst
W = (w + v)(1−vw/c²), oder mit der gleichen Näherung
w + v(1−1/n²) gesetzt werden, was mit +Fizeau+s Resultat
übereinstimmt.
[10] _E₀_ ist die aufgenommene Energie, von einem mit dem Körper
bewegten Koordinatensystem aus beurteilt.
[11] Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt.
Zweiter Teil.
Über die allgemeine Relativitätstheorie.
§ 18. Spezielles und allgemeines Relativitätsprinzip.
Die Grundthese, um welche sich alle bisherigen Ausführungen drehten,
war das +spezielle+ Relativitätsprinzip, d. h. das Prinzip von der
physikalischen Relativität aller +gleichförmigen+ Bewegung. Analysieren
wir noch einmal genau seinen Inhalt!
Daß jegliche Bewegung ihrem Begriff nach nur als +relative+ Bewegung
gedacht werden muß, war zu allen Zeiten einleuchtend. Bei unserem viel
benutzten Beispiel vom Bahndamm und vom Eisenbahnwagen kann z. B. die
Tatsache der hier stattfindenden Bewegung mit gleichem Rechte in den
beiden Formen ausgesprochen werden:
a) Der Wagen bewegt sich relativ zum Bahndamm,
b) Der Bahndamm bewegt sich relativ zum Wagen.
Im Falle a) dient bei dieser Aussage der Bahndamm, im Falle b) der
Wagen als Bezugskörper. Bei der bloßen Feststellung bzw. Beschreibung
der Bewegung ist es prinzipiell gleichgültig, auf was für einen
Bezugskörper man die Bewegung bezieht. Dies ist, wie gesagt,
selbstverständlich und darf nicht mit der viel weitergehenden Aussage
verwechselt werden, welche wir „Relativitätsprinzip“ genannt und
unseren Untersuchungen zugrunde gelegt haben.
Das von uns benutzte Prinzip behauptet nicht nur, daß man für
die Beschreibung jeglichen Geschehens ebensowohl den Wagen wie
den Bahndamm als Bezugskörper wählen könne (denn auch dies ist
selbstverständlich). Unser Prinzip behauptet vielmehr: Formuliert man
die allgemeinen Naturgesetze, wie sie sich aus der Erfahrung ergeben,
indem man sich
a) des Bahndammes als Bezugskörpers bedient,
b) des Wagens als Bezugskörpers bedient,
so lauten diese allgemeinen Naturgesetze (z. B. die Gesetze der
Mechanik oder das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum) genau
gleich in beiden Fällen. Man kann das auch so ausdrücken: Für die
+physikalische+ Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der
Bezugskörper _K_, _K′_ vor dem anderen ausgezeichnet. Diese letztere
Aussage muß nicht a priori notwendig zutreffen wie die erstere; sie ist
nicht in den Begriffen „Bewegung“ und „Bezugskörper“ enthalten und aus
ihnen ableitbar, sondern über ihre Richtigkeit oder Unrichtigkeit kann
nur die +Erfahrung+ entscheiden.
Wir haben nun aber bisher keineswegs die Gleichwertigkeit aller
Bezugskörper _K_ mit Bezug auf die Formulierung der Naturgesetze
behauptet. Unser Weg war vielmehr folgender. Wir gingen zunächst
von der Annahme aus, daß es einen Bezugskörper _K_ von solchem
Bewegungszustande gebe, daß relativ zu ihm der +Galilei+sche
Grundsatz gilt: Ein sich selbst überlassener, von allen übrigen
hinlänglich entfernter Massenpunkt bewegt sich gleichförmig und
geradlinig. Auf _K_ (+Galilei+scher Bezugskörper) bezogen sollten
die Naturgesetze möglichst einfache sein. Außer _K_ sollten aber
alle diejenigen Bezugskörper _K′_ in diesem Sinne bevorzugt und mit
_K_ für die Formulierung der Naturgesetze genau gleichwertig sein,
welche relativ zu _K_ eine +geradlinig gleichförmige, rotationsfreie
Bewegung+ ausführen; alle diese Bezugskörper werden als +Galilei+sche
Bezugskörper angesehen. Nur für diese Bezugskörper wurde die Gültigkeit
des Relativitätsprinzips angenommen, für andere (anders bewegte) nicht.
In diesem Sinne sprechen wir vom +speziellen+ Relativitätsprinzip bzw.
spezieller Relativitätstheorie.
Im Gegensatz hierzu wollen wir unter „allgemeinem Relativitätsprinzip“
die Behauptung verstehen: Alle Bezugskörper _K_, _K′_ usw. sind für
die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze)
gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag. Es sei aber
gleich bemerkt, daß diese Formulierung später durch eine abstraktere
ersetzt werden muß aus Gründen, die erst später zutage treten werden.
Nachdem sich die Einführung des speziellen Relativitätsprinzips bewährt
hat, muß es jedem nach Verallgemeinerung strebenden Geiste verlockend
erscheinen, den Schritt zum allgemeinen Relativitätsprinzip zu wagen.
Aber eine einfache, scheinbar ganz zuverlässige Betrachtung läßt einen
solchen Versuch zunächst aussichtslos erscheinen. Der Leser denke sich
in den schon so oft betrachteten, gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagen
versetzt. Solange der Wagen gleichförmig fährt, ist für den Insassen
nichts vom Fahren des Wagens zu merken. Daher kommt es auch, daß der
Insasse den Tatbestand ohne inneres Widerstreben dahin deuten kann, daß
der Wagen ruhe, der Bahndamm aber bewegt sei. Diese Interpretation ist
übrigens nach dem speziellen Relativitätsprinzip auch physikalisch ganz
berechtigt.
Wird nun aber die Bewegung des Wagens etwa dadurch in eine
ungleichförmige verwandelt, daß der Wagen kräftig gebremst wird, so
erhält der Insasse einen entsprechend kräftigen Ruck nach vorne. Die
beschleunigte Bewegung des Wagens äußert sich in dem mechanischen
Verhalten der Körper relativ zu ihm; das mechanische Verhalten ist ein
anderes als im vorhin betrachteten Falle, und es erscheint deshalb
ausgeschlossen zu sein, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen
die gleichen mechanischen Gesetze gelten, wie relativ zum ruhenden
bzw. gleichförmig bewegten Wagen. Jedenfalls ist klar, daß relativ
zum ungleichförmig bewegten Wagen der +Galilei+sche Grundsatz nicht
gilt. Wir fühlen uns daher zunächst genötigt, entgegen dem allgemeinen
Relativitätsprinzip der ungleichförmigen Bewegung eine Art absolute
physikalische Realität zuzusprechen. Im folgenden werden wir aber bald
sehen, daß dieser Schluß nicht stichhaltig ist.
§ 19. Das Gravitationsfeld.
Auf die Frage: „Warum fällt ein Stein, den wir emporheben und darauf
loslassen, zur Erde?“ antwortet man gewöhnlich: „Weil er von der Erde
angezogen wird.“ Die moderne Physik formuliert die Antwort etwas anders
aus folgendem Grunde. Durch genaueres Studium der elektromagnetischen
Erscheinungen ist man zu der Auffassung gekommen, daß es eine
unvermittelte Wirkung in die Ferne nicht gebe. Zieht z. B. ein Magnet
ein Stück Eisen an, so darf man sich nicht mit der Auffassung zufrieden
geben, daß der Magnet durch den leeren Zwischenraum hindurch auf das
Eisen direkt einwirke, sondern man stellt sich nach +Faraday+ vor,
daß der Magnet in dem ihn umgebenden Raume etwas physikalisch Reales
stets hervorrufe, was man als „magnetisches Feld“ bezeichnet. Dies
magnetische Feld wirkt seinerseits wieder auf das Eisenstück ein, so
daß es sich zum Magneten zu bewegen strebt. Die Berechtigung dieses an
sich willkürlichen Zwischenbegriffes wollen wir hier nicht erörtern.
Es sei nur bemerkt, daß man mit seiner Hilfe die elektromagnetischen
Erscheinungen, insbesondere die Ausbreitung der elektromagnetischen
Wellen, viel befriedigender theoretisch darstellen kann als ohne
denselben. Analog faßt man auch die Wirkungen der Gravitation auf.
Die Einwirkung der Erde auf den Stein kommt indirekt zustande. Die
Erde erzeugt in ihrer Umgebung ein Gravitationsfeld. Dieses wirkt auf
den Stein und veranlaßt seine Fallbewegung. Die Stärke der Einwirkung
auf einen Körper nimmt erfahrungsgemäß ab, wenn man sich mehr und
mehr von der Erde entfernt, nach einem ganz bestimmten Gesetze.
Dies heißt in unserer Auffassungsweise: Das Gesetz, welches die
räumlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes beherrscht, muß ein
ganz bestimmtes sein, um die Abnahme der Gravitationswirkung mit der
Entfernung vom wirksamen Körper richtig darzustellen. Man stellt sich
etwa vor, der Körper erzeuge direkt das Feld in seiner unmittelbaren
Nähe; Stärke und Richtung des Feldes in größerer Entfernung sind
dann hieraus durch das Gesetz bestimmt, welches die räumlichen
Eigenschaften der Gravitationsfelder selbst beherrscht.
Das Gravitationsfeld weist im Gegensatz zum elektrischen und
magnetischen Felde eine höchst merkwürdige Eigenschaft auf, welche
für das Folgende von fundamentaler Bedeutung ist. Körper, die
sich unter ausschließlicher Wirkung des Schwerefeldes bewegen,
erfahren eine Beschleunigung, +welche weder vom Material noch vom
physikalischen Zustande des Körpers im geringsten abhängt+. Ein Stück
Blei und ein Stück Holz fallen beispielsweise im Schwerefelde (im
luftleeren Raume) genau gleich, wenn man sie ohne bzw. mit gleicher
Anfangsgeschwindigkeit fallen läßt. Man kann dies äußerst genau gültige
Gesetz auch noch anders formulieren auf Grund folgender Erwägung.