_Motum apsidum in orbe satellitis quamproximé circulari, quatenùs ex
figurâ planetæ primarii sphæroidicâ oritur, investigare._
Per propositionem primam vis perturbatrix, quâ trahitur satelles
ad centrum planetæ primarii, est ad satellitis gravitatem in ipsum
primarium, ut (3_bc_ ⁄ 5_l_²) - (9_kkbc_ ⁄ 5_l_⁴) ad 1, sive, quia
per Prop. 2. est (_k ⁄ l_) = _m_ × SH (_Fig._ 4.) ponendo scilicet
_m_ pro sinu inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem primarii,
et scribendo _y_ pro SH, ut (3_bc_ ⁄ 5_l_²) × (1 - 3_m_²_y_²) ad 1;
et summa harum virium in totâ circumferentiâ cujus radius est 1, est
ad gravitatem satellitis toties sumptam ut (3_bc_ ⁄ 5_l_²) × (1 -
(3_m_² ⁄ 2)) ad 1. Vis igitur mediocris, quæ uniformiter agere in
satellitem supponi potest, dum revolutionem suam in orbitâ propemodùm
circulari absolvit, est ad ejus gravitatem in primarium ut (3_bc_ ⁄
5_l_²) × (1 - (3_m_² ⁄ 2)) ad 1; atque hac vi movebuntur apsides, si
nulla habeatur ratio vis alterius quæ orbis radio est perpendicularis
et per medietatem revolutionis satellitis in unum sensum tendit, per
alteram medietatem in contrarium. Jam quia ex demonstratis in hac et
primâ propositione sequitur gravitatem satellitis circa planetam, cujus
figura est sphærois oblata, revolventis in distantiâ _l_ generaliter
esse ad ejusdem gravitatem in majori distantiâ L, ut (1 ⁄ _l_²) + (B ⁄
_l_⁴) × (1 - (3_m_² ⁄ 2)) ad (1 ⁄ L²) + (B ⁄ L⁴) × (1 - (3_m_² ⁄ 2)),
existente B quantitate datâ exigui valoris, sive ut (1 ⁄ _l_²) ad (1
⁄ L²) - (B ⁄ _l_²L²) × (1 - (3_m_² ⁄ 2)) + (B ⁄ L⁴) × (1 - (3_m_² ⁄
2)) quamproximé, ideò gravitas satellitis diminuitur in majori quam
duplicatâ ratione distantiæ auctæ quoties _m_ minor est quantitate
√⅔ id est, ubi inclinatio orbitæ satellitis ad planetæ æquatorem non
attingit 54° 44´; diminuitur autem in minori ratione, quoties est _m_
major quàm √⅔, id est, ubi illa inclinatio superat 54° 44´; adeoque
in priore casu progrediuntur apsides orbis satellitis, in posteriori
regrediuntur. Quantitas autem hujus progressûs vel regressûs sic
innotescet.
Per exemplum tertium prop. 45 lib. 1. _Princ. Math. Newt._ si vi
centripetæ, quæ est ut 1 ⁄ _l_², addatur vis altera ut _e ⁄ l_⁴, hoc
est, quæ sit ad vim centripetam 1 ⁄ _l_² ut _e ⁄ l_² ad 1, angulus
revolutionis ab apside unâ ad eamdem erit 360° √((1 + _e_) ⁄ (1 -
_e_)) vel 360° ⁄ (1 - _e_) quamproximé, existente _e_ quantitate valdé
minutâ. Porrò cum sit motus satellitis in orbitâ suâ revolventis ad
motum apsidis ut 360° ⁄ (1 - _e_) ad 360° ⁄ (1 - _e_) - 360°, hoc est,
ut 1 ad _e_, erit motus apsidis tempore revolutionis satellitis ad
fidera æqualis 360° × _e_, et hic motus apsidis erit ad ejusdem motum
tempore alio quovis dato ut tempus periodicum satellitis ad tempus
datum. Est autem in hac nostrâ propositione _e_ = (3_bc_ ⁄ 5_l_²) × (1
- (3_m_² ⁄ 2)); unde datur motus apsidum quæsitus. _Q. E. I._