I. Tous nos lecteurs connaissent le moyen d'obtenir un mouvement de
rotation continu au moyen de l'air échauffé par un poêle. Ils savent que
si, après avoir coupé dans une carte un cercle de la largeur de cette
carte, on découpe ce cercle suivant une spirale qui fasse trois ou
quatre révolutions, en réservant un petit espace intact autour du
centre, il suffira d'appuyer ce centre sur une pointe verticale, auprès
du tuyau d'un poêle, pour que l'espèce de surface hélicoïdale obtenue
par le déroulement de la carte se mette à tourner sur elle-même avec une
vitesse qui dépendra de l'excès de la température du tuyau sur celle de
la chambre.
Ce petit jeu mécanique est fondé sur la propriété dont jouit une colonne
d'air chaud de s'élever au milieu d'une masse d'air plus froid. Le
courant qui en résulte tend à faire monter la carte découpée; mais, en
égard à l'inclinaison de la surface de cette carte, l'impulsion qu'elle
reçoit agissant obliquement et n'étant pas assez furie pour soulever la
carte entière, ne peut que la faire tourner autour de son point de
suspension.
[Illustration.]
Cela posé, l'intelligence de notre figure, n'offrira aucune difficulté.
Il suffit d'y jeter les yeux pour reconnaître que le courant d'air chaud
de la cheminée agissant sur une surface hélicoïdale analogue à celle
dont nous parlions tout à l'heure, doit produire le même effet. Ainsi
l'appareil prendra un mouvement de rotation autour de l'arc vertical en
fer, qui est scellé au milieu de la cheminée, et qui est mobile sur les
deux pointes placées à ses extrémités. Quant à la transmission du
mouvement à la broche, elle s'opère très-simplement par l'intermédiaire
d'une grande roue agissant sur un pignon et d'une chaîne sans fin
verticale, semblable à celle que l'un voit dans les tourne-broches
ordinaires.
Cette espèce de tourne-broche est employée en quelques points du
territoire. Elle fonctionne parfaitement quand elle est convenablement
établie, et elle mériterait d'être plus connue. Il est à remarquer
qu'elle satisfait pleinement aux exigences culinaires, en ce que la
vitesse de rotation est d'autant plus considérable que le feu est plus
actif.
On a construit, d'après les mêmes idées, des lampes assez, singulières.
Le verre qui sert de cheminée étant surmonté d'un appareil hélicoïdal du
genre de celui que représente notre figure, a suffit d'allumer la lampe
pour que le mouvement de rotation ait lieu. Or, les transformations de
mouvement, faciles à concevoir, servent à tirer parti de cette faible
force de rotation et à la faire agir, soit sur du petites pompes qui
montent l'huile à la partie supérieure de la lampe, soit sur un
mécanisme d'horlogerie sans ressort ni poids; de sorte que c'est le
mouvement, de la lampe qui fait marcher les aiguilles sur le cadran.
Les transformations de mouvement dont il vient d'être question se
retrouvent à chaque instant dans les machines les plus importantes et
les plus utiles. Ainsi, l'air chaud en montant suit une direction
rectiligne, et, au moyen de la surface hélicoïde, ce courant ascendant
imprime la rotation aux engrenages de notre tourne-broche. La rotation
qui a lieu d'abord autour d'un axe vertical, se transforme finalement en
une autre autour d'un axe horizontal.
Remarquons en outre l'analogie frappante, ou plutôt la similitude
parfaite qu'il y a entre l'appareil propulseur hélicoïdal qui paraît
avoir un si grand avenir dans la navigation à vapeur et l'âme de notre
petite machine.--La seule différence consiste en ce que l'un reçoit
l'impulsion d'un moteur étranger dans un liquide immobile, d'où résulte
son mouvement de progression dans ce liquide, tandis que l'autre reçoit
l'impulsion d'un courant de fluide aérien, et que ne pouvant acquérir un
mouvement de progression, il transmet sa rotation à d'autres parties de
la même machine. Ainsi, un des progrès les plus remarquables de la
navigation à la vapeur se trouvait implicitement dans notre
tourne-broche sans ressort ni contre-poids! Que de grandes choses dans
les plus petites!
II. Disons d'abord en quoi consiste le jeu de _passe-dix_. On jette
trois dés sur une table, et un joueur parie contre l'adversaire que la
donne des points amenés excédera 10. Il y a 216 combinaisons possibles.
Or, les points sont disposés sur les dés ordinaires de manière que la
somme des points sur deux faces opposées soit constamment _sept_, l'as
opposé au six, et ainsi pour les autres. La somme des points qui se
trouvent sur les faces opposées des trois dés fait donc constamment 21.
Donc chaque combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour
passe-dix, en comprend une autre qui le fait perdre, savoir celle qu'on
obtiendrait en retournant les trois dés, ou en faisant la lecture sur
les faces inférieures au lieu de la faire sur les faces supérieures.
Donc, les chances des joueurs sont égales lorsqu'ils parient, l'un pour,
l'autre contre passe-dix en un coup.
Cela posé, d'après l'énoncé de notre problème, les probabilités de Paul
sont évidemment
1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
pour gagner 1, 2, 4, 8, 16 fr., etc.,
selon que Pierre passera dix au premier, au second, au troisième coup,
etc. La valeur de son espérance mathématique de gain est égale à la
somme de tous les gains aléatoires multipliés respectivement par les
probabilité correspondantes. Or, chacun de ces produits partiels est
égal à un demi-franc Ainsi, Paul devrait, pour que le jeu fût égal,
déposer un enjeu de 50 francs, si l'on convient de s'arrêter au centième
coup; 500 francs pour mille coups, etc.
Il semble donc qu'il doit déposer pour enjeu une somme infinie, quand on
convient que le jeu se prolongera jusqu'à ce que Pierre ait passé dix,
si loin qu'il faille aller pour cela. Et cependant, ajoute-t-on, quel
est l'homme sensé qui voudrait risquer à ce jeu, non pas une somme
infinie dont personne ne dispose, mais une somme tant soit peu forte
relativement à sa fortune.
Tel est le paradoxe curieux qui est célèbre dans l'histoire de la
science sous le nom de _problème de Pétersbourg_.
Pour lever ce paradoxe, ce que nous connaissons de plus satisfaisant est
la remarque très-simple faite par M. Poisson, que Pierre ne peut pas
payer plus qu'il n'a, et que possédât-il 50 millions, il ne pourrait
loyalement s'engager à prolonger le jeu au-delà du 26e coup, puisqu'au
27e coup sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de
francs représente par le produit de 29 facteurs égaux à 2, ou par 67,
108, 864 francs, somme supérieure à sa fortune. Réciproquement, Paul
connaissant la fortune de Pierre, ne s'engagera pas après plus de 26
coups, et ne risquera que 15 francs. En supposant qu'on ne limite pas le
nombre des coups, comme il ne peut recevoir de Pierre, quoi qu'il
arrive, plus de 50 millions, on trouve que son enjeu ne doit pas
dépasser 13 francs 50 centimes.
(Cette question est empruntée à l'ouvrage de M. Cournot, déjà cité.)