Zooals de zon de aarde aantrekt, zoo trekt zij ook met ongeveer
dezelfde kracht alles aan, wat zich in de buurt van de aarde
bevindt, dus ook de maan. Omdat aarde en maan beide met ongeveer
dezelfde kracht door de zon worden aangetrokken, krijgen zij
ongeveer dezelfde versnelling naar de zon toe, worden evenveel van
den rechten weg afgebogen, en doorloopen zoo samen hun jaarlijksche
baan om de zon. Was de aantrekking op aarde en maan precies gelijk,
dan zouden zij volkomen gelijk bewegen alsof zij aan elkaar
vastzaten; er kwam dan alleen de aantrekking van de aarde op de maan
bij, die deze als tweede beweging om de aarde doet cirkelen. Maar in
werkelijkheid gaat het anders. De aantrekking van de zon is op ieder
ander punt van de ruimte iets anders; zij neemt op grooter afstand
af, en daarom is de aantrekking van de zon op de maan wel ongeveer,
maar niet precies gelijk aan haar aantrekking op de aarde.
Nemen wij b.v. de volle maan. Zij is iets verder van de zon af dan
de aarde en wordt dus met iets kleinere kracht door de zon
aangetrokken.
[Illustratie]
Was nu de onderlinge aantrekking tusschen aarde en maan niet
voorhanden, waren beiden dus b.v. kleine stofjes, wat zou er dan
gebeuren? Als zij zich met gelijke snelheid voortbewegen, zakt de
maan minder snel naar de zon toe dan de aarde; haar baan wordt
minder gekromd, en zij verwijdert zich steeds verder van de aarde.
Voor de aardbewoners schijnt het, alsof de maan door een kracht
omhooggeheven en van de aarde weggedreven wordt. Dat komt ook uit,
want hun relatieve beweging wordt bepaald door het verschil der op
beiden werkende krachten. Nu behoeft er in werkelijkheid geen vrees
te bestaan, dat de maan wegloopt, omdat zij door de
aantrekkingskracht van de aarde vastgehouden wordt. Het streven om
zich van elkaar te verwijderen bewerkt nu alleen, dat de aardkracht
verminderd wordt en de maan met een iets kleinere versnelling naar
de aarde valt. De aantrekkende kracht der aarde wordt verminderd
door een kracht, die de maan van de aarde wegdrijft, en die niets
anders is dan het verschil der zonsaantrekking op aarde en maan. In
het algemeen kan men zeggen, dat van de aantrekkingskracht, die de
zon op de maan uitoefent, het deel dat aan de op de aarde werkende
kracht gelijk is, daartoe dient om de maan met de aarde mee te laten
loopen; het overschot, het verschil dus tusschen de op de aarde en
op de maan werkende zonnekrachten, bepaalt hun relatieve beweging en
komt bij de gewone wederzijdsche aantrekking van aarde en maan. Deze
laatste voor zich alleen bewerkt de regelmatige beweging in een
ellips volgens de wetten van Kepler; _de afwijkingen van de
Keplersche beweging, die wij als onregelmatigheden van de
maanbeweging hebben leeren kennen, worden veroorzaakt door het
verschil tusschen de door de zon op de aarde en op de maan
uitgeoefende krachten_. Dit verschil is de storende kracht van de
zon, die wij nu moeten onderzoeken.
Op de hiervolgende figuur is de grootte en de richting van de
zonnekracht voor de aarde en voor een aantal plaatsen in de omgeving
der aarde door pijltjes weergegeven -- waarbij wij, om de
verschillen sterk overdreven te doen uitkomen, de zon slechts 5 maal
zoo ver van de aarde aannemen als de maan.
[Illustratie: Aantrekkingskracht van de zon.]
[Illustratie: Storende kracht van de zon.]
Wij zien daar, hoe de kracht naar de zon toe grooter, van de zon af
kleiner is dan in het midden, waar de aarde staat, terwijl zij op zij
van de aarde wel even groot is, maar schuin gericht. De pijlen in de
tweede figuur geven aan, hoeveel al deze krachten anders zijn dan de
op de aarde werkende kracht; met de pijl aan de aarde vereenigd geven
deze storende krachten samen weer de totale kracht uit de eerste
figuur. Bij nieuwe maan zien wij dit overschot, deze storende kracht,
naar de zon toe gericht, bij volle maan van de zon af gericht, _in
beide gevallen dus van de aarde afgericht_. Bij eerste en laatste
kwartier is het verschil _een kleinere naar de aarde toe gerichte
kracht_, die de aantrekkingskracht der aarde vergroot. Tusschen deze
hoofdstanden in zien wij als storende kracht een scheef gerichte
kracht, die aan weerszijden van de nieuwe maan naar de nieuwe maan,
aan weerszijden van de volle maan naar deze gericht is. Aan de
pijlen, die in punten binnen en buiten de maanbaan aangebracht zijn,
zien wij, _dat de storende kracht met den afstand tot de aarde
regelmatig grooter wordt_; zij verandert dus in omgekeerden zin als
de aantrekkingskracht van de aarde.
Zoo ziet de storende kracht er uit, die op de maan werkt. En hoe
groot zij is, is ook gemakkelijk te berekenen. De zon, die 330 000
maal grooter massa heeft, maar ook 389 maal verder van de maan
verwijderd is dan de aarde, oefent op de maan en de aarde een
aantrekking uit, die om de eene reden 330 000 maal grooter, om de
andere 389 X 389 == ruim 150 000 kleiner, dus door beide samen
dubbel zoo groot is (2.2 maal) als de kracht van de aarde op de
maan. Het onderscheid der aantrekkingen op maan en aarde is, in den
zijdelingschen stand, nog weer 389 maal kleiner, dus 1/180 van de
aardkracht; bij volle en nieuwe maan bedraagt zij het dubbele
daarvan, vermindert dus de door de aarde uitgeoefende aantrekking
met 1/90.
Welke werking heeft nu deze storende kracht op de beweging van de
maan? Beurtelings versterkt en verzwakt zij de aantrekking van de
aarde; maar de verzwakking bij volle en nieuwe maan is dubbel zoo
groot als de versterking bij eerste en laatste kwartier. Als totaal
blijft dus gemiddeld een verzwakking over. Het is alsof de aarde met
een kleinere kracht aantrekt of een kleinere massa heeft. Kon men de
zon ineens laten verdwijnen, dan zou het zijn alsof de aarde de maan
eensklaps sterker ging aantrekken; de maan zou dan, met behoud van
de perkensnelheid, die zij eenmaal heeft, een meer naar binnen
gelegen baan inslaan, dichter bij de aarde komen en in korteren tijd
rondloopen. Dit is nu wel onmogelijk, maar men kan er toch uit
afleiden, wat er gebeuren moet, wanneer de kracht van de zon
beurtelings sterker en zwakker wordt. En dit vindt werkelijk plaats;
's winters is de zon dichter bij ons en trekt zij de aarde sterker
dan 's zomers. Dus moet de omloopstijd van de maan 's winters
grooter en haar beweging langzamer zijn dan 's zomers, juist zooals
Tycho het uit de waarnemingen had gevonden.
Was de maanbaan in plaats van een ellips precies een cirkel, dan zou
zij onder de storende werking van de zon toch geen cirkel blijven.
Want de aantrekking naar het centrum is nu niet meer aan alle kanten
even groot. Naar de zon toe en van de zon af is ze kleiner, op zij
is zij grooter, terwijl de storende kracht vóór volle en nieuwe maan
voortdrijvend, versnellend werkt, na volle en nieuwe maan
tegenhoudend, vertragend. Daardoor moet de baan naar beide kanten
zijdelings uitgerekt worden; zij wordt een ellips met de aarde als
middelpunt en de kleine as naar de zon gericht. In deze baan beweegt
de maan zich met wisselende snelheid; is het volle en nieuwe maan,
dan loopt zij sneller, in de kwartierstanden langzamer evenals een
aan een touw hangend zwaar voorwerp, dat men in een langwerpige baan
laat rondslingeren.
[Illustratie: De variatie van de maan.]
Deze afwisselende versnelling en vertraging is de door Tycho
ontdekte variatie.
Nu is echter de ongestoorde maanbaan geen cirkel, maar een ellips
met de aarde als brandpunt. Terwijl de maan beurtelings dichter bij
en verder van de aarde komt, wordt de storende kracht van de zon
beurtelings kleiner en grooter. Nemen wij eerst het geval, dat de
groote as van de maanbaan naar de zon is gericht. Zoowel op den
kleinsten als op den grootsten afstand wordt de aantrekking der
aarde door de storende kracht verminderd. Maar niet in dezelfde
mate; op den grooteren afstand, waar de aardkracht het geringst is,
wordt zij sterk verminderd, op den kleinsten afstand, waar de
aardkracht het grootst is, gaat er minder af. Was bij veel grooter
excentriciteit, dan de maan bezit, de eene afstand 2 maal zoo groot
als de andere, dus de aardkracht hier 1, daar 1/4, dan zou zij door
de storing hier veranderen in 1--1/90, daar in 1/4--2/90. Vergeleken
met elkaar is de groote kracht grooter, de kleine kracht kleiner
geworden, hun onderscheid is versterkt. De kracht, die de maan
ondervindt, neemt dus op kleiner afstand sneller toe, op grooter
afstand sneller af dan door de aarde alleen het geval zou zijn; het
is alsof de aantrekking _in sterker mate_ met den afstand verandert,
dan volgens de wet van Newton.
Hoe dit op de beweging van de maan moet werken, kan ons duidelijk
worden, wanneer wij ons herinneren, hoe onder de werking van de wet
van Newton de elliptische baan ontstond. Uit haar verste punt wordt
de planeet, al voortlopende, naar de zon toe getrokken, waarbij de
beweging steeds sneller wordt; het schijnt alsof zij de zon voorbij
wil vliegen; maar de snel groeiende aantrekking van de zon buigt
haar baan steeds sterker, en eerst als zij aan den overkant gekomen
is, gelukt het; de bewegingsrichting is dan zachtjesaan minder
scheef ten opzichte van den voerstraal geworden, en juist tegenover
het punt van uitgang komt de planeet het dichtst bij de zon, vliegt
voorbij en verwijdert zich weer. Wel is een wiskundige berekening
noodig om te bewijzen, dat juist bij de wet van Newton, waarbij de
kracht precies omgekeerd evenredig met het kwadraat van den afstand
afneemt, de grootste nadering tot de zon juist tegenover het punt
van grootste verwijdering ligt. Maar onze meer algemeene beschouwing
kan toch duidelijk maken, wat er moet gebeuren, als de kracht
sneller of minder snel met den afstand verandert. Groeit de kracht
bij de nadering tot de zon minder snel, dan wordt de baan in haar
verder verloop minder sterk gebogen en bereikt vroeger en nog verder
van de zon af de plaats, waar zij de zon voorbijschiet (I in de
figuur); groeit de kracht sterker en wordt de baan dus sterker
gebogen, dan gelukt het voorbijschieten eerst later, verderop en
dichterbij de zon (als in II). En hetzelfde vindt men, wanneer men
de tweede helft van de baan beschouwt (tweede figuur). Neemt de
kracht bij de verwijdering van de zon langzamer af, blijft ze dus
grooter, dan dwingt zij de planeet vroeger en op kleiner afstand
terug te keeren (I); neemt zij snel af en wordt zij dus klein, dan
keert de planeet eerst later om en nadat zij verder van de zon is
weggeloopen (II).
[Illustratie]
De baan is nu geen ellips meer; maar men kan het toch zoo opvatten,
alsof de planeet een ellips beschrijft, die zelf intusschen
verandert. In geval I is het een ellips, die tegelijk terugdraait,
doordat de richting van de groote as achteruitloopt, tegen de
planeet zelf in; in geval II draait de ellips vooruit, met de
planeet mee.
Het is nu gemakkelijk te zien, wat er met de maan gebeurt. In het
door ons aangenomen geval, dat de zon in de richting van de groote
as staat, verandert de kracht op de maan in sterker mate dan volgens
de wet van Newton. Dat is dus geval II. De maan komt van haar
versten naar haar kleinsten afstand in meer dan een halven omloop en
nadert de zon sterker; en zij gebruikt van haar kleinsten tot haar
grootsten afstand weer meer dan een halven omloop en gaat daarbij
verder van de aarde weg. De baan blijkt te zijn een _ellips met
grooter excentriciteit, waarvan de groote as vooruitdraait_.
Drie maanden later hebben zich echter de omstandigheden veranderd.
De zon (of eigenlijk de aarde) heeft een vierde van haar baan
doorloopen en staat nu opzij, in een richting loodrecht op de groote
as. Is de maan nu in haar grootsten en kleinsten afstand tot de
aarde, dan is zij tegelijk in de kwartierstanden, waar de storende
kracht de aantrekking vergroot, en wel alweer met een bedrag, dat
het grootst is bij den grootsten afstand, waar de aantrekkingskracht
het kleinst is. Nu is alles net omgekeerd als in het vorige geval;
de krachten 1 en 1/4 in ons voorbeeld worden nu 1 + 1/180 en 1/4 +
2/180. De kleine kracht wordt sterk, de groote weinig vergroot, en
de werkelijke kracht op de maan _verandert minder sterk met den
afstand_ dan volgens de wet van Newton. Hier is dus geval I van onze
figuren toepasselijk; de maan bereikt den kleinsten en grootsten
afstand sneller, de eerste op grooter, de tweede op kleiner afstand
dan zonder de storing het geval zou zijn. De beweging is dus zoo uit
te drukken, dat de maan _een ellips met kleiner excentriciteit
beschrijft, waarvan de groote as terugdraait_.
Hier hebben wij dus de verklaring voor de door Ptolemaeus ontdekte
evektie; staat de zon in de richting van de groote as, dan is de
excentriciteit grooter, staat zij loodrecht daarop, dan is de
excentriciteit kleiner. Maar wij vinden hier bovendien iets, wat wij
nog niet wisten, dat echter door de nauwkeurige waarnemingen na
Newton's tijd dadelijk bevestigd werd: _dat de richting van de
groote as beurtelings vooruit en terug draait_; vooruit, als zij
naar de zon gericht is, terug, als zij er loodrecht op staat. Wat is
het totale resultaat van deze beweging? De vermindering der
aantrekking in het eerste geval is dubbel zoo groot als haar
vermeerdering in het tweede; wij weten dat gemiddeld een
vermindering overblijft. De storende werking in het eerste geval, de
draaiing vooruit, is dus ook tweemaal zoo sterk als de
terugdraaiing. Als totaal blijft dus over, _dat de groote as vooruit
draait_ -- zooals aan de volken der oudheid reeds bekend was.
Nu blijft nog over de storingen te vinden, die uit den schuinen
stand van de maanbaan t.o.v. de ekliptika ontstaan. De maan stijgt
nu eens aan de eene zijde boven de ekliptika, keert dan terug,
verwijdert zich aan den anderen kant van deze en keert weer terug;
zoo schommelt zij op en neer. De aantrekking van de aarde trekt
haar, als zij boven de ekliptika staat, schuin naar beneden, als zij
er onder staat schuin naar boven, en wel des te sterker naarmate zij
verder van de ekliptika af staat. Zoo is haar beweging dus geheel
met die van een slinger te vergelijken, die ook des te sterker
teruggetrokken wordt, naarmate hij verder uit den middenstand
afwijkt: alleen met dit verschil, dat de maan in juist denzelfden
tijd, dat zij eenmaal heen en weer slingert, ook eenmaal om de aarde
heen loopt.
[Illustratie]
Nu komt de aantrekking van de zon er bij; deze trekt de maan altijd
schuin naar de ekliptika terug, naar welken kant zij ook afwijkt; de
zonnekracht vergroot dus de kracht der aarde, die de maan naar de
ekliptika trekt. Wordt bij een slinger de kracht, die hem naar zijn
middenstand terug trekt, grooter, dan gaat hij sneller schommelen.
Ook de maan moet dus door de vergrooting van de kracht sneller om de
ekliptika heen en weer schommelen. Werd nu de totale aantrekking der
aarde ook vergroot, dan zou de maan daarbij sneller haar omloop om
de aarde volbrengen. Maar wij weten, dat de totale
aantrekkingskracht door de zonnekracht verminderd wordt en de maan
dus langzamer rondloopt. De tijd van heen en weer schommelen is dus
nu korter dan de omloopstijd, in plaats van daaraan gelijk zooals
bij de ongestoorde beweging. De maan komt telkens sneller bij haar
knoopen terug, dan zij op dezelfde plaats van den hemel terugkomt;
_de knoopen schuiven_ terug langs de ekliptika, juist zooals uit de
waarneming der eklipsen van oudsher gebleken is.
Zoo waren alle onregelmatigheden in de beweging van de maan, die ten
tijde van Newton bekend waren, door zijn aantrekkingswet te
verklaren en leverden zij een nieuw bewijs voor de waarheid en de
groote beteekenis van deze wet. Natuurlijk waren ook de theoretisch
berekende getallenwaarden voor het bedrag van elke storing juist
zoo, als met de waarnemingen overeenstemde. Maar de theorie leerde
nog meer; zij toonde, dat de hier opgenoemde storingen de beweging
van de maan alleen maar in groote trekken, niet in de kleinere
details weergeven. Wij hebben de groote storingen ook telkens als
werkingen van de gemiddelde waarden der storende krachten leeren
kennen; in werkelijkheid wisselen deze krachten van plaats tot
plaats en van dag tot dag, en de storingen moeten dus ook veel
onregelmatiger verloopen. Ook wordt ieder dezer werkingen weer
anders, omdat door de storingen zelf de plaatsen van de maan en de
zon veranderen. Bovendien trekt de afgeplatte aarde de maan wat
anders aan dan een volkomen ronde aarde zou doen, en ten slotte
bewerkt ook de aantrekking der planeten nog eenige kleinere
storingen in de beweging van de maan. Door dat alles loopt het
aantal merkbare storingen van de maan in de honderden, en aan hun
berekening hebben de knapste theoretici een groot deel van hun leven
besteed. Dat was ook noodig, omdat de waarnemingen steeds
nauwkeuriger werden; hoe scherper en juister de plaats van de maan
aan den hemel vast te stellen was, des te nauwkeuriger moest ook de
berekening worden, en des te meer storingen moesten in rekening
gebracht worden, om met de waarnemingen in overeenstemming te
blijven.
Wat daarbij de geleerden aanvuurde, was niet enkel het
wetenschappelijke belang van een zoo volledig mogelijke kennis der
wereld. Er was ook een groot praktisch belang in het spel: het voor
de scheepvaart zoo buitengewoon belangrijke vraagstuk van _de lengte
op zee_. Wil de schipper in de open zee, ver van alle kusten, veilig
varen, dan moet hij uit de hemellichten de plaats kunnen bepalen,
waar hij zich bevindt, dus zijn lengte en breedte op aarde. De
breedte van een plaats is gemakkelijk uit de middaghoogte van de zon
te vinden; de ligging van den horizon ten opzichte van den
sterrenhemel, dus van de sterren ten opzichte van den horizon,
verandert met de breedte. Met de lengte verandert ze niet; of men
zich meer Oostelijk of Westelijk bevindt is aan den sterrenhemel
niet te zien. De lengte van een plaats kennen wij slechts als het
verschil tusschen den plaatselijken tijd, en den tijd van een vaste
plaats op aarde, b.v. van de sterrewacht te Greenwich. Van deze
beide is weer de plaatselijke tijd uit de hemelverschijnselen
gemakkelijk te vinden; overal is het 12 uur plaatselijke tijd als de
zon in het Zuiden staat. Weet dus de schipper, hoe laat het op dit
oogenblik in Greenwich is, dan is het vraagstuk opgelost en de
lengte bekend. Maar hier ligt de moeilijkheid, die de regeeringen
van alle zeevarende volken -- de Spanjaarden in de 16de, de
Hollanders in de 17de, de Engelschen in de 18de en 19de eeuw --
telkens opnieuw dwong om hun aandacht aan dit vraagstuk te wijden.
Want duizenden schepen, die op klippen strandden, waren het offer van
de onvolkomenheid in de oplossing van dit probleem.
Hoe is het mogelijk, midden in den oceaan den tijd van Greenwich te
weten te komen? Twee verschillende wegen werden daartoe ingeslagen.
De eenvoudigste weg is, bij het uitvaren een goed uurwerk -- een
chronometer -- dat Greenwichtijd aanwijst, mee te nemen. Alles hangt
er dan van af, dat het uurwerk volkomen goed loopt en den juisten
tijd bewaart; daarom heeft de Engelsche Admiraliteit herhaaldelijk
hooge premies op elke belangrijke verbetering der chronometers
gesteld en uitbetaald, waardoor deze vertrouwbaarder werden.
Tegenwoordig behoort een aantal nauwkeurig geregelde en onderzochte
chronometers, die elkaar kontroleeren, tot de vast voorgeschreven
uitrusting van ieder zeeschip. Maar in den tijd der zeilschepen,
toen het vaak maanden duurde, voor het schip weer in een haven kwam,
was dit middel toch niet voldoende. Daar werd dan het tweede middel,
de waarneming van de maan, toegepast.
De maan doorloopt per dag 1/27 van den omtrek des hemels, dus
ongeveer 13 graden. In den loop van den dag doorloopt zij, langzaam
en regelmatig voortwandelend, dezen afstand. Weet men nu, waar zij
zich om 12 uur Greenwichtijd bevond, dan is op elk ander oogenblik
aan haar plaats aan den hemel te zien, hoe laat het in Greenwich is.
Denkt men zich dat bij de plaatsen, waar zij vandaag en morgen om 12
uur staat, de cijfers 0 en 24 gezet worden en dat de tusschenruimte
door streepjes in 24 parten verdeeld en met cijfers van 1 tot 24
voorzien is; dan is deze verdeelde strook als het ware een
wijzerplaat, waar de maan als wijzer langs loopt. Op de geheele
aarde kon men dan op die klok kijken en zien, hoe laat het in
Greenwich is. Nu ontbreken aan den hemel die kunstmatige strepen en
cijfers; als vaste merkpunten moeten hier de sterren dienen, en in
zijn Almanak vindt de zeeman precies opgegeven, hoe ver de maan van
uur tot uur Greenwichtijd van naburige sterren verwijderd is. Hij
behoeft dus slechts zoo nauwkeurig mogelijk dezen afstand op zijn
schip te meten, om midden in den oceaan den Greenwichtijd aan de
groote hemelklok af te lezen.
Bij deze methode komt natuurlijk alles aan op de juistheid en
nauwkeurigheid van de opgaven in den Almanak, die verscheidene jaren
vooruit berekend worden. Daarin bestaat het belang van een volmaakte
theoretische kennis van de beweging der maan, dat zij ons in staat
stelt, haar beweging jaren lang vooruit te berekenen. Daarom heeft
de Engelsche Admiraliteit niet alleen de chronometermakers met
prijzen aangemoedigd en beloond, maar ook de sterrekundigen, die in
de 18de en 19de eeuw door berekening van nauwkeurige maantafels de
grondslagen legden voor deze oplossing van het probleem der lengten
op zee. Wij moeten er echter bijvoegen, dat later, onder de
stoomvaart, door den korteren duur der reizen, de beteekenis van de
maan voor de zeevaart lang niet meer zoo groot was als in den tijd
der zeilschepen. En in den nieuwsten tijd is eindelijk een derde,
volmaakte oplossing van het oude probleem bereikt door de uitvinding
van de draadlooze telegrafie; deze maakt het mogelijk van uit een
aantal over de aarde verspreide stations den Greenwichtijd uiterst
nauwkeurig aan alle met de noodige ontvangtoestellen toegeruste
schepen over te seinen, waar die zich ook op den oceaan bevinden. Is
eenmaal de internationale organisatie dezer draadlooze seinen geheel
in orde gebracht, dan verdwijnt de vroegere beteekenis van de maan
voor de zeevaart geheel en al.