Kepler begon zijn werk met een onderzoek van de beweging van Mars.
Uit Tycho's waarnemingen leidde hij met groote nauwkeurigheid alle
opposities van 1580 tot 1600 af, zoowel den tijd als de plaats aan
den hemel; daaruit kon hij, op dezelfde wijze als wij boven gedaan
hebben, de beweging van Mars gedurende den geheelen omloop afleiden,
en zoo was hij in staat voor elk oogenblik de richting van de
planeet, van uit de zon gezien, nauwkeurig te berekenen. Daarmee was
de grondslag gelegd; door hiermee de plaatsen te vergelijken, waar
Mars elk oogenblik van uit de aarde gezien was, kon hij zijn afstand
tot de zon berekenen.
Nu deed zich hier een moeilijkheid voor; de als bekend
veronderstelde maatstaf, de afstand van de aarde tot de zon, was
zelf niet altijd gelijk en kon niet eenvoudig als bekend aangenomen
worden. Maar deze moeilijkheid was op twee manieren te vermijden.
Ten eerste kon Kepler een aantal waarnemingen opzoeken, die juist
een vol aantal jaren uit elkaar lagen, waarbij de aarde zich dus
telkens op dezelfde plaats van haar baan bevonden had (in A van de
eerste figuur), terwijl Mars daarbij op verschillende plaatsen M1 M2
M3 M4 gestaan had; de afstanden van Mars tot de zon waren dan alle
in dezelfde maat Z A uitgedrukt. Hij kon echter ook een aantal
waarnemingen uitzoeken, die juist een vol aantal Marsomloopen uit
elkaar lagen, waarbij dus Mars telkens op dezelfde plaats had
gestaan (M in de tweede figuur), de aarde daarentegen op
verschillende plaatsen A1 A2 A3 A4.
[Illustratie: Afstanden van Mars.]
[Illustratie: Afstanden van de aarde.]
De verhouding der afstanden, die door de berekening gevonden werd,
leerde in dit geval hoeveel de afstanden van de zon naar A1 A2 A3 A4
onderling verschilden, uitgedrukt in een enkelen Marsafstand als
vaste maat. Terwijl de eerste methode den vorm van de Marsbaan deed
kennen, werd op deze tweede manier de gedaante van de aardbaan
gevonden, die als grondslag voor alle verdere berekeningen kon
dienst doen.
Kepler nam evenals al zijn voorgangers aan, dat de banen der
planeten excentrische cirkels waren. Wat hij dus als gedaante der
baan te bepalen had, was niets anders dan de grootte van de
excentriciteit. Inderdaad bleek het hem, dat de gedaante van de
aardbaan in niets van een cirkel verschilde, waarin de zon iets
buiten het midden stond, en wel 1/60 van den straal; naar den eenen
kant was de afstand van de aarde tot de zon 1/30 grooter dan naar
den anderen kant. De plaats waar de aarde het dichtst bij de zon
kwam, stemde ook precies overeen met de plaats, waar de snelheid van
de zon aan den hemel het grootst is. Maar het bedrag der
excentriciteit kwam niet uit; uit de wisselende snelheid van de zon
aan den hemel volgde, zooals wij ook gevonden hebben, dat zij 1/30
buiten het middelpunt moet staan, terwijl Kepler nu slechts half
zooveel, slechts 1/60 vond.
Bij Mars vertoonde zich hetzelfde verschil. Uit de grootste en de
kleinste snelheid aan den hemel vond Kepler zeer nauwkeurig een
bedrag voor de excentriciteit van 0,1856 -- wij vonden boven ook
iets minder dan 1/5. Toen hij echter den grootsten en den kleinsten
afstand van Mars tot de zon direkt uit zijn driehoeken berekende,
vond hij voor den eersten 1,6678, voor den tweeden 1,3850 keer den
straal van de aardbaan. De straal van de Marsbaan is het gemiddelde
van deze getallen, dus 1,5264 keer den straal van de aardbaan, en de
zon ligt het halve verschil van die beide getallen, dus 0,1414 keer
den aardbaanstraal buiten het middelpunt. Dit is 0.1414/1.5264 ==
0,0926 keer de straal van de Marsbaan; ook hier bij Mars zien wij,
_dat de excentriciteit uit de driehoeksmeting slechts half zoo groot
wordt gevonden als uit de wisselende snelheid aan den hemel_.
Nu kan er geen oogenblik twijfel bestaan, welke van die beide
uitkomsten juist is. Het kleinere bedrag is uit direkte metingen en
berekeningen gevonden, waarbij niets onzeker is; het grootere was
afgeleid in de onderstelling, dat de werkelijke snelheid in de
cirkelbaan steeds evengroot blijft. Bewijzen voor deze onderstelling
hebben wij geen andere dan het geloof, dat een steeds gelijk
blijvende snelheid tot de natuur van een cirkelbaan behoort. Het
blijkt nu, dat dit geloof ongegrond en de onderstelling onjuist is:
de werkelijke snelheid van een planeet in haar cirkelbaan is
veranderlijk.
Dit was nu geen nieuwe ontdekking. Reeds in de oudheid was dit
verschijnsel bij Mars, Jupiter en Saturnus opgemerkt, en Ptolemaeus
had het in zijn planetentheorie reeds op een eigenaardige,
vernuftige manier in rekening gebracht. Van uit het centraallichaam,
de zon (bij hem natuurlijk de aarde) gezien, is de schijnbare
snelheid van Mars aan den eenen kant 1/5 grooter, aan den anderen
kant 1/5 kleiner dan de gemiddelde. Zoeken wij dus een plaats, van
waaruit de snelheid zich beide malen evengroot vertoont, het
"middelpunt van beweging," dan moet de zon aan den eenen kant 1/5
dichter bij Mars zijn dan dit punt, aan den anderen kant 1/5 verder
af.
[Illustratie]
Vroeger meenden wij, dat dit punt het middelpunt van den
planetencirkel was; nu is ons echter gebleken, dat de zon slechts
1/10 buiten het middelpunt van den cirkel ligt. Hoe is dit met
elkaar te harmonieeren? Door het middelpunt van beweging aan den
anderen kant buiten het cirkelmiddelpunt te plaatsen, tegenover de
zon. Het middelpunt van den cirkel M ligt midden tusschen de zon Z
en het middelpunt van beweging A; van uit A schijnt de planeet
volkomen regelmatig rond te loopen, maar de baan is geen cirkel om
A, doch om M. Op die manier worden de waarnemingen geheel verklaard.
In a is de planeet 1/10 verder, in c 1/10 minder ver van A af: dus
zal de weg a b 1/10 grooter, en de weg c d, dien de planeet in
denzelfden tijd aflegt, 1/10 kleiner zijn dan de gemiddelde. De zon
is nu nog bovendien 1/10 dichter bij a, en 1/10 verder van c af; een
regelmatig loopende planeet zou dus in a 1/10 sneller, in c 1/10
langzamer schijnen. Daar in a echter de werkelijke snelheid al 1/10
grooter is, wordt de werking verdubbeld; de snellere beweging
schijnt op den korteren afstand 1/5 grooter, de langzamere beweging
op den grooteren afstand 1/5 kleiner dan gemiddeld.
Natuurlijk was de invoering van dit bijzondere "middelpunt van
beweging," van waaruit de beweging van de planeet zich geheel
regelmatig vertoont, slechts een formeel redmiddel om de oude
grondstelling van de volkomen regelmatigheid der cirkelbewegingen in
schijn te laten bestaan; in werkelijkheid was deze grondstelling
daarmee opgeheven.
Kepler had nu bewezen, dat bij Mars met de grootste nauwkeurigheid
de excentriciteit van de baan precies de helft van de uit de
beweging berekende excentriciteit was; daar hij bovendien voor het
eerst bij de aarde hetzelfde aantoonde, moest hij aannemen, dat dit
voor alle planeten gold. Maar de vorm, waarin Ptolemaeus het
verschijnsel uitgedrukt had, kon hem niet bevregen. Is de planeet
dan een bezield wezen, dat zijn snelheid naar een denkbeeldig punt
in de ruimte regelt?
[Illustratie: De wet der perken.]
Hoe kan een plaats in de ruimte, waar niets is, een plaats, die
alleen in wiskundig verband met de wezenlijke punten Z en M staat,
de beweging van de planeet beheerschen, en waarom moet die plaats
juist dáár liggen? Veel natuurlijker is het, een verband te zoeken
tusschen de wisselende snelheid van de planeet en het werkelijke
lichaam van de zon; want de zon beheerscht toch den loop der
planeten. En dan ligt het verband dadelijk voor de hand. In a is de
snelheid van de planeet 1/10 grooter en tegelijk de afstand tot de
zon 1/10 kleiner dan gemiddeld, en omgekeerd in c. De snelheden a b
en c d verhouden zich als 11 tot 9; de afstanden tot de zon Z a en Z
c als 9 tot 11. Dit verband kan zoo uitgedrukt worden, dat de
driehoekige oppervlakken of perken Z a b en Z c d even groot zijn.
Voor langere tijden voegen zich deze smalle driehoekige perken tot
grootere sektoren samen. Zoo luidt dan de eerste door Kepler
gevonden bewegingswet der planeten, de zoogenaamde _wet der perken:
de planeten bewegen zich zoo, dat in gelijke tijdsruimten even
groote sektoren of perken beschreven worden_.
Is het oppervlak 2 tweemaal zoo groot als het oppervlak 1, dan heeft
de planeet voor den weg f g een tweemaal langeren tijd noodig dan
voor den weg e f.
Nu kon Kepler zich aan het werk zetten om de proef op de som te
maken. Hij had voor de excentriciteit en voor de richting, waarin de
zon ten opzichte van het middelpunt staat, zoowel bij Mars als bij
de aarde, de nauwkeurigste getallen afgeleid; ook had hij de helling
en den stand van de Marsbaan ten opzichte van de ekliptika
nauwkeurig berekend, waarover wij hier niets gezegd hebben, ofschoon
zijn berekeningen daardoor veel moeilijker en bewerkelijker werden.
[Illustratie: JOHANNES KEPLER
(1571-1630)]
Als hij nu met deze gegevens voor den een of anderen dag de plaats
berekende, waar Mars zich, van uit de aarde gezien, bevinden moest,
dan moest dit binnen de grenzen der mogelijke kleine
waarnemingsfoutjes precies uitkomen met de plaats, waar Tycho op
dien dag de planeet werkelijk had waargenomen. Daaruit moest de
juistheid van zijn theorie blijken. Toen hij nu de proef uitvoerde,
bleek het, dat ze niet geheel uitkwam. Wel waren de afwijkingen
klein -- slechts een klein deel van een graad, dus zoo gering, dat
vroeger geen sterrekundige daarop zou gelet hebben. Kepler wist
echter, hoe nauwkeurig en betrouwbaar Tycho's waarnemingen waren;
hij wist dat de gevonden afwijkingen te groot waren, om door fouten
van Tycho verklaard te kunnen worden; de planeet had werkelijk op
een andere plaats gestaan, dan hij volgens zijn theorie berekend
had. Dus ging hij opnieuw aan het werk.
[Illustratie]
Lang heeft hij op de meest verschillende manieren beproefd, om
achter het raadsel te komen. De afwijkingen traden vooral op,
wanneer de planeet zich ergens halfweg tusschen haar grootsten en
haar kleinsten afstand tot de zon bevond, dus zijdelings van de
middellijn, waarop de zon stond. Hij berekende nu uit een aantal
waarnemingen in die gedeelten van de baan direkt volgens de
driehoeksmethode den afstand van de planeet tot de zon, en hij vond
hem inderdaad iets kleiner dan hij tot nog toe had aangenomen. Het
verschil was wel niet groot, slechts 1/230 van den straal; maar toch
was er geen twijfel aan, dat de planeet zich daar niet op den
aangenomen cirkel, doch iets _binnen dezen cirkel_ bevond. Was de
baancirkel dan te groot aangenomen? Neen, want op den grootsten en
kleinsten afstand tot de zon kwam het precies uit. Er was dus niet
aan te twijfelen: _de baan van Mars is geen cirkel. De baan van Mars
is zijdelings iets samengedrukt, in de richting naar de zon en van
de zon af iets langwerpig_. Allerlei onderstellingen over de natuur
van deze langwerpige figuur heeft Kepler op de proef gesteld, tot
hij eindelijk vond, dat zij een ellips was.
Wat is een ellips? Ieder kent ze, zij het ook niet bij name, als den
vorm van de schaduw van een cirkel. Houdt men een cirkelvormige
schijf of ring precies dwars in de zonnestralen, dan is de schaduw
op een papier, dat in dezelfde richting wordt gehouden, een cirkel.
Houdt men den ring echter schuin, aldoor schuiner, dan ziet men, dat
de schaduw in ééne richting steeds smaller wordt; zij wordt
langwerpig. Deze figuren zijn allemaal ellipsen; zij komen in alle
overgangen voor van een volkomen ronden cirkel, steeds smaller
wordend, tot een lijn zonder breedte. Iedere cirkel vertoont zich,
wanneer hij niet volkomen recht voor het oog wordt gehouden, in de
gedaante van een ellips.
[Illustratie: Ellips.]
De eenvoudige en mooie eigenschappen van deze ellipsen waren reeds
in de oudheid door een scherpzinnig wiskunstenaar, _Apollonius_ van
Pergae, ontdekt. De langste en de kortste middellijn, die groote en
kleine as genoemd worden, bepalen de gedaante van de ellips, die des
te langwerpiger is, naarmate de assen meer verschillen. Op de groote
as liggen ter weerszijden van het middelpunt twee merkwaardige
punten, die de brandpunten heeten. Zij liggen van de eindpunten der
kleine as zoover af, als de halve lengte van de groote bedraagt; in
onze figuur, waar A en B de brandpunten zijn, zijn A C en B C beide
even lang als M D. Hoe ronder de ellips is, des te dichter liggen de
brandpunten bij elkaar; hoe langwerpiger de ellips, des te meer
liggen de brandpunten in de spitse toppen; een cirkel zou men dus
een ellips kunnen noemen, waarbij de beide brandpunten in het
middelpunt samengevloeid zijn. De afstand van de brandpunten tot het
middelpunt, de excentriciteit, bepaalt dus ook de gedaante van de
ellips.
Deze brandpunten hebben nu de merkwaardige eigenschap, dat elk punt
der ellips van beiden te zamen evenver verwijderd is -- zij spelen
dus te zamen een rol, die het middelpunt in den cirkel speelt. De
afstanden A E en B E zijn te zamen altijd evengroot, wáár ook het
punt E ligt, dus gelijk aan A C + B C, of gelijk aan A D + B D, dus
gelijk aan de groote as.
[Illustratie: Hoe men een ellips teekent.]
Deze eigenschap vindt een nuttige toepassing bij het teekenen van een
ellips. In een papier steekt men twee spelden op de plaats van de
brandpunten; men legt er een samengeknoopten draad omheen en gaat nu
met een potlood zóó rond, dat het potlood dien draad aldoor gespannen
houdt. Wie een beetje handig in meetkunde is, kan uit deze eigenschap
gemakkelijk afleiden, dat de beide voerstralen A E en B E in het punt
E met de richting van de ellipslijn zelf gelijke hoeken maken. Heeft
men een spiegel in den vorm van een ellips gebogen, dan wordt een
lichtstraal, die in de richting A E op den spiegel valt, in de
richting E B teruggekaatst. Dit geldt voor elk punt van den spiegel;
staat dus een lichtbron in A, dan worden alle stralen, die op den
spiegel vallen, naar B gekaatst, waar zij zich als in een brandpunt
verzamelen; vandaar de naam dezer punten.
Zulk een ellips nu moest de Marsbaan zijn -- wel is waar, een zeer
ronde, daar de kleine as slechts 1/230 kleiner was dan de groote as.
Waar liggen nu de brandpunten van deze ellips? De berekening is
gemakkelijk uit te voeren met behulp van de beroemde stelling van
Pythagoras, waarnaar het kwadraat van de halve kleine as M C en het
kwadraat van de excentriciteit M B samen gelijk zijn aan het
kwadraat van de halve groote as B C. Bij een excentriciteit van 1/10
moet dus de kleine as 1/200 korter, bij een excentriciteit van 1/11
moet ze 1/242 korter dan de groote as zijn. In de gevonden Marsbaan
moeten dus de brandpunten nagenoeg 1/11 buiten het middelpunt
liggen. Maar juist op die plaats, 0,0926 keer de halve groote as
buiten het middelpunt bevindt zich de zon! _De Marsbaan is dus een
ellips en de zon bevindt zich in een der brandpunten van deze
ellips_.
Opeens was nu het raadsel opgelost, waarom de cirkels der planeten
excentrisch zijn. Zij zijn geen cirkels, maar ellipsen. Dat was bij
de andere planeten nu wel niet direkt te bewijzen, want hun banen
verschillen door de kleinheid van de excentriciteit zoo weinig van
cirkels, dat het in de waarnemingen in het geheel niet te voorschijn
kan treden -- Kepler had zijn ontdekking bij geen andere planeet dan
bij Mars kunnen doen. Maar de gevolgtrekking was toch niet van de
hand te wijzen, dat de excentriciteit ook bij de andere planeten
niets anders beteekent, dan dat hun banen zeer ronde ellipsen zijn
met de zon in het brandpunt. En zoo is dan de tweede wet van Kepler:
_De planeten bewegen zich om de zon in ellipsen, zoo, dat de zon in
een van de brandpunten staat_.
Zoo was de ware natuur van de planetenbanen onthuld. Nu bleef alleen
nog maar over, uit Tycho's waarnemingen nauwkeurige getallen af te
leiden voor de grootte, den vorm en den stand der baan; dan kon
daaruit voor alle toekomstige tijden de plaats van elke planeet aan
den hemel nauwkeurig vooruit berekend worden. In deze getallen, de
zoogenaamde "elementen" van de planetenbanen, die in de volgende
lijst staan, zooals Kepler ze opgeeft, zijn alle waarnemingen van
Tycho en alle berekeningen van Kepler samengevat, is al onze
wetenschap der planetenbewegingen in een kort bestek uitgedrukt. Zij
zijn, behalve de omloopstijd en de halve groote as: de
excentriciteit van de ellips, de lengte in de ekliptika, waarheen
dat uiteinde van de groote as gericht is, waar de planeet het
dichtst bij de zon komt (perihelium): verder de hoek, dien de
planetenbaan met de ekliptika maakt, en de plaats, waar de planeet
de ekliptika, van het Zuiden naar het Noorden gaande, passeert
(klimmende knoop).
Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus
halve
groote as 0,388 0,724 1 1,5235 5,1965 9,510
excentriciteit 0,21 0,0069 0,0179 0,0926 0,0482 0,0570
lengte van het
perihelium... 75 122 96 329 1/3 7 85 5/6 gr.
helling van
de baan.... 6gr.54m. 3gr.22 m. 0 1gr.50 1/2m. 1gr.20m.
2gr.32m.
lengte v/d
klimmenden
knoop.... 223 1/2 72 1/2 -- 49 97 111 gr.
omloopstijd. 87.97 224.70 365.25 686.98 4332.62 10759.20 d.
Met deze getallen als grondslag heeft Kepler tafels voor de
toekomstige beweging der planeten berekend, die hij ter eere van den
vorst, die Tycho en hem had ondersteund, _de Rudolfijnsche tafels_
noemde. Zoo had hij de opdracht, die Tycho hem als erfenis naliet,
vervuld; maar daarmee was zijn eigen doel nog niet bereikt. Voor hem
was dit alles slechts middel tot het grootere doel: _de harmonie der
wereld_ na te sporen. Hij zocht nog naar een algemeen verband
tusschen den afstand, de snelheid en den baanvorm van de planeten;
hij zocht om zoo te zeggen naar de architektuur van het
planetenstelsel, en trachtte deze met andere door de eenvoudige
schoonheid der getallen beheerschte wereldharmonieën, zooals de
regelmatige lichamen en de muzikale tonen, in samenhang te brengen.
Daaraan werkte en rekende hij tegelijk met de tafels. Hij had al
lang bemerkt, dat de snelheid der planeten met hun afstand minder
wordt (zooals wij ook op blz. 181 opmerkten). Bestaat er nu een
verband tusschen omloopstijd en grootte der baan, dat voor alle
planeten op dezelfde manier geldt? Na veel probeeren ontdekte Kepler
in 1615 zulk een verband. In de volgende lijst hebben wij voor
iedere planeet den door hem gevonden gemiddelden afstand tot de zon,
d.w.z. de halve groote as der ellips (de aarde als eenheid genomen)
en den omloopstijd in jaren, dus ook met de aarde als eenheid, naast
elkaar gezet. Van het getal voor den omloopstijd vormen wij het
kwadraat, door het met zichzelf te vermenigvuldigen, en van het
getal voor den afstand vormen wij de derde macht, door het kwadraat
nog eens met het getal zelf te vermenigvuldigen.
planeet afstand omloopstijd kwadraat v.d. derde macht v.d.
omloopstijd afstand
Mercurius. . 0.388 0.241 0.0581 0.0584
Venus. . . . 0.724 0.615 0.3785 0.3795
Aarde. . . . 1. 1. 1. 1.
Mars . . . . 1.5235 1.881 3.538 3.536
Jupiter. . . 5.1965 11.857 140.6 140.3
Saturnus . . 9.510 29.425 865.8 860.1
De getallen der beide laatste kolommen blijken zoo nauwkeurig met
elkaar overeen te stemmen, dat de overblijvende verschillen zonder
bedenken aan de overgebleven kleine foutjes der aangenomen waarden
mogen worden toegeschreven. Dus luidt de _derde wet_ van Kepler:
_De kwadraten der omloopstijden staan bij de verschillende planeten
in dezelfde reden tot elkaar als de derde machten der gemiddelde
afstanden tot de zon_.
Dat wil dus zeggen: als een planeet 4 maal zoo ver als een andere
van de zon verwijderd is, is haar omloopstijd 8 maal zoo groot (8 x
8 == 4 x 4 x 4), dus haar snelheid 2 maal zoo klein; staat zij 9
maal verder van de zon, dan is de omloopstijd 27 maal grooter en de
snelheid 3 maal kleiner.
Door deze wetten was nu voor het eerst de werkelijke beweging der
planeten uit ervaring en waarneming afgeleid; daarmee waren de
primitieve theorieën der oudheid, die van een regelmatige
cirkelbeweging als iets vanzelfsprekends uitgingen, voorgoed van het
tooneel verdwenen. De tijdgenooten hebben echter aan deze wetten van
Kepler even weinig opmerkzaamheid geschonken, als aan zijn overige
theorieën over de harmonie der wereld. Voordat de beteekenis van
deze wetten duidelijk kon worden, moest eerst de mechanika, de leer
van de beweging, in de 17de eeuw tot een grootere hoogte ontwikkeld
worden.
Daarentegen werden de Rudolfijnsche tafels algemeen hoog gewaardeerd
en gebruikt, omdat zij voor het eerst juiste plaatsen gaven. Door
deze tafels was het programma verwezenlijkt, dat Tycho meer dan een
halve eeuw vroeger opgesteld had. Maar voor het doel, dat Tycho er
toen mee beoogde, was het niet meer noodig; de astrologie, de
openlijke of verborgen drijfveer van zoovele eeuwen van astronomisch
onderzoek, ging juist te gronde, toen zij eindelijk haar materiaal
zou krijgen. Met het wereldstelsel van Copernicus, dat juist in
denzelfden tijd door Galilei's ontdekkingen tot zekerheid was
geworden, was het astrologisch geloof niet meer te vereenigen. De
planeten waren wereldlichamen van gelijken rang als de aarde,
misschien ook wel door levende wezens bewoond; hoe kon daar de
opvatting blijven bestaan, dat zij slechts als lichten aan den hemel
geplaatst waren met het doel, het nietige menschenlot op aarde te
verkondigen? Een nieuw doelwit wenkte de natuuronderzoekers; niet
meer het levenslot van de menschen op aarde met het gebeuren aan den
hemel in verbinding te brengen, maar de eigen wetten van den hemel
te onderzoeken, de harmonie der groote wereld zelf te leeren kennen.
Daarvoor had Kepler de grondslagen gelegd, en op zijn werk
voortbouwend heeft de 17de eeuw de taak volbracht, de grondwet van
het hemelsch heelal te vinden.