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Anmerkungen zur Transkription
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RELATIVITÄTSTHEORIE
UND ERKENNTNIS APRIORI
VON
HANS REICHENBACH
[Illustration]
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1920
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1920 by Julius Springer in Berlin.
ALBERT EINSTEIN
GEWIDMET
Inhaltsübersicht.
Seite
I. Einleitung 1
II. Die von der speziellen Relativitätstheorie behaupteten
Widersprüche 6
III. Die von der allgemeinen Relativitätstheorie behaupteten
Widersprüche 21
IV. Erkenntnis als Zuordnung 32
V. Zwei Bedeutungen des Apriori und die implizite
Voraussetzung Kants 46
VI. Widerlegung der Kantischen Voraussetzung durch die
Relativitätstheorie 59
VII. Beantwortung der kritischen Frage durch die
wissenschaftsanalytische Methode 71
VIII. Der Erkenntnisbegriff der Relativitätstheorie als
Beispiel der Entwicklung des Gegenstandsbegriffes 89
Literarische Anmerkungen 104
I. Einleitung.
Die ~Einsteinsche~ Relativitätstheorie hat die philosophischen
Grundlagen der Erkenntnis in schwere Erschütterung versetzt. Es
hat gar keinen Zweck, das zu leugnen, so zu tun, als ob diese
physikalische Theorie nur physikalische Auffassungen ändern konnte,
und als ob die philosophischen Wahrheiten von ihr unberührt in alter
Höhe thronten. Zwar stellt die Relativitätstheorie nur Behauptungen
über ~physikalische~ Meßbarkeitsverhältnisse und physikalische
~Größenbeziehungen~ auf, aber es muß durchaus zugegeben werden, daß
diese speziellen Behauptungen den allgemeinen ~philosophischen~
Grundbegriffen widerstreiten. Die philosophischen Axiome waren
von jeher, und auch in ihrer kritischen Form, so gefaßt, daß sie
zwar speziellen Ausdeutungen gegenüber invariant blieben, aber
immer eine bestimmte Gruppe von physikalischen Aussagen definitiv
ausschlossen; und gerade solche ausgeschlossenen Möglichkeiten
hat die Relativitätstheorie hervorgesucht und zum Leitfaden ihrer
physikalischen Annahmen gemacht.
Schon die spezielle Relativitätstheorie stellte schwere Anforderungen
an die Toleranz eines kritischen Philosophen. Sie nahm der Zeit den
Charakter eines nicht umkehrbaren Ablaufs und behauptete, daß es
Geschehnisse gäbe, deren zeitliche Aufeinanderfolge mit gleichem Recht
umgekehrt angenommen werden dürfte. Das ist zweifellos ein Widerspruch
zu der vorher geltenden Anschauung, auch zu dem Zeitbegriff ~Kants~.
Man hat diese Schwierigkeit gelegentlich beseitigen wollen, indem man
die „physikalische Zeit“ von der „phänomenologischen Zeit“ unterschied
und sich darauf bezog, daß die ~Zeit als subjektives Erlebnis~ immer
die irreversible Folge blieb. Aber in ~Kants~ Sinne ist diese Trennung
sicherlich nicht. Denn für ~Kant~ ist es gerade das Wesentliche einer
aprioren Erkenntnisform, daß sie eine ~Bedingung der Naturerkenntnis~
bildet, und nicht bloß eine subjektive Qualität unserer Empfindungen.
Wenn er auch gelegentlich von der Art, wie die Dinge unsere Wahrnehmung
„affizieren“, spricht, so meint er doch immer, daß diese subjektive
Form gleichzeitig eine objektive Form für die Erkenntnis ist, weil die
subjektive Komponente notwendig im Objektsbegriff enthalten ist; und er
würde nicht zugegeben haben, daß man für das physikalische Geschehen
mit einer anderen Zeitordnung arbeiten dürfte, als eben dieser in
der Natur des erkennenden Subjekts angelegten Form. Darum war es nur
folgerichtig, wenn bereits gegen die spezielle Relativitätstheorie
Einwände aus philosophischen Kreisen erhoben wurden, sofern sie aus dem
Begriffskreis der Kantischen Philosophie herrührten.
Durch die allgemeine Relativitätstheorie hat sich diese Lage aber noch
vielfach verschärft. Denn in ihr wurde nichts Geringeres behauptet, als
~daß die euklidische Geometrie für die Physik nicht verwandt werden
dürfte~. Man mache sich den weitgehenden Inhalt dieser Behauptung
einmal ganz klar. Zwar waren schon seit fast einem Jahrhundert Zweifel
an der aprioren Stellung der euklidischen Geometrie aufgetaucht.
Die Aufstellung nichteuklidischer Geometrieen hatte die Möglichkeit
begrifflicher Konstruktionen gezeigt, die den bekannten anschaulich
evidenten Axiomen ~Euklids~ widersprechen. ~Riemann~ hatte eine
allgemeine Mannigfaltigkeitslehre in analytischer Form begründet, in
der der „ebene“ Raum als Spezialfall erscheint. Man konnte, nachdem
die begriffliche Notwendigkeit der euklidischen Geometrie gefallen
war, ihre Sonderstellung nur dadurch begründen, daß man sie als
~anschaulich evident~ von den anderen Mannigfaltigkeiten unterschied,
und basierte auf diesen Vorzug allein -- übrigens ganz im Sinne
~Kants~ -- die Forderung, daß gerade diese Geometrie zur Beschreibung
der Wirklichkeit, also für die Physik, verwandt werden müßte. So war
der Widerspruch gegen die euklidische Geometrie auf einen Einwand
gegen ihre rein ~begriffliche~ Begründung zurückgeführt. Gleichzeitig
tauchte von der Seite der Empiristen erneuter Zweifel auf; man wollte
aus der Möglichkeit anderer Geometrieen folgern, daß die Sätze der
euklidischen Geometrie nur durch Erfahrung und Gewöhnung ihren für
unsere Anschauung zwingenden Charakter erhalten hätten. Und drittens
wurde von mathematischer Seite geltend gemacht, daß es sich in der
Geometrie nur um konventionelle Festsetzungen, um ein leeres Schema
handelte, das selbst keine Aussagen über die Wirklichkeit enthielte,
sondern nur als ihre Form gewählt sei, und das mit gleichem Recht durch
ein nichteuklidisches Schema ersetzt werden könnte[1]. Gegenüber diesen
Einwänden stellt aber der Einspruch der allgemeinen Relativitätstheorie
einen ganz neuen Gedanken dar. Diese Theorie stellt nämlich die ebenso
einfache wie klare Behauptung auf, daß die Sätze der euklidischen
Geometrie für die Wirklichkeit überhaupt ~falsch~ wären. Das ist in
der Tat etwas wesentlich anderes als die genannten drei Standpunkte,
denen allen gemeinsam ist, daß sie an der Geltung der euklidischen
Axiome nicht zweifeln, und die nur in der Begründung dieser Geltung
und ihrer erkenntnistheoretischen Deutung differieren. Man erkennt, daß
damit auch die kritische Philosophie vor eine ganz neue Frage gestellt
ist. Es ist gar kein Zweifel, daß ~Kants~ transzendentale Ästhetik von
der unbedingten Geltung der euklidischen Axiome ausgeht; und wenn man
auch darüber streiten kann, ob er in ihrer anschaulichen Evidenz den
Beweisgrund seiner Theorie des aprioren Raums, oder umgekehrt in der
Apriorität des Raumes den Beweisgrund ihrer Evidenz sieht, so bleibt
es doch ganz sicher, daß mit der ~Ungültigkeit~ dieser Axiome seine
Theorie unvereinbar ist.
Darum gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder ist die
Relativitätstheorie falsch, oder die ~Kant~ische Philosophie bedarf
in ihren ~Einstein~ widersprechenden Teilen einer Änderung[2]. Der
Untersuchung dieser Frage ist die vorliegende Arbeit gewidmet.
Die erste Möglichkeit erscheint nach den glänzenden Erfolgen der
Relativitätstheorie, ihrer wiederholten Bestätigung durch die
Erfahrung und ihrer Fruchtbarkeit für die theoretische Begriffsbildung
von vornherein unwahrscheinlich. Aber es soll hier nicht eine
physikalische Theorie bedingungslos übernommen werden, zumal, da die
erkenntnistheoretische Deutung ihrer Aussagen noch so umstritten
ist. Wir wählen deshalb folgendes Arbeitsverfahren. Es muß zunächst
festgestellt werden, welches die Widersprüche sind, die zwischen
der Relativitätstheorie und der kritischen Philosophie bestehen,
und welches die Voraussetzungen und Erfahrungsresultate sind, die
die Relativitätstheorie für ihre Behauptungen anführt[3]. Danach
untersuchen wir, von einer Analyse des Erkenntnisbegriffs ausgehend,
welche Voraussetzungen die Erkenntnistheorie ~Kants~ einschließt, und
indem wir diese den Resultaten unserer Analyse der Relativitätstheorie
gegenüberstellen, entscheiden wir, in welchem Sinne die Theorie
~Kants~ durch die Erfahrung widerlegt worden ist. Wir werden sodann
eine solche Änderung des Begriffs „apriori“ durchführen, daß dieser
Begriff mit der Relativitätstheorie nicht mehr in Widerspruch
tritt, daß vielmehr die Relativitätstheorie durch die Gestaltung
ihres Erkenntnisbegriffs als eine Bestätigung seiner Bedeutung
angesehen werden muß. Die Methode dieser Untersuchung nennen wir die
wissenschaftsanalytische Methode.
II. Die von der speziellen Relativitätstheorie behaupteten Widersprüche.
Wir werden in diesem und dem folgenden Abschnitt das Wort apriori im
Sinne ~Kants~ gebrauchen, also dasjenige apriori nennen, was die Formen
der Anschauung oder der Begriff der Erkenntnis als evident fordern.
Wir tun dies nur in der Absicht, gerade auf diejenigen Widersprüche
geführt zu werden, die zu aprioren Prinzipien eintreten, denn es treten
natürlich auch Widersprüche der Relativitätstheorie zu vielen anderen
Prinzipien der Physik auf. Irgendein Beweisgrund für die ~Geltung~
der Prinzipien soll aber mit der Kennzeichnung als apriori nicht
vorweggenommen sein[4].
In der speziellen Relativitätstheorie -- wir dürfen diese Theorie auch
heute noch als für ~homogene~ Gravitationsfelder gültig ansehen --
behauptet ~Einstein~, daß das ~Newton-Galilei~sche Relativitätsprinzip
der Mechanik mit dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
unvereinbar sei, wenn nicht neben der Transformation der räumlichen
Koordinaten auch eine Zeittransformation vorgenommen wird, die dann zur
Relativierung der Gleichzeitigkeit und zur teilweisen Umkehrbarkeit der
Zeit führt. Dieser Widerspruch ist sicherlich richtig. Wir fragen: Auf
welche Voraussetzungen stützen sich ~Einsteins~ Prinzipien?
Das ~Galilei~sche Trägheitsprinzip ist gewiß ein Erfahrungssatz.
Es ist gar nicht einzusehen, warum ein Körper, auf den keine Kraft
wirkt, sich ständig bewegen soll; würden wir uns nicht so an diesen
Gedanken gewöhnt haben, so würden wir wahrscheinlich zunächst das
Gegenteil behaupten. Allerdings läßt Galilei auch den Ruhezustand als
kräftefrei zu. Aber darin liegt seine weitgehende Behauptung, daß die
gleichförmige Bewegung der Ruhe mechanisch völlig äquivalent sei. Durch
physikalische Relationen ist definiert, was eine Kraft ist. Aber daß
die Kraft nur bei Geschwindigkeits~änderungen~ auftritt, daß also die
Phänomene, die wir als Kraftwirkung kennen, an das Auftreten einer
~Beschleunigung~ geknüpft sind, ist gewiß nicht evident im Sinne einer
aprioren Einsicht. In dieser Auffassung ist also das ~Galilei~sche
Trägheitsprinzip zweifellos ein Erfahrungssatz.
Jedoch läßt sich diesem Prinzip eine andere Form geben. Es besagt
dann, daß eine gewisse Gruppe von Koordinatensystemen, nämlich
alle gegeneinander gleichförmig bewegten, für die Beschreibung des
mechanischen Vorgangs äquivalent seien. Die Gesetze der Mechanik
ändern ihre Form nicht, wenn man von einem dieser Systeme auf ein
anderes transformiert. In dieser Form ist die Aussage aber viel
allgemeiner als in der ersten Form. Das mechanische Gesetz kann
seine Form auch dann behalten, wenn sich die Größen der Kräfte
ändern; für die Erhaltung der Form wird nur verlangt, daß sich die
Kräfte im neuen System ebenso aus den Koordinaten ableiten, wie im
alten, daß also der ~Funktionalzusammenhang~ ungeändert bleibt.
Diese Aussage ist aber viel prinzipieller als die ~Galilei~sche. Das
Trägheitsprinzip, die Gleichberechtigung gleichförmig bewegter Systeme,
erscheint hier nur als besonderer Fall, es gibt nämlich diejenigen
Koordinatentransformationen an, bei welchen die Erhaltung des
Funktionalzusammenhangs speziell durch die Erhaltung der Kraft~größen~
herbeigeführt wird. Daß es solche Transformationen gibt, und welche
dies sind, kann allerdings nur die Erfahrung lehren. Aber daß das
physikalische ~Gesetz~, und nicht nur die ~Kraft~, invariant gegen
Koordinatentransformationen sein soll, liegt viel tiefer begründet.
Dieses Prinzip verlangt nämlich, in anderen Worten ausgedrückt, daß
der Raum keine physikalischen Eigenschaften haben soll, daß das Gesetz
bestimmt ist durch die Verteilung und die Natur der ~Dinge~, und die
Wahl des Bezugssystems keinen Einfluß auf den Vorgang haben kann.
Für den ~Kant~ischen Standpunkt, auf dem Raum und Zeit nur Formen
der Einordnung sind, und nicht Glieder der Wirklichkeit wie die
Materie und die Kräfte, ist das eigentlich selbstverständlich. Es muß
befremden, daß gegen die ~Galilei-Newton~schen Gesetze und auch gegen
die spezielle Relativitätstheorie nicht von philosophischer Seite
schon lange der Einwand erhoben wurde, daß die postulierte Invarianz
noch keineswegs ausreicht. Denn gerade die gleichförmige Translation
auszuzeichnen, liegt für den Philosophen kein Grund vor; wenn einmal
der Raum als Ordnungsschema und nichts physikalisch Gegenständliches
erkannt war, mußten auch alle beliebig bewegten Koordinatensysteme
für die Beschreibung der Geschehnisse äquivalent sein. ~Mach~ scheint
der einzige gewesen zu sein, der diesen Gedanken in aller Schärfe
aussprach; aber er vermochte nicht, ihn in eine physikalische Theorie
umzusetzen. Und niemand hat ~Einstein~ bei seiner Aufstellung der
speziellen Relativitätstheorie entgegengehalten, daß sie noch nicht
radikal genug sei. Erst ~Einstein~ selbst hat seiner Theorie diesen
Einwand gemacht, und hat dann den Weg gezeigt, eine wirklich allgemeine
Kovarianz durchzuführen. Die ~Kant~ische Philosophie mußte ihren
Grundbegriffen entsprechend schon immer die Relativität der Koordinaten
fordern; daß sie es nicht getan hat und die Konsequenzen nicht
ahnte, die in dieser Forderung implizit enthalten waren, liegt darin
begründet, daß erst die experimentelle Physik zur Aufdeckung einer
zweiten grundsätzlichen Forderung führen mußte, die der spekulativen
Betrachtung zu fern lag, um von ihr erkannt werden zu können.
Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist die physikalische Form dieser
zweiten Forderung. Durch empirische Beobachtung hatten die Physiker
sie entdeckt; aber als ~Einstein~ sie in seiner berühmten ersten
Abhandlung[5] zur Grundlage seiner speziellen Relativitätstheorie
machte, konnte er ihre Bedeutung schon in viel tieferem Zusammenhange
zeigen.
~Einstein~ ging davon aus, daß man, um in einem gewählten
Koordinatensystem an jedem Punkt die synchrone Zeit zu definieren,
einen mit bestimmter Geschwindigkeit sich ausbreitenden physikalischen
Vorgang braucht, der Uhren an verschiedenen Punkten zu vergleichen
gestattet. Über den Bewegungszustand dieses Vorgangs gegen
das Koordinatensystem muß man dann eine Hypothese machen; von
dieser Hypothese hängt die Zeit des Koordinatensystems und die
Gleichzeitigkeit an getrennten Punkten ab. Darum ist es unmöglich,
diesen Bewegungszustand zu bestimmen; denn für die Bestimmung müßte
eine Zeitdefinition vorausgesetzt sein. Alle Experimente darüber würden
nur lehren, welche Zeitdefinition man angewandt hat, oder sie würden
zu Widersprüchen mit den Konsequenzen der Hypothese führen, also eine
negative Auswahl treffen. In jeder „Koordinatenzeit“ ist daher eine
gewisse Willkür enthalten. Man reduziert diese Willkür auf ein Minimum,
wenn man die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Vorgangs als konstant,
von der Richtung unabhängig und gleich für alle Koordinatensysteme
ansetzt.
Es ist keineswegs gesagt, daß diese ~einfachste~ Annahme auch
~physikalisch zulässig~ ist. Sie führt z. B., wenn man an der
zeitlichen Nichtumkehrbarkeit der kausalen Abläufe festhält (Prinzip
der irreversiblen Kausalität), in ihren Konsequenzen dazu, daß es
keine größere Geschwindigkeit als die ausgewählte gibt; und mindestens
muß man deshalb unter allen bekannten Geschwindigkeiten die größte
auswählen, wenn sie zur Zeitdefinition geeignet sein soll. Darum war
die Lichtgeschwindigkeit geeignet, die Rolle dieser ausgezeichneten
Geschwindigkeit zu übernehmen. Es mußte dann noch festgestellt werden,
ob die durch diese Geschwindigkeit definierte Zeit zusammenfällt mit
der bisher durch die mechanischen Gesetze der Himmelskörper definierten
Zeit, d. h. ob nicht die in ihrer Einfachheit sicherlich tiefe Gesetze
darstellenden Formeln der Mechanik auf die Existenz einer noch größeren
unbekannten Geschwindigkeit hindeuteten. Als Entscheidung darüber
konnte der ~Michelson~sche Versuch betrachtet werden, der die Konstanz
der Lichtgeschwindigkeit für alle Systeme bewiesen hatte. Trotzdem
blieb es noch offen, ob nicht eines Tages Erfahrungen auftauchen
würden, die eine so einfache Annahme als Grundlage der Zeitdefinition
wie die Konstanz einer Geschwindigkeit unmöglich machten. Diese
Erfahrungen sind in der Tat aufgetaucht, allerdings erst nachdem die
theoretische Überlegung bereits die spezielle Relativitätstheorie
wieder aufgegeben hatte: die bei der letzten Sonnenfinsternis
beobachtete Lichtablenkung durch das Gravitationsfeld der Sonne ist
ein Beweis dafür, daß die genannte einfachste Zeitdefinition allgemein
nicht durchführbar ist. Die spezielle Relativitätstheorie wurde damit
auf den Spezialfall eines homogenen Gravitationsfeldes zurückgeführt.
Man erkennt an diesen Überlegungen, was in der Zeitauffassung der
speziellen Relativitätstheorie die empirische Grundlage ist. Aber über
der Grundlage des Erfahrungsmaterials erhebt sich der tiefe Gedanke
~Einsteins: daß eine Zeitdefinition ohne eine physikalische Hypothese
über bestimmte Ausbreitungsgeschwindigkeiten unmöglich ist~. Auch die
alte Definition einer absoluten Zeit erscheint nur als Spezialfall
dieser Auffassung: sie enthält die Hypothese, daß es eine mit unendlich
großer Geschwindigkeit sich ausbreitende Wirkung gibt.
Man beachte gerade diesen Zusammenhang. Es ist ~Einstein~ eingewandt
worden, daß seine Überlegungen nur zeigen, wie der Physiker mit seinen
beschränkten Hilfsmitteln niemals zu einer genauen „absoluten“ Zeit
kommen kann; an der Idee einer solchen Zeit und ihrer fortschreitend
approximativen Messung müßte festgehalten werden. Dieser Einwand
ist falsch. Die „absolute“ Zeit fordert einen Vorgang, der sich mit
unendlicher Geschwindigkeit ausbreitet; ein solcher Vorgang würde aber
unseren Vorstellungen über die kausale Wirkungsübertragung durchaus
widersprechen. Es ist eine schon von vielen Philosophen erhobene
Forderung, daß Fernkräfte nicht angenommen werden dürfen; aber diese
bedeuten nichts anderes als die unendlich rasche Wirkung zwischen zwei
entfernten Punkten. Schreibt man der Kraftübertragung eine mit der
Entfernung wachsende endliche Dauer zu, so kann man sie sich immer
als von Punkt zu Punkt wandernd, also als Nahewirkung, vorstellen; ob
man dabei von einem Äthermedium spricht, ist dann mehr eine Sache des
sprachlichen Ausdrucks. Man kann das Prinzip der Nahewirkung genau so
gut ein apriores Prinzip nennen, wie etwa ~Kant~ die Unzerstörbarkeit
der Substanz apriorisch genannt hat. Die genaue Bestimmung der
absoluten Zeit wird also durch ein apriores Prinzip auf jeden Fall
ausgeschlossen. Es hätte höchstens Sinn, eine stetige Annäherung an
die absolute Zeit als möglich festzuhalten. Dann darf es aber für
die physikalisch möglichen Geschwindigkeiten eine obere Grenze nicht
geben. Darüber läßt sich nun apriori nichts aussagen, sondern das
ist eine rein physikalische Frage. Wenn etwa -- und gerade das haben
alle experimentellen Untersuchungen zur Relativitätstheorie gelehrt
-- schon für die Erzeugung einer bestimmten endlichen Geschwindigkeit
die Energie unendlich werden sollte, so ist die Herstellung beliebiger
Geschwindigkeiten sicherlich physikalisch unmöglich. Zwar geht das
aus den alten Formeln nicht hervor, aber diese Formeln sind empirisch
gewonnen, und mit vollem Recht konnte die Relativitätstheorie
sie durch andere ersetzen, in denen z. B. die kinetische Energie
eines Massenpunktes mit Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit
unendlich wird. Ebensogut, wie es etwa physikalisch unmöglich ist,
die Energie eines abgeschlossenen Systems zu vermehren, oder durch
fortschreitende Abkühlung eine gewisse untere Grenze der Temperatur
zu unterschreiten[A], kann auch die beliebige Steigerung der
Geschwindigkeit physikalisch unmöglich sein. Denkbar ist natürlich
das eine wie das andere, aber es handelt sich hier gerade um das
~physikalisch Erreichbare~. Wenn ein physikalisches Gesetz existiert,
das den Geschwindigkeiten eine obere Grenze vorschreibt, dann ist
auch eine Annäherung an die „absolute“ Zeit unmöglich, nicht bloß die
Erreichung des Idealzustands. Dann hat es aber keinen Sinn mehr, von
einer „idealen Zeit“ auszugehen, denn nur solche Idealmaßstäbe dürfen
wir aufstellen, die wenigstens durch fortschreitende Approximation
erreichbar sind und dadurch ihren Sinn für die Wirklichkeit erhalten[6].
[A] Man wende nicht ein, daß eine untere Grenze für die Temperatur
anschaulich notwendig sei, weil die Bewegung der Moleküle einmal
aufhören müßte. Woher weiß ich denn, daß dieser Nullpunkt der
kinetischen Energie bereits bei einer endlichen negativen
Temperatur erreicht wird, und nicht erst bei negativ unendlicher
Temperatur? Allein aus der Erfahrung. Ebenso ist die Erfahrung
möglich, daß die unendlich große kinetische Energie bereits bei
einer endlichen Geschwindigkeit erreicht wird.
Wir fassen unsere Überlegungen zusammen. Das Prinzip der Relativität
aller Koordinatensysteme, auch nur angewandt auf eine bestimmte Klasse
von Koordinaten (nämlich auf gegeneinander gleichförmig bewegte
Systeme), und das Prinzip der Nahewirkung lassen die absolute Zeit
nur dann zu, wenn eine obere Grenze für die physikalisch erreichbaren
Geschwindigkeiten nicht existiert. Beide Prinzipien dürfen wir, in dem
bisherigen Sinne des Wortes, mit gutem Recht als apriori bezeichnen.
Die Frage der oberen Grenze für die physikalisch erreichbaren
Geschwindigkeiten ist aber eine empirische Angelegenheit der Physik.
Darum wird auch die Zeitdefinition von empirischen Gründen mitbestimmt,
sofern man an dem Prinzip festhält, daß nur der durch Empirie
approximierbare Maßstab als Norm aufgestellt werden darf (Prinzip des
approximierbaren Ideals). Den verbindenden Gedanken vollzieht dabei
~Einsteins~ Entdeckung, daß die Zeit eines Koordinatensystems nur unter
Zugrundelegung eines physikalischen Ausbreitungsvorgangs definiert
werden kann.
Nennt man die Forderung der absoluten Zeit ebenfalls ein apriores
Prinzip, so wird hiermit der Widerstreit mehrerer apriorer Prinzipien
behauptet, genauer die Unvereinbarkeit ihrer gemeinsamen Geltung mit
der Erfahrung. Denn die Annahme einer absoluten Zeit impliziert immer,
in welcher Form sie auch definiert wird, die Möglichkeit beliebig
großer, physikalisch herstellbarer Geschwindigkeiten. Allerdings
wird sich der experimentelle Beweis für die Unüberschreitbarkeit
der Lichtgeschwindigkeit niemals exakt führen lassen. Aus gewissen
Beobachtungen an kleineren Geschwindigkeiten müssen wir schließen,
daß die Lichtgeschwindigkeit die obere Grenze ist, z. B. beobachten
wir an Elektronen, daß mit Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit die
kinetische Energie ins Unendliche wächst. Für die Lichtgeschwindigkeit
selbst können wir die Beobachtung nicht ausführen; es handelt sich
also stets um eine Extrapolation. Auch der ~Michelson~sche Versuch
ist ein Beweis nur, wenn man besonders ausgeklügelte Theorien
zur Rettung des alten Additionstheorems der Geschwindigkeiten
zurückweist. Die Extrapolation hat deshalb immer nur eine gewisse
Wahrscheinlichkeit für sich. Wir wollen den Grundsatz, daß man für
ein Erfahrungsmaterial die wahrscheinlichste Extrapolation verwendet,
das ~Prinzip der normalen Induktion~ nennen. Allerdings verbirgt
sich hinter dem Begriff „~wahrscheinlichste Extrapolation~“ noch
eine Unbestimmtheit. Man kann sich auf den Standpunkt stellen, daß
solche Extrapolationen, die zum Widerspruch gegen gewisse allgemeine
Voraussetzungen führen, unmöglich sind, also bei der Auswahl der
wahrscheinlichsten überhaupt ausgeschieden werden müssen. Es gibt aber
Grenzfälle, in denen ein solches Verfahren der Forderung der Evidenz
widerspricht. Denken wir uns z. B. die Werte der kinetischen Energie
des Elektrons für Geschwindigkeiten von 0-99% der Lichtgeschwindigkeit
experimentell bestimmt und graphisch aufgetragen, so daß sie eine
Kurve ergeben, die sich bei 100% offensichtlich einer Asymptote
anschmiegt. Dann wird wohl niemand behaupten, daß die Kurve zwischen
99% und 100% noch einen Knick macht, so daß sie erst für unendlich
große Geschwindigkeiten ins Unendliche geht. In der Tat basiert die
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nach den bisherigen Erfahrungsdaten,
den ~Michelson~schen Versuch eingerechnet, nicht auf einer geringeren
Wahrscheinlichkeit als der des geschilderten Beispiels. Wir
begnügen uns hier mit einer bloßen Veranschaulichung des Prinzips
der normalen Induktion, um seinen aprioren Charakter im Sinne des
Evidenzkriteriums aufzuzeigen; und wir werden erst im Abschnitt VI auf
die erkenntnistheoretische Stellung dieses Prinzips näher eingehen.
Wir behaupten also, nach der speziellen Relativitätstheorie, daß die
Prinzipien:
Prinzip der Relativität gleichförmig bewegter Koordinaten
Prinzip der irreversiblen Kausalität
Prinzip der Nahewirkung
Prinzip des approximierbaren Ideals
Prinzip der normalen Induktion
Prinzip der absoluten Zeit
mit den experimentellen Beobachtungen gemeinsam unvereinbar sind. Man
kann alle diese Prinzipien mit gleichem Recht ~apriore~ Prinzipien
nennen. Zwar sind sie nicht alle von ~Kant~ selbst als apriori genannt.
Aber sie besitzen alle das Kriterium der Evidenz in hohem Maße, und sie
stellen grundsätzliche Voraussetzungen dar, die von der Physik bisher
immer gemacht wurden. Wir erwähnen diese ihre Eigenschaft nur deshalb,
weil damit der behauptete Widerspruch von einem physikalischen zu
einem philosophischen Problem wird. Sollte aber unsere Auffassung
Widerspruch finden und die Evidenz für einige dieser Prinzipien, z.
B. das der Nahewirkung, bestritten werden, so wird das den Beweisgang
unserer Untersuchungen nicht stören. Man mag diese einzelnen Prinzipien
dann als Erfahrungssätze betrachten; dann ist das Prinzip der normalen
Induktion, das wir in der Zusammenstellung besonders aufführten, in
ihnen nochmals implizit enthalten.
Bemerkt sei noch, daß in den Annahmen der speziellen
Relativitätstheorie ein Widerspruch zum ~Kausalprinzip~ nicht enthalten
ist. Im Gegenteil gewinnt hier die Kausalität eine Auszeichnung:
solche Zeitfolgen, die als kausale Folgen anzusehen sind, sind nicht
umkehrbar. Man kann sagen, daß die Kausalität objektive Folgen in
das Zeitschema hineinträgt, während dieses selbst keinen absoluten
Charakter hat.
~Minkowski~ hat den ~Einstein~schen Gedanken eine Formulierung gegeben,
die es erlaubt, sie in viel übersichtlicherer Form auszudrücken. Er
definiert eine x_{4}-Koordinate durch x_{4} = ict und leitet die
Lorentztransformation aus der Forderung ab, daß das Linienelement der
4-dimensionalen Mannigfaltigkeit
ds^2 = Σ_{1}^4 dx_{ν}^2
invariant sein soll, daß also die Transformationen diesen einfachen
Ausdruck für das Linienelement nicht zerstören sollen. In dieser
Behauptung ist dann sowohl das Prinzip der Relativität aller
gleichförmig bewegten Systeme als auch das Prinzip der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit enthalten. Man kann daher beide Forderungen
zusammenfassen in die eine der ~Relativität aller orthogonalen
Transformationen in der Minkowski-Welt~. Die Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit kommt dann gleichsam von selbst hinein. Diese
Geschwindigkeit ist der Maßeinheitsfaktor, mit dem man die in Sekunden
gemessene Zeit multiplizieren muß, damit sie den in Zentimetern
gemessenen räumlichen Achsen äquivalent wird und mit ihnen zu einem
symmetrischen Vierfachsystem zusammengefaßt werden kann. Es würde der
vierdimensionalen Relativität widersprechen, wenn dieser Faktor für die
einzelnen Systeme verschieden wäre.
Man muß jedoch beachten, daß das ~Minkowski~sche Prinzip nichts anderes
ist als eine elegante und fruchtbare Formulierung der ~Einstein~schen
Gedanken. An deren physikalisch-philosophischem Inhalt ändert sie
nichts. Sie fordert nicht etwa eine Abänderung unserer Raumanschauung,
denn die Einführung der vierten Koordinate ist lediglich eine formale
Angelegenheit. Und sie behauptet auch nicht, wie es gelegentlich
hingestellt wird, eine Vertauschbarkeit von Raum und Zeit. Im Gegenteil
sind raumartige und zeitartige Vektoren in der ~Minkowski~-Welt
grundsätzlich unterschieden und lassen sich durch keine physikalisch
mögliche Transformation ineinander überführen.
Es muß noch untersucht werden, wieweit die allgemeine
Relativitätstheorie die Annahmen der speziellen geändert hat,
und ob sich unsere bisherigen Formulierungen auch noch aufrecht
halten lassen, wenn man die Entdeckungen der allgemeinen Theorie
als bekannt voraussetzt. Denn gerade das Prinzip der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit, das in unseren Überlegungen eine so wichtige
Rolle spielte, ist von der neuen Theorie aufgegeben worden.
Nach ~Einsteins~ zweiter Theorie gilt die spezielle Relativität nur
für den Spezialfall eines homogenen Gravitationsfeldes, und für alle
anderen Felder, z. B. die Zentralfelder unseres Planetensystems, läßt
sich eine so einfache Annahme wie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
nicht mehr durchführen. Damit ist die spezielle Theorie auf sehr
beschränkte Gebiete zurückgedrängt worden, denn Felder, in denen
die Feldstärke überall gleich und gleichgerichtet ist, sind mit
einiger Näherung nur in kleinen Dimensionen verwirklicht und werden
die Sehweite des menschlichen Auges kaum überschreiten. Will man
in einem ausgedehnteren Koordinatensystem, in dem sich zentrale
Gravitationsfelder bemerkbar machen, die Gleichzeitigkeit zweier
Vorgänge definieren, so muß man für die Ausbreitung des Lichtes eine
kompliziertere Annahme machen, nach der der Strahl eine krumme Bahn
zurücklegt, die in den einzelnen Teilstrecken mit verschiedener
Geschwindigkeit durchlaufen wird. Auch hier wird die Gleichzeitigkeit
von der Koordinatenwahl abhängen und nur relative Bedeutung haben;
dieser Widerspruch zur alten Auffassung bleibt also bestehen. Aber
wenn man einmal für das Licht selbst größere Geschwindigkeiten als
c = 3·10^{10} cm p. sec. zuläßt, so entsteht die Frage, ob damit nicht
die Bedeutung dieser Geschwindigkeit als einer oberen Grenze aufgegeben
ist.
Das ist jedoch keineswegs der Fall. Auch im Gravitationsfeld ist die
Lichtgeschwindigkeit die obere Grenze, wenn auch ihr Zahlwert anders
ist. Physikalische Vorgänge mit Überlichtgeschwindigkeit gibt es auch
hier nicht. Für jedes Volumelement des Raumes hat c einen bestimmten
Zahlwert, der von keinem physikalischen Vorgang überschritten werden
kann. Dieser Zahlwert hat alle Eigenschaften der früher benutzten
Konstanten c = 3·10^{10}, wenn man für das Volumenelement das
Inertialsystem aufsucht. Wenn also auch die obere Grenze aller
Geschwindigkeiten ihren Zahlwert von Ort zu Ort ändert, so behält
sie doch immer ihre Eigenschaft als einer ~oberen Grenze~. Für jedes
Volumelement -- und nur für ein solches läßt sich überhaupt noch eine
Zeitdefinition nach dem Muster der speziellen Relativitätstheorie
durchführen -- gilt also unsere vorher angewandte Betrachtung und der
behauptete Widerspruch apriorer Prinzipien.
Trotzdem läßt sich noch ein Einwand machen. Wesentlich für unsere
Überlegungen war, daß man auch nicht von einer ~allmählichen
Annäherung~ an eine absolute Zeit sprechen kann, daß man diesen
Begriff auch nicht im Sinne eines zwar unerfüllten, aber doch stetig
approximierbaren Ideals gelten lassen kann. Ist es nun, vom Standpunkt
der allgemeinen Theorie, nicht wenigstens möglich, dem Volumelement
eine beliebig große Zahl c > 3·10^{10} zuzuordnen, so daß die
Annäherung an die absolute Zeit beliebig genau wird?
Nein, das ist nicht möglich. Denn die Zahl c für das gewählte
Volumelement ist abhängig von der Massenverteilung im Universum, und
sie würde ihren Wert erst vergrößern, wenn die gesamte Massenerfüllung
des Kosmos dichter würde. Wir sollen uns jedoch nicht darauf
berufen, daß eine solche Änderung außerhalb unserer experimentellen
Möglichkeiten läge. Das Wesentliche ist vielmehr, daß bei dieser
Änderung auch der Zustand des Volumelements geändert würde, daß
alle dort aufgestellten Uhren und Maßstäbe eine nichteuklidische
Deformation erfahren würden, und daß deshalb die frühere Zeitmessung
nicht mit der späteren verglichen werden kann. Es hätte keinen Sinn,
selbst wenn wir eine solche Änderung der Massenverteilung herbeiführen
könnten, die Zeitmessung mit der größeren Konstanten c als eine
Genauigkeitssteigerung gegen die vorhergehende zu betrachten. Daß
die Konstante c einen größeren Wert hat, bedeutet immer nur eine
Beziehung auf die Einheitsuhr; aber wenn diese selbst durch die
Änderung beeinflußt ist, hat der Vergleich mit dem früheren Zustand
seinen Sinn verloren. Zweckmäßig erschiene es allein, den Wert von c
festzuhalten, etwa (wie es vielfach geschieht) c = 1 zu setzen für alle
Inertialsysteme, und die Änderung der Uhren umgekehrt daran zu messen.
Wir bemerken den Unterschied dieser Zusammenhänge gegenüber anderen
physikalischen Betrachtungen. Wenn man in irgend einer physikalischen
Anordnung die Genauigkeit steigert, so ist dies immer möglich, ohne
die Anordnung selbst prinzipiell zu ändern, indem nur einzelne Teile
eine Änderung erfahren. Benutzt man etwa eine fliegende Flintenkugel
zur Signalübertragung, so läßt sich zum Zweck der Genauigkeitserhöhung
ihre Geschwindigkeit steigern, indem man die Pulverladung vergrößert;
diese Änderung hat keinen Einfluß auf den Zustand des Raumes. Die Größe
c ist aber nicht eine Funktion bestimmter Einzelvorgänge, sondern
der Ausdruck eines ~universalen Zustands~, und alle Meßmethoden sind
nur innerhalb dieses Zustands vergleichbar. Die Eigentümlichkeit,
daß innerhalb jedes Universalzustands eine obere Grenze c für jedes
Volumelement existiert, bleibt aber erhalten, und darum gilt der oben
behauptete Widerspruch der Prinzipien unverändert weiter, auch wenn man
die spezielle Relativitätstheorie als Spezialfall in die allgemeine
einordnet.
Wir geben diese zusätzlichen Erörterungen nur, um zu zeigen, daß die
allgemeine Theorie den erkenntnislogischen Grundsatz der speziellen
nicht aufgegeben hat. Die ~Geltung~ der allgemeinen Theorie aber ist
ein besonderes Problem und soll im folgenden Abschnitt analysiert
werden.
III. Die von der allgemeinen Relativitätstheorie behaupteten
Widersprüche.
Wir gehen jetzt zur allgemeinen Relativitätstheorie über. Sie
behauptet, daß ein euklidischer Raum für die physikalische Wirklichkeit
nicht angenommen werden darf. Wir fragen: welches sind die Prinzipien
und Erfahrungen, auf die sich die Theorie zur Begründung beruft? Warum
nennt sie die Annahme eines euklidischen Raumes falsch?
~Einstein~ sagt in seiner grundlegenden Schrift: „Es kommt mir in
dieser Abhandlung nicht darauf an, die allgemeine Relativitätstheorie
als ein möglichst einfaches logisches System mit einem Minimum von
Axiomen darzustellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie
so zu entwickeln, daß der Leser die psychologische Natürlichkeit
des eingeschlagenen Weges empfindet und daß die zugrunde gelegten
Voraussetzungen durch die Erfahrung möglichst gesichert erscheinen[7].“
Diese Art der Begründung ist für den Physiker berechtigt, denn ihm
kommt es nicht auf die starre Aufrechterhaltung philosophischer
Prinzipien an, sondern auf eine möglichst enge Anschmiegung seiner
Gedankenbilder an die Wirklichkeit. Der Philosoph aber muß Rechenschaft
fordern für eine Abweichung von so fundamentalen Prinzipien, wie sie
die euklidische Geometrie enthält. Indem wir die Begründung der Theorie
daraufhin ordnen, werden wir finden, daß ~Einsteins~ Darstellung in
Wahrheit eine viel tiefere Begründung gibt, als er selbst in den
begleitenden Worten beansprucht.
Wir hatten schon in den Ausführungen zur speziellen Relativitätstheorie
betont, daß die allgemeine Relativität aller Koordinatensysteme vom
Standpunkt der kritischen Philosophie nur selbstverständlich ist, und
brauchen daher auf diese Forderung nicht mehr einzugehen. Wir fragen
aber: Warum führt sie zur Aufgabe des euklidischen Raumes?
Wir denken uns ein homogenes Gravitationsfeld von großer Ausdehnung und
darin ein Inertialsystem angenommen. In diesem Koordinatensystem ist
dann das Gravitationsfeld überall gleich Null. Wir wissen, daß dann das
vierdimensionale Linienelement
ds^2 = Σ_{1}^4 dx_{ν}^2
sich als Summe von Quadraten der Koordinatendifferentiale ausdrückt.
Führen wir jetzt neue Koordinaten durch eine beliebige Substitution
ein, etwa ein System, das sich gegen das Inertialsystem beschleunigt
bewegt, so wird das Linienelement seine einfache Form nicht bewahren,
sondern in einen gemischt quadratischen Ausdruck übergehen:
ds^2 = Σ_{1}^4 g_{μν} dx_{μ} dx_{ν}.
Dieser Ausdruck ist nach ~Gauß~ und ~Riemann~ charakteristisch
für eine nichteuklidische Geometrie[B]. Die darin auftretenden
Koeffizienten g_{μν} drücken sich durch die Beschleunigung des
zweiten Koordinatensystems gegen das Inertialsystem aus, und da diese
Beschleunigung unmittelbar das für das zweite System bestehende
Schwerefeld charakterisiert, so dürfen wir sie als ein Maß für dieses
Schwerefeld bezeichnen. Wir sehen also: der Übergang von einem
schwerelosen Feld in ein Gravitationsfeld ist mit einem Übergang
zu nichteuklidischen Koordinaten verknüpft, und die Metrik dieser
Koordinaten ist ein Maß für das Gravitationsfeld. Von hier aus hat
~Einstein~ den Schluß gezogen, daß ~jedes~ Gravitationsfeld, nicht
bloß das durch Transformation erzeugte, sich durch Abweichung von der
euklidischen Gestalt des Raumes ausdrücken muß.
[B] Wir gebrauchen hier das Wort „euklidisch“ für die
vierdimensionale Mannigfaltigkeit im üblichen Sinne. Obgleich
wir die folgenden Betrachtungen für die vierdimensionale
Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit anstellen werden, gelten sie ebenso für
den durch diese definierten dreidimensionalen Raum, denn wenn die
erstere eine ~Riemann~sche Krümmung aufweist, ist auch der letzte
notwendig gekrümmt, und wenn die erstere euklidisch ist, läßt sich
auch der letztere immer euklidisch wählen. Vgl. für die Analogie
dieser beiden Mannigfaltigkeiten ~Erwin Freundlich~, Anmerkung 3,
S. 29 ff.
Es handelt sich also um eine Extrapolation. Eine solche ist aber immer
auf verschiedenen Wegen möglich; wir müssen fragen, welche Prinzipien
gerade zu der ~Einstein~schen Extrapolation geführt haben.
Betrachten wir das geschilderte Gravitationsfeld noch genauer. Daß wir
durch die Forderung der allgemeinen Relativität auf nichteuklidische
Koordinaten geführt werden, diese also als gleichberechtigt
neben den euklidischen zulassen müssen, wird durch das Beispiel
hinreichend bewiesen. Aber die dabei entstandene nichteuklidische
Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit hat noch eine besondere Eigentümlichkeit:
es lassen sich in ihr Koordinaten so wählen, daß das Linienelement an
jedem Punkt euklidisch wird. Damit ist aber für das nichteuklidische
Koordinatensystem eine weitgehende Einschränkung gegeben, es folgt z.
B. daß das ~Riemann~sche Krümmungsmaß dieses Systems überall gleich
Null wird. Ein solcher Raum ist nur scheinbar nichteuklidisch, in
Wahrheit hat er keine andere Struktur als der euklidische Raum. Auch
der dreidimensionale euklidische Raum läßt sich durch nichteuklidische
Koordinaten ausdrücken. Man braucht dazu nur irgendwelche
krummlinige schiefwinklige Koordinaten zu wählen, dann wird das
Linienelement zu einem gemischt quadratischen Ausdruck. Bereits die
gewöhnlichen Polarkoordinaten liefern für das Linienelement eine
von der reinen Quadratsumme abweichende Form. Sieht man von ihrer
anschaulichen Bedeutung ab und betrachtet sie als eine dreiachsige
Mannigfaltigkeit, ähnlich den drei Achsen des Raumes, so stellen sie
also einen nichteuklidischen Raum dar. Man kann die Darstellung des
euklidischen Raumes durch Polarkoordinaten als eine Abbildung auf einen
nichteuklidischen Raum auffassen. Das Krümmungsmaß aber bleibt dabei
gleich Null.
Das gewählte Beispiel zeigt daher nur die Gleichberechtigung
pseudo-nichteuklidischer Räume mit den euklidischen. Wenn also die
~Einstein~sche Theorie, indem sie von homogenen Gravitationsfeldern
zu beliebigen inhomogenen Feldern übergeht, die Notwendigkeit echter
nichteuklidischer Koordinaten behauptet, so geht sie damit wesentlich
über den Gedanken des Beispiels hinaus. Sie behauptet damit, daß
es für den allgemeinen Fall nicht möglich ist, den Koordinaten die
euklidische Form zu geben. Wir stehen also vor einer sehr weitgehenden
Extrapolation. Näher liegend erscheint eine solche Theorie, für
die auch im allgemeinen Falle die Transformation auf euklidische
Koordinaten möglich ist, in der also auch der massenerfüllte Raum das
Krümmungsmaß Null behält.
Auch das von ~Einstein~ angeführte Beispiel der rotierenden
Kreisscheibe[8] kann eine so weitgehende Verallgemeinerung nicht als
notwendig beweisen. Es ist allerdings richtig, daß ein auf der Scheibe
befindlicher mitrotierender Beobachter für den Quotienten aus Umfang
und Durchmesser der Scheibe eine größere Zahl als π erhält, daß also
für ihn und sein mitrotierendes Koordinatensystem die euklidische
Geometrie nicht gilt. Aber der Beobachter würde sehr bald entdecken,
daß die Meßresultate wesentlich einfacher würden, wenn er ein (von
ihm aus gesehen) rotierendes System einführt -- das nämlich der
Scheibe entgegen mit gleicher Geschwindigkeit rotiert, so daß es in
der umgebenden Ebene ruht -- und daß er von diesem Bezugssystem aus
alle Vorgänge in euklidischer Geometrie beschreiben kann. Auch eine
synchrone Zeit kann er für dieses System definieren (was für die
Scheibe selbst bekanntlich nicht möglich ist). Dieses Bezugssystem
würde für ihn etwa die Rolle spielen, wie das von den Astronomen
gesuchte Inertialsystem des Sonnensystems, das für die ~Newton~schen
Gleichungen fingiert wird. Die Geometrie der rotierenden Kreisscheibe
ist also ebenfalls pseudo-nichteuklidisch; ihr Krümmungsmaß ist gleich
Null.
Wir fragen deshalb, ob nicht eine Gravitationstheorie mit weniger
weitgehender Extrapolation möglich ist als die ~Einstein~sche. Wir
wollen folgende Forderungen an sie stellen:
a) die Theorie soll für homogene Felder übergehen in die spezielle
Relativitätstheorie;
b) die Theorie soll in jedem Fall die Möglichkeit einer
euklidischen Koordinatenwahl zulassen.
In der Tat ist eine solche Theorie möglich; die beiden Forderungen
stehen also in keinem Widerspruch. Z. B. könnte das nach Forderung
b definierte Koordinatensystem dadurch entstehen, daß man in jedem
Punkt des Feldes die Feldstärke mißt, den Mittelwert aller Feldstärken
bildet und dasjenige System bestimmt, in dem dieser Mittelwert ein
Minimum wird. Für konstante Feldstärke, also homogenes Feld, wäre
dann das Mittel gleich der konstanten Feldstärke, also ein Minimum in
demjenigen System, in dem die Feldstärke gleich Null ist; das wäre dann
das Inertialsystem. So wäre der Anschluß der allgemeinen Theorie an den
Spezialfall des homogenen Feldes und die spezielle Relativitätstheorie
vollzogen. Natürlich müßte die angenommene Hypothese für das
ausgezeichnete System noch mit der Erfahrung verglichen werden.
Bemerkt sei übrigens, daß diese Auszeichnung eines Systems nicht etwa
der Relativität der Koordinaten widerspricht. Daß der Raum sich in
verschiedenen Systemen verschieden ausdrückt, ist selbstverständlich
und keine physikalische Bevorzugung. Auch das homogene Gravitationsfeld
kennt ja das ausgezeichnete euklidische System.
Jedoch ist die Voraussetzung a nicht die von ~Einstein~ gewählte. Zwar
hält auch er an einem stetigen Übergang seiner Theorie in die spezielle
fest. Die Voraussetzung a vollzieht diesen Übergang, indem sie bei
~festgehaltenem Raumgebiet~ die Feldstärken in den verschiedenen
Punkten einander gleich werden läßt. Es gibt aber noch eine andere
Form des Übergangs. Die Feldstärke muß als stetige Funktion des Raums
angenommen werden; dann sind unendlich kleine Feldgebiete homogen.
Wir können also den Übergang zum homogenen Feld auch in der Weise
vollziehen, daß wir ~bei festgehaltener Feldstärke~ das Raumgebiet
immer kleiner werden lassen. Diesen Übergang können wir in jedem
Punkte des Feldes vornehmen, und wir wollen deshalb die folgende
~Einstein~sche Voraussetzung für die Extrapolation machen:
c) die Theorie soll in jedem Punkt des Feldes für unendlich kleine
Gebiete übergehen in die spezielle Relativitätstheorie.
Wir fragen: Ist mit dieser Forderung c die Forderung b vereinbar?
Wir denken uns in einem inhomogenen Gravitationsfeld ein kleines Gebiet
G_{1} ausgesucht, das wir als hinreichend homogen betrachten dürfen.
Dort können wir ein Inertialsystem K_{1} wählen; in ihm verschwindet
die Feldstärke. Das System nach Forderung b, das in jedem Punkte
des Feldes euklidisch ist, muß also zu der Schar der gegen K_{1}
gleichförmig translatorisch bewegten Systeme gehören, denn sonst könnte
es für G_{1} nicht euklidisch sein. Dieselbe Überlegung wende ich nun
auf ein zweites, entferntes Gebiet G_{2} an, in dem die Feldstärke
einen anderen Wert hat als in G_{1}. Die Inertialsysteme K_{2} in G_{2}
müssen gegen K_{1} eine beschleunigte Bewegung ausführen, gehören also
nicht zur Schar der Inertialsysteme in G_{1}. Damit das System nach
Forderung b in beiden Punkten euklidisch wird, müßte es sowohl zur
Schar K_{1} wie zur Schar K_{2} gehören, das ist ein Widerspruch. Also
ist Forderung c mit Forderung b nicht vereinbar.