DES CADRANS SOLAIRES.

[Illustration: 122, Fig.56]

=150=. Un _cadran solaire_ est un instrument qui, exposé au soleil, doit

indiquer le _temps vrai_. Il se compose essentiellement d'une _table

plane_ MN (_fig._ 56), qui peut avoir diverses positions, et d'une tige

ou arête rectiligne rigide, AB, nommée _style_, _toujours_ parallèle Ã

l'axe du monde, autrement dit, à l'axe de rotation de la terre.

Quand le soleil donne sur un cadran, la direction BC de l'ombre portée

par le style AB sur la table MN est évidemment la trace, sur cette

table, du plan SAB qui passe par le style et par la position, S, que le

soleil occupe en ce moment.

[Illustration: 123, Fig.57]

=151=. Cela posé, pour bien comprendre l'usage et la construction d'un

cadran quelconque, imaginons l'espace où nous sommes circonscrit par une

sphère immense, ayant son centre sur le style, qui, prolongé, la

rencontre aux deux pôles P et P' (nous n'avons figuré à dessein que la

partie de la sphère qui est au-dessus du cadran). Cette sphère est la

sphère céleste dont le soleil fait le tour dans les vingt-quatre heures

du jour solaire. Imaginons maintenant tracés sur cette sphère (_fig_.

57) vingt-quatre cercles horaires équidistants PCB, PC 1B, PC 2B,...

dont l'un PCB et son opposé P(XII)B coïncident avec le _plan méridien_

du lieu. Ces divers cercles horaires, qui passent tous par la direction

BP du style et coupent le plan de la table suivant les lignes CB(XII),

C1(I), C2B(II),... gravées sur cette table, correspondent aux 24 heures

du jour solaire. Un certain jour, le soleil arrive au méridien en S, sur

le cercle horaire PCB, du côté sud; l'ombre portée par le style AB a en

ce moment la direction B(XII) (le nº XII indique XII heures). A une

heure vraie après midi, le soleil arrive en S sur le cercle horaire PC

1B et l'ombre portée à la direction B(I) (I heure); à deux heures, le

soleil arrive en S sur le cercle PC2B, et l'ombre portée à la direction

B(II) (II heures); et ainsi de suite, le soleil faisant le tour de la

sphère céleste, rencontre d'heure en heure les autres cercles horaires

dont les traces B(III), B(IV), etc.,... reçoivent successivement l'ombre

du style pendant tout le temps que le soleil donne sur le cadran. Le

lendemain, à midi vrai, le soleil est revenu au cercle horaire méridien

PCB, plus haut ou plus bas que S, mais l'ombre portée a toujours la

direction B(XII); à une heure, il se trouve encore sur le cercle PC 1B,

et l'ombre portée a encore la direction B(I), et ainsi de suite

_indéfiniment_.

Si donc les traces B(XII), B(I), B(II), des cercles horaires indiqués

sont gravées sur la table du cadran, on saura qu'il est midi quand

l'ombre du style a la direction marquée (XII) à l'extrémité, qu'il est

une heure quand elle a la direction marquée (I), etc.

=152=. Construire un cadran revient donc à graver sur une table la trace

bien connue de chacun des vingt-quatre plans horaires, du côté où doit

porter l'ombre, c'est-à-dire du côté opposé à la position correspondante

du soleil, puis à fixer le style de manière qu'il soit parallèle à l'axe

du monde.

=153=. On distingue plusieurs espèces de cadrans solaires, suivant la

disposition de la table:

1° Le cadran _équinoxial_, dont la table est parallèle à l'équateur

céleste; c'est-à-dire perpendiculaire à l'axe de rotation de la terre;

2° Le cadran _horizontal_, dont la table est horizontale;

3° Le cadran _vertical méridional_, dont la table est verticale et

perpendiculaire à la _méridienne_ du lieu;

4° Le cadran _vertical déclinant_, dont la table est verticale, mais

dans une situation d'ailleurs quelconque, non perpendiculaire à la

méridienne.

=154=. CADRAN ÉQUINOXIAL. On peut regarder le plan de la table comme

celui de l'équateur céleste dont le pied du style serait le centre. Si

donc on trace une circonférence ayant ce pied O pour centre et un rayon

quelconque O(XII), cette circonférence sera concentrique avec celle de

l'équateur céleste, et les traces des 24 plans horaires qui, à partir de

l'extrémité nord de la méridienne, divisent l'équateur céleste en 24

arcs égaux, diviseront également la circonférence que l'on vient de

tracer en 24 arcs égaux. De là cette construction:

[Illustration: 124, Fig. 59]

_Construction du cadran équinoxial_ (_fig_. 59). On trace une

circonférence du centre O avec un rayon quelconque; on tire un premier

rayon O(XII), qui doit, le cadran une fois posé et orienté, coïncider

avec la trace du méridien du lieu sur la table. À partir du point (XII),

on divise la circonférence en 24 parties égales; on mène des rayons aux

points de la demi-circonférence dont le point (XII) est le milieu, comme

il est indiqué sur la figure, et de plus aux deux points qui suivent

ceux-là, à droite et à gauche, 16 rayons en tout. Puis à partir de ce

point (XII), de gauche à droite en montant, on écrit successivement aux

divers points de division de la circonférence, I, II, III, IV, V, VI,

VII, VIII; puis, à partir de (XII), dans l'autre sens, XI, X, IX, VIII,

VII, VI, V, IV.

[Illustration: 125, Fig. 58]

Pour poser et orienter un pareil cadran, on construit une équerre en

bois ou en fer, OMI (_fig_. 58), dont l'angle aigu OIM soit celui que

l'axe du monde fait avec l'horizon du lieu, c'est-à-dire égal à la

latitude (Ex.: à l'Observatoire de Paris, 48°50'11"). À l'aide d'un fil

à plomb, on fixe cette équerre dans une situation verticale telle que

son hypoténuse coïncide avec la méridienne du lieu, sa direction IM

allant du sud au nord; l'équerre est ainsi dans le plan méridien. On

cloue ensuite la table du cadran sur le côté OM de l'équerre, de manière

que O(XII) coïncide avec OM, et que le style soit le prolongement de IO.

Le style est ainsi parallèle à l'axe du monde; la table qui lui est

perpendiculaire est parallèle à l'équateur céleste, et O(XII) est la

trace du plan méridien sur la table du cadran.

À l'équinoxe, le soleil est dans le plan de la table, et quand il change

d'hémisphère, il en éclaire la seconde face; il est donc nécessaire que

les deux faces de la table soient semblablement graduées ou divisées, et

que le style soit prolongé des deux côtés. On entoure d'ailleurs la

table d'un rebord saillant, afin de recevoir les ombres portées au

moment de chaque équinoxe.

=155=. CADRAN HORIZONTAL. CADRAN VERTICAL MÉRIDIONAL.

Tous les deux se construisent de la même manière à l'aide d'un cadran

équinoxial dessiné _auxiliairement_[63].

[Note 63: On peut se borner à apprendre sur ce sujet les paragraphes

intitulés: _Construction d'un cadran horizontal_, _Construction d'un

cadran vertical déclinant_, le programme ne demandant pas de

démonstration; cependant, il est bon de se rendre compte de ces

constructions.]

Imaginons les trois cadrans, que nous venons de nommer, existant

simultanément, convenablement posés et orientés, ayant leurs styles dans

la même direction AOC (_fig._ 60), leurs tables se rencontrant suivant

une même horizontale LT, perpendiculaire au plan AO(XII), et que nous

appellerons ligne de terre.

[Illustration: 126, Fig. 60]

Nous ne considérerons, pour le moment, que le cadran équinoxial, O, et

le cadran horizontal, A. Ainsi qu'on le voit, les lignes horaires de la

même heure quelconque, par exemple O(XI), A(XI) (intersections des deux

tables par le même plan horaire), rencontrent naturellement LT au même

point. Imaginons que la table équinoxiale tourne autour de LT pour se

rabattre sur le plan horizontal, à gauche de l'autre table; les deux

lignes de XII heures viendront en prolongement l'une de l'autre (_fig._

61); les points de rencontre des lignes horaires avec LT n'auront pas

bougé, puisqu'ils sont sur la charnière[64].

[Note 64: Eu égard à la figure 60, la circonférence ne devrait pas être

tangente à LT sur la figure 61; mais cela ne fait rien pour l'exactitude

du cadran, car le rayon de cette circonférence du cadran équinoxial est

arbitraire; _la position du centre_ est seulement déterminée quand on se

donne à l'avance le pied du style du cadran horizontal.]

Si donc on trouve ces points de rencontre pour une position de la table

équinoxiale _rabattue_, on les connaîtra en véritable position, et il

n'y aura plus qu'à les joindre au pied A du style, sur le plan

horizontal, pour avoir les lignes horaires du cadran horizontal.

[Illustration: 127, Fig. 61]

Ce qui précède suffit pour l'intelligence de l'épure (_fig._ 61), dans

laquelle la partie à gauche de LT représente la table équinoxiale

rabattue, construite d'après la méthode que nous avons indiquée tout Ã

l'heure (nº 154). A droite de LT est la table du cadran horizontal, la

seule que l'on construise en traits définitivement _marqués_.

_Construction d'un cadran horizontal_. Du point A, choisi comme pied du

style sur le plan horizontal, on mène A(XII) perpendiculaire à LT. On

prolonge cette ligne au delà de LT. D'un point O quelconque pris sur ce

prolongement, on décrit une circonférence avec un rayon quelconque

O(XII). Puis on dessine à gauche de LT le cadran équinoxial, tel qu'il

est indiqué sur la figure 61, et d'après les principes que nous avons

exposés (154). On joint le point A à tous les points d'arrivée sur LT

des lignes de ce cadran; on marque la rencontre de chaque ligne de

jonction avec le cadre MNPQ, du même chiffre romain que celui qui

désigne la ligne correspondante du cadran équinoxial auxiliaire. Cela

fait, le cadran horizontal est dessiné tel qu'il doit être sur le cadre

MNPQ. Tout le reste, en dehors de ce cadre, doit être supprimé.

Pour mettre ce cadran en place, on fera coïncider A(XII) avec la

direction de la méridienne du lieu, le point (XII) étant au nord de A.

Quant au style, il doit partir de A, se trouver dans le _plan méridien_

(le plan vertical qui passe par la méridienne), faisant avec la

méridienne A(XII) un angle égal à la latitude.

Le cadran _vertical méridional_ se construit exactement de même;

seulement il faut, pour la pose du cadran, avoir égard à ce fait que la

direction AO du style fait avec la table verticale un angle égal à 90°

moins la latitude du lieu; la distance du pied du style à LT, ligne de

midi, est C(XII) (_fig._ 60).

=156=. CADRAN VERTICAL DÉCLINANT.--Il arrive souvent qu'on doit

construire un cadran sur un plan vertical (un mur), dont on n'a pas pu

choisir l'exposition, et qui fait un angle aigu avec la méridienne. Un

tel cadran s'appelle _cadran vertical déclinant_. Pour en construire un,

on emploie un cadran horizontal dessiné auxiliairement.

Pour comprendre la construction, il faut se figurer le cadran vertical

déclinant et le cadran horizontal existant simultanément (_fig._ 62,

cadran O' et cadran O), perpendiculaires l'un à l'autre, ayant leurs

styles dirigés suivant la même droite O'O, et leurs tables se

rencontrant suivant une même horizontale L'T'. Les lignes horaires de la

même heure quelconque doivent couper L'T' au même point. Ex.: O'(XII),

O(XII). (Ce sont les intersections des deux tables par le même plan

horaire.) Si donc on conçoit la table horizontale toute _construite_, se

rabattant telle qu'elle est, au-dessous du cadran vertical sur le plan

de celui-ci, en tournant autour de L'T' (_fig._ 62), les points

d'arrivée susdits des lignes horaires _correspondantes_, étant sur la

charnière L'T', n'auront pas bougé. (La table horizontale sera alors sur

le plan de l'épure.) Si donc on construit la table horizontale, ainsi

rabattue, sur le plan vertical, les points de rencontre de ses lignes

horaires avec L'T' ne seront autres que les points de rencontre des

lignes horaires du cadran vertical déclinant avec la même ligne, de

sorte qu'en joignant ces points à O, pied du style du cadran vertical,

on aura, en véritable position, les lignes horaires de ce cadran qui n'a

pas bougé (_fig._ 62).

Remarquons que la ligne, O'(XII), de midi du cadran horizontal,

c'est-à-dire la méridienne du lieu, n'est pas perpendiculaire à la trace

L'T' du cadran vertical sur l'horizon, mais fait avec cette trace

l'angle aigu du plan vertical donné avec le plan méridien du lieu; cet

angle O'(XII)T' est connu; les lignes O'(XII) et L'T' doivent faire sur

l'épure cet angle donné.

Cela posé, voici comment on peut construire un cadran vertical

déclinant.

[Illustration: 129, Fig. 62]

CONSTRUCTION DU CADRAN VERTICAL DÉCLINANT (_fig._ 62). On trace une

verticale O(XII) qui doit représenter la distance du pied du style au

bord horizontal de la table; ce bord est représenté par la ligne L'T'

qu'on mène perpendiculaire à O(XII); on fait avec L'T', au point (XII),

un angle T'(XII)O' égal à l'angle de la méridienne et du plan vertical

sur lequel doit être placé le cadran; on prend (XII)O' égal au second

côté (XII)_o_ de l'angle droit d'un triangle rectangle O(XII)_o_, dont

l'angle (XII)O_o_ = 90°-latitude du lieu, triangle que l'on construit

auxiliairement. On mène ensuite LT perpendiculaire à O'(XII); cela fait,

sans se préoccuper du cadran vertical déclinant, on construit, comme il

a été indiqué nº 155, la table d'un cadran horizontal dont le pied du

style serait en O' et le bord de la table LT[65]. On prolonge, au

besoin, les lignes horaires de ce cadran jusqu'à L'T', marquant les

points de rencontre des mêmes chiffres romains qui distinguent ces

lignes sur le cadran horizontal. On joint le point O à tous ces points

de rencontre avec L'T'; enfin l'on trace un cadre MNPQ sur lequel on

indique les rencontres des lignes O(XII), O(I), par les mêmes chiffres

romains (XII), I, etc... Le dessin enfermé dans ce cadre est la table du

cadran vertical déclinant. La table ainsi construite se pose ou se

dessine sur le mur vertical choisi, de manière que la ligne O(XII) soit

verticale. On fixe ensuite le style en O de manière à ce qu'il soit dans

un plan passant par la méridienne et O(XII), et fasse avec cette

dernière un angle égal à 90°-la latitude du lieu.

[Note 65: A Pour construire ce cadran horizontal O', il faut, d'après ce

qui a été expliqué nº 155, construire un cadran équinoxial O", puis

joindre le point O' à tous les points de rencontre des lignes horaires

de ce cadran O" avec LT. On fera bien de faire cette construction au

crayon.]