=85.= Les positions relatives des différents lieux de la terre étant
connues par leurs longitudes et leurs latitudes;, afin d'embrasser d'un
coup d'Åil ces positions relatives, ou de les graver plus aisément dans
la mémoire, on fait de la terre entière, ou de ses parties considérées
séparément, diverses représentations dont nous allons nous occuper. Ce
sont les globes et les cartes géographiques.
=86.= GLOBES TERRESTRES. Un globe géographique terrestre se construit de
la même manière qu'un globe céleste (nº 41). On marque de même sur le
globe de carton les deux pôles _p_, _p'_, et l'équateur; sur celui-ci le
point de départ des longitudes. Puis, en employant, pour plus de
facilité, le demi-cercle mobile dont nous avons parlé, on marque sur le
globe la position de chaque lieu remarquable de la terre d'après sa
latitude et sa longitude, connue par l'observation ou autrement. _Nous
renvoyons à ce qui a été dit (nº 41) pour la construction d'un globe
céleste; il n'y a qu'à dire longitude au lieu d'_AR, _et latitude au
lieu de_ D.
Quand on représente ainsi la terre par un globe, on la représente par
une sphère parfaitement unie; on n'entreprend pas de rendre sensible
l'aplatissement de la terre vers les pôles; cet aplatissement étant Ã
peu près de 1/300, sur un globe de 3 mètres de rayon équatorial, déjÃ
bien grand, le rayon polaire aurait 2m,99. On n'entreprend pas non plus
de rendre sensible sur la surface d'un globe géographique la, hauteur
des montagnes, ni la profondeur des mers; car la hauteur de la plus
grande montagne de la terre, le pic de l'Himalaya, au Thibet, est de
1/740 du rayon de la terre; les autres grandes montagnes ne vont pas Ã
la moitié de cette hauteur. Si donc le globe avait 0m,740 de rayon, la
plus grande protubérance de la surface terrestre serait d'un millimètre.
La plus grande dépression (le creux), destinée à représenter la
profondeur maxima des mers, ne serait pas plus grande; et encore pour la
généralité des montagnes et des mers ce serait beaucoup moins. Ces
inégalités seraient moins nombreuses et moins sensibles que les
rugosités sur la peau d'une orange.
Un globe terrestre géographique est sans contredit la représentation la
plus exacte possible de la surface terrestre. Mais l'usage d'un pareil
globe n'est pas commode, surtout pour ceux qui ont le plus besoin de
renseignements géographiques, c'est-à -dire, pour les voyageurs. Car,
pour y rendre distinctes les positions des lieux d'une même contrée, il
faut donner au globe de grandes dimensions. Aussi remplace-t-on
généralement les globes par quelque chose de plus portatif, par des
cartes géographiques.
=87.= CARTES GÃOGRAPHIQUES. On appelle ainsi la représentation sur une
surface plane de portions plus ou moins étendues de la surface de la
terre.
Si la surface d'un globe terrestre géographique, préalablement
construit, pouvait être développée et étendue sur un plan sans déchirure
ni duplicature, on aurait ainsi la meilleure carte géographique. Mais la
surface d'une sphère ne peut pas être ainsi développée; il en résulte
que la représentation de la terre sur une surface plane ne peut se faire
sans qu'il y ait des déformations dans certaines parties; on cherche
naturellement à construire les cartes de manière à atténuer le plus
possible ces déformations. Nous allons faire connaître les dispositions
les plus usitées en indiquant les avantages et les inconvénients de
chacune.
=88.= CANEVAS. Les points de la terre se distinguant par les méridiens
et les parallèles sur lesquels ils se trouvent, on est conduit Ã
représenter ces cercles sur la carte; on ne peut en représenter qu'un
nombre limité. On appelle _canevas_ un ensemble de lignes droites ou
courbes qui, se croisant dans toute l'étendue de la carte, représentent,
les unes des méridiens équidistants (en degrés), les autres des
parallèles équidistants aussi. La première chose que l'on dessine sur
une carte c'est le canevas; on a alors devant soi un grand nombre de
quadrilatères dans lesquels on place les lieux ou objets qui doivent
figurer sur la carte, soit d'après un globe terrestre que l'on a sous
les yeux, soit d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.
=89.= MAPPEMONDES. Quand on veut représenter la terre tout entière, pour
en embrasser l'ensemble d'un coup d'Åil, on la divise en deux
hémisphères par un de ses cercles principaux; on exécute, à côté l'une
de l'autre, les représentations des deux hémisphères; l'ensemble est ce
qu'on appelle une _mappemonde_.
On emploie pour la construction dés cartes la méthode des projections ou
les développements de surface.
=90.= PROJECTION ORTHOGRAPHIQUE. La projection orthographique d'un point
est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur un plan qu'on
appelle plan de projection. Pour la construction des cartes
géographiques, le plan de projection est ordinairement l'équateur ou un
méridien choisi.
_Projection de l'équateur._ On trace un cercle d'un rayon plus ou moins
grand, suivant les dimensions qu'on veut donner à la carte. On considère
ce cercle comme l'équateur d'un demi-globe terrestre géographique que
l'on imagine superposé à ce cercle même et sur lequel sont supposés
marqués à l'avance les lieux qui doivent figurer sur la carte. Le pôle
de ce globe se projette au centre; chaque parallèle se projette en
véritable grandeur; chaque demi-méridien a pour projection le rayon qui
est la trace même de son plan sur la carte. Les distances des lieux en
longitude, qui sont des arcs de parallèles, sont donc très-exactement
conservés, tandis que les arcs de chaque méridien sont représentés en
raccourci, et sous une forme qui ne rappelle nullement leur forme réelle
(un arc de 90° est représenté par une ligne droite, un rayon). Aux
environs du pôle, les petits arcs de méridiens, approchant d'être
parallèles au plan de projection, sont représentés par des lignes
presque égales en longueur à ces arcs; la représentation des parties de
la terre voisines du pôle est donc la moins défectueuse; mais c'est
précisément là qu'il n'y a pour ainsi dire rien à représenter. A mesure
qu'on se rapproche du bord de la carte, l'altération des longueurs
devient de plus en plus grande; tout près du bord la projection d'un arc
de 1°, par exemple, se réduit presque à un point. Ces déformations,
très-grandes dans les latitudes les plus importantes à considérer, ont
fait abandonner ce mode de construction pour les cartes terrestres.
La projection sur un méridien offre les mêmes inconvénients; chaque
demi-parallèle a pour projection un de ses diamètres; d'où il résulte
précisément la même déformation que tout à l'heure pour les méridiens,
mais cette fois du milieu de la projection de chaque parallèle vers les
bords de la carte.
Si nous avons parlé des projections orthographiques, c'est qu'elles sont
employées pour les cartes ou planisphères célestes, notamment pour
représenter les constellations circumpolaires; ici les environs du pôle
sont plus importants à représenter.
=91.= PLANISPHÃRE. _Projection sur l'équateur._
Pour construire le canevas, on commence par tracer un cercle de rayon
aussi grand que l'on veut, et sur ce cercle un diamètre horizontal. On
divise chaque demi-circonférence en un certain nombre de parties égales,
en degrés par exemple, puis on joint le centre à tous les points de
division. On ne marque généralement que les divisions qui correspondent
aux 24 cercles horaires, c'est-à -dire de 15° en 15°, ou d'heure en
heure, à partir de 0° sur le diamètre horizontal. Ces divisions de la
circonférence indiquent les ascensions droites; les rayons tracés sont
les projections des cercles horaires. Pour obtenir les projections des
parallèles, on abaisse, des points de division du 1er quadrant du
contour, des perpendiculaires sur le diamètre horizontal; puis, enfin,
on trace des circonférences, concentriques au contour, et passant
respectivement par les pieds de toutes ces perpendiculaires: on marque
au pied de chaque perpendiculaire le nombre de degrés marqué à son
origine; chacun de ces numéros indique la déclinaison dé tous les points
du cercle adjacent[32]. Le canevas est alors terminé; il ne reste plus
qu'à y placer les étoiles d'après leurs coordonnées.
[Note 32: La construction des parallèles est fondée sur cette remarque
que le rayon de chaque parallèle céleste est égal au cosinus de la
déclinaison correspondante.]
Si on veut déterminer avec précision la position d'une étoile
particulière, on compte son ascension droite à partir de 0°, et on trace
le rayon qui va à l'extrémité de l'arc mesuré. On compte la déclinaison
sur la circonférence, à partir du même point 0° et on abaisse une
perpendiculaire de l'extrémité de l'arc obtenu sur le diamètre
horizontal; on décrit la circonférence qui passe par le pied de cette
perpendiculaire. L'intersection de cette circonférence et du rayon que
l'on vient de tracer est la position cherchée de l'étoile.
=92.= PROJECTION STÃRÃOGRAPHIQUE. Si de l'Åil placé en O on mène un
rayon visuel OA Ã un point quelconque de l'espace, la trace _a_ de ce
rayon sur un plan fixe, MM', s'appelle la perspective du point A sur le
plan MM'. Le point fixe O est dit le _point de vue_, et le plan MM' le
_tableau_.
[Illustration: 079, Fig. 40.]
Ce mode de projection, connu sous le nom de _projection
stéréographique_, est employé pour construire des cartes géographiques.
On choisit alors pour tableau un méridien G'MGM' (_fig._ 40), et pour
point de vue le pôle O de ce méridien opposé à l'hémisphère MABCM' que
l'on veut projeter en tout ou en partie. Exécutée dans ces conditions,
la projection stéréographique jouit des propriétés fondamentales
suivantes:
1º _Tout cercle de la sphère, quel qu'il soit, a pour perspective un
cercle._
2º _L'angle de deux lignes quelconques, tracées sur la surface de la
sphère est égal à celui que forment les lignes qui les représentent sur
la carte._ (On appelle angle de deux courbes l'angle compris entre les
tangentes menées à ces courbes à leur point d'intersection.)[33]
[Note 33: V. à la fin du chapitre, la démonstration de ces deux
principes.]
Il résulte de ces deux principes que les méridiens et les parallèles
sont représentés sur le canevas _par des arcs de cercle perpendiculaires
entre eux_, comme sur le globe terrestre. Ce canevas est donc facile Ã
construire.
=93.= On choisit ordinairement pour tableau le méridien de l'île de Fer,
la plus occidentale des îles Canaries, ou pour parler d'une manière plus
précise, le méridien situé à 20° de longitude occidentale de Paris. On a
choisi ce méridien parce qu'il partage la terre en deux hémisphères, sur
l'un desquels se trouvent ensemble l'Europe, l'Asie, l'Afrique (tout
l'ancien monde) et une partie de l'Océanie. Le cercle PE'P'E (_fig._
42), qui représente ce méridien, forme le contour de la carte.
Voici les deux problèmes qu'il faut savoir résoudre pour construire une
carte dans ce système de projections.
[Illustration: 080, Fig. 42.]
=94.= PROJECTION D'UN MÃRIDIEN. Soit proposé de construire la
perspective du méridien M, qui fait avec celui de l'île de Fer un angle
de 10°. On prend sur le contour PE'P'E, à partir de P', sur la droite,
un arc P'G de 20° (_fig._ 42), (le double de 10°); on tire la droite PG
qui rencontre E'E en I; du point I comme centre avec le rayon IP, on
décrit un arc de cercle PKP' limité aux deux points P et P'; cet arc est
la perspective du demi-méridien indiqué.
DÃMONSTRATION. Le méridien M, comme tous les autres, passe par les
points P et P' qui sont à eux-mêmes leurs perspectives; l'arc de cercle,
perspective de méridien, passe donc en P et en P', et a son centre sur
E'E. Soit I ce centre supposé trouvé, et PKP' l'arc cherché; menons PIG
et la tangente PS à l'arc PKP'. La tangente RP au méridien PE'P'E est sa
projection à elle-même; il résulte du 2e principe, nº 92, que l'angle
RPS est égal à 10°; mais les rayons OP, IP des cercles PE'P', PKP' étant
perpendiculaires à PR et PS, l'angle P'PG = RPS = 10°; cet angle P'PG
est donc connu _Ã priori_: comme il est inscrit, l'arc P'G qui le mesure
est égal à 20°. On connaît donc le point G, et par suite la direction du
rayon PIG; de là la construction indiquée.
=95.= PROJECTION D'UN PARALLÃLE. Soit proposé de construire la perspective
du demi-parallèle dont la latitude est 60°. On prend E'C' = 60° (_fig._
42); on mène en C' la tangente C'D au cercle PE'P'E; puis du point D
comme centre avec le rayon DC', on décrit un arc de cercle C'HC limité
au point C, où il rencontre une seconde fois le contour PE'P'E; cet arc
C'HC est la perspective du demi-parallèle en question.
DÃMONSTRATION. Le parallèle en question rencontre le méridien PE'P'E en
deux points C' et C du tableau, situés à 60° des points E', E; l'arc de
cercle, perspective du demi-parallèle en question, passe donc aux points
C', C et a son centre sur P'P: il faut trouver ce centre. Or, le
parallèle proposé étant perpendiculaire au méridien PEP'E', la tangente
CD, qui est sa propre perspective, est perpendiculaire à la tangente qui
serait menée au même point à la perspective du parallèle. La
perpendiculaire menée à la tangente d'un arc de cercle, au point de
contact, passant par le centre de cet arc, la ligne C'D passe au centre
de l'arc à construire. Ce centre est d'ailleurs sur P'P; il est donc en
D. C. Q. F. D.
[Illustration: 081, Fig. 43.]
=96.= CONSTRUCTION DU CANEVAS (_fig._ 43). Nous supposerons qu'on
veuille représenter les méridiens et les parallèles de 10° en 10°. On
divise la circonférence en 36 parties égales (arcs de 10°) à partir de
l'un des pôles. On joint par des lignes au crayon le pôle P à tous les
points de division de rangs pairs à partir de P'; ex. le point G (_fig._
42). De chaque point de rencontre, I, de ces lignes avec E'E comme
centre, avec IP pour rayon, on décrit un arc de cercle limité aux points
P et P'. On obtient ainsi une série d'arcs de cercle tels que PKP'
(_fig._ 42), qui représentent les méridiens considérés de 10° en 10° Ã
partir du méridien de l'île de Fer (_fig._ 43).
Pour tracer les parallèles, à chacun des points de division, ex.: C'
(_fig._ 42), de la _demi-circonférence_ PE'P', on mène au crayon une
tangente C'D à cette demi-circonférence, à la rencontre de PP'. Du point
de rencontre D, comme centre, avec DC' pour rayon, on trace un arc de
cercle limité en C' et en C sur le contour PE'P'E. On obtient ainsi
(_fig._ 43) une série d'arcs de cercle qui représentent les parallèles,
de 10° en 10° à partir de l'équateur. On marque les latitudes de 0 Ã
90°, de E' vers P, puis de E' vers P', sur la demi-circonférence PE'P',
et même, si on veut, sur PEP'. On marque les longitudes de 10° en 10°
sur l'équateur, aux points où il est rencontré par les perspectives des
méridiens; seulement, il faut marquer 10° à la 1re division après le
point E', 0° à la seconde (méridien de Paris), puis 10°, 20°, etc., de
gauche à droite. Le canevas ainsi construit (_fig._ 43), on y marque les
divers lieux, soit d'après un globe terrestre, soit d'après leurs
longitudes et leurs latitudes connues.
_Remarque._ Le méridien du point de vue et l'équateur sont représentés
par des lignes droites PP', EE'. Les perspectives s'aplatissent de plus
en plus quand on s'approche de l'une ou l'autre de de ces lignes.
=97.= AVANTAGE ET INCONVÃNIENT DE LA PROJECTION STÃRÃOGRAPHIQUE
ordinairement employée pour construire les atlas de géographie.
_L'avantage qu'elle présente, c'est qu'une figure de petites dimensions,
située n'importe où sur l'hémisphère, est représentée sur la carte par
une figure semblable._ En effet, cette figure peut être considérée comme
plane à cause de sa petitesse; cela posé, il résulte de la seconde
propriété des projections stéréographiques, nº 92, que les triangles,
dans lesquels la figure et sa représentation peuvent être décomposés,
sont semblables comme équiangles, et semblablement disposés. Cette
figure n'est donc pas déformée; seulement ses dimensions sont réduites
dans le même rapport (V. BC et _bc_, _fig._ 40).
L'inconvénient de ce mode de projection consiste précisément en ce que
le rapport dans lequel se fait la réduction d'une petite figure varie
avec la position de celle-ci sur l'hémisphère. Au bord de la carte il
n'y a pas de réduction, puisque les parties du méridien qui forme le
contour sont représentées en véritable grandeur; mais les dimensions se
réduisent de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du bord; vers le
centre les dimensions sont réduites de moitié. Ex.: _de_ = 1/2 DE
(_fig._ 40).
=98.= SYSTÃME DE DÃVELOPPEMENT EMPLOYÃ POUR LA CARTE DE FRANCE. Dans la
construction de la grande carte de France du dépôt de la guerre, on
s'est surtout attaché à ne pas altérer les rapports d'étendue
superficielle qui existent entre les diverses parties de la contrée,
tout en conservant autant que possible les formes telles qu'elles
existent sur la terre. Pour cela, on a employé un système de
développement, dit _développement conique modifié_, que nous allons
faire connaître.
[Illustration: 083, Fig. 44.]
_Construction du canevas._ Supposons qu'il s'agisse de représenter une
contrée dont les longitudes extrêmes sont 5° Ouest et 7° Est, et les
latitudes extrêmes 42° et 52° Nord (ce sont à peu près celles de
France). On détermine la longitude moyenne, qui est ((7° + 5°)/2) = 1°
Est, et la latitude moyenne, qui est ((42° + 52°)/2) = 47° Nord. Cela
fait, on imagine devant soi un globe terrestre géographique sur lequel
est figurée la contrée à représenter, décomposée par un canevas de
méridiens et de parallèles comme le doit être la carte elle-même. On
représente le méridien moyen SCE (_fig._ 44) par une ligne droite _sce_.
Pour représenter le parallèle moyen, on imagine menée en C une tangente
CS au méridien du globe, jusqu'à la rencontre de l'axe PP' en S; on
déterminera l'aide de la latitude moyenne (47°), la longueur de cette
tangente du points au point C[34]; puis du point _s_ sur la carte, comme
centre, avec un rayon _sc_ = SC, on trace un arc de cercle _fch_ qui
représente le parallèle moyen. Pour avoir la représentation des autres
parallèles, on imagine le méridien moyen ACE divisé en parties AB, BC,
CD, DE,..... dont les extrémités correspondent à des latitudes connues,
de degré en degré par exemple. On porte sur _sce_, de part et d'autre de
_c_, et dans le même ordre que sur le globe, des longueurs _cb_,
_ba_,..... _cd_, _de_...... respectivement égales aux longueurs CB,
BA,... CD, DE...[35]. Puis de _s_ comme centre, on décrit des arcs de
cercle passant aux points _b_, _d_, _c_...; chacun de ces arcs
_bb'b"_,... représente un des parallèles de la contrée correspondant Ã
une latitude connue. Pour achever le canevas, il n'y a plus qu'Ã
représenter un certain nombre de méridiens de part et d'autre du
méridien moyen. Pour cela, on imagine sur le globe un certain nombre de
ces méridiens correspondant à des longitudes connues, de degré en degré
par exemple, lesquels divisent les parallèles en arcs tels que AA',
A'A",... BB', B'B",... etc. Sur chacun des parallèles de la carte,
_aa'a"_, _bb'b"_, on prend des arcs respectivement égaux en longueur Ã
leurs correspondants sur le globe, _aa'_ = AA', _a'a"_ = A'A",... _bb'_
= BB',..., etc.[36]. Cela tait, on fait passer par chaque série de
points ainsi obtenus, occupant le même rang sur leurs courbes
respectives à partir de _sce_, ex.: (_a'_, _b'_, _c'_,...), une ligne
continue (_a'b'c'_...); chacune des lignes ainsi obtenues représente un
des méridiens de la contrée correspondant à une longitude connue que
l'on indique sur la carte. On marque les latitudes sur les bords de la
carte, à gauche et à droite, aux extrémités des arcs _aa'a"_, _bb"_...,
et les longitudes en haut et en bas aux extrémités des arcs _abc_,
_a'b'c'_... Le canevas achevé, il ne reste plus qu'à y marquer les lieux
et les objets que l'on veut indiquer, d'après un globe terrestre ou
d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.
[Note 34: à l'inspection seule de la première des figures 44, on voit
que la tangente SC peut se construire comme il suit:
Le rayon R du globe terrestre est représenté par une longueur qui dépend
des dimensions que l'on veut donner à la carte, 0m,2, par exemple. On
décrit un cercle avec ce rayon et on y trace deux diamètres, l'un
horizontal, l'autre vertical. Ã partir du premier, on prend sur la
circonférence un arc égal à la latitude moyenne donnée; à l'extrémité de
cet arc, on mène une tangente que l'on prolonge seulement jusqu'à sa
rencontre avec le diamètre vertical prolongé lui-même. Cette tangente
est la longueur cherchée SC.]
[Note 35: Supposons que les arcs AB, BC, CD,..... du méridien moyen
soient 1°. Chacun d'eux est la 360e partie de la circonférence; AB =
2ÏR/300. Connaissant Ï et R, on peut calculer la longueur de AB = BC =
CD. Cette longueur est celle que l'on porte sur la droite sce de la
carte, de _c_ en _b_, de _b_ en _a_, etc. Dans la construction de la
carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la
longueur d'un degré du méridien dépend, dans ce cas, de sa latitude.]
[Note 36: Pour construire les arcs _aa'_, _a'a"_,..... qui appartiennent
à un parallèle dont la latitude est donnée, on construit à part ce
parallèle, avec un rayon _r_ = R à cos. latitude de ce parallèle, ou
bien de la manière indiquée à propos de la projection orthographique. Si
les arcs _aa'_, _a'a"_,.... sont de 1°, on prend un arc de 1° sur ce
parallèle; puis on porte cet arc par parties très-petites, de _a_ en
_a'_, sur l'arc de cercle _aa'a"_; puis une 2e fois de _a'_ en _a"_; une
3e fois de _a"_ en _aâ´_, etc.....]
REMARQUES. Dans cette construction, on attribue au globe terrestre, dont
on est censé développer une partie de la surface, un rayon arbitraire R
dont la grandeur dépend du rapport que l'on veut établir entre les
distances sur la carte et les distances réelles. Si les arcs AB, BC,...
sont des arcs de 1°, on déduit leur longueur de celle du rayon assigné
au globe terrestre (1° = 2ÏR/360). Pour la carte de France, on a eu
égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien
est estimée suivant la latitude.
Enfin, pour construire les arcs _aa'_, _a'a"_,... _bb'_,... on peut
déterminer la longueur des arcs AA', A'A",... BB',... que nous supposons
de 1°, d'après les rayons des parallèles auxquels ils appartiennent. On
porte chaque longueur ainsi déterminée, AA', par parties très-petites,
sur la ligne _aa'a"_ de la carte. (V. la 2e note ci-contre).
=99.= AVANTAGES LE CE MODE DE DÃVELOPPEMENT.> Ce sont ceux que nous
avons indiqués à l'avance. Les rapports d'étendue superficielle sont
partout conservés; ainsi, des contrées de même surface sur la terre
occupent des surfaces égales sur la carte. De plus, les surfaces
représentées sont fort peu déformées.
En effet, le canevas de la contrée sur le globe terrestre géographique
et sa représentation sur la carte, sont composées de petites figures
telles que A'A"B"B'", _a'a"b"b'_, équivalentes chacune à chacune, à peu
près de la même forme et semblablement disposées. Nous supposons les
parallèles et les méridiens très-rapprochés, ce qu'il est toujours
possible d'effectuer dans la construction.
Cela posé, 1º les petites figures A'A"B"B', _a'a"b"b'_ sont
équivalentes; car elles peuvent être considérées comme des
parallélogrammes ayant des bases égales; B'B" = _b'b"_ par construction,
et même hauteur B'A' = BA = _ba_.
2º Ces figures A'A"B"B', _a'a"b"b'_ ont sensiblement la même forme;
l'une et l'autre peuvent être considérées comme de petits rectangles. En
effet, les méridiens et les parallèles perpendiculaires sur le globe le
sont à fort peu près sur la carte; le long du méridien moyen, _sce_, les
angles sont même exactement droits.
Ce dernier mode de représentation consiste, comme on le voit, Ã
décomposer la contrée sur le globe terrestre, en très-petites parties
(les petites figures A'A"B"B') que l'on transporte une à une aussi
fidèlement que possible sur le papier. Cette représentation approche
d'autant plus de l'exactitude que ces figures sont plus petites.