Da nun schon der erste dieser Sätze falsch ist, so ist der Ausdruck
»der grösste ächte Bruch« sinnlos.
[92] Siehe Anm. auf S. 87 u. 88.
[93] Satz ohne Allgemeinheit.
[94] Vergl. B. Erdmann, die Axiome der Geometrie S. 164.
[95] Wenn n keine Anzahl ist, so gehört nur n selbst der mit n endenden
natürlichen Zahlenreihe an. Man stosse sich nicht an dem Ausdrucke!
[96] E. Schröder scheint a. a. O. S. 63 diesen Satz als Folge einer
auch anders denkbaren Bezeichnungsweise anzusehen. Es macht sich auch
hier der Uebelstand bemerkbar, der seine ganze Darstellung dieser
Sache beeinträchtigt, dass man nicht recht weiss, ob die Zahl ein
Zeichen ist, und was dann dessen Bedeutung, oder ob sie eben diese
Bedeutung ist. Daraus, dass man verschiedene Zeichen festsetzt, sodass
nie dasselbe wiederkehrt, folgt noch nicht, dass diese Zeichen auch
Verschiedenes bedeuten.
[97] Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig,
1883.
[98] Dieser Ausdruck kann der früher hervorgehobenen Objectivität des
Begriffes zu widersprechen scheinen; aber subjectiv ist hier nur die
Benennung.
[99] Das Beobachten schliesst selbst schon eine logische Thätigkeit ein.
[100] A. a. O. Bd. II. S. 670.
[101] A. a. O. III. S. 39 u. ff.
[102] S. 43 sagt er, dass ein synthetischer Satz nur dann nach dem
Satze des Widerspruchs eingesehen werden kann, wenn ein andrer
synthetischer Satz vorausgesetzt wird.
[103] Ebenso, wenn die Merkmale durch »oder« verbunden sind.
[104] A. a. O. III, S. 82.
[105] Sie soll jedoch nicht nur die logische Form wie die boolesche
Bezeichnungsweise, sondern auch einen Inhalt auszudrücken im Stande
sein.
[106] Begriffsschrift, Halle a/S. 1870, S. 86, Formel 133.
[107] Diesen Beweis wird man immer noch viel zu weitläufig finden, ein
Nachtheil, der vielleicht die fast unbedingte Sicherheit vor einem
Fehler oder einer Lücke mehr als aufzuwiegen scheint. Mein Zweck war
damals Alles auf die möglichst geringe Zahl von möglichst einfachen
logischen Gesetzen zurückzuführen. Infolge dessen wendete ich nur eine
einzige Schlussweise an. Ich wies aber schon damals im Vorworte S. VII
darauf hin, dass für die weitere Anwendung es sich empfehlen würde,
mehr Schlussweisen zuzulassen. Dies kann geschehen ohne der Bündigkeit
der Schlusskette zu schaden, und so lässt sich eine bedeutende
Abkürzung erreichen.
[108] A. a. O. S. 6 u. 7.
[109] A. a. O. S. 106 u. 107.
[110] A. a. O. § 35.
[111] A. a. O. S. 5. Aehnlich E. Kossak, a. a. O. S. 17 unten.
[112] Aehnlich steht es bei _Cantors_ unendlichen Anzahlen.
[113] Auf einem andern Wege möchte sie immerhin streng bewiesen werden
können.
[114] A. a. O. S. 18.
[115] Das thut Hankel eigentlich schon durch den Gebrauch der Gleichung
Θ (c, b) = a.
[116] A. a. O. S. 29.
[117] Mit demselben Rechte könnten wir auch ein gewisses
Electricitätsquantum, einen gewissen Flächeninhalt u. s. w. zu
Quadratwurzeln aus -1 wählen, müssten diese verschiedenen Wurzeln dann
auch selbstverständlich verschieden bezeichnen. Dass man so beliebig
viele Quadratwurzeln aus -1 scheinbar schaffen kann, wird weniger
verwunderlich, wenn man bedenkt, dass die Bedeutung der Quadratwurzel
nicht schon vor diesen Festsetzungen unveränderlich feststand, sondern
durch sie erst mitbestimmt wird.
[118] Vergl. Kossak a. a. O. S. 17.
[119] A. a. O. S. 17.
[120] Man vergleiche über den Ausdruck »Vorstellung« § 27, über
»Gruppe« das in Bezug auf »Aggregat« § 23 u. § 25 Gesagte, über die
Gleichheit der Elemente §§ 34-39.
[121] Der Einfachheit wegen sehe ich hier vom Incommensurabeln ab.
[122] Ein leichter Ueberschlag zeigt, dass dazu Millionen Jahre lange
nicht hinreichen würden.
[123] Man könnte sie auch formal nennen. Doch ist sie ganz verschieden
von der oben unter diesem Namen beurtheilten.
[124] Ich will hiermit gar nicht leugnen, dass wir ohne sinnliche
Eindrücke dumm wie ein Brett wären und weder von Zahlen noch von
sonst etwas wüssten; aber dieser psychologische Satz geht uns hier
gar nichts an. Wegen der beständigen Gefahr der Vermischung zweier
grundverschiedener Fragen hebe ich dies nochmals hervor.
[125] Der Unterschied entspricht dem zwischen »blau« und »die Farbe des
Himmels«.
TH. SCHATZKY BUCHDR., BRESLAU, WALLSTR. 14b.