Nun ist der Satz:
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F« ist gleich
dem Umfange des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe G«
immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz
»dem Begriffe F kommt dieselbe Zahl wie dem Begriffe G zu«
wahr ist. Hier ist also voller Einklang.
Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als eine andere sei in
dem Sinne, wie der Umfang eines Begriffes umfassender als der eines
andern ist; aber der Fall, dass
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«
umfassender sei als
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe G«
kann auch gar nicht vorkommen; sondern, wenn alle Begriffe, die dem G
gleichzahlig sind, auch dem F gleichzahlig sind, so sind auch umgekehrt
alle Begriffe, die dem F gleichzahlig sind, dem G gleichzahlig. Dies
»umfassender« darf natürlich nicht mit dem »grösser« verwechselt
werden, dass bei Zahlen vorkommt.
Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« umfassender oder weniger umfassend wäre
als ein anderer Begriffsumfang, der dann nach unserer Erklärung keine
Anzahl sein könnte; und es ist nicht üblich, eine Anzahl umfassender
oder weniger umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber
es steht auch nichts im Wege, eine solche Redeweise anzunehmen, falls
solches einmal vorkommen sollte.
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Definitionen bewähren sich durch ihre Fruchtbarkeit. Solche, die
ebensogut wegbleiben könnten, ohne eine Lücke in der Beweisführung zu
öffnen, sind als völlig werthlos zu verwerfen.
Versuchen wir also, ob sich bekannte Eigenschaften der Zahlen aus
unserer Erklärung der Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ableiten
lassen! Wir werden uns hier mit den einfachsten begnügen.
Dazu ist es nöthig, die Gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen.
Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und
wie ich diesen Ausdruck verstehen will, ist jetzt darzulegen, weil man
leicht etwas Anschauliches darin vermuthen könnte.
Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner sicher sein will,
dass er ebensoviele Messer als Teller auf den Tisch legt, braucht
er weder diese noch jene zu zählen, wenn er nur rechts neben jeden
Teller ein Messer legt, sodass jedes Messer auf dem Tische sich
rechts neben einem Teller befindet. Die Teller und Messer sind so
beiderseits eindeutig einander zugeordnet und zwar durch das gleiche
Lagenverhältniss. Wenn wir in dem Satze
»α liegt rechts neben A«
für α und A andere und andere Gegenstände eingesetzt denken, so macht
der hierbei unverändert bleibende Theil des Inhalts das Wesen der
Beziehung aus. Verallgemeinern wir dies!
Indem wir von einem beurtheilbaren Inhalte, der von einem Gegenstande
a und von einem Gegenstande b handelt, a und b absondern, so behalten
wir einen Beziehungsbegriff übrig, der demnach in doppelter Weise
ergänzungsbedürftig ist. Wenn wir in dem Satze:
»die Erde hat mehr Masse als der Mond«
»die Erde« absondern, so erhalten wir den Begriff »mehr Masse als der
Mond habend«. Wenn wir dagegen den Gegenstand »der Mond« absondern,
gewinnen wir den Begriff »weniger Masse als die Erde habend«. Sondern
wir beide zugleich ab, so bleibt ein Beziehungsbegriff zurück, der
für sich allein ebensowenig wie ein einfacher Begriff einen Sinn hat:
er verlangt immer eine Ergänzung zu einem beurtheilbaren Inhalte.
Aber diese kann in verschiedener Weise geschehen: statt Erde und Mond
kann ich z. B. Sonne und Erde setzen, und hierdurch wird eben die
Absonderung bewirkt.
Die einzelnen Paare zugeordneter Gegenstände verhalten sich
in ähnlicher Weise -- man könnte sagen als Subjecte -- zu dem
Beziehungsbegriffe, wie der einzelne Gegenstand zu dem Begriffe, unter
den er fällt. Das Subject ist hier ein zusammengesetztes. Zuweilen,
wenn die Beziehung eine umkehrbare ist, kommt dies auch sprachlich zum
Ausdrucke wie in dem Satze »Peleus und Thetis waren die Eltern des
Achilleus«[89]. Dagegen wäre es z. B. nicht gut möglich, den Inhalt des
Satzes »die Erde ist grösser als der Mond« so wiederzugeben, dass »die
Erde und der Mond« als zusammengesetztes Subject erschiene, weil das
»und« immer eine gewisse Gleichstellung andeutet. Aber dies thut nichts
zur Sache.
Der Beziehungsbegriff gehört also wie der einfache der reinen Logik an.
Es kommt hier nicht der besondere Inhalt der Beziehung in Betracht,
sondern allein die logische Form. Und was von dieser ausgesagt werden
kann, dessen Wahrheit ist analytisch und wird _a priori_ erkannt. Dies
gilt von den Beziehungsbegriffen wie von den andern.