志二十五 时宪六

△雍正癸卯元法上

日躔改法之原：

一，更定岁实以衡消长。岁实古多而今少，故授时有消长之术。西人第谷所定，减郭守敬万分之三。至奈端等屡加测验，谓第谷所减太过，定为三百六十五日二四二三三四四二０一四一五，比第谷所定多万分之一有奇。以除周天三百六十度，得每日平行，比第谷所定少五纤有奇。本法用之。

一，更定黄赤距纬以徵翕辟。黄赤大距，古阔而今狭，恆有减而无增，西人利酌理、噶西尼测定黄赤大距二十三度二十九分，比第谷所定少二分三十秒，比刻白尔所定少一分。本法用之。一，细考清蒙气差以祛歧视。西人第谷悟得蒙气绕地球之周，日月星照蒙气之外，人在地面为蒙气所映，必能视之使高。而日月星之光线入蒙气之中，必反折之使下。故光线与视线蒙气之内合而为一，蒙气之外，歧而为二。二线所交，即为蒙气差角，然未有算术。噶西尼反覆精求，谓视线光线所歧虽有不同，相合则有定处。自地心过所合处作线抵圆周，即为蒙气割线。视线与割线成一角，光线与割线亦成一角，二角相减，得蒙气差角。爰在北极出地高四十四度处，屡加精测，得地平上最大差为三十二分一十九秒，蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五，视线角与光线角正弦之比例，常如一千万与一千万零二千八百四十一。用是推得逐度蒙气差。本法用之。如图甲为地心，乙为地面，丙乙为蒙气之厚，丑甲为割线，癸乙为视线，子戊为光线，癸戊子为蒙气差角，癸寅、子卯为两正弦。

一，细考地半径差以辨蒙杂。康熙十一年壬子秒分前十四日夜半，火星与太阳冲，西人噶西尼于富郎济亚国测得火星距天顶五十九度四十分一十五秒，利实尔于同一子午线之噶耶那岛测得火星距天顶一十五度四十七分五秒，同时用有千里镜能测秒微之仪器，与子午线上最近一恆星，测其相距。噶西尼所得火星较低一十五秒，因恆星无地半径差以之立法，用平三角形，推得火星在地平上最大地半径差二十五秒，小馀三七。又据歌白尼、第谷测得火星距地与太阳距地之比，如一百与二百六十六，用转比例法，求得太阳在中距时地平上最大地半径差一十秒，其逐度之差，以半径与正弦为比例。本法用之，以求地半径与日天半径之比例，中距为一与二万零六百二十六，最高为一与二万零九百七十五，最卑为一与二万零二百七十七，地平上最大地半径差最高为九秒五十微，最卑为一十秒一十微。

一，用橢圆面积为平行以酌中数。西人刻白尔以来，屡加精测，盈缩之最大差止一度五十六分一十二秒。以推逐度盈缩差，最高前后，本轮失之小，均轮失之大；最卑前后，本轮失之大，均轮失之小。乃以盈缩最大差折半，检其正弦，得一六九０００为两心差。以本天心距最高卑为一千万，作橢圆，自地心出线，均分其面积，为平行度，以所夹之角为实行度，以推盈缩。在本轮、均轮所得数之间，而逐度推求，苦无算术。噶西尼等乃立角积相求诸法，验诸实测，斯为菂合。本法用之。如图甲为地心，乙为本天心，丁为最高，丙为最卑，戊己为中距，瓜分之面积为平行，所对之平圆周角度为黄道实行。一，更定最卑行以正引数。西人噶西尼等测得每岁平行一分二秒五十九微五十一纤零八忽，比甲子元法多一秒四十九微有奇。本法用之。

一，更定平行所在以正岁首。用西人噶西尼所定，推得雍正癸卯年天正冬至为丙申日丑正三刻十一分有奇，比甲子元法迟二刻。次日子正初刻最卑过冬至八度七分三十二秒二十二微，比甲子元法多十七分三十五秒四十二微。

月离改法之原：

一，求太阴本天心距地及最高行，随时不同，以期通变。自西人刻白尔创隋圆之法，奈端等累测月离，得日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒，两心差为四三三一九０。日当月天最高，或当月天最卑，则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒，两心差为六六七八二０。日历月天高卑而后，两心差渐小；中距而后，两心差渐大；日距月天高卑前后四十五度，两心差適中。又日当月天高卑时，最高之行常速，至高卑后四十五度而止；日当月天中距时，最高之行常迟，至中距后四十五度而止；与日月之盈缩迟疾相似，而周转之数倍之。因以地心为心，以两心差最大最小两数相加折半，得五五０五０五，为最高本轮半径。相减折半，得一一七三一五，为最高均轮半径。均轮心循本轮周右旋，行最高平行度；本天心循均轮周起最远点右旋，行日距月天最高之倍度。用平三角形，推得最高实均。又推得逐时两心差，以求面积。如日躔求盈缩法，以求迟疾，名曰初均。本法用之。如图戊为地心，甲壬癸子为本轮，乙丁丑丙为均轮，丙丁皆本天心，丙为最远，丁为最近，戊丙两心差大，己庚橢圆面积少，戊丁两心差小，辛申橢圆面积多。

一，增立一平均数以合时差。西人刻白尔以来，奈端等屡加测验，得日在最卑后太阴平行常迟，最高平行、正交平行常速。日在最高后反是。因定日在中距，太阴平行差一十一分五十秒，最高平行差一十九分五十六秒，正交平行差九分三十秒。其间逐度之差，皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例，名曰一平均。本法用之。

一，增立二平均数以均面积。西人奈端以来，屡加精测，得太阳在月天高卑前后太阴平行常迟，至高卑后四十五度而止。在月天中距前后反是。然积迟、积速之多，正在四十五度，而太阳在最高与在最卑，其差又有不同。因定太阳在最高，距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒；太阳在最卑，距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒。高卑后为减，中距后为加，其间日距月最高逐度之差，皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比例。太阳距地逐度之差，又以太阳高卑距地之立方较与太阳本日距地同太阳最高距地之立方较为比例，名曰二平均。本法用之。

一，增立三平均数以合交差。西人奈端以来，定白极在正交均轮周行日距正交之倍度，因定太阳在黄白两交后，则太阴平行又稍迟；在黄白大距后，则太阴平行又稍速；其最大差为四十七秒。两交后为减，大距后为加。其逐度之差，皆以半径与日距正交倍度之正弦为比例，名曰三平均。本法用之。

一，更定二均数以正倍离。西人噶西尼以来，屡加测验，定日在最高朔望前后四十五度，最大差为三十三分一十四秒；日在最卑朔望前后四十五度，最大差为三十七分一十一秒。朔望后为加，两弦后为减。其间月距日逐度之二均，则以半径与月距日倍度之正弦为比例。其太阳距最高逐度二均之差，又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地同太阳最高距地之立方较为比例，与二平均同。本法用之。

一，更定三均数以合总数。西人噶西尼以来，取月距日与月高距日高共为九十度时测之，除末均之差外，其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等。又取月距日与月高距日高共为四十五度时测之，亦除末均差外，其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等。乃定太阴三均之差，在月距日与月高距日高之总度半周内为加，半周外为减。其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒。其间逐度之差，以半径与总度之正弦为比例。本法用之。

一，增立末均数以合距度。西人噶西尼以来，测日月最高同度或日月同度两者只有一相距之差，则止有三均。若两高有距度，日月又有距度，则三均之外，朔后又差而迟，望后又差而速。及至月高距日高九十度、月距日亦九十度时，无三均，而其差反最大。故知三均之外，又有末均。乃将月高距日高九十度分为九限，各于月距日九十度时测之，两高相距九十度，其差三分；八十度，其差二分三十九秒；七十度，其差二分一十九秒；六十度，其差二分；五十度，其差一分四十三秒；四十度，其差一分二十八秒；三十度，其差一分一十六秒；二十度，其差一分七秒；一十度，其差一分一秒。其间逐度之差，用中比例求之。其间月距日逐度之差，皆以半径与月距日之正弦为比例。朔后为减，望后为加。本法用之。

一，更定交均及黄白大距以合差分。西人奈端、噶西尼以来，测得日在两交时，交角最大为五度一十七分二十秒；日距交九十度时，交角最小为四度五十九分三十五秒。朔望而后，交角又有加分。因日距交与月距日之渐远，以渐而大，至日距交九十度、月距日亦九十度时，加二分四十三秒。交均之最大者，为一度二十九分四十二秒。乃以最大、最小两交角相加折半，为绕黄极本轮；相减折半，为负白极均轮。分均轮全径为五，取其一，内去朔望后加分，为最大加分小轮全径，设于白道，馀为交均小轮全径。与均轮全径相减，馀为负小轮全径，与均轮同心，均轮负而行，不自行。均轮心行于本轮周，左旋，为正交平行。交均小轮心在负小轮周，起最远点，右旋，行日距正交之倍度。白极在交均小轮周，起最远点，左旋，行度又倍之。而白道上之加分小轮，其周最近。黄道之点，与朔望之白道相切，其全径按日距正交倍度为大小，常与最大加分小轮内所当之正矢等。又按本时全径内取月距日倍度所当之正矢为所张之度，验诸实测，无不菂合。本法用之。如图甲为黄极，乙为本轮，丙为均轮，丁为负小轮，戊己皆为交均小轮，庚辛皆为白极，壬为黄道，丑、癸皆为朔望时白道，寅、子皆为两弦时白道，卯、辰皆为白道上加分小轮。

一，更定地半径差以合高均。求得两心差最大时，最高距地心一０六六七八二０，为六十三倍地半径又百分之七十七；最卑距地心九三三二一八０，为五十五倍地半径又百分之七十九。两心差最小时，最高距地心一０四三三一九０，为六十二倍地半径又百分之三十七；最卑距地心九五六六八一０，为五十七倍地半径又百分之一十九；中距距地心一千万，为五十九倍地半径又百分之七十八。又用平三角形，求得太阴自高至卑逐度距地心线及地平上最大差。其实高逐度之差，皆以半径与正弦为比例。

一，更定三种平行及平行所在。太阴每日平行，比甲子元法多千万分秒之二万二千三百一十六，最高每日平行，比甲子元法少百万分秒之七千二百五十一，正交每日平行，比甲子元法少十万分秒之一百三十七。雍正癸卯天正冬至，次日子正，太阴平行所在，比甲子元法多二分一十四秒五十七微，最高平行所在，比甲子元法少三十六分三十七秒一十微，正交平行所在，比甲子元法多五分六秒三十三微。

交食改法之原：

一，用两时日躔、月离黄道度求实朔、望。先推平朔、望以求其入交之月，次推本日、次日两子正之日躔、月离黄道经度以求其实朔、望之时，又推本时次时两日躔、月离以比例其时刻。与甲子元法止用两日及用黄白同经者不同。一，用两经斜距求日、月食甚时刻及两心实相距。以黄白二道原非平行，而日、月两经常相斜距。若以太阳为不动，则太阴如由斜距线行，故求两心相距最近之线，不与白道成正角，而与斜距线成正角。其距弧变时，亦不以月距日实行度为比例，而以斜距度为比例。如图甲乙为黄道，戊乙为白道，甲戊为实朔、望距纬，甲癸为太阳一小时实行，戊丑为太阴一小时实行。设太阳不动而合癸与甲，则太阴不在丑而在寅。戊寅为一小时两经斜距线，甲卯与戊寅成正角，即为两心相距最近之线，戊卯为食甚距弧，皆借弧线为直线，用平三角形求之。初亏、复圆，则以并径为弦作勾股。一，更定日、月实径与地径之比例。西人默爵制造镜仪，测得日视径最高为三十一分四十秒，中距为三十二分一十二秒，最卑为三十二分四十五秒；月视径最高为二十九分二十三秒，中距为三十一分二十一秒，最卑为三十三分三十六秒。用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六，月实径为地径百分之二十七，小馀二六强，太阳光分一十五秒。本法用之。

一，更定求影半径法及影差。以日、月两地半径差相加，内减去日半径，馀即为实影半径。又月食时日在地下，蒙气转蔽日光，地影视径大于实径约为太阴地半径差六十九分之一，是为影差。如图甲丁辛三角形，丁辛二内角与壬甲辛一外角等，丁角即太阳地半径差，辛角即太阴地半径差，甲丁线略与甲丙日天半径等，甲辛线略与甲己月天半径等，其角皆与地半径甲乙相当故。壬甲己对角丙甲丁即日半径。故以丁角、辛角相加，即得壬甲辛角，内减壬甲己角，馀己甲辛角，即实影半径。

图形尚无资料

一，更定求日食食甚真时及两心视相距。借弧线为直线，用平三角形，以食甚用时两心实相距为一边，用时高下差为一边，用时白经高弧交角为所夹之角，求得对角之边，为两心视相距，并求得对两心实相距角。复设一时，限西向后设，限东向前设。求其两心实相距及高下差为二边。白经高弧交角与对设时距弧角相减，馀为所夹之角，求得对角之边，为设时两心视相距，亦求得对两心实相距角。乃取用时、设时两白经高弧交角较，与用时对两心实相距角相减。又加设时对两心实相距角，又与全周相减为一角，用时、设时两视相距为夹角之二边，求其对边为视行，求其中垂线至视行之点，为食甚真时所在，垂线为真时视相距。以上加减，据向后设而言。然后以所得真时，复考其两心视相距果与所求垂线合，即为定真时。如图乾为日心，乾子为用时两心实相距，乾壬为高下差，壬子为两心视相距，乾午为设时两心实相距，乾己为高下差，己午同壬未为两心视相距，壬丑中垂线为真时视相距。初亏、复圆法同，但以并径为比考真时之限。至带食则以地平为断，亦迳求两心视相距，不用视行。

罗★、计都更名，乾隆五年，和硕庄亲王等援古法奏请更正，下大学士、九卿议奏，乾隆九年更正。

紫气增设之原，大学士、伯讷尔泰等议覆，更定罗★、计都名目，★援古法增入紫气，约二十八年十闰而气行一周天，每日行二分六秒，小馀七二０七七七。以乾隆九年甲子天正冬至，次日子正在七宫十七度五十分十四秒五十三微为元。

求实行，先求引数，同甲子元法。乃用平三角形，以二千万为一边，倍两心差为一边，引数为所夹之角，六宫内用内角，六宫外与全周相减用其馀。求得对倍两心差之角，倍之为橢圆界角。又以本天小半径为一率，大半径为二率，前所夹角正切为三率，求得四率为橢圆之正切，检表得度分秒。与引数相减，馀为橢圆差角。最卑前后各三宫与橢圆界角相加，最高前后各三宫与橢圆界角相减，自初宫为最卑后，以此顺计。为均数。置平行，以均数加减之，引数初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减。得实行。

求用平行，以太阳最大均数为一率，太阴最大一平均为二率，本日太阳均数化秒为三率，求得四率为秒。收为分，后皆同。为太阴一平均。又以最高最大平均为二率，一率、三率同前。求得四率为本日最高平均。又以正交最大平均为二率，求得四率，为本日正交平均，随记其加减号。太阴正交与太阳相反，最高与太阳同。各加减平行，得太阴二平行及用最高用正交。于太阳实行内减去用最高，为日距月最高。减去用正交，为日距正交。次以半径千万为一率，太阳引数内加减太阳均数为实引，取其馀弦为二率，太阳倍两心差为三率，求得四率为分股。又以实引正弦为二率，一率、三率同前。求得四率为勾；以分股与全径二千万相加减，实引三宫内九宫外加，三宫外九宫内减。为股弦和；求得弦。转与全径相减，为日距地心数。自乘再乘得立方积，与太阳最高立方积相减，为本时立方较。又以半径千万为一率，高卑最大二平均各为二率，日距月最高倍度正弦为三率，各求得四率，为本时高卑二平均。又以高卑立方大较为一率，本时立方较为二率，本时高卑二平均相减馀为三率，求得四率与本时最高二平均相加，为本时二平均，记加减号。日距月最高倍度不及半周为减，过为加。复以半径千万为一率，最大三平均为二率，日距正交倍度正弦为三率，求得四率，为三平均，记加减号。日距正交倍度不及半周为减，过为加。乃置二平行，加减二三平均，得用平行。

求初实行，用平三角形，以最高本轮半径为一边，最高均轮半径为一边，日距月最高倍度与半周相减，馀为所夹之角，求得对均轮半径之角，为最高实均，记加减号。日距月最高倍度不及半周为加，过为减。又求得对原角之边，为本时两心差。以最高实均加减用最高为最高实行，以最高实行减用平行为太阴引数，复用平三角形，以半径千万为一边，本时两心差为一边，太阴引数与半周相减馀为所夹之角，求得对两心差之角。与原角相加，复为所夹之角。求得对半径千万之角，为平圆引数。乃以本天大半径为一率，本时两心差为正弦，对表取馀弦为二率，平圆引数之正切线为三率，求得四率为正切，检表为实引，与太阴引数相减为初均数。置用平行，以初均数加减之，引数初宫至五宫为减，六宫至十一宫为加。得初实行。

求白道实行，置初实行，减本日太阳实行，为月距日。乃以半径千万为一率，高卑最大二均数各为二率，月距日倍度正弦为三率，各求得四率，为本时高卑二均数。又以高卑立方大较为一率，本时立方较为二率，本时高卑二均数相减馀为三率，求得四率，与本时最高二均数相加，为本时二均数，记加减号。月距日倍度不及半周为加，过为减。又置月距日，加减二均，为实月距日。置太阳最卑平行，加减六宫，为日最高太阴最高实行。内减日最高，为日月最高相距。与实月距日相加，为相距总数。以半径千万为一率，最大三均为二率，相距总数正弦为三率，求得四率，为三均数，记加减号。总数不及半周为加，过为减。又以半径千万为一率；日月最高相距度用中比例，取本时两弦最大末均为二率，实月距日正弦为三率，求得四率，为末均数，记加减号。实月距日不及半周为减，过为加。乃置初实行，加减二均、三均、末均，得白道实行。

求黄道实行，用平三角形，以正交本轮半径为一边，正交均轮半径为一边，日距正交倍度为所夹之外角，倍度过半周，减去半周，用其馀。求得对两边二角之半较。与日距正交相减，馀为正交实均。以加减日距正交倍度不及半周为加，过为减。用正交，为正交实行。置白道实行，减正交实行，为月距正交。又以半径千万为一率，日距正交倍度正矢为二率，倍度过半周，与全周相减，用其馀。黄白大距半较为三率，求得四率，为交角减分。又以最大距日加分折半为三率，一率、二率同前。求得四率，为距交加差。又以半径千万为一率，实月距日倍度正矢为二率，倍度过半周，与全周相减，用其馀。距交加差折半为三率，求得四率，为距日加分。置最大大距，减交角，减分加距日加分，为黄白大距。乃以半径千万为一率，黄白大距馀弦为二率，月距正交、正切为三率，求得四率为正切，检表为黄道距交度。与月距正交相减，馀为升度差。以加减白道实行，月距正交初、一、二、六、七、八宫为减，三、四、五、九、十、十一宫为加。得黄道实行。

求月令，日躔娵訾，为建寅正月，东风解冻，蛰蟲始振，鱼陟负冰，獭祭鱼，候雁北，草木萌动，凡六候。日躔降娄，为建卯二月，桃始华，仓庚鸣，鹰化为鸠，玄鸟至，雷乃发声，始电，凡六候。日躔大梁，为建辰三月，桐始华，田鼠化为鴽，虹始见，萍始生，鸣鸠拂其羽，戴胜降于桑，凡六候。日躔实沈，为建巳四月，蝼蝈鸣，蚯蚓出，王瓜生，苦菜秀，靡草死，麦秋至，凡六候。日躔鹑首，为建午五月，螳螂生，鵙始鸣，反舌无声，鹿角解，蜩始鸣，半夏生，凡六候。日躔鹑火，为建未六月，温风至，蟋蟀居壁，鹰始挚，腐草为萤，土润溽暑，大雨时行，凡六候。日躔鹑尾，为建申七月，凉风至，白露降，寒蝉鸣，鹰乃祭鸟，天地始肃，禾乃登，凡六候。日躔寿星，为建酉八月，鸿雁来，玄鸟归，★鸟养羞，雷始收声，蛰蟲坯户，水始涸，凡六候。日躔大火，为建戌九月，鸿雁来宾，雀入大水为蛤，菊有黄华，豺乃祭兽，草木黄落，蛰蟲咸俯，凡六候。日躔析木，为建亥十月，水始冰，地始冻，雉入大水为蜃，虹藏不见，天气上升，地气下降，闭塞而成冬，凡六候。日躔星纪，为建子十一月，鹖鴠不鸣，虎始交，荔挺出，蚯蚓结，麈角解，水泉动，凡六候。日躔元枵，为建丑十二月，雁北乡，鹊始巢，雉雊，鸡乳，征鸟厉疾，水泽腹坚，凡六候。每五度为一候，按宫度推之即得。

志二十六 时宪七

△雍正癸卯元法下

月食用数

推月食法

求太阴入食限，并同甲子元法。视某月太阴平交周入可食之限，即为有食之月。交周自五宫十四度五十一分至六宫十五度九分，自十一宫十四度五十一分至初宫十五度九分，皆可食之限。再于实时距正交详之。

求实望实时，先求泛时，用两日实行较，同甲子元求朔望法。次设前、后两时，各求日、月黄道实行。复用两时实行较，得实望实时。又以实时各求日、月黄道实行，视本时月距正交入限为有食。自五宫十七度四十三分至六宫十二度十七分，自十一宫十七度四十三分至初宫十二度十七分，皆有食之限。

求食甚时刻，用平三角形，以一小时太阴白道实行化秒为一边，本时次时二实行较。一小时太阳黄道实行化秒为一边，实望黄白大距为所夹之角，求得对小边之角为斜距交角差。以加实时黄白大距，为斜距黄道交角。又以斜距交角差之正弦为一率，一小时太阳实行为二率，实望黄白大距之正弦为三率，求得四率，为一小时两经斜距。又以半径千万为一率，斜距黄道交角之馀弦、正弦各为二率，实望月离黄道实纬为三率，各求得四率，为食甚实纬南北与实望黄道实纬同。及距弧。又以一小时两经斜距为一率，一小时化秒为二率，食甚距弧为三率，求得四率为食甚距时。以加减实望用时，月距正交初宫、六宫为减，五宫、十一宫为加。得食甚时刻。

求太阳太阴实引，置实望太阳引数，加减本时太阳均数，得太阳实引。又置实望太阴引数，加减本时太阴初均数，得太阴实引。

求太阳太阴距地，用平三角形，以日躔倍两心差为对正角之边，以太阳实引为又一角，三宫内用本度，过三宫与六宫相减，过九宫与全周相减，用其馀。求得对太阳实引之边为勾。又求得对原不知角之边为分股，与二千万相加减，实引三宫内九宫外加，三宫外九宫内减。为股弦和与勾，求得股。与分股相加减，实引三宫内九宫外减，三宫外九宫内加。得太阳距地。又以实望月离倍两心差如法求之，得太阴距地。

求实影半径，以太阴距地为一率，中距太阴距地为二率，中距太阴最大地半径差为三率，求得四率为本时太阴最大地半径差。又以六十九除之，为影差。又以太阳距地为一率，中距太阳距地为二率，中距太阳视半径为三率，求得四率为太阳视半径，与本时太阴最大地半径差相减。又加太阳最大地半径差，为影半径，又加影差，为实影半径。

求太阴视半径，以太阴距地为一率，中距太阴距地为二率，中距太阴视半径为三率，求得四率，为太阴视半径。

求食分，以太阴全径为一率，十分化作六百秒为二率，并径实影视太阴两半径并。内减食甚实纬，馀化秒为三率，求得四率为秒，以分收之，即食分。

求初亏、复圆时刻，以并径与食甚实纬相加化秒为首率，相减化秒为末率，求得中率为秒，以分收之，为初亏、复圆距弧。又以一小时两经斜距为一率，一小时化秒为二率，初亏、复圆距弧为三率，求得四率为初亏、复圆距时，以加减食甚时刻，得初亏、复圆时刻。减得初亏，加得复圆。

求食既、生光时刻，以两径较实影视太阴两半径相减之馀。与食甚实纬相加化秒为首率，相减化秒为末率，求得中率为秒，以分收之，为食既、生光距弧。求距时时刻，与初亏、复圆法同。食在十分以内，则无此二限。

求食甚太阴黄道经纬宿度，以一小时化秒为一率，一小时太阴白道实行为二率，食甚距时化秒为三率，求得四率，为距时月实行。以加减实望太阴白道实行，加减与食甚距时同。得食甚太阴白道经度。又置实望月距正交，加减距时月实行，得食甚月距正交。再求黄道经纬宿度，同月离。

求食甚太阴赤道经纬宿度，以半径千万为一率，食甚太阴距春、秋分黄道经度正弦为二率，食甚太阴黄道经度不及三宫者，与三宫相减；过三宫者，减三宫；过六宫者，与九宫相减；过九宫者，减九宫。食甚太阴黄道纬度馀切为三率，求得四率为馀切，检表得太阴距二分弧与黄道交角，以加减黄赤大距，食甚太阴黄道经度九宫至三宫，纬南加，纬北减，皆在赤道南，反减则在北。三宫至九宫加减反是。为太阴距二分弧与赤道交角。又以太阴距二分弧与黄道交角之馀弦为一率，半径千万为二率，食甚太阴距春、秋分黄道经度之正切为三率，求得四率，为太阴距二分弧之正切。又以半径千万为一率，太阴距二分弧与赤道交角之馀弦为二率，太阴距二分弧正切为三率，求得四率为正切，检表为距春、秋分赤道经度。加减三宫九宫，食甚太阴黄道经度不及三宫，与三宫相减，过三宫者加三宫。过六宫者，与九宫相减，过九宫者加九宫。得食甚太阴赤道经度。求纬度宿度，同甲子元法。

求初亏、复圆黄道高弧交角，以半径千万为一率，黄赤大距正弦为二率，影距春、秋分黄道经度正弦为三率，求得四率为正弦，检表得影距赤道度。影距春、秋分度数与太阳同，太阳在赤道北，影在南，太阳在赤道南，影在北。又以影距春、秋分黄道经度馀弦为一率，黄赤大距馀切为二率，半径千万为三率，求得四率为正切，检表为黄道赤经交角。乃用弧三角形，以北极距天顶为一边，影距赤道与九十度相加减为一边，北则减，南则加。初亏、复圆各子正时刻过十二时者，与二十四时相减。变赤道度，各为所夹之角，求得对北极距天顶之角。各为赤经高弧交角，以加减黄道赤经交角，太阴在夏至前六宫，食在子正后则减，为限西。食在子正前则加，加过九十度，与半周相减，为限东。不及九十度，则不与半周相减，变为限西。在夏至后六宫反是。各得黄道高弧交角。若食在子正，影在正午，无赤经高弧交角，则黄道赤经交角即黄道高弧交角。太阴在夏至前为限西，后为限东。

求初亏、复圆并径高弧交角，以并径为一率，食甚实纬为二率，半径千万为三率，求得四率为馀弦，检表为并径交实纬角。如无食甚实纬，即无此角，亦无并径黄道交角。又置九十度，加减斜距黄道交角，得初亏、复圆黄道交实纬角。食甚月距正交初宫、六宫，初亏减，复圆加。五宫、十一宫，初亏加，复圆减。各与并径交实纬角相减，为初亏、复圆并径黄道交角。并径初交实纬角小，距纬南北与食甚同。大则反是。以加减黄道高弧交角，亏限东，复圆限西，纬南加，纬北减。初亏限西，复圆限东，加减反是。各得并径高弧交角。如无并径黄道交角，则黄道高弧交角即并径高弧交角。

求初亏、复圆方位，即以并径高弧交角为定交角，求法同甲子元。但以并径高弧交角初度初亏在限东为正下，限西为正上；复圆在限东为正上，限西为正下。据京师北极高度定，与甲子元法同。

求带食方位，用带食两心相距，不用并径求诸交角，如初亏、复圆定方位。食甚前与初亏同，食甚后与复圆同。

日食用数

推日食法

求太阴入食限，并同月食，惟不用望策，即为逐月朔太阴交周。视某月入可食之限，即为有食之月。交周自五宫八度四十二分至六宫九度一十四分，又自十一宫二十度四十六分至初宫二十一度一十八分，皆可食之限。

求实朔实时，并同月食求望法，惟不加望策。视本时月距正交入食限为有食。自五宫十一度三十四分至六宫六度二十二分，又自十一宫二十三度三十八分至初宫十八度二十六分，为有食之限。

求地平高下差，先求本日太阴最大地半径差，法同月食。乃减太阳最大地半径差，得地平高下差。

求黄赤及黄白、赤白二经交角，以食甚太阳距春、秋分黄道经度馀弦为一率，黄赤大距馀切为二率，半径千万为三率，求得四率为馀切，检表得黄赤二经交角。冬至后黄经在赤经西，夏至后在赤经东，如太阳在二至，则无此角。又以前所得斜距黄道交角，即为黄白二经交角。实朔月距正交初宫、十一宫，白经在黄经西；五宫、六宫，在黄经东。二交角相加减，为赤白二经交角。二交角同为东同为西者相加，白经在赤经之东西仍之。一为东一为西者相减。东西从大角。如减尽，则无此角。如无黄赤二经交角，则黄白即赤白，东西并同。

求用时赤经高弧交角，用弧三角形，以北极距天顶为一边，太阳距北极为一边，赤纬在南，加九十度；在北，与九十度相减。用时太阳距午赤道度为所夹之角，求得对北极距天顶之角，为用时赤经高弧交角。午前赤经在高弧东，午后赤经在高弧西。若太阳在正午，则无此角。

求用时太阳距天顶，以用时赤经高弧交角正弦为一率，北极距天顶之正弦为二率，用时太阳距午赤道度之正弦为三率，求得四率为正弦，检表得太阳距天顶。

求用时高下差，以半径千万为一率，地平高下差化秒为二率，用时太阳距天顶之正弦为三率，求得四率为秒，以分收之，为用时高下差。

求用时白经高弧交角，以用时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减，得用时白经高弧交角。东西同者相加，白经在高弧之东西仍之。一东一西者相减，东西从大角。如无赤白二经交角，或无赤经高弧交角，则即以所有一角命之，东西并同。如二角俱无，或同度减尽，则无此角。食甚用时即真时。用时高下差与食甚实纬，南加北减，即食甚两心视相距。

求用时对两心视相距角，月在黄道北，取用时白经高弧交角；月在黄道南，取用时白经高弧交角之外角，实距在高弧之东西，月在北则与白经同，在南则相反。皆为用时对两心视相距角。若自经高弧交角过九十度，纬南如纬北，纬北如纬南。

求用时对两心实相距角，用平三角形，以食甚用时两心实相距为一边，即食甚实纬。用时高下差为一边，用时对两心视相距角为所夹之角，即求得用时对两心实相距角。

求用时两心视相距，以用时对两心实相距角之正弦为一率，用时两心实相距为二率，用时对两心视相距角之正弦为三率，求得四率，即用时两心视相距。白经在高弧西，两心视相距大于并径者，或无食或未及等者，用时即初亏真时，在高弧东为已过及复圆真时。若小于并径，高弧西为初亏食甚之间，东为复圆食甚之间。

求食甚设时，用时白经高弧交角东向前取，西向后取，角大远取，角小近取，远不过九刻，近或数分。量距用时前后若干分，为食甚设时。

求设时距弧，以一小时化秒为一率，一小时两经斜距为二率，设时距分化秒为三率，求得四率，为设时距弧。

求设时对距弧角，以食甚实纬为一率，设时距弧为二率，半径千万为三率，求得四率为正切，检表得设时对距弧角。

求设时两心实相距，以设时对距弧角之正弦为一率，设时距弧为二率，半径千万为三率，求得四率，即设时两心实相距。

求设时对两心视相距角，月在黄道北，以设时白经高弧交角与设时对距弧角相减，月在黄道南则相加，又与半周相减，馀为设时对两心视相距角。相减者，对距弧角小，实距在高弧之东西与白经同；对距弧角大则相反。相加又减半周者，实距在高弧之东西，恆与白经反。如两角相等而减尽无馀，或相加適足一百八十度，则无交角，亦无对设时两心实相距角，即以设时高下差与设时两心实相距相减，馀为设时两心视相距。若白经高弧交角过九十度，纬南如纬北，纬北如纬南。

求设时高弧交用时视距角，以设时白经高弧交角较与用时对两心实相距角相加减，即得。纬北为减，纬南为加。若白经高弧交角过九十度，反是。

求对设时视行角，以设时高弧交用时视距角与设时对两心实相距角相加减，即得。两实距同在高弧东，或同在西，则减；一东一西者，则加；加过半周者，与全周相减，用其馀。如无设时对两心实相距角，设时高下差大于设时两心实相距，则设时高弧交用时视距角即对设时视行角；设时高下差小于设时两心实相距，则以设时高弧交用时视距角与半周相减，馀为对设时视行角。

求对设时视距角，用平三角形，以用时两心视相距为一边，设时两心视相距为一边，对设时视行角为所夹之角，即求得对设时视距角。

求设时视行，以对设时视距角之正弦为一率，设时两心视相距为二率，对设时视行角正弦为三率，求得四率，为设时视行。

求真时视行，以半径千万为一率，对设时视距角馀弦为二率，用时两心视相距为三率，求得四率，为真时视行。

求真时两心视相距。以半径千万为一率，对设时视距角正弦为二率，用时两心视相距为三率，求得四率，为真时两心视相距。

求食甚真时，以设时视行为一率，设时距分为二率，真时视行为三率，求得四率，为真时距分，以加减食甚用时，白经在高弧西则加，在高弧东则减。得食甚真时。

求真时高弧交设时视距角，法同设时，加减有异。月在黄道北，设时真时两实距在高弧东西同，惟白经异。设时白经高弧交角小则加，大则减。若白经亦同，反是。若两实距一东一西，则皆相减。月在黄道南，设时交角小则加，大则减。如无设时对两心实相距角，设时高下差大于设时两心实相距，则真时白经高弧交角较，即真时高弧交设时视距角；设时高下差小于设时两心实相距，则以真时白经高弧交角较与半周相减，馀为真时高弧交设时视距角。若白经高弧交角过九十度，纬南如纬北，纬北如纬南。

求对考真时视行角，法同设时。如设时实距与高弧合，无东西者，设时高下差大于设时两心实相距，则相减，小则加。如真时白经高弧交角较与设时对两心实相距角相等，而减尽无馀，则真时对两心实相距角，即对考真时视行角。或相加適足半周，则真时对两心实相距角与半周相减，即对考真时视行角。

求定真时视行，如定真时视行与考真时视行等，则食甚真时即为定真时。如或大或小，再用下法求之。

求食甚定真时，以考真时视行为一率，设时距分与真时距分相减馀为二率，定真时视行为三率，求得四率，为定真时距分。以加减食甚设时，白经在高弧东，设时距分小测减，大则加。白经在高弧西，反是。得食甚定真时。

求食分，以太阳实半径倍之为一率，十分为二率，并径内减定真时两心视相距馀为三率，求得四率，即食分。

求初亏、复圆前设时，白经在高弧西，食甚用时两心视相距与并径相去不远，即以食甚用时为初亏前设时，小则向前取，大则向后取，量距食甚用时前后若干分，为初亏前设时。与食甚定真时相减，馀数与食甚定真时相加，为复圆前设时，白经在高弧东，先取复圆，后得初亏，理并同。

求初亏前设时对两心视相距角，法同食甚用时，加减有异，月在黄道北，二角东西同，则相加；一东一西，相减。月在黄道南，反是。又与半周相减。若白经高弧交角过九十度，则纬南、纬北互异。馀同食甚设时。

求初亏后设时，视初亏前设时两心视相距小于并径，则向前取，大则向后取，察其较之多寡，量取前后若干分，为初亏后设时。以下逐条推算，皆与前设时同，但用后设时度分立算。

求初亏定真时，以初亏视距较为一率，初亏设时较为二率，初亏视距并径较为三率，求得四率，为初亏真时距分。以加减初亏后设时，后设时两心视相距大于并径为加，小为减。得初亏真时。乃以初亏真时依前法求其两心视相距，果与并径等，则初亏真时即初亏定真时。初亏真时对两心实相距角即初亏方位角。如或大或小，则以初亏前后设时两心视相距与并径尤近者，与考真时两心视相距相较，依法比例，得初亏定真时。

求复圆后设时，视复圆前设时两心视相距小于并径，则向后取，大于并径，则向前取，察其较之多寡，量取前后若干分，为复圆后设时。逐条推算，皆与前设时同，但用后设时度分立算。

求初亏、复圆定交角，初亏白经在高弧之东，以初亏方位角与半周相减，在高弧之西，即用初亏方位角；复圆反是：皆为定交角。

求初亏、复圆方位，法与甲子元同，但以定交角初度初亏白经在高弧东为正上，在西为正下；复圆在东为正下，在西为正上。

求带食赤经高弧交角，以黄赤距纬之馀弦为一率，北极高度之正弦为二率，半径千万为三率，求得四率为馀弦，检表得带食赤经高弧交角。

绘日食坤舆图，取见食极多之分，每分为一限。止于二十一限。又取见食时刻早晚，每刻为一限。止于九十六限。交错相求，反推得见食各地北极高下度、东西偏度。乃按度联为一图。又按坤舆全图所当高度偏度各地名，遂一填註。

推步用表

甲子元法：

一曰年根表，以纪年、纪日、值宿为纲，由法元之年顺推三百年，各得其年天正冬至次日子正太阳及最卑平行，列为太阳年根表；太阴及最高、正交平行，列为太阴年根表；五星及最高、正交、伏见诸平行，为各星年根表。

一曰周岁平行表，以日数为纲，由一日至三百六十六日，积累日、月、五星及最卑、最高、正交、伏见诸平行，各列为周岁平行表。

一曰周日平行表，以时分秒为纲，与度分秒对列三层，自一至六十，积累日、月、五星及最高、正交、伏见、月距日、太阴引数、交周诸平行，各列为周日平行表。

一曰均数表，以引数为纲，豫推得逐度逐分盈缩迟疾，备列于表。太阴别有二三均数表，以引数及月距日为纲，纵横对列，推得二三均数，备列于表。土、木、金、水四星，则以初均及中分、次均及较分，同列为一表。火星则以初均及次轮心距地数、次轮半径本数、太阳高卑差数，同列为一表。皆为均数表。

一曰距度表，以黄道宫度为纲，列所对赤道南北距纬，为黄赤距度表。以月距正交为纲，分黄白大距为六限，列所对黄道南北距纬，为黄白距度表。

一曰时差表，以黄道为纲，取所当赤道度之较变时，列为升度时差表。又以引数为纲，取所当均数变时，列为均数时差表。

一曰首朔诸根表，以纪年、纪日、值宿为纲，由法元之年顺推三百年，取所当之首朔日时分秒及太阳平行，太阳、太阴引数，太阴交周，五者同列为一表。

一曰朔望策表，以月数为纲，自一至十三，取所当之朔、望策及太阳平行朔、望策，太阳、太阴引数朔、望策，太阴交周朔、望策，十事同列为一表。

一曰视半径表，以引数为纲，取所当之日半径、月半径、月距地影半径、影差，五者同列为一表。

一曰交食月行表，以食甚距纬分为纲，自初分至六十四分，与太阳、太阴、地影，凡两半径之和分，自二十五分至六十四分，纵横对列，取所当之月行分秒列为表。其太阴、地影两半径之较分与和分同用。

一曰黄平象限表，以正午黄道宫度为纲，分北极高自十六度至四十六度为三十一限，取所当之春分距午、黄平象限、限距地高，三者同列为一表。

一曰黄道高弧交角表、以日距限为纲，自初度至九十度，分限距地高自二十度至八十九度为七十限，取所当之黄道高弧交角列为表。

一曰东西南北差表，以交角度为纲，自初度至九十度，与高下差一分至六十三分，纵横对列，取所当之东西差及南北差，同列为表。

一曰纬差角表，以并径为纲，自三十一分至六十四分，与距纬一分至六十四分，纵横对列，取所当之纬差角列为表。

一曰星距黄道表，以距交宫度为纲，取所当星距黄道数各列为表，水星独分交角自四度五十五分三十二秒至六度三十一分二秒为二十限。

一曰五星伏见距日黄道度表，以星行黄道经表为纲，分晨夕上下列之，取各星所当距日黄道度，同列为一表。

癸卯元法所增：

一曰太阴二平均表，以日距月最高宫度为纲，取所当太阳在最高之二平均及高卑较秒，并列于表。

一曰太阴最高均及本天心距地表，以日距月天最高宫度为纲，取所当最高均及本天心距地数，并列于表。

一曰太阴距地心表，以太阴实引为纲，取所当最大、最小两心差各太阴距地心数及倍分，并列于表。其名同而实异者，太阴初均表分大、中、小三限，黄、白升度差表列最小交角及大、小较秒，太阴地半径差表、太阴实行表俱分大、小二限。

志二十七 时宪八

求用时

推诸曜之行度，皆以太阳为本；而太阳之实行，又以平行为根。其推步之法，总以每日子正为始，此言子正者，乃为平子正，即太阳平行之点临于子正初刻之位也。今之推步时刻，虽以两子正之实行为比例，而所得者亦皆平行所临之点，则实行所临之点，自有进退之殊。设太阳在最卑后实行大于平行，则太阳所临之点必在平行之东，以时刻而言，乃为未及。若太阳过最高后实行小于平行，则太阳所临之点必在平行之西，以时刻而言，乃为已过。故以应加之均数变时为应减之时差，应减之均数变时为应加之时差，此因太阳有平行实行之别，以生均数时差也。然太阳所行者黄道，时刻所据者赤道，因黄道与赤道斜交，则同升必有差度。如二分后赤道小于黄道，其差应减，在时刻为未及。二至后赤道大于黄道，其差应加，在时刻为已过。故以正弧三角形法求得黄赤升度差，变为时分，二分后为加，二至后为减，此因经度有黄道赤道之分，以生升度时差也。按本时之日行自行所生之二差，各加减于平时而得用时，由用时方可以推算他数，故交食亦必以推用时为首务，即日月食之第一求也。其法理图说已载于考成前编，讲解最详，其图分而为二，且均数时差图系用小轮。至考成后编求均数改为橢圆法，其法理亦备悉于求均数篇内，然未言及时差。今依太阳实行所临黄道之点，以均数之分取得黄道上平行点，即以平实二点依过二极、二至经圈作距等圈法，引于赤道，可使二差合为一图。其太阳之经度所临之时刻及二时差之加减，皆可按图而稽矣。

如道光十二年壬辰三月初六日癸丑戌正二刻十一分，月与司怪第四星同黄道经度，是为凌犯时刻。本日太阳引数三宫三度五十五分，太阳黄道经度三宫十五度五十三分，求用时。如图甲为北极，乙丙丁戊为赤道，乙甲丁为子午圈，乙为子正，丁为午正，己庚辛壬为黄道，丙甲戊为过二极二至经圈，己为冬至，辛为夏至，庚为春分，壬为秋分。子为太阳实行之点，当赤道于丑，则丑点即太阳实临之用时。卯为太阳平行之点，而当赤道于辰。其卯子之分，即应加之均数一度五十五分四十五秒，试自卯子二点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午、子未二线，即如距等圈，将太阳平行、实行之度皆引于赤道，则庚午必与庚卯等，庚未必与庚子等，其赤道之午未亦必与卯子均数等。变时得七分四十三秒，为赤道午未之分，即均数时差也。次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧，此形有丑直角，有庚角黄赤交角二十三度二十九分，有庚子弧太阳距春分后黄道度十五度五十三分。乃以半径为一率，庚角之馀弦为二率，庚子弧之正切为三率，求得四率为庚丑弧之正切，检表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒，为太阳距春分后赤道度。乃与庚子黄道弧相等之庚未弧相减，得丑未弧一度十五分二十四秒，为应减之黄赤升度差。变时得五分二秒，即升度时差也。盖太阳平行卯点，距春分之庚卯弧与庚午弧等，则午点乃为平时，即今之凌犯时刻。而太阳实行子点，距春分之庚子与庚未弧等，则午未为平行与实行之差。如以太阳右旋而言之，为实行已过平行，然以随天左旋而计之，为实行未及平行，是未点转早于午点，故必减午未均数时差，乃得未点时刻，此太阳在黄道虚映于赤道之时刻也。然子点太阳实当赤道之丑，则丑未为黄道与赤道之差。若以经度东行而言之，为赤道未及黄道，兹以时刻西行而计之，为赤道已过黄道，是丑点复迟于未点，故必加丑未升度时差，方得丑点时刻，即太阳在黄道实当于赤道之时刻也。其两时差既为一加一减，而所减者又大于应加之分，故先以两时差相减，得丑午时分二分四十一秒，而为时差此因两时差加减异号故相减，若同号则相加，所谓两数通为一数也。又因减数大于加数，故仍从减，若加数大者则从加矣。乃减于午点凌犯时刻戌正二刻十一分，即得丑点戌正二刻八分十九秒，为凌犯用时也。

一率半径

二率庚角馀弦

三率庚子弧正切

四率庚丑弧正切

图形尚无资料

又设凌犯时刻丑正一刻，太阳引数三宫十三度二十九分，黄道实行三宫二十五度三十四分，求用时。如子为太阳实行之点，当赤道于丑，其丑点即所临之用时。卯为太阳平行之点，当赤道于辰，其子卯为应加之均数一度五十二分二十五秒，亦自卯子二点与过极至经圈平行作卯丑、子未二距等圈，其平行卯点映于赤道，恰与实行当赤道之丑点合，是由平行所得之时刻，已合实行实临赤道之用时，遇此可无庸求其时差也。然何以知之，盖两时差之数相等，必减尽无馀，即无时差之总数矣。今试按法求之，既作卯丑、子未二线，其庚丑与庚卯等，庚未与庚子等，则丑未必与卯子均数等，变时得七分三十秒，即赤道上应减之均数时差。次用庚丑子正弧三角形，求得庚丑弧赤道度，与庚子弧黄道度相等之庚未弧相减，得丑未弧，黄赤升度差恰与均数等。变时亦得七分三十秒，即赤道上应加之升度时差。其时差一为加、一为减，而两数相等，乃减尽无馀，既无时差之总数，则其凌犯时刻即为用时可知矣。此法以丑点凌犯时刻减去均数时差，得未点实行虚映之时刻，而复加相等之升度时差，所得用时，固仍在丑点之位，盖因太阳平行距春分后黄道度等于太阳实行距春分后赤道度故也。又如太阳正当本天之最卑或最高，乃无平行实行之差，自无均数时差，止加减升度时差一数。设太阳当本天最卑，又当子正，如太阳在黄道之子点，则庚乙与庚子等，以庚丑子正弧形求得丑乙黄赤升度差。变时减于乙点时刻，即得丑点用时，乃在乙点子正之前也。若太阳当本天最高，又当午正，如太阳在黄道之午点，则壬丁与壬午等，以壬寅午正弧形求得寅丁黄赤升度差，变时减于丁点时刻，即得寅点用时，乃在丁点午正之前也。

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又如太阳实行正当冬、夏至或正当春、秋分，此四点皆无黄道赤道之差，自无升度时差，止加减均数时差一数。设太阳实行六宫初度为正当夏至，在黄道之辛点，当赤道于戊，而平行卯点，当赤道于辰，自卯点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午距等圈，则午点为凌犯时刻，其戊午与辛卯均数等，变时得均数时差。减于午点而得戊点，即用时也。

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求春分距午时分、黄平象限宫度及限距地高

推算太阴凌犯视差，固依后编求日食三差之法，而其为用不同。盖日食之东西差为求视距弧，而南北差为求视纬，其视距弧、视纬则为求视相距及视行之用。缘太阴行于白道，是必以白平象限为准焉。若五星之距恆星、五星之互相距，皆以黄道同经度之时为相距时刻，而较黄纬南北相距之数为其上下之分也。至月距五星、月距恆星，亦皆以黄道经度相同之时为凌犯时刻，不更问白道经度，其于白平象限又何与焉？然其以东西差定视时之进退，以南北差判视纬之大小，以定视距之远近者，其差皆黄道经纬之差，故必以黄平象限之宫度为准。黄平象限者，地平上黄道半周適中之点也。顾黄道与赤道斜交，地平上赤道半周適中之点，恆当子午圈，而地平上黄道半周適中之点，则时有更易。盖黄极由负黄极圈每日随天左旋，绕赤极一周，如黄极在赤极之南，则冬至当午正，其黄道斜升斜降；若黄极在赤极之北，则夏至当午正，其黄道正升正降，而黄平象限亦皆恰当子午圈；设黄极在赤极之西，则春分当午正，其黄道之势斜倚，出自东北而入西南，黄平象限乃在午正之东；设黄极在赤极之东，则秋分当午正，其黄道出自东南而入西北，黄平象限乃在午正之西。是则黄道之向，随时不同，故以黄道之逐度，推求黄平象限及限距地高以立表。

先设太阳正当春分点，黄道实行为三宫初度，求午正初刻黄平象限宫度及限距地高度分。如图甲乙丙丁为子午圈，甲为天顶，丙丁为地平，乙为北极，乙丙为京师北极出地，高三十九度五十五分，戊己庚为赤道，交于地平之己点，其戊点当午正，为地平上赤道半周適中之点，戊丁为赤道距地高五十度五分，当戊己丁角，辛子壬为负黄极圈，子为黄极，乙子己丑为过极至经圈，戊丑庚为黄道，而交地平于寅点，庚为秋分，丑为冬至，戊为春分，即太阳之所在，临于午正，乃无春分距午之时分。试自黄极子点出弧线过天顶作子甲卯黄道经圈，为本时黄平象限，其辰点为地平上黄道半周適中之点，而在正午之东，即黄平象限宫度也。辰寅卯角为黄道与地平相交之角，而当辰卯弧，即本时限距地高之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有戊甲弧赤道距天顶，与乙丙北极高度等。以赤道交子午圈之戊直角九十度内减己戊丑角黄赤交角二十三度二十九分，得寅戊丁角六十六度三十一，为黄道交子午圈角；亦名黄道赤经交角。与辰戊甲角为对角，其度等。乃以半径为一率，戊角黄道赤经交角之馀弦为二率，戊甲弧赤道距天顶，亦即太阳距天顶其正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得十八度二十六分十四秒，为戊辰弧黄平象限距午正之黄道度。与戊点春分三宫相加，因黄平象限在午东，故加。得辰点三宫十八度二十六分十四秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，戊角黄道赤经交角之正弦为二率，戊甲弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为黄平象限距天顶之正弦，检表得三十六度三分九秒，为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地高，而当辰寅卯角之度也。

一率半径

二率戊角馀弦

三率戊甲弧正切

四率戊辰弧正切

一率半径

二率戊角正弦

三率戊甲弧正弦

四率甲辰弧正弦

图形尚无资料

又设太阳正当秋分点，黄道实行为九宫初度，求午正初刻春分距午时分并黄平象限及限距地高，即以秋分当于正午之戊，则庚未戊为黄道，交地平于寅，庚为春分，未为夏至，子乙未己为过极至经圈，亦自黄极子点出弧★过天顶，作子甲卯弧黄平象限，而地平上黄道適中之辰点，在正午之西。先以春分距午西之庚戊赤道半周变十二时为春分距午之时分，次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧，此形有辰直角，有戊甲赤道距天顶。以戊直角内减己戊未角黄赤交角，得辰戊甲角黄道赤经交角，亦六十六度三十一分，求得戊辰弧黄平象限距午正之黄道度，亦十八度二十六分十四秒。与戊点秋分九宫相减，因黄平象限在午西，故减。得辰点八宫十一度三十三分四十六秒，即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧8888与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地高，而当辰寅卯角之度也。

又设太阳距春分后三十度，黄道实行为四宫初度，求午正初刻黄平象限诸数。乃以黄道经度四宫初度当午正如辛点，即太阳之所在，辛壬癸为黄道，交地平于寅。丑为冬至，壬为春分，乙子丑为过极至经圈。仍自黄极子点过天顶甲点作子甲卯弧黄平象限，其黄道適中之辰点，在午正之东。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角，此形有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛太阳距春分后黄道弧三十度。乃以半径为一率，黄赤交角之馀弦为二率，黄道弧之正切为三率，求得四率，为赤道弧之正切，检表得二十七度五十四分一十秒，为壬戊弧赤道同升度，亦即本时春分距午后赤道度。变时得一时五十一分三十七秒，即本时春分距午时分。又以半径为一率，黄赤交角之正弦为二率，黄道弧之正弦为三率，求得四率，为黄赤距度之正弦，检表得十一度二十九分三十三秒，为辛戊弧太阳距赤道北纬度。又以黄道弧之馀弦为一率，黄赤交角之馀切为二率，半径为三率，求得四率，为黄道交子午圈角之正切，检表得六十九度二十二分五十一秒，为壬辛戊角黄道交子午圈角，即黄道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有辛角，与壬辛戊角为对角，其度等。以甲戊弧赤道距天顶内减辛戊黄赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，为本时太阳距天顶。乃以半径为一率，辛角黄道赤经交角之馀弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得十度四十七分二十八秒，为辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点四宫初度相加，因黄平象限在午东，故加。得辰点四宫十度四十七分二十八秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，辛角黄道赤经交角之正弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为黄平象限距天顶之正弦，检表得二十六度二十七分二十秒，为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，为本时限距地高，即当辰寅卯角之度也。

一率半径

二率壬角馀弦

三率壬角弧正切

四率壬戊弧正切

一率半径

二率壬角正弦

三率壬辛弧正弦

四率辛戊弧正弦

一率壬辛弧馀弦

二率壬角馀切

三率半径

四率辛角正切

一率半径

二率辛角馀弦

三率甲辛弧正切

四率辛辰弧正切

一率半径

二率辛角正弦

三率甲辛弧正弦

四率甲辰弧正弦

又设太阳距秋分前三十度，黄道实行为八宫初度，求午正初刻黄平象限诸数。乃以辛点太阳实行当正午，其申点为秋分，而在午东，壬为春分，未为夏至，子乙未为过极至经圈，亦自黄极子点过天顶，作子甲卯弧本时黄平象限，而在午西。法用辛戊申正弧三角形，此形戊为直角，申角为黄赤交角，申辛黄道弧亦为三十度，求得申戊赤道同升度，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与壬申赤道之半周相减，得壬戊弧五宫二度五分五十秒，为本时春分距午后赤道度。变时得十时八分二十三秒，即本时春分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，辰为直角，其辛角黄道赤经交角及甲辛弧太阳距天顶，皆与前图之度等。求得辛辰弧黄平象限距午正黄道度，亦为十度四十七分二十八秒。与辛点八宫初度相减，因黄平象限在午西，故减。得辰点七宫十九度十二分三十二秒，即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为六十三度三十二分四十秒，即本时限距地高，亦当辰寅卯角之度也。

又设太阳当正午实行距春分前三十度为二宫初度，乃以辛点太阳当午正，则春分壬点在午正之东，申为秋分，丑为冬至，乙子丑为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限亦在午正之东。法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛黄道弧三十度。求得壬戊赤道弧，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与赤道全周相减，得十一宫二度五分五十秒，为本时春分距午后赤道度。变时得二十二时八分二十三秒，即本时春分距午时分也。又求得辛戊弧亦为十一度二十九分三十三秒，为太阳距赤道南纬度，并求得壬辛戊角亦为六十九度二十二分五十一秒，为本时黄道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形，此形有辰直角，有辛角，以甲戊赤道距天顶与辛戊黄赤距度相加，得甲辛弧太阳距天顶五十一度二十四分三十三秒。乃以半径为一率，辛角之馀弦为二率，甲辛弧之正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点二宫初度相加，得辰点二宫二十三度四十八分四十秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，辛角之正弦为二率，甲辛弧之正弦为三率，求得四率，为甲辰弧黄平象限距天顶之正弦，检馀弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本时限距地高之度也。

一率半径

二率辛角馀弦

三率甲辛弧正切

四率辛辰弧正切

一率半径

二率辛角正弦

三率甲辛弧正弦

四率甲辰弧正弧

又设太阳当午正实行距秋分后三十度为十宫初度，乃以辛点太阳当午正，则申点秋分在午正后，而春分必在午正前，未为夏至，子乙未为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，此形边角之度与前图之辛戊壬形同，惟申戊弧所变之一时五十一分三十七秒，乃秋分距午后之时分，是以加赤道半周之十二时，得十三时五十一分三十七秒，始为本时春分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，此形边与角之度亦与前图之辛辰甲形同，惟因辰点在辛点之西，是以十宫初度内减辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宫六度十一分二十秒，即本时黄平象限之经度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，亦与前数相同也。由此则逐度皆以距春、秋分前后各相对之度推之，其求午正太阳距天顶之加减，则以纬南、纬北而分。求黄平象限宫度之加减，则以冬至、夏至为断。盖冬至过午西，黄平象限恆在午正之东，夏至过午西，黄平象限恆在午正之西，此加减所由定也。

今设太阳黄道经度三宫十六度四十四分，用时为戌正二刻八分十九秒，求春分距午时分及黄平象限宫度、限距地平高度。如申辛壬癸为黄道，交地平于寅，壬为春分，丑为夏至，申为秋分，子乙丑亥为过二极二至经圈。乃自黄极子点过天顶甲点作子甲卯黄道经圈，其黄道適中之辰点，乃在午正之西。今太阳在春分后之未点，当赤道之午点，自子正计之，即用时之时刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，此形午为直角，有壬角黄赤交角二十三度二十九分，有壬未弧太阳距春分后黄道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，为太阳距春分后赤道度。变时得一小时一分四十秒，与午点用时相加，得二十一小时三十九分五十九秒，为壬点春分距子正后之时分。内减十二时，得九小时三十九分五十九秒，即壬戊弧本时春分距午时分。次用甲戊辛正弧三角形，因壬戊春分距午后之度已过象限，故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊为直角，有申角黄赤交角，有申戊弧秋分距午前时分所变之赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，为本时正午之黄赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，为黄道交子午圈角，即黄道赤经交角。与甲辛辰角为对角，其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，为秋分距午正前黄道度。与申点秋分九宫相减，得七宫二十二度三十八分一十秒，即辛点正午黄道经度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形辰为直角，有辛角黄道赤经交角。以甲戊弧京师赤道距天顶三十九度五十五分，内减辛戊正午黄赤距度，得甲辛弧二十五度五十五分二十秒，为本时正午黄道距天顶度，求得辛辰弧九度零五十三秒，为黄平象限距午西之黄道度。与辛点正午黄道经度相减，得辰点七宫十三度三十七分十七秒，即本时黄平象限之经度，并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，为黄平象限距天顶之度。与甲卯象限相减，得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，为本时黄平象限距地平之高度，即当辰寅卯角之度也。

求距限差

距限差者，乃月距黄平象限之差度也。盖旧法月距限以九十度为率，因黄道丽天，其向随时不同，而出于地平之上者，恆为半周，其適中之点，距地平东西皆九十度。故以九十度之限，以察月在地平之上下，若月距限逾九十度者，为在地平下，遂不入算，然此以黄道为立算之端也。顾白道与黄道斜交，月行白道，不无距黄道南北之纬度。纬南者早入迟出，月当地平时，其距黄平象限不及九十度；纬北者早出迟入，月当地平时，其距黄平象限已过九十度；是则九十度之率未足为据也。于是立法以求其差，犹五星伏见距日限度有距日加减差之义也。其法以限距地平之高及月距黄道之纬，依正弧三角形法求之。盖黄道之势，随天左旋，其升降正斜，时时不同。正升正降者，京师限距地高至七十三度馀，高度大，则月纬所当之距限差转小；斜升斜降者，京师限距地高只二十六度馀，高度小，则月纬所当之距限差转大。若值月纬最大，其差可至十度有奇，此距限差之不可不立也。故依京师黄平象限距地平高度，逐度求其太阴黄道实纬度所当距限差以立表。

设京师限距地平高度三十四度，太阴距黄道实纬度南北各五度，求距限差。如图甲为天顶，乙丙为地平，丁为黄极，甲丁乙丙为黄道经圈，戊己庚为黄道，交地平于己点，其戊点即黄平象限。戊丙为限距地高三十四度，与甲丁黄极距天顶之度等，而当戊己丙角与乙己庚角为对角，其度亦等。如月恰在正交或中交，合于黄道之己点，正当地平，则戊己为月距限九十度，若过九十度，自必在地平之下。今设月在黄道南五度，则辛壬癸为黄道距等圈，月在地平时为壬点，当于黄道之卯，其戊卯月距限乃不及九十度。又设月距黄道北五度，则子丑寅为黄道距等圈，月在地平时为丑点，当于黄道之辰，其戊辰月距限乃已过九十度，故必求其差数以加减之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧，此形有卯直角，有己角，当限距地高，有卯壬弧月距黄道纬度。乃以己角之正切为一率，半径为二率，卯壬弧之正切为三率，求得四率，为距限差度之正弦，检表得七度四十二分，即己卯弧为所求之距限差，而与己辰弧之度分等，盖己辰丑正弧三角形与己卯壬形同用己角，而辰丑弧月距黄道纬度，亦与卯壬等是两正弧形为相等形，故所得之己卯弧必与己辰弧相等无疑矣。既得己卯距限差，与戊己九十度相减，得八十二度十八分，即戊卯距限，而与距等圈辛壬之度相应，为月在纬南之地平限度。以己辰距限差与戊己九十度相加，得九十七度四十二分，即戊辰距限，而与距等圈子丑之度相应，为月在纬北之地平限度也。

一率己角正切

二率半径

三率卯壬弧正切

四率己卯弧正弦

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求黄经高弧交角及月距天顶

旧法推日食三差，原以黄平象限为本。自考成前编谓三差并生于太阴，而太阴之经纬度为白道经纬度，用白道较之用黄道为密，故求三差则按月距白平象限之度，以白道高弧交角及太阴高弧为据。后编变通其法，乃以白经高弧交角及日距天顶以求三差，而求白经高弧交角，系赤经高弧交角加减赤白二经交角而得，并不求月距白平象限之度，是法较前颇为省算。今推视差者，乃求其星月黄道同经之视距视时，故三差应由黄平象限而定也。是则其法原可仿于后编不求黄平象限而竟求黄经高弧交角之术，即黄道高弧交角之馀度。然非月距黄平象限度与地平限度相较，其月在地平之上下无由可知。故今求交角，乃先求得月距黄平象限之东西、黄平象限去地之高下、太阴距黄极之远近，然后按后编用斜弧形求赤经高弧交角日距天顶之法，则黄经高弧交角及月距天顶之度可得矣。

设星、月黄道经度同为申宫二十六度二十二分十一秒，月距正交前四十三度四十八分五十六秒，黄白交角五度四分一十秒，黄平象限七宫十三度三十七分十七秒，限距地高六十五度三十五分三十六秒，求太阴实纬黄经高弧交角月距天顶。如图甲为天顶，甲乙丙丁为子午圈，丙丁为地平，乙为北极，戊己庚为赤道，戊为午正，己为酉正，庚为子正，卯为黄极，辛壬癸子为黄道，壬为春分，癸为夏至，午为黄道交地平之点。午未弧为九十度，其未点即黄平象限，宫度为七宫十三度三十七分十七秒。未辰弧当午角为六十五度三十五分三十六秒，即限距地高度，而与甲卯黄极距天顶之度等。巳寅丑为白道，寅为正交，寅角为黄白交角五度四分一十秒，申为太阴当黄道于酉，申寅为月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉为月距黄道纬度，其酉点为星月所当之黄道经度五宫二十六度二十二分十一秒，与未点黄平象限宫度相减，得未酉弧四十七度十五分六秒，为月距黄平象限西之度。乃当未卯酉角，甲申戌为高弧，卯申甲角为黄经高弧交角，甲申为月距天顶。求法，先用寅酉申正弧三角形，此形酉为直角，有寅角黄白交角，有寅申弧月距正交前白道度，求得申酉弧三度三十分二十七秒，即太阴距黄道南实纬度。与卯酉象限相加，得卯申弧九十三度三十分二十七秒，为月距黄极。次用甲卯申斜弧三角形，此形有甲卯边黄极距天顶，有申卯边月距黄极，有申卯甲角当酉未弧月距限度为所夹之角，求申角及甲申边。乃自天顶作甲亥垂弧，分为甲亥卯、甲亥申两正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，此形亥为直角，有卯角，有甲卯边，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，为距极分边。与申卯弧月距黄极相减，得申亥弧三十七度十六分十二秒，为距月分边。次用甲亥申正弧三角形，此形亥为直角，有申亥边，兼甲亥卯正弧三角形之亥卯边及卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，即黄经高弧交角。仍以甲卯申斜弧形，用对边对角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，即月距天顶之度也。

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求太阴距星及凌犯视时

太阴距地平上之高弧，自地心立算者为实高，在地面所见者为视高，其相差之分，即地半径差也。月当地平时，距天顶为九十度，其相差之数最大，而角之正弦即当地之半径。迨月上升，则距地渐高，距地愈高，则差数愈小，其所差之分，皆与本时月距天顶之正弦相应，故用比例法而得本时高下差也。夫高下既差，则有视经、视纬之别。其视经、实经之差者，东西差也；视纬、实纬之差者，南北差也。今求三差，乃依后编日食求三差法用直线三角形算之。然后编三差图乃写浑于平，今则用以浑测浑之图，求其三差，其所得之南北差，与本时太阴实纬之度相较，而得视纬。得以视纬与星纬相较，观其纬之南北而定相距之上下也。其所得之东西差，与一小时之太阴实行为比例，而得用时距视时之距分。辨其月距限之东西加减凌犯用时，而得凌犯之视时也。

前求得道光十二年壬辰三月初六日癸丑，月距司怪第四星凌犯用时戌正二刻八分十九秒，黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天顶五十三度四十三分二十四秒，本日太阴最大地半径差六十分七秒，太阴黄道实纬度南三度三十分二十七秒，司怪第四星黄道纬度南三度十一分四十四秒，一小时太阴实行三十六分三十三秒，求星月相距分秒凌犯视时。如图甲为天顶，甲未辰巳为黄道经圈，辰午巳为地平，卯为黄极，未午辛为黄道，未点即黄平象限宫度，未辰弧即限距地高，与卯甲黄极距天顶之度等。申点为太阴，子点为司怪第四星，同当黄道于酉。其酉点即月与星之黄道经度，酉未弧即月距限西之度，子酉为星距黄道南纬度三度十一分四十四秒，申酉为太阴距黄道南实纬度三度三十分二十七秒，申卯弧即月距黄极，甲申戌为高弧，申甲为月距天顶度五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角为黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，而与戌申亥角为对角，其度等。此皆自地心立算之实度也。然人居地面高于地心，故视高常低于实高，而月当地平时，其地半径差为最大，今乃六十分七秒。于是依后编求本时高下差之法，以半径与甲申弧正弦之比同于最大地半径差与本时高下差之比，得本时高下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火点即太阴之视高，自火点与黄道平行，作火木线，遂成申木火直角三角形。因弧度甚小，乃作直线算，与后编求日食三差之理同。此形木为直角，有申角黄经高弧交角，有申火边本时高下差，求得木火边四十分十二秒为东西差，求得申木边二十七分四秒为南北差，加于申酉太阴实纬，得木酉太阴视纬三度五十七分三十一秒。内减子酉星纬，得子木弧四十五分四十七秒，为人目仰视太阴距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同当酉点之经度，固为相距。今太阴视高在火，其视纬虽差至木，而距星之子点尚在一度内，其火点当黄道之视经度则差至土，是用时时星经度虽在酉，而太阴视经度之土点乃在其西，是为未及。然土酉之分与火木等，故以一小时太阴实行与火木东西差为比例，得距分一时六分，为月行火木之时分。加于月视高临火点之用时，得亥初二刻十四分十九秒，即人目视太阴临于木点与星，同当酉点经度之视时也。

图形尚无资料

求视时月距限

视时月距限，必大于用时月距限，因其视经差所当之距分既有加减，则太阴与星随天西移自有进退也。盖太阴以地半径差由高而变下，则视经之差于实经、视纬之差于实纬必矣。兹据黄平象限在天顶南之地面而言之，视纬恆差而南，如实纬北者，视纬常小于实纬，其差为减；实纬南者，视纬常大于实纬，其差为加。故纬南之星、月实距虽在一度内，而视距转在一度外者有之；纬北之星、月实距虽在一度外，而视距转在一度内者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限，故不取用。至若视经之差，所当月行距分之最大者或至二小时，而二小时之际，诸曜随天左旋，几至一宫，故视经之差，关于月行之进退矣。如月在黄平象限西者，视经度差之而西，视时必迟于用时；月在黄平象限东者，视经度差之而东，视时必早于用时。以致用时星、月未入地平，而视时星、月已入地平者有之，或用时星、月已出地平，而视时星、月未出地平者有之。是故于求用时之后，即以月距黄平象限与地平限度相较，可知斯时月在地平之上下。月距限小于地平限度者，为月在地平上；大于地平限度者，为月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者，用时星、月必在地平上，视时星、月或在地平下，其所差者，即视经之差当月行距分之诸曜左旋度。今取最小实经、视经之差所当左旋之度为视经差，法见下卷求地平限度节下。减于地平限度，所得视地平限度，而与月距限度考之。如月距限小于地平限度而大于视地平限度者，则为用时月虽在地平上，视时月必在地平下矣；既知月必在地平下，故遇此者去之。如月距限小于视地平限度者，则为视时月在地平之上。夫犹有不然者，以视经差所取皆最小之数也。若知月行实迹非由视时，再推月距限度，则其时月果在地平之上下，未可得其确准。故今于既得视时之后，必详察太阴实纬及用时月距限度。如实纬南月距限过六十度，或实纬北月距限过七十度者，用时月距限在此限度内者，视时月必在地平之上。皆以视时复求月距黄平象限之度。如其度大于地平限度者，乃视时月在地平之下，仍不取用。必其度小于地平限度，始为视时月必在地平之上，而可证诸实测。此视差之所以必逐细详推，然后可得而取用也。