Euklid sagt: χοιναι εννοιαι. Allen Vernünftigen gemeinsame Einsicht.
Proklos sagt: Axiome eigentlich »Meinungen«, aber nach dem
Sprachgebrauch des Aristoteles allgemein angenommene logische Sätze,
die man nicht beweisen kann, weil sie die logischen Grundlagen des
Beweises sind. Proklos hat nur die 5 angeführt, richtig 8 vor 7, da
7 nicht rein logisch ist, sondern von dem Zusammenfallen in der
Anschauung ausgeht um daraus den logischen Schluss der Gleichheit zu
ziehen.
Das Axiom 7 ist von ¨Schopenhauer¨ »die Welt als Wille und Vorstellung«
T. 2 S. 144 angegriffen, weil es entweder eine Tautologie ist oder eine
Bewegung voraussetzt. Es ist von ¨Bolzano¨ und ¨Grassmann¨ (¨Leibniz¨)
durch das Prinzip ersetzt worden: »Dinge, deren bestimmende Stücke
gleich sind, sind gleich« (eine andere Fassung für »gleiche Ursachen
gleiche Wirkungen«).
Schopenhauer hat Euklid gar nicht verstanden; Euklid braucht
Axiom 7 zuerst beim Beweis des ersten Theorems, Satz 4, der
erste Kongruenzsatz, und dort im Grunde nur als Axiom von der
Gleichförmigkeit des Raumes, bezw. in dem Sinne Bolzanos und
Grassmanns. Ich halte es für einen Fehler, dass Euklid nicht den 1. und
3. Kongruenzsatz in die Forderungen aufgenommen hat.
[Sidenote: Technologie der Elemente.]
Es folgen nun die 48 »Protasis« (Propositionen d. i. Sätze) des ersten
Buches. Die Sätze zerfallen in »Probleme«, Aufgaben, die zur Erzeugung
eines Gebildes führen und »Theoreme« Lehrsätze. Den Unterschied
definiert Proklos S. 201, wo er, um mit P. Tannery (Géométrie
grecque S. 87) zu sprechen, von der Technologie der Elemente handelt
wie folgt: Bei den Problemen handelt es sich darum sich Fehlendes
zu beschaffen, anschaulich hinzustellen und mit den Kunstmitteln
(Lineal und Zirkel) zu erzeugen. Im »Theorem« nimmt man sich vor das
Vorhandensein einer Eigenschaft bezw. das Nichtvorhandensein zu sehen,
zu erkennen, zu beweisen. Jedes Problem aber und jedes Theorem, das
aus seinen vollständigen Teilen zusammengesetzt ist, muss folgendes
in sich enthalten: 1) ¨Vorlage¨ (προτασις). 2) Feststellung des
Gegebenen (εκθεσις.) Voraussetzung. 3) ¨Feststellung des Geforderten¨
(διορισμός.) Behauptung. 4) Konstruktion (κατασκευη.). 5) Beweis
(απόδειξις.) 6) Schluss (συμπέρασμα).
Die Protasis sagt aus, was gegeben und was gefordert wird; denn die
vollständige Protasis besteht aus beiden.
Die Ekthesis setzt das Gegebene an und für sich, (d. h. ohne Rücksicht
auf das Geforderte) genau auseinander und arbeitet dadurch der
Untersuchung vor.
Der Diorismos aber macht das Gesuchte, es sei, was es sei, an und
für sich deutlich. Der Ausdruck Diorismos wird hier bei Proklos
anders gebraucht als bei Pappos; Peyrard hat Prodiorismos: Bei Pappos
bezeichnet Diorismos genau das, was wir heute Determination nennen,
d. h. die Angabe derjenigen Einschränkungen in bezug auf die gegebenen
Stücke, welche zur Ausführbarkeit der Konstruktion nötig sind.
Die Kataskeuē fügt das hinzu, was dem Gegebenen zur Erlangung des
Gesuchten mangelt. Proklos sagt zur »Jagd« θηραν und braucht das Bild
wiederholt, so alt ist das Bewusstsein des Kampfes des Mathematikers
mit seinem Problem.
Die Apodeixis leitet das Vorliegende logisch von dem, was bereits
feststeht, ab.
Das Symperasma aber kehrt wieder zur Vorlage zurück, indem es den
bewiesenen Satz klar und deutlich ausspricht. Und dies sind alle Teile
sowohl der Probleme als der Theoreme.
1) πρότασις.
[Sidenote: Technologie, Beispiel.]
Ich gebe ein Beispiel (S. 5): Im gleichschenkligen Dreieck sind die
Winkel an der Basis einander gleich, und werden die gleichen Schenkel
verlängert, so sind die Winkel unterhalb der Basis einander gleich.
[Illustration]
2) εκθεσις.
ΑΒΓ sei das gleichschenklige Dreieck mit ΑΒ gleich ΑΓ und es mögen auf
ihrer Geraden ΑΒ und ΑΓ verlängert werden um ΒΔ und ΓΕ.
3) διορισμός.
Ich behaupte etc.
4) κατασκευή.
Man nehme auf ΒΔ einen beliebigen Punkt Ζ an, von ΑΕ nehme man ΑΗ
gleich ΑΖ weg und ziehe ΖΓ und ΗΒ. (Fig.)
5) αποδειξις.
Dann ist ◁ΑΖΓ ≅ ΑΗΒ (Satz 4), folglich ◁ΑΓΖ = ΑΒΗ und ∢ΑΖΓ = ΑΗΒ,
und da ΑΖ = ΑΗ und ihr Teil ΑΒ und ΑΓ auch gleich, so ist (Ax. 3) ΒΖ
= ΓΗ; und, da bereits bewiesen, dass ΖΓ = ΒΗ und ∢ΒΖΓ = ΒΗΓ, so ist
(4) Dreieck ΒΖΓ ≅ ΒΗΓ, folglich ∢ΖΒΓ = ΗΓΒ, und ΒΓΖ = ΓΒΗ. Da nun
der ganze Winkel ΑΒΗ = dem ganzen Winkel ΑΓΖ erwiesen wurde, und die
Teile ΓΒΗ und ΒΓΖ gleich, so ist (Ax. 3) ∢ΑΒΓ = ΑΓΒ und dies sind die
Basiswinkel. Die Gleichheit aber von ΖΒΓ und ΗΓΒ wurde schon gezeigt
und sie liegen unterhalb der Basis.
6) συμπέρασμα.
Also sind im gleichschenkligen Dreieck etc.
M. H.! ich habe dies Beispiel absichtlich gewählt, weil es zeigt, wie
turmhoch Euklid über den Beweisen unserer geometrischen Lehrbücher
steht, und weil aus Heibergs zitierter Arbeit über die Mathematik
bei Aristoteles folgt, dass hier ein bedeutender Fortschritt des
¨Eukleides¨ über den ¨Theudios¨ vorliegt. Es fällt Euklid gar nicht
ein den Satz zu benutzen: wenn die Winkel gleich sind, so sind ihre
Nebenwinkel gleich.
¨Proklos¨ fährt fort: Am notwendigsten aber und in allem vorhanden
sind die Vorlage, der Beweis und der Schluss. Denn man muss a)
vorher wissen, was zu suchen ist und b) es durch eine Kette von
Schlüssen beweisen und c) das Resultat einsammeln. Die andern Teile
fehlen mitunter wie Diorismos und Ekthesis bei dem Problem: Ein
gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, worin jeder Basiswinkel
das Doppelte des Winkels an der Spitze. Dies Fehlen tritt ein, sagt
Proklos, wenn die Vorlage kein Gegebenes enthält (d. h. wenn es
ausgelassen ist) wie in dem zitierten Beispiel die Basis des Dreiecks
wie in B. X S. 20 eine 4. Wurzel zu konstruieren (nämlich bei gegebener
aber nicht erwähnter Einheitsstrecke).
[Sidenote: Technologie der Elemente, Lemma, Porisma.]
Die Konstruktion aber fehlt in weitaus den meisten Theoremen, da
die Ekthesis hinreicht um ohne einen Zusatz (nämlich von Zeichnung)
das Vorgesetzte (d. i. die Figur, um die es sich handelt) sichtbar
zu machen. Hin und wieder findet sich ein Hilfssatz, Lemma, (von
λαμβάνω) und Zugaben, Porisma. Lemma ist eigentlich in der Geometrie
ein Satz, der noch des Beweises bedarf, den wir für eine Konstruktion
oder einen Beweis einstweilen annehmen vorbehaltlich des Beweises,
und der sich durch diesen Vorbehalt von den Axiomen und Forderungen
unterscheidet, welche wir ohne dass sie bewiesen, zur Rechtfertigung
anderer Sätze herbeiziehen. Porisma ist ein Zusatz, der sich beim
Beweis eines anderen als eine »Gottesgabe« ungewollt von selbst ergibt,
im wesentlichen also eine andere Fassung des bewiesenen Satzes.
Übrigens sind die meisten, ich möchte sagen alle Lemmata und vielleicht
auch die Porismata verdächtig, so fehlt z. B. das Porisma zu I, 15:
(Scheitelwinkel sind gleich) »Wenn zwei Gerade einander schneiden, so
sind die vier Winkel vier Rechten gleich«, obwohl es sich bei Proklos
findet in den besten Handschriften.
Zu bemerken ist, dass in den guten Handschriften sich weder
Überschriften noch Bezeichnungen der einzelnen Teile finden. Die
Sätze sind numeriert und dies ist sicher nicht original, da Euklid
nicht auf die betreffende Nummer verweist, sondern den einschlagenden
Satz vollständig angibt. Dies Schleppende der Darstellung veranlasste
vermutlich die Bezifferung und zwang zu Abkürzungen. Übrigens erklärt
sich die Breite, wenn man sich vergegenwärtigt, dass das Original zu
mündlichem Vortrag im Kolleg vor Studenten der Universität Alexandria
bestimmt war. Und dies ist ein Umstand, der bei der Klage über Euklid
und Euklids Methode viel zu wenig berücksichtigt ist; das Buch war für
reife Männer bestimmt nur die Torheit der Scholarchen hat aus einem der
tiefsinnigsten Werke aller Zeiten ein Buch für Schulknaben gemacht.
[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 1 bis 5.]
Die Inhaltsangabe sei ganz kurz als Schluss angefügt. Buch 1, das
bedeutendste, zerfällt in drei der Ausdehnung nach sehr ungleiche
Teile. Satz 1-26 die wichtigsten Sätze über Dreiecke und Winkel mit
den drei Kongruenzsätzen und unabhängig vom Parallelenaxiom; Satz
27-33 Parallelentheorie mit Satz 32 Winkelsumme; Satz 34-48 die
Flächenvergleichung, (47 Pythagoras, 48 seine Umkehrung).
Das 2. Buch ist längst als geometrische Algebra erkannt, in
Ausführung des Pythagoras wird das Rechnen mit Flächen gelehrt, z. B.
√(a^2 + b^2), √(a^2 - b^2), dann die Multiplikation von Aggregaten,
es geht bis zur Auflösung quadratischer Gleichungen in geometrischer
Einkleidung, zunächst nur im speziellen Fall und endet mit dem
geometrischen Existenzbeweis der Quadratwurzel durch die Verwandlung
des Rechtecks in ein Quadrat.
Das 3. Buch handelt vom Kreis, aber die Kreisberechnung wird nicht
gelehrt.
Buch 4 handelt von den dem Kreis ein- und umgeschriebenen Figuren,
speziell von der Kreisteilung; es geht bis zur Konstruktion des
regulären 15Ecks (ebenso wie wir: 2/15 = 1/3 - 1/5) S. 16; der dadurch
merkwürdig ist, dass sogar die Analyse in die Konstruktion verwebt ist.
Das 4. Buch hat seine Fortsetzung im Anfang des 12. Buches, wo in Satz
2: »Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser«, alles
steht, was bei Euklid über die Quadratur des Zirkels vorkommt.
[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 5 und 6.]
Das 5. Buch enthält die Lehre vom Verhältnis und der Gleichheit der
Verhältnisse (Proportionen) gleichartigen Grössen in vollständiger
Allgemeinheit. Es ist mit grösster Wahrscheinlichkeit ein Werk des
¨Eudoxos¨ und scheint nur wenig von Euklid überarbeitet zu sein, da
wo statt λέγεται steht καλεισθω. Auf sein höheres Alter deutet noch
das Ringen mit dem Ausdruck und die oft schwer verständliche Fassung
der Sätze hin. Es fehlt die Definition des Begriffes »kontinuierliche
Grösse«, sie war aber durch ¨Aristoteles¨ gegeben, vermutlich auch
von Eudoxos. Clavius (Ausgabe von 1607 p. 436) hebt wie Campanus
S. 3 hervor, dass dem 5. Buch ein Axiom zugrunde liegt, welches
Clavius formuliert: Quam proportionem habet magnitudo aliqua ad aliam,
eandem habet quaevis magnitudo proposita ad aliquam aliam, et eandem
habebit quaepiam alia magnitudo ad quamvis magnitudinem propositam.
-- »Das Verhältnis, das irgend eine Grösse zu einer andern hat, das
wird jede beliebige ¨gegebene¨ Grösse zu irgend einer andern haben
und eben dasselbe wird irgend eine Grösse zu jeder gegebenen Grösse
haben«. Es ist das Axiom im Grunde nichts anderes als die Umkehrung
des Weierstrass'schen Axioms: Zu jedem Punkt in der Zahlenreihe gibt
es eine Zahl. ¨Es wird zwar immer behauptet, die Hellenen hätten in
der Irrationalzahl keine Zahl gesehen, aber aus dem 5. Buch geht
unwiderleglich hervor, dass sie den Zahlbegriff in voller, fast
wörtlich mit der Weierstrass'schen Auffassung sich deckender Schärfe
besassen und dass Euklid wie Eudoxos im Verhältnis zweier gleichartiger
Grössen nichts anderes sahen als eine Zahl.¨ Und das erhellt schon aus
dem Kunstausdruck »λόγος« für Verhältnis; denn Logik ist die Rechnung,
Logistik die Rechenkunst und Logos heisst im Grunde nichts anderes als
Masszahl einer Grösse in bezug auf eine andere.
6. Buch: Ähnlichkeitslehre. Mit dem 6. Buch schliessen die eigentlichen
planimetrischen Bücher; wohl kommen noch einzelne planimetrische
Sätze in den stereometrischen Büchern vor, wie z. B. die auf die
stetige Teilung bezüglichen Sätze XIII, 1-12 und besonders der Satz
XII, 1 und 2, aber sie werden doch nur zum Zweck ihrer Verwendung für
stereometrische Konstruktionen und Satze gegeben.
Nachdem so die Planimetrie zu einem gewissen Abschluss gekommen war,
sind die Bücher 7, 8, 9 der Arithmetik oder eigentlich besser der
Zahlentheorie gewidmet.
Das 7. Buch knüpft geistig an die Lehre von den Verhältnissen an und
lehrt den Algorithmus des Aufsuchens des grössten gemeinsamen Teilers,
auf dem unsere ganze Zahlentheorie ruht, gerade so wie wir noch heute,
durch die Kette von Teilungen.
[Sidenote: Euklid, Elemente, Buch 8 bis 12.]
Buch 8 behandelt die Proportionen noch ausführlicher, d. h. die Lehre
von den Gleichungen ersten Grades.
Das 9. Buch beschäftigt sich besonders mit den Primzahlen und
enthält den Satz, der der ganzen Entwicklung nach für Eigentum
des Euklid gehalten werden muss, den einfachen Beweis, dass die
Menge der Primzahlen unendlich: Entweder 1 · 2 · 3 · ... p + 1
ist keine Primzahl, dann ist sie durch eine Primzahl > p teilbar
oder sie ist prim. Die erste Zahl die keine Primzahl ist, gibt
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031, die zweite das Produkt der
Primzahlen von 2 bis 17 + 1, welche schon durch 19 teilbar ist.
Das 10. Buch zum Teil von Theätet herrührend, handelt ausführlich
von den Irrationalzahlen, welche mit Zirkel und Lineal konstruierbar
sind, d. h. im Grunde von den Gleichungen 4. Grades, welche sich auf
quadratische reduzieren, dabei kommt auch die allgemeine Lösung des
Pythagoras gleichzeitig vor durch die Formeln: αβγ; (αβ^2 - αγ^2)/2;
(αβ^2 + αγ^2)/2. Der letzte Satz gibt dann den geometrischen Beweis von
der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats.
Das 11., 12., 13. Buch sind dann die stereometrischen Bücher. 11. Buch
die Anfangsgründe, der granitne Satz vom Lote auf der Ebene, dann die
dreiseitige Ecke, das Parallelepipedon, das Prisma.
Das 12. Buch enthält im wesentlichen Körperberechnung, d. h. es gibt
nicht die wirklichen Formeln, sondern beweist nur, dass Pyramide bezw.
Kegel 1/3 vom Prisma bezw. Cylinder sind, beweist als Lemma mittelst
des Exhaustionsbeweis, den er Buch 10 formuliert hat: »Sind zwei
ungleiche Grössen gegeben und nimmt man von der grösseren die Hälfte
weg und so fort, so kommt man zu einem Reste, welcher kleiner ist als
die gegebene kleinere Grösse« dass Kreise sich wie die Quadrate ihrer
Durchmesser verhalten und damit dass Kugeln sich wie die Kuben ihrer
Durchmesser verhalten.
[Sidenote: Euklid, Elemente Buch 13.]
Buch 13 behandelt die platonischen Körper und gibt einleitend 12 Sätze,
die das Thema von Buch 6, die Kreisteilung oder die Konstruktion
regulärer Polygone, noch einmal aufnehmen und geht dann auf die
regulären Körper ein; es schliesst mit dem schon hervorgehobenen Beweis
der Nichtexistenz eines sechsten regulären Körpers. Wir könnten auf
Euklid denselben Schlusssatz wie bei Platon anwenden, Euklid hat das
unscheinbare aber unerschütterliche Fundament geschaffen, auf dem
sich der stolze Bau des Archimedes erheben konnte, dem wir uns jetzt
zuwenden.
[Sidenote: Archimedes (vita).]
An Euklid, dem »Stoicheiotes«, schliesst sich ¨Archimedes¨ an, der
Erzdenker, wie ich seinen Namen übersetze, der princeps matheseos des
Altertums und vielleicht aller Zeiten, der nur an Galilei, Gauss,
Newton und Fermat seines Gleichen hat. Gleich gross als Mathematiker,
Physiker, Mechaniker und Astronom. Auch von ¨seinem¨ Leben wissen wir
wenig, eine Biographie seines Zeitgenossen Herakleides, welche dem
Eutokios noch vorlag, ist völlig verloren. Das Todesjahr steht fest, er
fiel bei der Einnahme seiner Vaterstadt Syrakus durch. Marcellus der
Roheit eines Soldaten zum Opfer; also 212, und zwar hochbetagt; zum
Schmerz des Marcellus, der ausdrücklich befohlen hatte des Archimedes
zu schonen. ¨Tzetzes¨ sagt, (chiliad. II, 36, 105) im Alter von 75
Jahren, dann war er 287 geboren, jedenfalls hochbetagt. Sein Vater soll
der Astronom Pheidias gewesen sein und dann wäre auch Archimedes gleich
wie Aristoteles auf die exakten Wissenschaften erblich hingewiesen.
¨Plutarch¨ erzählt im Leben des Marcellus, dass er dem Könige Hiero II.
dem trefflichsten Regenten, den Syrakus besessen, nahe verwandt gewesen
und jedenfalls war er ihm und seinem Sohne Gelon eng befreundet. Eine
andere Version lässt ihn durch Missverständnis einer Stelle bei Cicero
in den Tusculanen V, 23 aus armer Familie und von niedriger Geburt
sein. Der »humilis homunculus« bezieht sich nur auf das traurige Ende
des Archimedes. Diese andere Version ist so gut wie ausgeschlossen, wir
wissen, dass er jede gewinnbringende Tätigkeit geringschätzte, ja sogar
jede praktische, und nur auf Bitten des Hiero und schliesslich bei
der Verteidigung seiner Vaterstadt sein technisches Genie betätigte.
In den tiefsten rein wissenschaftlichen Spekulationen fand er seine
Befriedigung und im ganzen späteren Altertum wurde ein schwieriges
Problem Archimedeon problema genannt vergl. ¨Cicero¨ ep. ad Atticum 12,
4; 13, 28 etc. (¨Bunte¨, Progr. Leer 1877, ¨Heiberg¨, Quaest. Archim.
1879). Und auch sein Tod soll nach mehrfach beglaubigter Angabe eine
Folge seiner Vertiefung in die Wissenschaft gewesen sein. Jedenfalls
war er nach dem schmucklosen und glaubhaften Bericht des ¨Livius¨ so
tief in Gedanken versunken, dass er die Einnahme von Syrakus nicht
bemerkt hat. Das »Noli turbare circulos meos« (Störe ja nicht meine
Kreise) geht auf Tzetzes zurück oder richtiger auf Diodor., die andere
Version, die G. Valla nach Zonaras berichtet, lautet: παρα ταν κεφαλάν
και μα παρα ταν γραμμάν (Verletze den Kopf, aber nicht meine Linie).
Niemals ist das Wesen des Archimedes treffender verkündet worden, als
es Schiller, Dichter und Prophet im Horazischen Sinne, mit dem Epigramm
»Archimedes und der Schüler« vermocht hat.
Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Jüngling,
Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst
Die so herrliche Frucht dem Vaterlande getragen
Und die Mauern der Stadt vor der Sambuca beschützt.
Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist's, versetzte der Weise,
Aber das war sie, mein Sohn, eh' sie dem Staat noch gedient.
Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die Sterbliche zeugen,
Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib.
Die Sambuca war eine von Marcellus mit grossen Kosten erbaute gewaltige
Maschine, durch welche die Mauern der Achradina, der Seefestung von
Syrakus, in der vermutlich Archimedes selbst wohnte, zertrümmert werden
sollte. Archimedes zerstörte die Sambuca durch drei hintereinander
folgende Würfe. Seine Maschinen (organa), Wurfmaschinen -- Katapulte
und Ballisten --, und eiserne Krane, die mit ihrem Arm die Schiffe der
Römer ergriffen, hochhoben und mit furchtbarer Gewalt fallen liessen,
wirkten derart, dass die Römer, sobald nur ein Seil sichtbar wurde,
davonliefen. Plutarch lässt Marcellus sagen: Sollten wir nicht aufhören
gegen den mathematischen Briareus, den hundertarmigen Giganten zu
kämpfen. Und er hob tatsächlich die Belagerung auf und schloss die
Stadt nur ein, welche erst durch Verrat und Überrumpelung in seine
Hände fiel.
Aus dem Leben des Archimedes steht soviel fest, dass er, vermutlich
im Mannesalter, in Alexandria war, und dort wenn auch nicht unter
Euklid selbst aber unter Schülern des Euklid studierte. Es ist nicht
unwahrscheinlich, dass er bei dem ausgezeichneten Mathematiker und
Astronom ¨Konon¨ aus Samos hörte, mit dem er befreundet war und dem
er später seine Entdeckungen zusandte, wie er selbst berichtet. Nach
Pappos (Collect. I p. 234) ist ¨Konon¨, von dessen Schriften nichts
erhalten ist, der Entdecker der ¨Archimedischen Spirale¨ gewesen
(s. u.). Auch mit ¨Eratosthenes¨ muss Archimedes dort verkehrt haben,
das berühmte »Rinderproblem« ist an jenen gerichtet, und wenn auch die
Verse des Epigramm nicht echt sein mögen, das Problem selbst und die
Sendung an den Alexandriner zu bezweifeln liegt kein Grund vor. Seit
Sommer 1906 ist der Verkehr zwischen beiden Mathematikern durch das
von ¨J. L. Heiberg¨ entdeckte »Ephodion« (s. u.), erwiesen. Dort in
Alexandria hat er die berühmte Schraube erfunden, die κοχλιας, nach
der Schnecke mit gewundenem Gehäuse, der Purpurschnecke Kochlos, aber
auch Helix genannt wurde, mit der das Wasser aus dem Nil auf die Felder
gehoben wurde.
Zurückgekehrt beschäftigte er sich mit den subtilsten mathematischen
Untersuchungen, insbesondere mit Ausbildung der infinitesimalen
Methoden und nur zu seiner Erholung mit praktischer Mechanik. Berühmt
sind die von Cicero in de republica beschriebenen Globen, von denen
namentlich die Hohlkugel, ein gewaltiges, mit Wasserkraft getriebenes
Planetarium für ein Wunderwerk galt. Es war das einzige Beutestück, das
Marcellus aus Syrakus für sich nahm. Auch die einzige Schrift, welche
Archimedes über Technik verfasst hat, ist nach dem Zeugnis des Plutarch
die Schrift über Anfertigung von Globen, περι σφαιροποιαν.
Von Archimedes werden zwei Züge autoritär berichtet und besonders der
erste so gut beglaubigt, dass er wahr erscheint. König Hiero liess
unter Leitung des Archimedes ein prächtig ausgerüstetes Riesenschiff
bauen, etwa unsern Salondampfern vergleichbar, das Athenaios (2 Jahrh.
nach Chr., Alexandriner, der uns Auszüge aus sehr vielen verlorenen
Werken in seinen Deipnosophistae-Gastmahle Gelehrter -- erhalten
hat; siehe Details über das Schiff bei ¨Bunte¨ l. c.) ausführlich
beschreibt. Hiero bezweifelte ob man das Riesenschiff vom Stapel lassen
könne, da zog Archimedes mit dem von ihm erfundenen ¨Flaschenzug¨
allein ein beladenes Schiff, Proklos sagt sogar ¨das¨ Schiff, ans Ufer
indem er sagte: δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω. (Gib mir einen
festen Punkt, und ich will die Erde bewegen.) Proklos (Friedlein p. 63)
berichtet weiter: »Απο ταυτης, εφη, της ἡμερας περι παντος Αρχιμηδει
λεγοντι πιστευτεον«. Und der erstaunte Hiero sagte: Von heute ab mag
Archimedes behaupten was es sei, man muss ihm Glauben schenken. Das
¨Hebelgesetz¨, die Grundlagen der Statik hat unbezweifelt Archimedes
bewiesen vergl. Pappos VIII, 19.
Die andere Anekdote knüpft an seine Auffindung des Hydrostatischen
Grundgesetzes von der gleichmässigen Fortpflanzung des Druckes in
Flüssigkeiten an, des Archimedischen Prinzip: »Der Auftrieb ist gleich
dem Gewicht der verdrängten Wassermasse«. Sie wird uns von ¨Vitruv¨,
dem bedeutendsten Römischen Baumeister, dem Lehrmeister unserer
Architekten und Ingenieure, in de Architectura IX mitgeteilt. Es ist
die bekannte in jeder Aufgabensammlung stehende Gleichung von der Krone
des Hiero, Proklos nennt l. c. ¨Gelon¨, doch hat ¨H. Heiberg¨ höchst
wahrscheinlich recht, dass richtiger Hieron zu lesen ist, da Proklos zu
Gelon nichts hinzusetzt. Der König glaubte sich von seinem Goldschmied
betrogen, der Silber unter das Gold gemischt, und stellte die Aufgabe,
ohne die Krone aufzulösen, herauszubringen, wieviel Gold und wie viel
Silber die Krone enthalte. Archimedes habe sich im Bade mit dem Problem
beschäftigt und als er das Steigen des Wassers in der Wanne beobachtet,
sei er mit dem Ausruf, εύρηκα, εύρηκα, ich hab's (gefunden) ich hab's,
nackt aus dem Bade gesprungen. Die ganze Badegeschichte fehlt bei
Proklos, der nur angibt, dass jener die ihm gestellte Aufgabe gelöst
habe.
Sicher steht dagegen die Tatsache, dass Archimedes den Wunsch
ausgesprochen, man möge ihm auf sein Grab eine von einem Cylinder
umschlossene Kugel setzen, mit der Angabe des Verhältnis der Volumina
2 : 3, denn auf diese Entdeckung legte er den grössten Wert, (man
denke an ¨Newton¨ und den Binom). Marcellus hat den Wunsch erfüllt,
Cicero berichtet l. c. dass er, der 75 v. Chr. als Quästor auf Sicilien
seines Amtes waltete, an dieser Inschrift das verfallene Grabmal des
Archimedes erkannt und das Grab wieder in Stand gesetzt habe.
[Sidenote: Archimedes' Werke.]
Und nun zu dem, was unsterblich an Archimedes ist, seine Leistungen
und Schriften. Die grosse Bedeutung seiner Entdeckungen für die reine
und angewandte Mathematik haben bewirkt, dass nur ein verhältnismässig
kleiner Bruchteil wirklich verloren gegangen ist, wenn uns auch die
Originalfassungen vielfach fehlen. Archimedes sprach und schrieb im
dorischen Dialekt und seine Schriften sind erst später attisiert. Einen
Teil kennen wir aus arabischen Quellen und lateinischen Übersetzungen.
Archimedes verdankte seine Leistungen der so seltenen Verbindung
des höchsten experimentellen mit höchstem spekulativen Scharfsinn.
Schon in der Einleitung habe ich das Citat aus ¨Herons¨ Metrika
angeführt und die Auffindung des Kugelvolums, und ebenso ruht, wenn
nicht die Einführung, doch sicher die Benutzung des Schwerpunktes
auf experimenteller Grundlage. Aber was er auf dem Wege des
Experimentes gefunden, das vermochte er zu beweisen mit Hilfe von
Infinitesimalbetrachtungen, die er sehr früh mit vorbildlicher Klarheit
und Schärfe ausgebildet haben muss. Es scheint mir ganz sicher zu
sein, dass sein erster rein mathematischer Vorwurf das Problem der
Bogenteilung und Quadratur des Zirkels, welche ja schon ¨Dinostratos¨
zusammengezogen hatte, gewesen ist, wenn auch die Kreismessung später
redigiert ist. Dies geht daraus hervor, dass die an ¨Konon¨ gesandten
Sätze über die »Archimedische Spirale« zeitlich so ziemlich das Erste
sind, was er veröffentlicht hat. Die Spirale selbst soll ja Pappos
zufolge Konon und nicht Archimedes gefunden haben, die Benutzung
derselben zur Winkelteilung und Kreismessung und die Auffindung
ihrer Eigenschaften sind sein Eigentum. Die Beweise der Sätze fand
er mit Hilfe des Infinitesimalen, auf Differentialrechnung beruht
seine Konstruktion der Tangente an die Spirale, die nichts anderes
ist als die ¨Roberval-Torricelli¨'sche Methode, auf Integration die
Flächen- und Volumenbestimmung. Freilich sah auch er sich durch die
Rücksicht auf seine Leser genötigt, die Differentialrechnung hinter dem
sogenannten ¨Archimedischen Prinzipe¨ (s. u.) zu verstecken, wie wir
das schon bei ¨Eudoxos¨ konstatierten, sind doch m. E. die Schriften
des ¨Demokrit¨ nur deswegen verloren gegangen, weil sie mangels
Konzessionen an die Beschränktheit nicht verstanden wurden. Eine
der frühesten Anwendung muss der Hauptsatz der κύκλου μέτρησις, der
Kreismessung, gewesen sein, und die Auffassung des Kreises als Grenze
der regulären Polygone.
[Sidenote: Archimedes' Werke (Ephodion).]
Wie klar sich Archimedes über die Tragweite der Infinitesimalrechnung
gewesen und wie scharf er den Grenzbegriff erfasst hat, ist jetzt
durch die Wiederauffindung des bis 1907 verloren geglaubten Ephodion
(εφοδιον) erwiesen. ¨J. L. Heiberg¨ hat durch die Entzifferung
des Palimpsest [publiziert in deutscher Übersetzung Eneström Folge
III, 7, 1907 S. 31 ff. und griechisch ¨Hermes¨ 42 Heft 2] auf den
ihn ¨H. Schoene¨, der Auffinder der Metrika des Heron hingewiesen
hatte, seinen ohnehin schon überreichen Verdiensten um die Geschichte
Hellenischer Wissenschaft die Krone aufgesetzt. Er hatte dabei die
Freude die Vermutung die er in dem Quaestiones Archimedeae über den
Inhalt des εφοδιον.εφοδιον 1879 ausgesprochen hatte, 1907 vollbestätigt
zu sehen. Es heisst da: Potius crediderim, εφοδιον esse librum methodi
mathematicae scientiam complectentem ...; εφοδος enim post Aristotelem
significat methodum.
Die Schrift mag »druckfertig« gemacht sein wann sie will, ihr
wesentlicher Inhalt fällt nicht nur vor Kugel und Cylinder, sondern
bildete mit dem Begriffe des ¨statischen Moments¨ den Ausgangspunkt,
gewissermassen das Leitmotiv seiner ganzen wissenschaftlichen
Tätigkeit, wenigstens soweit Mechanik und Geometrie in Betracht kommen.
In einem Vortrag zu Frankfurt auf der Naturforscherversammlung 1893
sagte ich schon, dass ¨Galilei¨ so genau an Archimedes anknüpfe, als
habe er bei ihm gehört. Das Ephodion zeigt, dass selbst die Form
Galileis und noch mehr ¨Cavalieris¨, seines Schülers, merkwürdig mit
Archimedes übereinstimmt. Die Renaissance besass gewiss ein ganz
Teil Originaltexte die inzwischen verloren gingen, wie das von der
Sammlung ¨Regiomontans¨ feststeht und von des Archimedes-Schrift
περι οχουμενων., von der übrigens ein grosses Stück sich im selben
Palimpsest vorgefunden hat und es scheint mir wahrscheinlich, dass
ein Exemplar des εφοδιον Galilei und Cavalieri vorgelegen hat. So
ist der Kunstausdruck für das Integral, den auch Leibniz zuerst von
Cavalieri entnommen, »omnia«, eine Übersetzung des »παντα« aus dem
Ephodion, so die Stelle Hermes S. 250 Z. 15-19 von και bis τμημα. und
254, 21 von συμπληχθεντος bis κώνου., welche den Archimedes, der doch
seinen Aristoteles genau genug kannte, wie seiner Zeit Cavalieri dem
Verdacht aussetzten die Fläche als Summe von Linien, den Körper als
Summe von Flächen anzusehen. Die Identität der Exhaustionsmethode
mit der Differentialrechnung hat kein Geringerer als Wallis zuerst
hervorgehoben; ich verweise hierfür auf die 2. Auflage meiner Didaktik
und Methodik, Baumeisters Handbuch IX pg. 168 (1907).
[Sidenote: Archimedes' Werke (Ausgabe).]
Archimedes' gesammelte Werke sind griechisch und lateinisch zuerst
1544 bei Herwagen in Basel, der auch in Strassburg eine Druckerei
besass, gedruckt worden, der Herausgeber Thomas Grechauff nennt sich
auf dem Titelblatt nicht. Der lateinische Text ist weit besser als
der griechische, Heiberg macht es wahrscheinlich, dass wir es hier
mit den Verbesserungen Regiomontans zu tun haben und ausserdem hat
noch der von Nürnberg aus 1529 nach Strassburg berufene ¨Christian
Herlin¨ wesentlichen Anteil. Das Exemplar, welches nach mannigfachen
Schicksalen jetzt die Bibliothek des Lyceums ziert, kann sehr wohl
Herlins eigenes Exemplar gewesen sein, der ursprünglich als Städtischer
Rechenmeister, dann als erster Mathematiker des ¨Sturmschen¨ (jetzigen
Protestantischen) Gymnasium bis 1562 in Strassburg wirkte. Die nächste
Gesamtausgabe griechisch und lateinisch ist die Oxforder Ausgabe in
Riesenformat des Giuseppe Torelli von 1792, sie wäre ein Meisterstück
geworden, wenn nicht der 1781 im 61. Lebensjahr erfolgte Tod des
hervorragenden Gelehrten die endgültige Ausgabe in die Hand des
Engländers Abraham Robertson gelegt hätte, der sie vergl. ¨Heiberg¨,
Quaest. Arch. p. 110 und ¨E. Nizze¨ p. IX verdorben hat. Heiberg
erwähnt noch wenig rühmend die Ausgabe des Rivaltus Paris 1615 fol.,
sie ist aber durch gute Figuren bemerkenswert. ¨Torelli¨ hat das
Verdienst, durch Benutzung der ¨Begleitbriefe¨ mit denen Archimedes die
meisten Werke in die Welt gesandt, und der eignen Zitate die Schriften
in chronologisch richtigere Reihenfolge gebracht zu haben, als sie
der ¨Codex Florentinus¨, der wichtigste aller, da der »Archetyp« der
Codex des ¨Georg Valla¨ (Heib. Praef.) seit 1544 noch nicht wieder zum
Vorschein gekommen ist, und mit ihm die andern enthalten.
Es folgt als letzte und beste die Ausgabe von ¨I. L. Heiberg¨ Teubner
1880-81, ebenfalls mit dem Kommentar des Eutokios, griechisch und
lateinisch, Heiberg bereitet auf Grund des von ihm entzifferten
Palimpsest (s. o.) eine zweite Auflage vor.
[Sidenote: Archimedes' Werke (Übersetzungen, Kommentare).]
Von Übersetzungen hebe ich hervor die lateinische des Federico
Commandino Venedig 15., der schon als Euklidübersetzer gerühmt werden
musste; die deutsche des Altdorfer Professor ¨Chr. Sturm¨, den ich in
der Didaktik und Methodik so vielfach erwähnen musste, den Verfasser
der Mathesis juvenilis, die ¨französische¨ von ¨F. Peyrard¨ 1807 mit
einem Anhang ¨Delambres¨ über griechisches Zahlenrechnen (Logistik) und
die vortreffliche des Stralsunder ¨Ernst Nizze¨ von 1824 mit wichtigen
kritischen Anmerkungen, in denen auch der Kommentar des Eutokios
»des einzigen, der aus dem Altertum selbst rührt« (Nizze p. VII)
berücksichtigt ist. Über ihn sagt die Florentinus (Heiberg, Quaest. p.
113):
Ευτοκιου πινυτου γλυκερος πονος, ὁν ποτ' εκεινος
γραψεν, τοις φθονεροις πολλακι μεμψαμενος.
Treffliche Arbeit des weisen Eutokios, einstens geschrieben,
Welche die Neider des Manns öfter [mit Unrecht] geschmäht.
Ich wage es übrigens zu sagen, dass die einleitenden Worte Heib. B. 3,
p. 2 zu frei übersetzt sind, ich würde »η δια την δυσκολιαν οκνησας«
wiedergeben: »obwohl die Schwierigkeit mich zaudern liess«, den
Superlativ »verisimillimum« als Übersetzung von πανυ εικος mit »nicht
unwahrscheinlich« und das reizende »ει τι και παρα μελος δια νεοτητα
φθενξομαι.« »und wenn ich auch meiner Jugend wegen ab und an falsch
singen würde« etc. Leider hat ¨Eutokios¨ nur No. 1, 3, 4 der Schriften
kommentiert.
[Sidenote: Archimedes' Werke (Reihenfolge).]
Die jetzt festgehaltene Reihenfolge der Schriften ist:
1) επιπεδων ισορῥοπιων α, Buch I vom Gleichgewicht der Ebenen
(Flächen).