钦定四库全书 子部六
同文算指 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案同文算指前编二卷通编八卷明李之藻演西人利玛窦所译之书也前编上下二卷言笔算定位加减乗除之式及约分通分之法通编八卷以西术论九章卷一曰三率凖测即古异乗同除曰变测即古同乗异除曰重测即古同乗同除卷二卷三曰合类差分曰和较三率曰洪衰互徴即古差分又谓之衰分卷四曰叠借互徴即古盈朒卷五曰杂和较乗即古方程巻六曰测量三率即古勾股曰开平方曰竒零开平方即古少广巻七曰积较和开平方卷八曰纵诸变开平方曰开立方曰广诸乗方曰竒零诸乗方皆即古少广按九章乃周礼之遗法其用各殊为后世言数者所不能易西法惟开方【即古少广】勾股各有専术余皆以三率御之若方田粟布差分商功均输五章本可以三率御之至于盈朒以御隠杂互见方程以御错糅正负则三率不可御矣葢中法西法固各有所长莫能相掩也是书欲以西法易九章故较量长短俱有増补其论三率比例视中土所方田粟布差分诸术实为详悉至盈朒方程二术则皆仍旧法少广畧而未备且法与数多出入之处梅文鼎方程余论曰防何原本言勾股三角备矣同文算指于盈朒方程取古人之法以之非利氏之所也又曰诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣诚确论也然中土算书自元以来散失尤甚未有能起而搜辑之者利氏独不惮其烦积日累月取诸法而合订是编亦可以为算家考古之资矣乾隆四十六年十月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官 【臣】 陆 费 墀
同文算指前编序
古者教士三物而艺居一六艺而数居一数于艺犹土于五行无处不寓耳目所接已然之迹非数算纪闻见所不及六合而外千万世而前而后必然之验非数莫推巳然必然总归自然乘除损益神智莫増矞诡莫掩颛莫可诳也惟是巧心濬发则悟出人先功力研熟则习亦生巧其道使人心心归实虚防之气潜消亦使人跃跃含灵通变之才渐啓小则米盐凌杂大至画野经天神禹赖矩测平成公旦从周髀窥验谁谓九九小数致逺恐泥尝试为之当亦贤于博奕矣乃自古学既邈实用莫窥安定苏湖犹存告饩其在于今士占一经耻握从衡之算才高七步不嫺律度之宗无论河渠厯象显忒其方寻思吏治民生隂受其吁可慨已徃游金台遇西儒利玛窦先生精言天道旁及算指其术不假操觚第资毛颖喜其便于日用退食译之久而成帙加减乘除总亦不殊中土至于竒零分合特自畅多昔贤未发之防盈缩句股开方测圜旧法最囏新译弥捷夫西方逺人安所窥龙马畴之秘首商高之业而十九符其用书数共其宗精之入委防高之出意表良亦心同理同天地自然之数同欤昔婆罗门有九执厯写字为算开元摈为繁琐遂致失传视此异同今亦无从参考若乃圣明在宥遐方文献何嫌并蓄兼收以昭九译同文之盛矧其禆实学前民用如斯者用以鼓吹休明光阐地应比夫献琛辑瑞傥亦前此希有者乎仆性无他嗜自揆寡昧游心此道庶补防学洒扫应对之阙尔复感存忘之永隔幸心期之尚存荟辑所闻厘为三种前编举要则思已过半通编稍演其例以通俚俗间取九章补缀而卒不出原书之范围别编则测圜诸术存之以俟同志今庙堂议兴厯学通算与明经并进传之其人傥不与九执同湮至于縁数寻理载在几何本本元元具存实义诸书如第谓艺数云尔则非利公九万里来苦心也
万厯癸丑日在天驷仁和李之藻振之书于龙精舍
钦定四库全书
同文算指前编巻上
明 李之藻 撰
定位第一
古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍累纪于一协于十长于百大于千衍于万算之原也后世乃为珠算而其法较便然率以定位为难差毫厘失千里矣兹以书代珠始于一究于九随其所得而书识之满一十则不书十而书一于左进位乃作○于本位【○一】曰一十由十进百由百进千由千进万皆仿此
假如四万三千二百一十作何排列
自左方写起平行大数列左小数列右若从小数起积者每满十则进位一十者书一二十者书二余仿此若大数积多则于左方渐进加字如后图万亿兆京是也若小数积余则于右方渐退加字如两下有钱钱下有分分下有厘又有毫有丝有忽之类是也
大衍式
几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而计田则横一丈纵六十丈为亩【即濶一步长二百四十步】四分其亩为一角角得方丈者十五十分其亩为一分分得方丈者六得方尺者六百分以下厘毫析之而以百亩为顷五项四十亩为丘凡量六粟为圭十圭为撮十撮为抄十抄为勺满十而进之为合为升为斗为石亦曰斛凡衡以两为君两有十钱钱有十分自分以下十而析之曰厘曰毫曰丝曰忽曰微曰纎曰沙曰尘曰埃曰曰漠至细之倪惟所立名而十六两为斤二百斤为引今公私通用之则也古法之衡则十黍为累十累为铢八铢为锱六铢为分二十四铢为两两即四分也两又四之自乘一十六以象四时是命曰斤计铢三百八十有四当朞之月又以十五斤为称二称为钧四钧为石度则古尺长短不一丈尺而外别以七尺为施八尺为仞亦为寻倍寻为常量则六十四黍为圭又有四升之豆四豆之区四区之釡十釡之钟十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡钱千文为缗五缗为绽凡钞五贯为锭锭当钱千里法三百六十步步法今用五尺
厯法每度百分每分百秒西厯则积六十秒为分积六十分为度秒以下俱以六十析之
右式三位而成百五位而成万九位而成亿十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以极于正于载皆以万万递加是谓中数昔者黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍下数浅短计事不尽上数宏廓世不可用故其业惟以中数举一中数而天地鬼神人物之纪思议之所不及者皆尽之矣况更有上数在乎由旬刹那吾无取焉尔
加法第二
凡数惟加法最易加之不已至于无算故算首论加加也并也积也一也少曰并多曰积皆加也列散数于上各横置以类相比【如十从十百从百及两从两斗从斗之类】先从小数并之而以所得数纪本位下遇十则进一位遇百则进二位第一图 系进一位式
【倂四七九得二十下纪○ 二进位并五八八又并前二得二十三下纪三二进位并六九七八又倂前二得三十二下纪二三进位并八六又并前三得一十七下纪七一进位并一五又并前一得七下纪七】
【只七下纪七】
右式散数四项列格上并总得数七十七万七千二百三十列格下
第二图 系进二位式
【初并一百零二下纪二以一百进二位
次并五下纪五
再并一十六前一得一十七下纪七一进位
终并连前共得二十三下纪三二进位】
右式散数一十二项并总得数二万三千七百五十二
以上二图尽加法矣另有试法具后
一法先自上数下得若干复自下数上得若干然后纪总一法以减法试加随意减一行得若干再加所减仍得若干
又有将散数总数错综覈之者有九减七减二法先减散数余若干次减总数余若干以其所余两数对列相较同则无差异则有差
第一图用九减
此法不论进位只以见数为
准累用九减去○不用先以
散数九减之余置于左次以
总数九减之余置于右俱得
八故知不差
又用七减
此法与九减者稍异乃以实数七七减之从左起连○算者如首行首七竞减净 次【○一】减七余三 次即作【六三】减七余一 次作【五一】减七余一 次作【四一】七减无余乃于首行之左格外纪○ 又以次行之首【九八】七减余五 次即作【○五】七减余一 次作【七一】七减余三乃于次行之左格外纪三 其第三行依法减之余得五第四行依法减之亦余得五各以纪于其左 次将总数七减如前法余得六 乃合四项散数所七减而余者据见数更七减之三五五余得六纪于□左以总数所余之六纪于右六六相合固知不差
第二图用九减
【先减散去九不用六个八
共四十八余三加次行五
得八又加次行得二十四
又加末行得四十六九减
余一纪左次阅总数共一
十九九减亦余一纪右】
又用七减
照前七减法先将散
数逐减纪左累
而减之余一次
将总数亦以七
减余一相合无差
右九减七减法繁碎难用然出巧思具至理录之备翫
减法第三
减与加反用稽所余其法先较数之多寡多中减寡亦自右方小数减起以渐进位其辨多寡之法于左方首位辨之首位相等乃视次位次复相等逐位退求则多寡分焉
【此数首位视之
相等然退至三
位上系一千下
系九百九十九】
既审多寡乃以原数列上减数列下依法右起所余逐纪于下如就多中减少者不须别立借法如后第一图若少内减多须立借法以通其变如后第二图云
此上下相减俱系以少减多
不须更立借法
第二图【亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法】
右借法乃借大数兼小数以便总减者又法直于借数一十用减却加入本数尤为便捷假如二不能减九当借作一十二内减九得三今却不作一十二只就所借一十之内先减九余一次乃加二仍得三也先减后加比前较易
以上二图减法尽矣其间有差与否何以覈之
一法用加法验之以减数合减余数得原数【如三加六合原九之类】又法以减余数减其原数应与所减数合【如原数七减二余五今却减五合余二为不差】
亦有用九减七减二法者俱以第一行原数为一项第二行减数第三行余数共为一项而较零之同否同即不差
九减 七减
【减数首作六十七余四次作四十八余
六又作六十二余六又作六十三无
零其余数首作三十九余四次作四
十三余一次作一十二余五次作五
十三余四次作四十一余六次作六
十一余五纪右五五相合无差】
乘法第四
既知加减当论因乘单位曰因位多曰乘通谓之乘凡乘之数妙于九九作九九图
九九相乘图
首横一行自上读下右直
一行自右读左其相值处
即是乘得数指掌可尽也
附九九相乘歌
一一如一 一二如二 二二如四 一三如三二三如六 三三如九 一四如四 二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五 二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一
又法就小乘得大乘不用九而用十假如二数并列因其数大难乘未知乘得若干且连注二数而取十数与较看所不足若干因连注不足数于本数右平衡相对其所不足数必其小于原数者也小者易乘乃以不足数上下相乘注乘得数于下为单数又以不足数与原数上下互减注减余数于其下为进位数即得所求大乘数
右法专为未熟大乘者设也若小数相乘不必用此盖以小数减十则不足之数反多而乘出亦多但多出十数外者以十外之数寄于进位就于互除还之其数未尝不合
【左七俱得三合 三三如九所寄进位一共得四是为六七四十二】
既知乘数乃列乘位凡乘亦从右小数乘起次第进位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十数】三位【百数】及数十位者有以二位乘一位或二位三位以至数十百位者其变无穷其法一定
若以几位乘几位者无拘上下随意互乘
上图位数相近随意互乘如第一图者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得数置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置于七本位下以乘九所得置于七进一位下以乘三所得置于七进二位下其余徧乘仿此毕乘诸位仍以加法通并详具于后
二位乘【此以三十八乘三百九十四者是为二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置于三本位下而其进位及进乘所得皆以次递进一位不可紊乱 如三乘四者得【二一】纪二于三下一进位 如三乘九者得【七二】加前一共【八二】纪八于三之次位二又进位 如三乘三者得九加前二得【一一】纪一于又次位一又进位 两位所乘鱼鳞相比毕则总并其数
以上二图乘法之大略也覈其差否须以除法还原列乘出总数为实如以第一行为法除之必得第二行数【如前一万四千九百七十二为实以三百九十四为法除之必得三十八】如以第二行为法除之必得第一行数【如前实以三十八为法除之各得三百九十四数】合即不差又有九除七除法列原数所余于左列乘数所余于右左右相乘列乘出数于上乃以乘积总数依法除之余数列下上下相比同即不差中间逐位乘出散数俱不用
【首行余七列左次行余二列右
二七乘得一十四以九除余五
列上其积出总数亦余五列下
依法实除原数首三十九
余四次作四十四余二纪
左乘数三十八余三纪右
二三乘得六纪上次除总
数一十四除尽次九十七
余六次六十二余六纪下】
六位乗
挨身下次以九乘上诸位尾
位亦挨本身下余以渐进位
排列 次以三乘上诸位挨
身进位如前 次以○徧乘
上位无乘各挨身照位作○
纪之或空其本位亦可 次
以六徧乘上位尾位所得就
挨六之本身其余以渐而进
云
七位乘
此即前数上下易位为乘故散
数不同而总数同
○无所乘姑空本位
试上图用九除
用七除
【依法按实七除首行余四列左次行
余四列右四四一十六仍除余二列
上总数余二列下】
亦有原数乘数并除而一有零一无零照无乘例只作○
用九除首行原数无余列左
次行乗数余五列右以五遇
○无乗只作○列上次除总
数无余亦只作○列下比同
亦有左右上下俱无零数者
用九除原数乗数俱无余左
右上俱○其总数又无余亦
作○比同
凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小
若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已
乘得一十
六也
右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小
若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数
除法第五
凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层【旧以原数为实除数为法】从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左
列位图
凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余仿此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数
一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】
格右为除得数第一除得九第二除得五未毕
先看八除【六七】得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四【冩四于六上】削去首七亦削去次行除数之八
挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再纪五其上层【○四】俱削亦削八
同前
第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽
第一次除得九削去【六七】及八以六变四 第二次除得五削去【○四】及八尽 另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八 另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰尽纪六于格右削去【八四】及下八毕
若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地【如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类】务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图】右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也
若除法未熟不妨小注于下假上层【三六】下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余仿此
【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘
四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九
嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削
下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余
三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三
千三百八十七数再除如后图】
【复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九
皆削去 又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余
一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三
变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一
亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘
尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数
不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九
为母数以一百○四为子数法别详】
右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记
若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便
【先以二除一十六当用五却误用四是宜多反
少者且如二因四得八六变八削一与六亦削
下首位二嗣以四因八四八三十二八上二变
○进位八变五下削八嗣以四因九四九三十
六九上三变七进位○变六系借除进位五变
四下位削九谛视之则余数反多于分数其数
可知悉抹之而另注原数于上另注除数于下
而用五以除之二五除首位一十五八得四十
进位六变二五九四十五九上三变八进位二
变七又进位二变一再列二八九用六除二六
一十二二上七变五进位削一六八四十八八
上八变○进位五变一六九五十四九上一变
七进位○变四进位削一 再列二八九用一】
右误除乃宜多反少者亦 【除二上四变二八上七变九进位二变一九上】有宜少反多者具后 【四变五进位九变八又列二八九用六除二六
一十二二上八变六进位削一八上五变七进
位六变一六九五十四九上九变五进位七变
二外余一百二十五数以法命之】
六有竒
【此不当用六却误以六除二六一十二二上六
变四进削一次位六八四十八却不足抹削另
起另列二八九于下一六于上而以五分之二
五除一十五八得四十进位六变二余如前式
不差 再列不当用七而误用七二七一十四
二上七变三进削一七八五十六即不足削三
另列一七于上又列用六二六一十二二上七
变五进削一六八四十八八上八变○进位五
变一六九五十四九上一变七进位○变四进
削一不差次用一次用六俱不差】
右式第二次误用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已误矣傥不知还原如何其法只以下位见除二字与所用七字相乘而加上见乘之三即是还原二七一十四加三得一十七也举此一端以例其余
凡三位四位误分改正俱用此法该进位者照前法进位乘后加之式具后
【先用一除之二上四变二三上○变七进位二变一 次该用七却
误用六二六一十二二上七变五进削一三六一十八三上四变六
进位五变三谛视之余数反多于除数误也欲还原者先以下层三
乗所用六三六一十八加上余数六得二十四知本位还四而以二
寄于进位次以进位下面二乗六二六一十二加上余数三再加原
寄二共得一十七知本位还七进位再还一合正数】
既已还其正数另以七
除之二七一十四二上七变三
进削一三七二十一二上
四变三进位三变一
另列二三用六除之二六
一十二三上三变一进削
一三六一十八削尽
若原数既已除尽或未尽有零而欲试其误否亦用九除七除二法
用九除者只据见积将下层除数除余列左以格右用数除余列右以左右互乘九除余数列上又以原总数除余列下如有未尽零数者于左右乘后并入总除列上与原数除余者相比
除毕 六
无零 七 用数一七六余五列
右除数二三共五列
左乘得五五二十五
九除余七列上原数
四四八以九除亦余
七列下无差
【用数余四列右除数余二列左相乘
得八加上零数一三共得一十二以
九除之余三列上总数九除亦余三
列下相比无差】
用七除者实积细除同前乘法其除数列左用数列右相乘除余列上有零者亦并入乘数列上总数余列下
【用数一百七十六以七除余一列右
除数二十三以七除余二列左左右
相乘一二如二列上又将原数四千
○四十八以七除余二列下正同】
【用数一百九十三以七除余四列右除数二百三十六以
七除余五列左相乘得二十以七除余六若无竒零则纪
六于上是己今有零数一百三十再七除余四并六得一
十以七除余三列三于上又将原数四万五千六百七十
八亦以七除余三列下正合】
又法将除数用数相乘以合原数如竒零不尽者乘后并入假如前式原数四万五千六百七十八者以除数之二百三十六乘用数之一百十三共四万五千五百四十八并入零数之一百三十合原数若归除至半欲订其误照前以除数之减余列左以用数减余列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦减之以并所乘列上以抹过原数减余列下相比其九法减见数七法减实积数俱同前【此是用二除过一徧者截至左第四位止试之
用数二列右除数二八九八无余左列○以○乘二无乘
却有零九一三除九余四上列四原数除过四位以九除
亦余四相合】
【用数二列二于右除数二千
八百九十八以七除无余列○于左以二乘○无乘却有
零数九百一十三以七除余三列上其原数已除四位六
千七百○九以七除亦余三相合】
凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止此外虽有未除零数总系余分但可以法命之为几分之几以其除数多零数少故也【多者为母少者为子】
若除数尾带 此以三千八
多○而原数 百万而除一
首尾系数中 百三十九亿
叚系○者但 四千六百万
看尾隔几位 零七千八百
用数该几位 九十三数其絫
只须撞尾而 甚多而谛视
止就截去余 尾位相值只
○且尽实数 该以三位除
除讫嗣以余 尽乃姑截去
○加之以法 余○只以三
命之式具下 八而除一三九
四六每各得
三百六十七
其数已穷其
余皆竒零不
尽之数乃于
三八之尾照
位填○为母
以零数为子
命之云
若除数首位数中位○次又有数次又有○者不可便以中○为止务须尽其实数而止惟尾后之○如前法
用四除之 三四一十二
三上三变一 进削一 次
○○皆无可除者故置不论
径除第四位之八 四八
三十二 八上六变四进位
四变一 更列三○○八用
六除之 三六一十八 三
上九变一进削一置○○不
分 六八四十八 八上○
变二 进位四变九 又进
一变○尚余一○九二为不
尽零数乃以除数余○缀除
数之尾为母以原数○七六
九三附零数一○九二之尾
为子是为三亿八十万之一
亿九百二十万七千六百九
十三云
凡除数首位只一其余俱○者不必另寻用数即以原数为用至撞除数尾位而止此外皆系竒零不尽之数
以除数尾寻至原数尾该得
五位除尽亦只自原数首尾
起照取五位为用数其余皆
系小数不能除矣故作零数
首列一除四得四 又列一
除七得七 一除八得八
一除○还○ 一除九得九
若原数余○虽多而实数归除已尽则其数外之○无复可除虽不撞到尾位亦只据未抹○位逐加用数之后如左图
假如有数一亿八千六百三十万而以三百四十五除之每各得五十四万
首用五除 三五一十五 三上八变
五 三进削一 五四得二十 进位三○ 变一 五五二十五 五上三变八○ 进位六变三 又列用四除 三四一○ 十二 三上三变一 进削一 四四○ 一十六 四上八变二 进削一 五
四得二十 五上削○ 进削二毕既已除完其余不复可除照○位加于格外用数之右
右加减乘除四法共一卷算学纲
领习熟自精变化之妙详载别卷
同文算指前编卷上
钦定四库全书
同文算指前编卷下
明 李之藻 撰
竒零约法第六
凡数除之不尽者以法命之曰几分之几除数为母【法】列上竒数为子【实】列下
假如列实四十六以七为法除之尚余四是谓七之四余仿此
列位式
若竒零有二项辨其孰多孰寡以子母二数互参母数相同则但据子数
若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大
若子母数俱不等别其多寡者并列以彼此母子互乘得数各注其子数下
有差逺者 有稍差者
有相同者
四之三与八之六同则八之六即四之三
假如欲知何以皆为四分之三但将子母两数立通数乘之且如【八四】之【六三】有六数可以通乘六八四十八六六三十六母系六八子系六六便知【八四】之【六三】即是八之六此系有见成乘法可用者
其积数已多而既难折半又无通数可乘则须另立纽数归除其法以小减大减尽而止以最后减尽数为用以除子母二数其所除得数即是约数
假如四十八之三十二即三之二
于【八四】内减【二三】余【六一】即以【六一】再减【二三】二次尽乃以一十六为纽数以除【八四】得三是母约数以除【二三】得二是子约数
假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子减母余二百八以二百八减子数用二转余五十二以五十二减二百八恰尽即以五十二为纽数以除六百七十六得一十三是母约数以除四百六十八得九是子约数【凡以小减大者即系除法数相近名减若大小相逺减几徧者名除】
其以寡减多终不能尽者不复可约只就见数为则以【七四】减【九五】余【二一】 以【二一】减【七四】余【一一】 以【一一】减【二一】余一不尽
以【○二】减【三六】余三 以三减【○二】余二 以二减三余一不尽 以上不尽无纽
竒零并母子法第七
凡两子母数不等须先并母较之以两母相乘得共母数次以两母互乘两子各得子数
又有三四母子不同并较多寡者亦以各母次第徧乘归并作一共母【为实】乃以各母之数【为法】除之即以各子乘之得各子数
先并母数二乘三得六又
以六乘四得二十四又以
二十四乘五得一百二十
为共母
乃以首母二除得六十以首子
一乘仍六十为其子数
以次位母三除得四十以子数
二乗得八十为其子数
以三位母四除得三十以子数
三乘得九十为其子数
以四位母五除得二十四子一
乘仍二十四为其子数
若每数相乗遇有纽数可用【一数两分是为纽数即前法】即用纽数除之以其所得相乘以省约法
右用一纽数而前之乘得一百二十者约为六 ○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六乃以首母二除得三十子一乘亦三十
以次母三除得二十子二乘得四十
以第三母四除得一十五子三乘得四十五
以第四母五除得一十二子一乘仍一十二
凡两数母子俱殊但有纽数可用皆可以此推之
二三为六故注二于六下
四三一十二故注四于【二一】下
乃即以二十四为共母数而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子数五乘得二十为二十四之二十
以第二母一十二除此二十四得二以其子数七乘得一十四为二十四之一十四
竒零絫析约法第八
竒数有析之又析者如母七子四是为七之四又析其四作五以为母而五中余三是为五分四之三子中出子相联而成则名七之四又五分四之三也
又有母二子一是二之一又以子一 【此三即进位之三】
析为六而六中余一【母六子一】又以子一析 【此四即进位一所化】
为四而四中余三【母四子三】又即以子三为 【此六即进位一所化】母而三中余二连析四次总名二之一
又六分一之一又四分一之三三之二
右法须取捷归并以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二
母数五七得三十五
子数三四得一十二
如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六
母数三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四为共母数子数二乘三得六又一六只六又一六只六为共子数
右一百四十四之六依约法乃即二十四之一
以六除一百四十四得二十四恰尽故六为纽数二十四为母约数以六除六得一尽故一为子约数
假如连析三次者五之三又三之二又四分二之三并之乃六十之一十八
母数四乘三得一十二又一十二乘五得六十为共母数 子数三乘二得六又六乗三得一十八为共子数
右六十之一十八约之即一十之三
用子数一十八除母数六十余六
即以六除一十八恰尽是六为纽数以六除六十得一十故一十为母约数以
六除一十八得三故三为子约数
右絫析乃厯家所常用者粟米方田诸家鲜用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一两析之为五【每析二钱】五之三乃六钱也又析为三之二则四钱矣又析为四分之三则三钱矣总是一十分之三
化法第九
凡整数后带竒零难于归除须将整数尽依母数化之其法以母数乗整数以乗得数并入子数却以母数除之
假如有整六数零五分一之三者列六于左列五之三于右
每数皆剖为五分五乗六得三十并
入子数三是为五之三十三列下
假如有整七数零五分一之四者列七于左列五之四于右
每数皆剖为五分五七三十五并
入子数四是为五之三十九
于是乃化零数为整数其法以母除子
此为一剖七之五十六以母数
除子数用八除尽知是整八数
此为一剖九之四十七以母除子用
五余二知是整五数又零九之二
竒零加法第十
数有竒零或两零数或三四零数以至百千零数加并为一法具后
若母数异则先并母数但有纽数者依纽数求其共母无纽数者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子数乃视其子数多寡总而积之又以共母除积子以归本数
又法求其子数径用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但积数多者未便须用母除子乘之法
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若既有整数又有零数则先加积整数次乃加积零数其零数同母者只并子数其零数异母者依前法且并母数而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗
以上系不同母数者
若欲试加法之有差则用竒零减法
竒零减法第十一
凡以竒数减竒数者审其多寡而于多中减寡其母数同者第就子数相减若母数异则先以其母相乗并为一母而依母除子乘求各得子乃以相减
以上系不同母者
若于整数内减零数者以零母化原整数就以作子相减次合全数总计
假如整数一十内减一十一之六者【此一十一之六未满整一数】就将一数拈出依竒母化为一十一以作子数
于内减六【一十一之六】余一十一 之五总为九零一十一之五
以上是只减零数者
假如整数一十内减四零五之三者一十减四余六又动一数以零母化之作子于内减去三【五分之三】尚余五之二是为五零五之二
以上是既减整又减零者
又有原数以整带零减数亦以整带零者先以整数相减次将各零母依法并合为一次乃子母互乘为子各系本子位下相减
于整九内借一数以化母为三百六十三并入一十一则三百六十三之一十一为三百六十三之三百七十四
以上是零整杂减者若原数减数不止二位相并有三四零数以上者照前逐并母数互乘减之
若欲试减法之当否则用加法
补前章以减法试加法
假如不同母加积者试之两母相除得母数将所互乘之数互减之其减余者除以本母得子数
竒零乘法第十二
凡两零相乘者皆以母乘母子乘子
凡零数与整数相乘者置整数与零子数并列其上立一数为母与零母并列照前母乘母子乘子
凡整数带零数与整数相乘或与零数相乘者先以整数与所带零数之母相乘得若干并入零子列子位【化法】乃以整数照前法列于子位其上立一为母而母子相对乘之
右系整兼零与零数相乘者
若两数俱以整数兼零数者照前先化整数
或问乘法乘少为多今或乘多为少何也曰立法如此乃是借虚驭实与除法相防为用非整乘也
若欲试乘法之有差则用竒零除法
竒零除法第十三
凡竒零数又以竒零数归除者列原数于右列除数于左却将除数倒列子母【原数母上子下除数子上母下】两平对乘其乘出数即归得数
假如以竒零除竒零者
右法假如一年十二个月今曰二之一则六个月也六之一则二个月也以二剖六各得三个月
假如以零数除整数者以整数作子上立一为母
假如以整带零而除整数者原数只借一为母不动若除数则以所带零母化其整数并子数
假如以整数除零数者
假如以整带零而除零数者原零数不动其除数之整
假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整数
若欲试零除之差否则用零乗法以乗出之数为主以对除数相乗仍合原数则不差
重零除尽法第十四
归除不尽曰竒零然有原数之内本来先带竒零者【如原数系二十零四分之一之类】是大竒零数内又有小竒零也若欲除之使尽当先归之使一列小竒零于右列大竒零于左两母相乘为总母又以小竒母乗大竒子并入小子为共子数即是除尽之数若数繁者约之
假如四人剖一十五零三之二其不尽者整三数零三之二也三之二为小竒列右四之三为大竒列左如法乘之即得四母除尽之数
若小竒零之内复有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相并得母数及子数次乃递互并完假如七除不尽而余四数是为七之四矣而又以此四中之一剖为五停内得二又以此二中之一剖为四停内得三又剖此三中之一为三停内得二此乃大竒数内又带三小竒数愈析愈繁最易淆乱者法具后
以上用七除尽者每分得八十四之五十五
假如以一十二人剖二十整数零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不尽以一十二之八列左以四
右系捷法若依前章竒零加除二法者从小竒数除起以一十二除之借一为母倒列对乘先得小竒乘数次以大竒数与对乘又依加法互乘求总子数约之得除尽数
通问第十五
前算法一十四章总归加减乘除四术临时制用存乎其人今设一十四问由浅入深由易入难精之躔度厯术麤之米盐凌杂皆可类见
问减二十三余四十七原是几数又问减一十一之四余八零三之二原是几数答曰此用加法以二十三加四十八原是七十数也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也
问八十七内减几何该余二十六又问一十三之八内减几何该余七之二答曰即用减法就八十七内且减二十六余六十一得余数就一十三之八内且除七之二余九十一之三十得余数
问加三十八得八十三原是若干又问加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用减法于八十三内减三十八尚余四十五其原数也于二十零二之一内减四零九之八尚余一十五零一十八之一十一其原数也
问一百与三百四十九差几何又问六零二之一与二十零四之三差几何曰此即减法于三百四十九内减一百是为二百四十九于二十零四之三内减六零二之一是为一十四零四之一
问何数除之以九而各得三十四又问何数除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其实数也三之二乘四零三之一得整二零九之八其实数也
问有三十于此其五之三是何数又问有四零七之五于此其二之一是何数曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子数三乗三十得九十以母数五除之得一十八合问】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四并五为七之三十三以与二之一对乘得一十四之三十三约之为二零一十四之五合问】
问除四十八各得一十其除数若干又问除七之三各得三之二其除数若干曰此于除法求之只以一十除四十八该得四零五之四是其除数【以四零五之四为除数者依法化整及倒位对乘之子数五乘四十八得二百四十母数二十四除之得一十合问】只以三之二而除七之三该得一十四之九是其除数【以一十四之九为除数者以九对七以三对一十四乘得六十三之四十二约之三之二也】
问一十七与何数相乘而得一百又问三零二之一与何数相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百当各得五零一十七之一十五以得数乘除数还原一百矣以整三零二之一而除四之一当各得一十四之一以得数乘除数还原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七约之四之一也】
问两数相乘得四十八是何数又问两零数相乘得二之一又或得六零四之三者各是何数曰熟于除法则随变用之其除四十八者随意立一数如以六数除则各得其八乗之则六八四十八也如以一十除则各得其四零五之四乘之乃五之二百四十还原四十八也【母五乘整四并子得二十四以一十乘得二百四十数以母五归整是四十八】其除二之一者亦随立一数如以三之二为除则各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六约之则二之一矣其六零四之三者亦随立一数如用三零二之一为除则各得一零一十四之一十三乘之则六零二十八之二十一约之六零四之三也如用二零四之三为除则各得四十四之一百零八乘之则一百七十六之一千一百八十八约之亦六零四之三也
问两数除之得二十八又问两零数除之得六之五其数几何曰此用乘法亦随意立一数乗之如二十八数以六数乘之得一百六十八即以六除之仍归二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一为除仍归六之五矣
问何数以七为乘而所乘出之数归之以八而得三又问何数以五之二为乘而所乘出之数除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除数乗除得之数而以所云乘数除之其所除得数即所求数也假如三与八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三与四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
问六在五十四之内约是几分之几又问五之三在一十之九内约是几分之几曰此用约分零除法以小除大其所除得数即是也以六除五十四各得九则六于五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一数为母倒位对乘乃五十四分之六即以六数而除五十四于此可明零除倒位之义】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也
问六数是何数中九之一又问五之三是何数中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六数依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也
问化法假如一化为八今七数共化几分又问以一化四见有四分之三设以一化一十二此四之三者得一十二中之几又问以一化七见有七之三设以一化八则此七之三者是八中之几曰此用乘法以前后数相乘得之问化八者以七乗八得五十六是所求其化数矣问以化四较化一十二者以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数【三十六】以前母除归本数【四个九】即后母之子数也【一十二之九】问以化七较化八者亦然以前子七中之三与后母八倒位相乘得数【二十四】以前母除归本数【三七二十一得整三数余三不尽是零七之三】即后母之子数也【后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中国计日以百刻西洋以九十六刻今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻即以西洋九十六为母三十一为子却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百是为九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再寻纽数四约之乃是二十四分刻之七也
同文算指前编卷下
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__前编>
钦定四库全书
同文算指通编卷一
明 李之藻 撰
三率准测法第一
数有显隐必頼显以徴隐故列前三率求后一率先定三率之位大都取其相准如货准货钱准钱之类凡第三率必与第二率相乗而以第一率除之因得第四率为所求旧名异乗同除
假如钱四贯得货十二斤今问钱二十贯当得货几斤则以二十为三率以十二为二率与相乗以四贯为一率
第一率 四贯 二率三率乗得二百四十数以一第二率 十二斤 率之四除之每分得六十数为所第三率 二十贯 求盖第一率与第三率相准也而第四率 六十斤 第二率又与未知之第四率相准
相准故以相推妙在相准
假如米六十石足支五月今问有米一百三十二石足支几月此以六十石为一率五月为二率今有一百三十二石为三率以与二率相乗以第一率六十除之第一率 六十石
第二率 五月 【以五乗一百三十二得六百六十数乃以六十除之得一】第三率 一百三十二石【十一月】
第四率 一十一个月
右试法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率则所推不误
又法移第三率为第一率第四率为第二率却以第一为第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率
第一率 二十贯 一百三十二石
第二率 六十斤【四乗六十得二百四十以】十一月【十一乗六十得六百六十以一】第三率 四贯 【二十除之得十二】六十石【百三十二除得五】
第四率 十二斤 五月
又有化多为寡之法先寻纽数凡一数可以除尽两数者为纽数其两数亦取相准者为用因以相对乃取纽数所得置本位下乗除如前若无纽数者则否
三率 二十 二十【四以三代十二仍依法乗得六】五 【十故以一代四以五代二】
四率 六十 六十【十】 六十【十依法乗之得六十如前】又式
三率六十三 六十三【八故以四更之依前乗除仍得】七 【也七九六十三故代之以七也】四率 八十四 八十四【八十四】 八十四【仍前乗除亦得八十四】又三率准测之法以一率除二率得数乃以乗第三率所得第四率不异前法
一率 六十 【先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率】二率 三百六十
三率 一百三十二
四率 七百九十二
乂法先以第一率除第三率得数以乗第二率乗出数为第四率亦如前
一率 六十 【以一率除第三率得二零六十之十二约之乃五分之一为用数以】二率 三百六十 【乗第二率仍得七百九十二如前】以上二法皆用三率 一百三十二 先除后乗但除之不尽必用零乗四率 七百九十二 之法故不若从前先乗后除为捷右准测法之变凡三而吃在于定位孰为第一率孰为第二三率应前者前应后者后又或前者反后后者反前畧具凡例如左
问用银四十四两买绢五十二疋今买二百六十疋该银几何此所问者二百六十疋则以二百六十为第三率以原买绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率
一 五十二疋
二 四十四两
三 二百六十疋
四 二百二十两
问买绢五十二疋用过价四十四两今有银二百二十两该绢几疋此所指者银数则以今有银为三率原价为一率与相当而以买过绢为二率乗之
一 四十四两
二 五十二疋
三 二百二十两
四 二百六十疋
问用银四十四两不知籴米若干曽见有人以银二百二十两籴米二百六十石
一 二百二十两
二 二百六十石
三 四十四两
四 五十二石
问有人粜米五十二石不知得银几何曾见有人粜米二百六十石得银二百二十两
一 二百六十石
二 二百二十两
三 五十二石
四 四十四两
右四问总是一法所问不同以辨三率之位
问有人七日行二百一十里今行一千六百里须几日一 二百一十里
二 七日
三 一千六百里
四 五十三日又二百一十分日之七十
【刻法每日一百依法以乗子数七十得七千以母数二百一十除之得三十三刻又三分刻之一】
问椒一斤不知其价见人买六十斤用价二十两一 六十斤
二 二十两【二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之系以多除少者説在前编竒零除法】三 一斤 【立一为母倒位互乗以除之】
四 【约之乃三分两之一也求分厘法依前编以两化之子乗母除得三钱三分三厘三三】问谷每石价银一两七钱五分米每石价银二两五钱今有谷三百九十六石照价折米该若干
一 二两五钱
二 一两七钱五分
三 三百九十六石
四 二百七十七石二斗
若问米二百七十七石二斗照价该准谷若干者即以一两七钱五分为第一率二两五钱为第二率以二百七十七石二斗为第三率
问有八成金五十两价银二百两今有九成金四十两该银若干此因有成色有两数有价数法当取成色折足色后用准测推之五八四十为第一率二百两为第二率四九三十六为第三率
一 四十两
二 二百两
三 三十六两
四 一百八十两
问银一百两零七钱八分雇工筑堤四百丈零四分今欲筑堤一千丈零四分三厘该银几何此法化两为分化丈为厘以列三率
一 四万四十厘 【化四百丈四分】
二 一万七十八分 【化一百两七钱八分】
三 一十万四十三厘
四 二百五十一两八钱六厘又四千零四分厘之二千一百三十【约之乃二千二之一千六十五以毫归整乃五毫三丝一忽九微六纎】
问住居七个月零十五日已支银二百两七钱八分又七分分之二若住六年该费若干此化年月为日化两为分以列三率
一 二百二十五日
二 二万七十八分又七分分之二
三 二千一百九十日
四 一十九万五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十【即一千九百五十四两二钱八分六厘四毫七丝六忽八防七纎不尽】
问有蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共价银二两六钱今有银九钱买蜡几何曰此谓三不同类之率【因蜡有斤有两又有零分银亦有两有钱故云】取一最细数为君以大数化之取原价二两六钱为二十六钱取原蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一为一百七十三两零十分两之九【即一千七百三十九钱也每斤十六两先以十斤乗得一百六十数次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六两零斤之二也次加七两得一百七十三两其所零二之一倂前所零五之二用并母法互乗积之为十分两之九总之如上数】
一 二十六钱 【二率乘三率依前编零乗之法归整得一】二 一百七十三两一十分两之九【千五百六十五又一十之一乃以第一率用零】
三 九钱 【除之法则一十乗二十六得二百六十为四率】四 六十两又二百六十之五十一【约之如上照斤法得三斤十二两一钱九
分又六十五之四在前通问十四】
问欲买防氄八分丈之七价若干曰曾买三分丈之一原价四分两之三算之
问炼矿求银初火炼得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足银一十六两原矿若干此并子并母求之以三子相乗【二五得一十又四乗得四十】为首率以三母相乗【三七二十一又以五乗得一百零五】为次率一十六为三率
问筑墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸可高若干法以较求之取原上广较原下广所差为一率以原高数为二率今筑下广较原下广差为三率
一 三十寸【上广不及下广数】
二 一百二十寸【高】
三 一尺九寸【今下广减原下广】
四 七十六寸
右法若以筑高七尺六寸问上广若干者以筑高数乗原上下广较而以原高数除之
问筑墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸量高若干亦以上下广较为一率原高为二率今所筑中广以较下广差数为三率
一 四十寸【原上下广较】
二 二百寸【原高】
三 二十四寸
四 一百二十寸
右法若问筑至高一丈二尺问上广者以筑至数乗原上下广较而以原高数除之
问筑墙上广十尺下广三十尺高四丈今欲筑至上广九尺该接高几何以今上广较原上广余一尺为主置第三率置原高四丈为二率以原上广不及下广二十尺为首率
一 二十尺【原上下广较】
二 四十尺【原高数】 又法以原上下广较减三 一尺【今上广较原上广数】原高为实以今上广与
四 二尺 原上广较得数为法除
之亦同
右法若问再加二尺上广几何者以再加数与原上下广较相乗而以原高数除之
问驿使先发三十七里别以一骑追之驰一百四十五里尚不及二十三里须追几里可及此以先发及追去未及之里推之知驰一百四十五里只追上一十四里以追上数为第一率疾驰数为二率不及数为三率一 一十四里
二 一百四十五里
三 二十三里
四 二百三十八里又十四分里之三
问甲乙二人同步甲疾乙迟甲行百步乙才行六十步假使乙先行百步甲方举步追之该几步可及
一 甲行疾四十步
二 甲日行一百步
三 乙先去一百步
四 乙防甲二百五十步
问商人籴米三千五百石每石价银六钱五分外用脚价银五分就籴处以米准脚价则原数内该脚夫若干商存若干此以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率依法乗除先得脚价米为四率以减总米余为存商之数
一 六钱五分
二 三千五百石
三 五分【脚价】
四 二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【约之为一十三之九】以减总米余三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【约之为一十三之四】为存商之数
右系初籴未运送者故以原籴价算若已搬运到仓则倂籴价雇值每石共值七钱矣以七分为首率依衰分法求之只该脚米二百五十石
问蚕茧二百五十斤换绵八十八斤若茧百斤十斤一斤一两各该绵几何此求斤两法茧数为首率绵为次率列茧百斤等为三率有零分者以斤法十六化之再除
一 二百五十斤
二 八十八斤
三 一百斤 一十斤 一斤 一两四 三十五斤五之一【即三两二钱】三斤八两【三钱二分】五两六钱【三分二厘】三钱五分二厘以上十五问见三率布置之序余可触类而通
变测法第二
前准测法皆以二率乗三率而以一率除之盖以三率视四率犹以一率视二率多寡相等可例推也又有变测之法假如第一率多于第三率而其第二率反少于第四率或一率少于三率而二率反多于四率者此当审其不相准之数而变法测之则以第一率乗第二率以第三率除之旧名同乗异除
问布长九丈阔三尺作衣一袭今有布但阔二尺亦欲作衣一袭増布若干此以三尺为一率以九丈为二率乗之以二尺为三率除之
一 三尺
二 九丈
三 二尺 【若欲复前准测之法则移三率为一率移一率为二率却以二】四 一十三丈五尺【三率而仍以二三相乗以一率除】问原借九成金五十四两今以八成金抵还照成色该还若干
一 九成
二 五十四两
三 八成 【若欲复前准测法则以八成为首率九成为二率而以原借五】四 六十两七钱五分【十四为三率】
问母银四千两生息三年今母银七千四百八十两数多于前只须几年即可当前三年之息此以四千为一率三年为二率乗之今母为三率除之
一 四千两
二 三年
三 七千四百八十两
四 一年二百二十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六 【若复前准测法则以今母为一率原母为二率三年为三率】
问荒年麦半石价钱六百文作麦饼每饼重十两值十文今麦价四百文或贵至八百文而价仍每饼十文则其饼该増减若干
一 钱六百
二 饼十两
三 钱四百 钱八百 【移三率为一率移一率为二率而以二率为第】四 饼十五两 饼七两五钱【三率乗之即前准测法】问二百四十方步为一亩合阔八步长三十步今阔只六步或阔至十二步各该长几何
一 八步
二 三十步
三 六步 十二步
四 四十步 二十步
问方仓贮米三百八十四石原高八尺阔一丈二尺深一丈今另建一仓照前米数亦高一丈但减深八尺或増深一丈六尺各该阔几何
一 一丈
二 一丈二尺
三 八尺 一丈六尺
四 一丈五尺 七尺五寸
问筑一台每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或减至二十工各该几时而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或迟至四年零二百九十二日而成每日各应用夫若干此四难俱用一法而化年为日以一率乗二率以三率除【每年作三百六十五日】一 三十工 三十工 一千四百六十日 一千四百六十日
二 四年 四年 三十工 三十工
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四 八百【七十六日】六年 五十工 二十五工问以兵八千五百共守一隘其粮仅支十一月若待餽运至日尚须二十五个月计当撤兵几何留兵几何而后可供二十五月之食
一 十一月
二 八千五百人
三 二十五月
四 三千七百四十人当留 四千七百六十人当撤
【以除得数为留数余为撤数】
问象牙一枝因无大枰用小秤称之不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依小秤算该几斤法并原加锤数为首率以称得数为次率原锤数为三率
一 四十六两八钱
二 六十七斤
三 二十六两
四 一百二十斤【又五】之三【用加六求之即九两六钱】问原秤称物重八斤二两失去原锤欲另铸锤配用不知轻重另借别锤以较原称之物只六斤则原锤若干此须化斤为两以加六通后称数【九十六两】为首率以所借锤【三十七两】为次率原称数【一百三十两】为三率得所求原锤数以斤法除之【按别锤下脱重三十七两五字】
一 九十六两
二 三十七两
三 一百三十两
四 二十七两三钱又一十三分钱之三【以斤法除得一斤十一两三钱二分七毫不尽】问空车日行七十里若重载即日行五十里今载粮到仓五日三返路逺若干法以五日为首率以空车重车日行数相乗为次率并空车重车日行数以三返乗之为三率
一 五日
二 五百三十里【按数误应作三千五百里】
三 三百六十
四 四十八里又三十六之二十二
重准测法第三
凡数两相较者皆两两相准故以巳然为一二率见在为三率以测四率若巳然者先有杂数见在者又有杂数此当以类次第归并而叠用三率之法推之准而又准测而又测为重准测法
问每人每月织绢六疋若八人四年该几疋此以一人为第一率以六疋为第二率以八人为第三率八六乗得四十八为第四率又以四十八为所问第二率化四年作四十八个月为第三率依法乗得第四率
一 一人 【先以人数测绢数】 一月 【即八人之一月次以月数测绢数】
二 六疋 四十八疋
三 八人 四十八月【即四年】
四 四十八疋 二千三百四疋
又倂法以一人乗一月为第一率以六疋为第二率以八人乗四十八个月为第三率而二三相乗以一除之一 一人一月乗只是一数【凡不同数者用此乗法倂之如人与月不同是也若】
二 六疋 【月与年则同数者竟当化一年为十二月不必相乘】
三 三百八十四 【矣】
四 二千三百四疋
问雇役一千里运货二百斤给值四两今货三百斤运四千里该值几何此以一千里乗二百斤为一率以四两为二率以三百乗四千为三率
一 二十万
并 二 四两
法 三 一百二十万
四 二十四两
用 一 二百斤【先测货价】 一千里【次测里价】
重 二 四两 六两
准 三 三百斤 四千里
法 四 六两 二十四两
问三人用米五石值银三两计食五旬每人每日该银米几何此以三人乗五十日为第一率以三两及五石各为第二率以一人乗一日为第三率二三相乗一率除之
一 一百五十【三乗五十】
并 二 三两【三百分】五石【五百升】
法 三 一 【一乗一】
四 二分 三升三合零三之一
一 三人【先以人准银米】五十日【次以日准银米】
重 二 三两 五石 一两 一石三一二
准 三 一人 一日
四 一两 一石三一二 二分 三升又三一一
问母银三百两四年得子银一百两今有母银一千五百八十两七年该出子银几何此以三百乗四年为一率以一百为二率以一千五百八十乗七为三率
一 一千二百
并 二 一百
法 三 一万一千六十
四 九百二十一两又三分两之二
一 三百 四年【次以四年子母相算】
重 二 一百 五百二十六两又三之二
准 三 一千五百八十 七年
四 五百二十六两又三之二 九百二十一两又三之二
问母银十两三个月得子银四两若母银一百两欲得子银二千两须几年此因有月在内湏作重准测法先知百两三月所得然后再测若只如前并法以四乗十共作一率则所差多矣式具后
一 一十两【此未言三个月但十两之得四】 四十两【既得上数乃以银准月而推】二 四两 【两以三月则百两之得四十两】 三月
三 一百两【亦是三月要在此便可再测】 二千两
四 四十两 一百五十月右法试之以十两乗三月为第一率以四两为第二率以一百两乗一百五十月为三率而以二三相乗以一率除之【此系倒法盖带月作一率三率者】
一 三十【以一十乗三】
二 四
三 一万五千【以一百乗一百五十】
四 二千
问有夏布四十五疋以换绵布两价不等夏布每三疋价二钱绵布每七疋价七钱五分该换若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共价若干次即以所获价为第三率以七钱五分配为第一率七疋为第二率推之
一 三疋 一 七钱五分
二 二钱 二 七疋
三 四十五疋 三 三两
四 三两 四 二十八疋
问将银二十三两买布七十五疋每疋长四丈阔二尺今另买布阔一尺六寸长与前等该减前价若干此先求每尺之价以四丈乗全布又以阔二尺乗【六千尺】为首率价银为二率另立一尺为三率求得四率为尺价次求应减之价乃移三四率为一二率以两阔相减余四寸乗原长三千尺【一千二百尺】为三率
一 六千尺 一尺
二 二十三两 三厘八毫三丝又三之一
三 一尺 一千二百尺
四 三厘八毫三丝又三之一 四两六钱
问重舟日行八十里轻舟日行一百里今重舟先去一十五日轻舟几日追及先求重舟一十五日行若干里得数用为重测之三率而以轻舟每日多行二十里为首率推之得四率为追及之日
一 一日 一 二十里
二 八十里 二 一日
三 一十五日 三 一千二百里
四 一千二百里 四 六十日
问车轮半径一尺九寸五分假令一日转二万周该几里此因有里有尺又有寸有分须用再测先倍半径得三尺九寸为全径数三因得一百一十七寸为一周数以一周为一率一百一十七寸为二率二万周为三率推得尺寸共数乃以其数为第三率以里法一千八百尺除之
一 一周 一 一千八百尺
二 一百一十七寸 二 一里
三 二万周 三 二十三万四千尺四 二十三万四千尺 四 一百三十里
问用砖砌满九里每砖阔六寸每层该砖若干此以里求寸当化里为寸每里一万八千寸九里得一十六万二千寸乃求砖数
一 一里 一 六寸
二 一万八千寸 二 一砖
三 九里 三 一十六万二千寸四 一十六万二千寸 四 二万七千○砖问拨夫一百名筑城二百丈八个月工完今仍用夫一百名给银一百两欲筑城二万丈几月完工此以二百为一率以八为二率以二万为三率不用银数以与夫数相同不算
一 二百丈
二 八月
三 二万丈
四 八百月
问用夫三百名七个月修过墩台四十五座今有夫一千七百八十名亦七个月可修墩台若干座此与前法相同除月不用
一 三百名
二 四十五座
三 一千七百八十名
四 二百六十七座
问选锋兵一名每月给银四两今有选锋兵一万三千名九个月该给几何此以一名乗一月为一率以四两为二率以九乗一万三千为第三率
一 一
二 四
三 十一万七千
四 四十六万八千
问马十匹每一日用料七斗今有马百匹养二十日用料几何此以十匹乗一日为一率以七斗为二率以百乗二十为三率
一 一十匹
二 七斗
三 二千匹
四 一千四百斗
问开河长七百五十五丈上广五丈四尺下广四丈深一丈二尺每夫每日开二百尺问几工可完即以二百尺为首率并上下广折半得四十七尺以深乗之得五百六十四尺为次率以长为第三率
一 二百尺
二 五百六十四尺
三 七千五百五十尺
四 二万一千二百九十一工
问开濠下广七尺上广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名几日毕工此以二百人乗一百四十四尺得二万八千八百为法置第一率并上下广折半以深乗得三十二尺为二率以长为第三率
一 二万八千八百
二 三十二
三 一千八百
四 二日
问十二人九日共刈麦二十亩今有三十人刈麦四十五亩该几日此因有人数又有日数又有亩数当用重准法又以一率小于三率而四率反少于二率兼用变准法而重准则仍用准测法
一 十二人【先以人较日一率二率相】 二十亩【次以日较亩二三相乗】
变 二 九日 【乗三率除之】重 三日又五分日之三
准 三 三十人 准 四十五亩
四 三日又五分日之三 八日又十分日之一
问负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步日可几次此全用变准法以三十步乗一石二斗二升为首率五十次为二率今负米一石二斗以乗四十步为三率
一 三百三十六
二 五十次
三 四百八十
四 三十五次
问金钱一文值银一两一钱五分今有银一千两该金钱几文此用化法二率乗三率以一率除
一 一百一十五分
二 一文
三 十万分
四 八百六十九文又二十三分钱之一十三
问金钱每文得银一两一钱五分今金钱四千文银几何
一 一文 一百分
二 一百一十五分 一两
三 四千文 四十六万分
四 四十六万分 四千六百两
问烹砂炼金每日所得重三十铢今积得七斤八两已采几日法先化斤为铢每斤三百八十四铢先求七斤八两得铢若干乃以共铢求数【此是斤称法】
一 一斤 三十铢
二 三十铢 一日
三 七斤八两 二千八百八十铢四 二千八百八十铢 九十六日
问炼铜入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三两四钱四分原生铜若干此用化法化八斤【一万二千八百分】为首率化十斤【一万六千分】为次率化三火铜【一十二万一千三百四十四分】为三率得四率为二火铜数乃即用四率为三率以求一火铜得数又用为三率以求生铜其一率二次不动依法乗除得数乃以斤法一十六除之一 一万二千八百分
二 一万六千分
三 一十二万一千三百【四十四分】一十五万一千六百八十一十八万九千六百四 一十五万一千六百【八十分】一十八万九千六百 二十三万七千分【即一百四 十八斤二两】又捷法以八斤自乗【六十四】再乗【五百一十二】为法以除三火铜亦得二三七因有再乗各再进位以七为两亦同前法
问将银雇匠采石不知银数石数只云每石六十丈价七两七钱船价三钱总用锻铁炭火银二百两是六十分之二则原银几两买石几丈石价船价总若干各若干法据锻铁炭火银二百两为六十分之二已知原银是六千两内减二百两只以五千八百两为实在之银起算作第三率以六十丈为第二率相乗得数乃以七两七钱并船价三钱共八两为第一率除之得四率为买石总数再置石总为第三率以七钱七分为二率乗之六十丈为一率除之得石总价以减总银余得船价
一 八两 六十丈
二 六十丈 七钱七分
三 五千八百两 四万三千五百丈
四 四万三千五百丈 五千五百八十二两五钱【此系石价
以减总银余二百一十七两五钱为船价加锻铁炭火二百两
仍足六千两】
问母银六十两置货卖得六十四两或只卖得五十七两今有银一百两置货卖之依前算该得多银几何或折银几何此以六十为一率以所卖二数较之一増四两一减三两各为二率以一百两为三率
一 六十两 六十两
二 四两【多数】 三两【折阅数】
三 一百两 一百两
四 六两又三分两之二 五两
问有货一百斤卖得子银六十四两不知母银几何兹母银一百两欲得子银六两零三分两之二其法以子并母为一率以母为二率以所问六十四为三率【所问六十四兼有子母故相准第一率亦兼子母配之所求第四率系原买母银故第二率亦以母银配之】一 一百六两又三分两之二【除货一百斤不用只以银数相准】二 一百两
三 六十四两
四 六十两【每六十两得子四两则一百两得子六两零三分两之二矣然则以六十四两卖者必以六十两买也】问寳石一颗卖银二百两以其母银较之每百两折银一十两原买母银若干此因百两之内折一十当以九十两为一率以一百为二率以二百为三率
一 九十两【欲以二百之子推求二百二十二两有零之母先以九十两之子及一百两之母为】二 一百两【一率二率】
三 二百两
四 二百二十二两零九分两之二
问玉石一驼卖价三千六百两今欲每母一百两得利一十两必须于买价内原减得三两方获此利试问原买价几何此与前法相同以一百一十为第一率【因所问在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所减三两不用】以一百为第二率【求母数故以母数配之】以三千六百两为第三率
一 一百一十两
二 一百两
三 三千六百两
四 三千二百七十二两又十一分两之八【再加三两即原买数】问纻丝一千疋卖银三千六百两若原买价多六两即每百两折十两欲知原价几何此因百两内已折一十两以九十两为一率以一百两为二率以三千六百两为三率
一 九十两
二 一百两
三 三千六百两
四 四千两【再减六两即原价】
问货每一斤卖银二钱即母银百两已得息三十两设若每斤卖至二钱四分则百两获息几何其法先求每斤二钱之内母银子银各若干然后再据子母推之先列所知子母全数一百三十为第一率以母银一百两为第二率知母一百三十之内以三十为子以推二钱之内以若干为子乃以二十分为第三率依法乗除得二钱之母银亦即二钱四分之母银也次乃以母银为一率以二钱四分内之子银为二率以一百为三率一 一百三十两 一十五分又十三之五【二钱内母数】
二 一百两 八又十三之八【二钱四分内除去第一率得此数】
三 二十分 一百两
四 十五分又十三之五【此是母数外皆利息】五十六两
问货一百斤卖银十两总计每母百两内已折十两若使每百斤只卖银八两则百两之内所折几何此须先知一百斤之货原值若干乃可重推先从百两折十两得九十为第一率以一 百为第二率以所折十两为第三率依法乗除得百斤原本之数为第四率即以此为重准之第一率内推只卖八两所折为第二率以总数一百为第三率
一 九十两 十一两九之一
二 一百两 三两九之一【第一率内只卖八两则所折者此数】
三 一十两 一百两
四 十一两又九之一【此得百斤正价未折之数】二十八两
问买布五万疋用银一万两纳过课银五百两费过车脚三百两又纳课银二百两又雇船一百两又过闗一百两又食费一千两其费如此必每疋卖银几何然后每疋获息银二钱法以五万为第一率以本价及诸费共一万二千二百两化钱数为第二率以一疋为第三率
一 五万疋
二 十二万二千钱
三 一疋
四 二钱零五十分钱之二十二【此系每疋本银费过之价此外再加二钱其须四钱零五分之十二方得利二钱】问布每疋长四十尺内该抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外贴钱六百文其布价每疋几何此已知抽税者为二十取一也先求三百疋应抽之数数外皆应贴钱此所贴者半疋二十尺之价也倍之得每疋价 一 二十疋 一 二十尺【即半疋】
二 一疋 二 六百文
三 三百疋 三 四十尺
四 一十五疋 四 一千二百文
问有客贩参不记母银几何但云每参六斤价银七钱七分车脚三分又用过牙银二百两是原母三十之一其母银数及参数价数各若干此以价【七钱七分】并车脚【三分】得八钱为首率参六斤为次率其牙银【二百】系母银三十之一以加二倍得母银六千内减牙银余五千八百两为三率得第四率为参总率另以六斤为首率减车价【三分】以七钱七分为次率参总为三率求得第四率为共价其参总率及参价乃六斤所推各以六除得参斤数及每斤价数
一 八钱 六斤【径以首率除二率得每斤价一钱二分八厘三 毫三之一以首率除三率得共参七千二百五十斤】
二 六斤 七钱七分
三 五千八百两 四万三千五百
四 四万三千五百 五千五百八十二两五钱【以减五千八百余二百一十七两五钱是车价】问以银二十二两八钱买黄白蜡均平其黄蜡每三斤价四钱白蜡每一斤价五钱二色之价各若干此以两母子互乗【三五一十五一四如四】并得一十九为首率两母相乗为次率总银为三率求得二色各斤数
一 一两九钱
二 三斤
三 二十二两八钱
四 三十六斤【以价乗白蜡得一十八两以价乗黄蜡四除之得四两八钱】问饭僧不知人数初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米与僧各若干法用重测先置子母互乗【九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十】并之【一千七十】为首率两母相乗【四千五百】为次率共米为三率得僧数乃以僧数为三率各以子乗母余得二日米数
一 一千七十 五 九
二 四千五百 八 七
三 三十二石一斗 一千三百五十 一千三百五十四 一千三百五十僧 二十一石六斗 一十石五斗