[Omne vocabulo es inflexibile.
Vocabulario latino commune, qui contine nominativo et genitivo de nomen,
infinito de verbo, contine omne vocabulo de hic Nota, aut identico, aut
cum abbreviatione:
a) Si termina in _-a_, muta _-a_ in _-are_, vel in _-ari_, et es
infinito de verbo.
b) Si termina in _-e_, muta _-e_ in _-ere_, vel _-i_, et es infinito de
verbo;
vel muta _-e_ in _-is_ et es genitivo de nomen,
» » » _-es_ et es nominativo de nomen.
In loco de _me_, _te_, _aliquo_, quaere _ego_, _tu_, _aliquis_.
c) Si termina in _-i_, muta _-i_ in _-ire_, vel _-iri_, et es infinito
de verbo.
d) Si termina in _-o_, muta _-o_ in _-us_ _-um_ _-u_, et est nominativo
de nomen, vel muta _-o_ in _-i_ et es genitivo de nomen.
e) _es_ quaere _sum_, _esse_.]
Aliquo auctore introduce numero negativo, fracto et imaginario, ut
applicatione de regula, qui ille dice "principio de permanentia". Hic
principio varia aliquanto prope diverso auctore.
Prof. SCHUBERT, in _Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften_,
t. 1, p. 11, expone hic principio sub forma claro sed erroneo. Ille
dice:
«_Princip der Permanenz_ in viererlei besteht:
«erstens darin, jeder Zeichen-Verknüpfung, die keine der bis dahin
definierten Zahlen darstellt, einen solchen Sinn zu erteilen, dass die
Verknüpfung nach denselben Regeln behandelt werden darf, als stellte sie
eine der bis dahin definierten Zahlen dar;
«zweitens darin, eine solche Verknüpfung als Zahl im erweiterten Sinne
des Wortes zu definieren und dadurch den Begriff der Zahl zu erweitern;
«drittens darin, zu beweisen, dass für die Zahlen im erweiterten Sinne
dieselben Sätze gelten, wie für die Zahlen im noch nicht erweiterten
Sinne;
«viertens darin, zu definieren, was im erweiterten Zahlengebiet gleich,
grösser und kleiner heisst».
Versione:
«Principio de permanentia ex quatuor articulo consta:
«1. ad omne signo-reunione(3) qui non repraesenta numero qui nos ante
defini, nos tribue tale senso, ut nos posse tracta reunione juxta idem
regula, velut si hic reunione repraesenta numero, qui nos ante defini;
«2. nos defini hic reunione ut numero, in lato senso de vocabulo, et ita
nos extende idea de numero;
«3. nos demonstra quod per numero in lato senso omne theorema vale, ut
per numero in non lato senso;
«4. nos defini, quod in campo de numero lato nos voca aequale, maiore et
minore».
(4) Vide «Latino sine flexione» § 6 j).
Si omne regula et omne theorema super numero in senso non lato subsiste
super numero in senso lato, necesse es ut numero in senso lato es
identico ad numero in senso non lato. Nam duo ente es inter se aequale,
si omne proprietate de uno es quoque proprietate de alio. Hoc es ipse
definitione de aequalitate:
«Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest, salva
veritate» (Leibniz, vide Formulario § 2, P4·3) quod me traduce: «Plure
ente es idem, si nos posse substitue uno de ille in loco de altero, et
veritate (de propositione) es salvo».
Quum nos trans-i ab uno specie de numero ad specie magis lato, semper
debe omitte aliquo proprietate.
Relatione a + b > a es vero per numero absoluto, falso per numero cum
signo.
Si nos trans-i ab numero imaginario simplice ad quaternione, nos omitte
proprietate commutativo de producto.
Ergo definitione, qui nostro auctore da de 0, de numero negativo, de
fracto, etc. basa super principio absurdo. Hic definitione non es
legitimo.
* * * * *
Nos repete idem critica ad _Elementare Arithmetik und Algebra_ de ipse
Prof. SCHUBERT (Leipzig a. 1899, pag. 33) qui enuntia ipse principio cum
primo et secundo articulo.
* * * * *
HANKEL, _Theorie der Complexen Zahlensysteme_, Leipzig, a. 1867, quum
nancisce «principio de permanentia de lege formale», dice in pagina 5:
«Wenn b > c ist, ... die Subtraction ist ... unmöglich. Nichts hindert
uns jedoch, dass wir in diesem Falle die Differenz (c - b) als ein
Zeichen ansehen, welches die Aufgabe [(c - b) + b = c] löst und mit
welchem genau so zu operiren ist, als wenn es eine numerische Zahl aus
der Reihe 1, 2, 3 ... wäre».
Versione: «Si b > c es, subtractione es ne-possibile. Nihil obsta tamen,
quod nos in hic caso considera differentia (c - b) ut signo, qui resolve
quaestio, et cum qui exacte nos debe opera, ut si ille numero ex serie
1, 2, 3, ... es».
Contra hic modo de ratiocinio Gauss antea dice:
«Quodsi quis dicat, triangulum rectilineum aequilaterum rectangulum
impossibile esse, nemo erit qui neget. At si tale triangulum impossibile
tanquam novum triangulorum genus contemplari, aliasque triangulorum
proprietates ad illud applicare voluerit, ecquis risum teneat? Hoc esset
verbis ludere seu potius abuti». (Formul. pag. 219). Versione:
«Si aliquo dice quod triangulo rectilineo aequilatero rectangulo
impossibile es, nemo tunc es qui nega. Sed si aliquo velle contempla
tale triangulo impossibile tanquam novo genere de triangulo, et applica
ad illo omne alio proprietate de triangulo, an qui tene riso? Hoc es
lude cum verbo, vel potius abute».
* * * * *
Prof. CHRISTAL, _Algebra_, Edinburgh a. 1889, p. 6, re-dice idea de
Hankel:
«Assuming that the quantity +a - b always exists, we may show that the
laws of commutation and association hold».
Versione:
«Si nos assume quod quantitas +a - b semper existe, posse monstra quod
lege de commutatio et associatio mane».(4)
(5) Nota analogia grammaticale de «show» cum «monstra».
Hoc es, si nos assume absurdo, non solo nos posse deduce lege de
commutatione, sed omne lege qui nos velle, nam ex absurdo omne
consequentia deriva.
Non sub forma de principio absoluto, sed sub forma de consilio, lice
quod nos dice:
«Quum nos introduce novo calculo, es multo utile quod nos sume
nomenclatura et notatione ita ut novo calculo fie quam maxime simile ad
calculo antiquo».
Me dice «quam maxime simile»; «identico» es absurdo.
Ita Algebra, qui indica cum idem signo +, ×, = ... operatione non solo
inter numero integro, sed etiam inter fracto, es magno progresso super
longo methodo de antiquo graeco; Algebra reduce toto libro X de Euclide,
noto per magnitudine et difficultate, ad uno pagina, qui professore sole
doce in uno lectione in Instituto tecnico (Vide Formul. p. 111).
In saeculo ultimo plure auctore indica cum idem signo +, sive summa de
algebra, sive resultante de vectore, et ita construe Calculo geometrico,
qui in respecto ad Geometria, es idem progresso quam Algebra in respecto
de Arithmetica graeco.
Tunc principio de permanentia idem es ac principio generale de
oeconomia, qui subsiste in linguistica, didactica et politica, ut
demonstra E. MACH, in capitulo de «natura oeconomico de progresso
physico» de _Populär-wissenschaftliche Vorlesungen_, Leipzig a. 1903.