钦定四库全书
勾股引卷五
海宁 陈訏 撰
象限线度总目
正 正切 正割 正矢【以余减全】
余 余切 余割 余矢【以正减全】
平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】
初
一 八八
二 八七
三 八六
四 八五
五 八四
六 八三
七 八二
八 八一
九 八十
十 七九
十一 七八
十二 七七
十三 七六
十四 七五
十五 七四
十六 七三
十七 七二
十八 七一
十九 七十
二十 六九
二一 六八
二二 六七
二三 六六
二四 六五
二五 六四
二六 六三
二七 六二
二八 六一
二九 六十
三十 五九
三一 五八
三二 五七
三三 五六
三四 五五
三五 五四
三六 五三
三七 五二
三八 五一
三九 五十
四十 四九
四一 四八
四二 四七
四三 四六
四四 四五
求弧度之分秒
如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>
钦定四库全书 子部六
勾股矩测解原 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股矩测解原二卷
国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也
本朝
御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
句股矩测解原卷上 余姚黄百家撰
矩度图
解矩度
或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目
解表影
凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解矩度表影
矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中
解物影
矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解两影消长【即变影】
日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也
句股矩测解原卷上
钦定四库全书
句股矩测解原卷下 余姚黄百家撰以影测高
以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物髙在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之
假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物髙四十八尺
解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也
假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺
解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也
重矩
单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩
假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物髙亦一也今以影较为矩度股之句表间为物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测髙术量足至物之数故与矩度相乗而得物髙此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影
以目测高
不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测髙术同不另具假令与图
解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论髙深广逺俱可入算不爽毫厘
变影
前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】
假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也
假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全髙一十三尺三寸三分
陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望髙之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约畧其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望髙然后以矩之甲角渐运渐髙其权线之切于一度者必矩之甲角髙于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角髙于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉髙十二尺如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即权线之影髙一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之髙为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之髙十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测髙观亦可以作容方求余句余股观【言图未载】
解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测髙于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐髙而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳
测深测广
用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是
假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺
假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二
解曰测深亦以小句股与句求股也故与测髙同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从髙望逺测逺为广】
测逺
从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算
假如髙六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度【十二】与髙【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺
右二则俱从髙测逺其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从髙测逺同不另立假如
解曰测逺者以小句股与股求句也视测髙之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从髙至逺斜望数也
句股矩测解原卷下
<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>
钦定四库全书 子部六
少广补遗 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案少广补遗一卷
国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反覆相求各立一法虽图説未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
少广补遗
海宁陈世仁撰
少广补遗第一篇
凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖
置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数
二立尖
置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数
三倍尖
除原实末必五数进一十除之得本数之底数
四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】
置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数
五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】
置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数 从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数
六抽竒平尖
置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数
七抽偶平尖
置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数
八抽偶数立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之】
以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数
九抽竒数立尖
三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数
十抽竒偶数方尖
前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数
十一抽偶再乘尖
二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数
十二抽竒再乘尖
二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数
少广补遗第二篇
开抽竒抽偶立尖
一本尖内层数偶者去之
置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数
二本尖诸层内数偶者去之
原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数
三本尖内层数竒者去之
一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数
四本尖诸层内数竒者去之
原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数
少广补遗第三篇
准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形 诸尖先得径数以法算得底数一平尖
径之半平方加半纵减原实为正实 以径除正实得数径数加之
二抽竒平尖
径之平方加一縦减原实为正实 径除正实得数倍径加之
三抽偶平尖
径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之
四立尖
径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之 径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之
五方尖【诸数自乗依根数序次相并】
四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实 径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之
少广补遗第四篇
开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数
一抽偶立尖【本尖内层数偶者去之】
置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实 径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之 径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之
二抽偶立尖之二【本尖内层数及诸层内数偶者皆去之】
置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之
三抽竒立尖【本尖内层数竒者去之】
置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之 径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之
四抽竒立尖之二【本尖内层数及诸层内数竒者皆去之】
以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之
五抽竒偶方尖【诸自乗数依根数竒偶序次相并】
置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实 径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之
少广补遗第五篇
开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数
其一得径偶
径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实 以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除
正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之 半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之 如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条
如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之 半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之
其一得径竒
置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实 置径减一而二除之为法分法之竒偶御之 法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之 偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之 凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之 余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准
少广补遗第六篇
开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之 先得径数以法算得底数
其一得径偶
置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之 半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之 上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条
置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实 以半径除半正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之 半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之
其一得径竒
置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实 复置径减一折半为法视法之竒偶分御之 法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率 法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率 凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之
少广补遗第七篇
准本章多乘方以立尖形律余尖得四法
一方尖准立尖
如数一 一四 一四九
一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数
二抽偶方尖准立尖
三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数
三抽竒方尖准立尖
三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数
四立尖还准立尖
如数一 一一二 一一二一二三
六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数
少广补开尖法设如
第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条
平尖设如 原数六
倍数一十二 带一縦方根三
尖之实 一 二 三
立尖设如 原数十
六因数六十 阙一縦立方根四 减一得三
尖之实 一 一二 一二三
倍尖设如 原数七
二除数三五 末五进一十除得四
尖之实 一 二 四
方尖设如 原数十四
三因数四十二 立方二十七 平方九 半平方四五 半方根一五
尖之实 一 四 九
再乘尖设如 原数三十六
二除数十八 内复减原实余一四四 平方根十二带一縦方收得三 三数逆至尖得中数二二乘三
得六
尖之实 一 八 二十七
再乘尖又设如 原数一百
二除数五十 复减原实余四 平方根二十 一縦方收得四 四数逆至尖得对数二 加五数于对数之次得二五四因二五得十
尖之实 一 八 二十七 六十四
抽竒平尖设如 原数十二
一縦方根三 对数三全数六
尖之实 二 四 六
抽偶平尖设如 原数九
平方根三 中数三全数五
尖之实 一 三 五
抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如 原数十四
方尖法开之得三 中数三全数五
尖之实 一 一三 一三五
抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如 原数二十
三因数六十 阙一縦立方根四 四减一得三 对数三全数六
尖之实 二 二四 二四六
抽竒偶数方尖设如原数三十五
六因数二百一十 阙一縦立方根六 六减一得五全数五中数三
尖之实 一 九 二十五
又设如 原数五十六
六因数三百三十六 阙一縦立方根七 七减一得六 全数六对数三
尖之实 四 十六 三十六
抽偶再乘尖设如 原数一百五十三
二除数七六五 阙半縦平方根九 复方之三 中数三全数五
尖之实 一 二十七 一百二十五
抽竒再乘尖设如 原数二百八十八
二除数百四十四 平方根十二 复方之一縦三对数三全数六
尖之实 八 六十四 二百一十六
第二开抽偶抽竒立尖
木尖内层数偶者去之设如 原数二十二
加二得数二百六十四 立方二百一十六 平方三十六 半平方阙一縦十二 方根减一得五折半得三
尖之实 一 一二三 一二三四五
本尖诸层内数偶者去之设如 原数六
就位加五得数九 立方八 半方根一 方根五除得四 四减一得三
尖之实 一 一 一三
又设如 原数十
就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三
尖之实 一 一 一三 一三
本尖内层数竒者去之设如 原数三十四
加二得数四百零八 立方三百四十三 平方四十九 余縦二八一十六 方根七减一得六縦限二益一得三
尖之实 一二 一二三四 一二三四五六本尖诸层内数竒者去之设如 原数十六
就位加五得二十四 阙一縦立方根三 方根减一以五除之得四
尖之实 二 二 二四 二四
又设如 原数十
就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三
尖之实 二 二 二四
第三准本章縦诸方开三角及诸尖之半积似三角一钝角形
平尖设如 原数二十四 径三
减六得十八 三除十八得六 加三得九
尖之实 七 八 九
抽竒平尖设如 原数十八 径三
减十二得六 三除六得二 加六得八
尖之实 四 六 八
抽偶平尖设如 原数二十七 径三
减九得十八 六除十八得三加三得六 五除六减一得十一
尖之实 七 九 十一
立尖设如 原数三十一 径三
减一十得二十一 三除二十一得七 七加三得十半平方加半縦开十得四 四加一得五
尖之实 一二三 一二三四 一二三四五又设如 原数二十五 径二
减四得二十一 加四仍二十五 平方根五
尖之实 一二三四 一二三四五
方尖设如 原数五十 径三
四因数二百 减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二折半得五
尖之实 九 十六 二十五
第四开三角及诸尖半积
抽偶立尖原注本尖内层数偶者去之设如原数四十九 径三
减二十二得二十七 三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七
尖之实 一二三 一二三四五 一二三四五六七
又设如 原数二十一 径二
减七得十四 复加六得二十 一縦方根四并一得五
尖之实 一二三 一二三四五
抽偶立尖原注本尖内层数及诸层内数偶者皆去之设如 原数五十 径三
减一十四得三十六 三除三十六得十二并四得十六 平方根四 五除方根四减一得七并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七九又设如 原数四十一 径二
减五得三十六 并五仍四十一 四十一减一而二除之数二十得一縦方根四 五除四加一得九
尖之实 一三五七 一三五七九
抽竒立尖原注本尖内层数竒者去之设如原数六十七 径三
减三十四得三十三 三除三十三得十一并十得二十一 半方半縦开之得六并二得八
尖之实 一二三四 一二三四五六 一二三四五六七八
又设如 原数三十一 径二
减一十三得十八 并十二得三十 一縦方根五并一得六
尖之实 一二三四 一二三四五六
抽竒立尖原注本尖内层数及诸层内数竒者皆去之设如 原数六十二 径三
减二十得四十二 三除四十二得十四并六得二十一縦方根四 二因四得八并二得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八十又设如 原数五十 径二
减八得四十二 并八仍得五十 五十减二而二除之得二十四 二縦方根四 五除四加二得十
尖之实 二四六八 二四六八十
抽竒偶数方尖设如 原数一百五十五 径三
减五十六得九十九 三除九十九得三十三加十六得四十九 平方根七并二得九
尖之实 二十五 四十九 八十一
又设如 原数二百 径三
减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二得十
尖之实 三十六 六十四 一百
第五开抽偶立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数偶者皆去之
先得径偶设如 原数一百 径六
减二十八得七十二 三除七十二得二十四并八得三十二 二除三十二得十六方之得四 五除四减一得七并二得九
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又设如 原数五十 径四
减十得四十 二除四十得二十 二十并五得二十五减一而半之得十二 一縦方根三倍三得六六减一得五并二得七
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七
先得径偶次条设如 原数六十六 径四
减十八得四十八 二除四十八得二十四半之得十二并四得十六 平方根四 五除四减一并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
又设如 原数一百二十七 径六
减四十三得八十四 三除八十四得二十八并十三减一得四十 二除四十得二十一縦方根得四五除四减一并四得十一
尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九 一三五七九十一先得径竒设如 原数一百六十三 径七
倍数三百二十六 减二十得三百零六 三除三百零六得百零二并四得百零六 平方开百得十存余实六加五得九 平方开九得三 五除三减一与前方十较之合赢绌率 五并六得十一
尖之实 一三五 一三五七 一三五七一三五七九 一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一
又设如 原数二百零三 径七
倍数四百零六 减二十得三百八十六 三除三百八十六得一百二十八余剰实二 一百二十八并四得百三十二 平方开百二十一得十一余实十一以一五因之并前剰实之半不可方 退方根商一百得方十余实三十二 三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七 五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三
尖之实 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七
九十一 一三五七九十一十三
又设如 原数九十一 径五
倍数一百八十二 减四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十 平方开八十一得九余实九方根得三 五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九
尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又设如 原数七十五 径五
倍数一百五十 减四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四 平方开六十四得八余实一十不可方 退方根商四十九得七余实二十五方根得五 五除五减一与前方较之合赢绌率得九
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
法外设如 原数四十一 径三
倍数八十二 平方商六十四得八 余实十八折半得九方之得三 五除三减一与八较之合赢绌率并二得七
尖之实 一三五 一三五七 一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之
先得径偶设如 原数一百二十四 径六
减四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 二縦方根八 八并二得十尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数一百 径四
减十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十
尖之实 二四六八 二四六八 二四六八十二四六八十
先得径偶次条设如 原数一百五十四 径六
减五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又设如 原数八十二 径四
减二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 二縦方根八并二得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
先得径竒设如 原数一百九十六 径七
减十六得一百八十 一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八二縦方开百二十得十存余实八 六因八得四十八二縦方根得六与前方较之合赢绌率 六并六得一十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二
又设如 原数一百六十六 径七
减十六得一百五十 一百五十减五得一百并八得一百零八 二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为二縦方 退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八 二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二
又设如 原数一百十二 径五
减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二 四因十二得四十八二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数九十四 径五
减四得数九十 并四仍九十四 平方开八十一得九余实十三以四因之不可为二縦方 退方根商六十四得八余实三十 四因三十得百二十二縦方除之较前方合赢绌率得十
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
法外设如 原数四十四 径三
五除四十四得八十八 带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方 带二縦方商六十三得根数竒 商四十八得根数六余实四十 二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实 二四六 二四六 二四六八
第七准本章多乗方依立尖形推余尖
方尖准立尖设如 原数二十
一十二因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六 复方之四减一得三
尖之实 一 一四 一四九
抽偶立尖准立尖设如 原数四十六
三因数一百三十八 阙半縦平方根十二 复带一縦方之三 五除三 一得五
尖之实 一 一九 一九二十五
抽竒方尖准立尖设如 原数八十
三因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六复方之四 四减一得三倍之得六
尖之实 四 四十六 四十六三十六
立尖还准立尖设如 原数十五
六因数九十 带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四 四减一得三
尖之实 一 一一二 一一二一二三
少广补开尖法覈原
开正尖全积二十法设各就本尖用之
平尖法一之一 尖一
倍数二 带一縦方根一
立尖法一之二 尖一
因数六 阙一縦立方根二 减一得一
倍尖法一之三 尖一
二除数五 进五作十除得一
方尖法一之四 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根
再乘尖法一之五 尖一
二除数五 减原实余四 平方根二 复除带一縦方一
抽竒平尖法一之六 尖二
带一縦方根一 对数一全数二
抽偶平尖法一之七 尖一
平方根一
抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之 尖二
因数六 阙一縦立方根二 减一得二之对数
抽竒偶数方尖法一之十 尖一
因数六 阙一縦立方根二 二减一即一
又尖四
因数二十四 阙一縦立方根三 三减一数二
抽偶再乘尖法一之十一 尖一
二除数五 阙半縦平方根一 复方之亦一
抽竒再乘尖法一之十二 尖八
二除数四 平方根二 复带一縦方之一 对数一全数二
抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一
加二数十二 方体八 方面四 半方面应阙一縦今阙 二减一得一
抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二 尖一
就位加五数一五 方体一 半方根五 五除一得二减一复一
又尖一 一
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一复一
抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二
加二数三十六 方体二十七 方面九 縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空 三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四 尖二二
就位加五数六 阙一縦立方根二 二减一得一以五除之复二
又尖二
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一亦一
方尖准立尖法七之一 尖一
加二数十二 带一縦方根三 三益一得四复方之得二 二减一即一
抽偶方尖准立尖法七之二 尖一
倍数三 阙半縦平方根二复带一縦方之一 二因一减一亦一
抽竒方尖准立尖法七之三 尖四
三倍数十二 带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二 减一亦一
立尖还准立尖法七之四 尖一
因数六带一縦方根二 二益一得三倍之得六复除带一縦方得二 二减一即一
少广补遗
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书 子部六
庄氏算学 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案庄氏算学八卷
国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大防皆遵
御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案
御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书