甲寅象限弧 甲乙半径全数
为首率
丙寅弧之正丙辛为一率
丁寅弧之正丁庚为三率
戊己为四率
二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除
丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧其余辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即
四率【其壬子壬丑皆与戊己等】 此因总弧
不及象限故以两余相减
甲寅象限弧甲乙半径全数
为首率
丙寅弧之正丙辛为二率
丁寅弧之正丁庚为三率
戊己为四率
以上皆与前同
丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余卯辰【即子癸】 丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧其余丑癸
以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求
此因总弧过象限故以两余相加
今订本书之譌
甲寅皆象限弧 甲乙半径
一○○○○○为首率
丙辛○五九九九五为二率
丁庚○二五○一○为三率
以三率法取之得○一五○
○四为四率
今用加减法
以丙辛线为正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余○六二四五六如辰卯【即子癸】
又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余○九二四六六如丑癸
因总弧小于象限当以两余相减其较○三○○一○如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率 此所得与三率所推但有微差而不相逺
按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣
又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余又必用中比例三也两余有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其防而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余相加减而半之者即初得数也然彼以两正相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故
甲寅象限弧 乙丙半径为首率
丙寅弧之正丙辛为次率
丙丑弧之正丑戊为三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】
论曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与
丙辛乙句股形相似故其比例
等法为乙丙与丙辛若丑戊与
丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】
又论曰凡两十字垂线相交作
句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正与丙乙半径相交于戊防一十字也辰午线【辰寅弧之正也】丑癸线【丑寅弧之余】相交于子防一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣
解曰乙丙首率半径也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯则总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余两余相减其较为子丑【子癸同辰卯故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也
如此以量法代算法的确不易但细数难分耳
若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】
酉辰为存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小于总弧今则总弧正小于存弧正大则余小正小则余反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也
又按壬丑即初得数也两正相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余相加减而半之成初得数省两正乗矣又以初得数去减余成次得数省两余乗矣
两余加减例
凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余相减 若存弧在象限内总弧在象限外则两余相加
初得数减余弧例
凡存弧之正小于总弧即用存弧之余在位以初得数减之余为次得数 若总弧之正小于存弧即用总弧之余在位以初得数减之余为次得数盖
小者余大其余内
皆兼有初得次得两数详
见环中黍尺
甲寅象限弧 乙丙半径
为首率
丙寅弧之正【丙辛】为次率
丙丑弧之正丑戊为三
率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】
求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】
以上皆与前图同
论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】
解曰乙丙首率半径全数也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余也两余相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余】子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也