e 30 15 h 45 15
~- = -- = --~ und ~- = -- = --~.
f 32 16 c 48 16
Schaltet man zwischen ~c~ und ~d~ einen halben Ton ein, ~cis~, so ist
seine Schwingungszahl
16
24 · -- = 25,6
15
und setzt man nach ~cis~ wieder einen halben Ton vom Verhältnis
16
--,
15
so würde seine Schwingungszahl
16
25,6 · -- = 27,3
15
also höher als ~d~; es sind also die Intervalle der zwei halben Töne
zwischen ~c~ und ~d~, ~f~ und ~g~, ^a^ und ~h~ kleiner als der halbe Ton
zwischen ~e~ und ~f~.
Noch größer wird der Unterschied, wenn man zwischen die kleinen ganzen
Töne halbe Töne einschaltet.
Die Schwingungsverhältnisse der Töne der ~Dur~-Tonleiter sind:
~c d e f g a h c̅~
9 10 16 9 10 9 16
Grundton, -, --, --, -, --, -, --,
8 9 15 8 9 8 15
und diese Verhältnisse gelten nicht bloß für die ~c-dur~-Tonleiter,
sondern für jede über einem beliebigen Grundton aufgebaute Tonleiter.
Wenn also der Musiker rein spielen will, so muß die diesen Verhältnissen
entsprechende Aufeinanderfolge von großen und kleinen ganzen Tönen und
von halben Tönen der angegebenen Größe stattfinden. Der Musiker achtet
auch hierauf beim Singen und Geigen; aber bei Klavier und Orgel,
wo die Bildung der Tonhöhe nicht in seiner Hand liegt, würden
Unzuträglichkeiten entstehen, sobald man aus einer anderen Tonart
spielt. Ist z. B. auf der Orgel die ~c-dur~-Tonleiter den angegebenen
Verhältnissen gemäß gestimmt, so kann man auf ihr in ~c-dur~ rein
spielen; geht man aber nach ~g-dur~ über, so muß zunächst ~f~ um einen
halben Ton erhöht und durch ~fis~ ersetzt werden.
Aber die Tonleiter wäre noch nicht rein; denn schon das erste Intervall
~g : a~ ist ein kleiner ganzer Ton, während es ein großer sein sollte,
und das umgekehrte findet beim nächsten Intervall ~a : h~ statt.
Ähnliches findet statt, wenn man auf noch andere Tonarten übergeht. Wenn
man also auf der Orgel die Töne für eine Tonleiter genau richtig macht,
so passen sie nicht ganz für die anderen Tonarten.
Diesen Übelstand kann man vermindern dadurch, daß man auf ganz reine
Stimmung überhaupt verzichtet und eine Universalskala einführt, welche
für jede Tonart gleich gut, wenn auch für keine vollkommen paßt. Man
teilt nämlich das Schwingungsverhältnis der Oktave (2 : 1) in 12 gleiche
Intervalle, so daß jeder folgende halbe Ton gleich vielmal öfter
schwingt als der vorhergehende, also ^gleichschwebende Temperatur^ hat.
Ein halber Ton hat also das konstante Schwingungsverhältnis ¹²√2,
welches nahezu =
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-- · ---
15 148
ist, sich also auch vom halben Tone sehr wenig unterscheidet. Die so
erhaltenen halben Töne benützt man zur Bildung jeder Tonart. Hiebei
werden die Oktaven natürlich alle ganz rein, und die Quinten und Quarten
fast vollkommen rein; dagegen weichen die Terzen und Sexten von den
reinen Intervallen beträchtlicher ab, jedoch um weniger als ein Komma.
Aus den angegebenen Schwingungsverhältnissen musikalischer Töne erkennt
man das Gesetz, daß uns das Zusammenklingen zweier oder mehrerer
Töne nur dann eine angenehme Empfindung verursacht, wenn die
Schwingungszahlen in einem durch kleine ganze Zahlen ausdrückbaren
Verhältnisse stehen (oder nur sehr wenig davon abweichen wie
bei der gleichschwebenden Temperatur). Zwei Töne, welche im
Schwingungsverhältnis 1 : 2 stehen, wie Grundton und Oktave geben also
den einfachsten Zusammenklang, die vollkommenste Harmonie.
Quinte, Quarte und Terz, als Zweiklänge, und den bekannten
~Dur~-Dreiklang fühlen wir als harmonische Zusammenklänge und ihre
Schwingungsverhältnisse sind auch durch einfache Zahlen ausgedrückt. Je
größer diese Verhältniszahlen werden, um so unangenehmer wirkt der
Zusammenklang auf unser Ohr, derart, daß wir den Zusammenklang als
unbefriedigend empfinden, als etwas, das der Auflösung bedarf, oder daß
wir ihn sogar als Disharmonie empfinden, die das Ohr beleidigt.