[Illustration]
+Braunschweig+
+Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn+
+1917+
Herausgeber dieses Heftes ist
Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. +Karl Scheel+
+Alle Rechte vorbehalten+
Vorwort.
Das vorliegende Büchlein soll solchen eine möglichst exakte Einsicht
in die Relativitätstheorie vermitteln, die sich vom allgemein
wissenschaftlichen, philosophischen Standpunkt für die Theorie
interessieren, ohne den mathematischen Apparat[1] der theoretischen
Physik zu beherrschen. Die Lektüre setzt etwa Maturitätsbildung und —
trotz der Kürze des Büchleins — ziemlich viel Geduld und Willenskraft
beim Leser voraus. Der Verfasser hat sich die größte Mühe gegeben,
die Hauptgedanken möglichst deutlich und einfach vorzubringen, im
ganzen in solcher Reihenfolge und in solchem Zusammenhange, wie sie
tatsächlich entstanden sind. Im Interesse der Deutlichkeit erschien
es mir unvermeidlich, mich oft zu wiederholen, ohne auf die Eleganz
der Darstellung die geringste Rücksicht zu nehmen; ich hielt mich
gewissenhaft an die Vorschrift des genialen Theoretikers +L.
Boltzmann+, man solle die Eleganz Sache der Schneider und Schuster sein
lassen. Schwierigkeiten, die in der Sache begründet liegen, glaube ich
dem Leser nicht vorenthalten zu haben. Dagegen habe ich die empirischen
physikalischen Unterlagen der Theorie absichtlich stiefmütterlich
behandelt, damit es dem der Physik ferner stehenden Leser nicht ergehe
wie dem Wanderer, der vor lauter Bäumen keinen Wald sieht. Möge das
Büchlein manchem einige frohe Stunden der Anregung bringen!
Dezember 1916.
+A. Einstein.+
[1] Die mathematischen Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie
findet man in den bei B. G. Teubner in der Monographiensammlung
„Fortschritte der mathematischen Wissenschaften“ unter dem Titel
„Das Relativitätsprinzip“ erschienenen Originalabhandlungen von
+H. A. Lorentz+, +A. Einstein+, +H. Minkowski+, sowie in +M.
Laue+s ausführlichem Buche „Das Relativitätsprinzip“ (Verlag
von Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig). Die allgemeine
Relativitätstheorie nebst den zugehörigen mathematischen
Hilfsmitteln der Invariantentheorie ist in der Broschüre des
Verfassers, „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“
(Joh. Ambr. Barth, 1916) behandelt; diese Broschüre setzt einige
Vertrautheit mit der speziellen Relativitätstheorie voraus.
Erster Teil.
Über die spezielle Relativitätstheorie.
§ 1. Physikalischer Inhalt geometrischer Sätze.
Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem
stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und
erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen
Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in
ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser
deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das
abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber
dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn
dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese
Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen.
Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt,
Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu
verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen),
die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt
sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode,
deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene
Axiome zurückgeführt, d. h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw.
„wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet
ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze
führt also zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome.
Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die
Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich
ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei
Punkte nur +eine+ Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die
Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und
denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig
bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der
reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets
die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen
pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer
Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem
logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander.
Daß wir uns trotzdem dazu hingezogen fühlen, die Sätze der Geometrie
als „wahr“ zu bezeichnen, erklärt sich leicht. Den geometrischen
Begriffen entsprechen mehr oder weniger exakt Gegenstände in der
Natur, welch letztere ohne Zweifel die alleinige Ursache für die
Entstehung jener Begriffe sind. Mag die Geometrie, um ihrem Gebäude
die größtmögliche logische Geschlossenheit zu geben, hiervon Abstand
nehmen; die Gewohnheit, beispielsweise in einer Strecke zwei markierte
Stellen auf +einem+ praktisch starren Körper zu sehen, steckt tief
in unseren Denkgewohnheiten. Wir sind ferner gewohnt, drei Orte als
auf einer Geraden befindlich anzunehmen, wenn wir ihre scheinbaren
Sehorte durch passende Wahl des Beobachtungsortes bei einäugigem Sehen
zusammenfallen lassen können.
Wenn wir nun, der Denkgewohnheit folgend, den Sätzen der Euklidischen
Geometrie den einzigen Satz zufügen, daß zwei Punkten eines praktisch
starren Körpers stets die nämliche Entfernung (Strecke) entspreche, was
für Lagenänderungen wir auch mit dem Körper vornehmen mögen, so werden
aus den Sätzen der euklidischen Geometrie Sätze über die mögliche
relative Lagerung praktisch starrer Körper[2]. Die so ergänzte
Geometrie ist dann als ein Zweig der Physik zu behandeln. Jetzt kann
mit Recht nach der „Wahrheit“ so interpretierter geometrischer Sätze
gefragt werden, denn es kann gefragt werden, ob jene Sätze zutreffen
für diejenigen realen Dinge, welche wir den geometrischen Begriffen
zugeordnet haben. Etwas ungenau können wir also sagen, daß wir unter
der „Wahrheit“ eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein
Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen.
Die Überzeugung von der „Wahrheit“ der geometrischen Sätze in diesem
Sinne beruht natürlich ausschließlich auf ziemlich unvollkommenen
Erfahrungen. Wir werden jene Wahrheit der geometrischen Sätze zunächst
voraussetzen, um dann im letzten Teile unserer Betrachtungen (bei der
allgemeinen Relativitätstheorie) zu sehen, daß und inwiefern jene
Wahrheit ihre Grenzen hat.
§ 2. Das Koordinatensystem.
Auf Grund der angedeuteten physikalischen Interpretation des Abstandes
sind wir auch in der Lage, den Abstand zweier Punkte eines starren
Körpers auf Grund von Messungen festzusetzen. Dazu brauchen wir eine
ein- für allemal zu benutzende Strecke (Stäbchen _S_), welche als
Einheitsmaßstab verwendet wird. Sind nun _A_ und _B_ zwei Punkte eines
starren Körpers, so ist deren Verbindungsgerade konstruierbar nach den
Gesetzen der Geometrie; hierauf kann man auf dieser Verbindungsgeraden
die Strecke _S_ von _A_ aus so oft abtragen, bis man nach _B_ gelangt.
Die Zahl der Wiederholungen des Abtragens ist die Maßzahl der Strecke
_A͞B_. Hierauf beruht alles Messen von Längen[3].
Jede räumliche Beschreibung des Ortes eines Ereignisses oder
Gegenstandes beruht darauf, daß man den Punkt eines starren Körpers
(Bezugskörpers) angibt, mit dem jenes Ereignis koinzidiert. Dies gilt
nicht nur für die wissenschaftliche Beschreibung, sondern auch für
das tägliche Leben. Analysiere ich die Ortsangabe „in Berlin, auf dem
Potsdamer Platz“, so bedeutet sie folgendes. Die Erdoberfläche ist
der starre Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht; auf ihm ist
„Potsdamerplatz in Berlin“ ein markierter, mit Namen versehener Punkt,
mit dem das Ereignis räumlich koinzidiert[4].
Diese primitive Art der Ortsangabe kennt nur Orte an der Oberfläche
starrer Körper und ist an das Vorhandensein unterscheidbarer Punkte
dieser Oberfläche gebunden. Sehen wir zu, wie sich der menschliche
Geist von diesen beiden Beschränkungen befreit, ohne daß das Wesen
der Ortsangabe eine Änderung erfährt! Schwebt beispielsweise über
dem Potsdamer Platz eine Wolke, so kann der Ort dieser, bezogen auf
die Erdoberfläche, dadurch festgelegt werden, daß man auf dem Platze
senkrecht eine Stange errichtet, die bis zur Wolke hinaufreicht. Die
mit dem Einheitsmaßstab gemessene Länge der Stange in Verbindung
mit der Angabe des Ortes des Fußpunktes der Stange ist dann eine
vollständige Ortsangabe. An diesem Beispiele sehen wir, auf welchem
Wege eine Verfeinerung des Ortsbegriffes vor sich gegangen ist.
a) Man setzt den starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht,
in solcher Weise fort, daß der zu lokalisierende Gegenstand von dem
vervollständigten starren Körper erreicht wird.
b) Man benutzt zur Charakterisierung des Ortes die +Zahl+ statt
benannter Merkpunkte (hier die mit dem Maßstab gemessene Länge der
Stange).
c) Man spricht von der Höhe der Wolke auch dann, wenn eine
Stange, welche die Wolke erreicht, gar nicht errichtet ist. In
unserem Falle ermittelt man aus optischen Aufnahmen der Wolke von
verschiedenen Stellen des Bodens aus unter Berücksichtigung der
Ausbreitungseigenschaften des Lichtes, wie lang die Stange gemacht
werden müßte, um die Wolke zu erreichen.
Aus dieser Überlegung sieht man, daß es für die Beschreibung von
Orten vorteilhaft sein wird, wenn es gelingt, sich durch Verwendung
von Meßzahlen von der Existenz mit Namen versehener Merkpunkte auf
dem starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, unabhängig
zu machen. Dies erreicht die messende Physik durch Anwendung des
Kartesischen Koordinatensystems.
Dieses besteht in drei zueinander senkrechten, zu einem starren Körper
verbundenen starren, ebenen Wänden. Der Ort irgendeines Geschehnisses
in bezug auf das Koordinatensystem wird (im wesentlichen) beschrieben
durch die Angabe der Länge der drei Lote oder Koordinaten (_x_, _y_,
_z_), welche von dem Geschehnis aus auf jene drei ebenen Wände gefällt
werden können. Die Längen dieser drei Lote sind durch eine Folge von
Manipulationen mit starren Stäben ermittelbar, welche Manipulationen
durch die Gesetze und Methoden der Euklidischen Geometrie
vorgeschrieben werden.
Bei den Anwendungen sind jene das Koordinatensystem bildenden starren
Wände meist nicht realisiert; auch werden die Koordinaten nicht
wirklich durch Konstruktionen mit starren Stäben, sondern indirekt
ermittelt. Der physikalische Sinn der Ortsangaben muß jedoch stets den
vorstehenden Eröterungen gemäß gesucht werden, wenn die Ergebnisse der
Physik und Astronomie nicht ins Unklare zerfließen sollen[5].
Es ergibt sich also folgendes: Jede räumliche Beschreibung von
Geschehnissen bedient sich eines starren Körpers, auf den die
Geschehnisse räumlich zu beziehen sind. Jene Beziehung setzt voraus,
daß für „Strecken“ die Gesetze der Euklidischen Geometrie gelten, wobei
die „Strecke“ physikalisch repräsentiert wird durch zwei Marken auf
einem starren Körper.
§ 3. Raum und Zeit in der klassischen Mechanik.
Wenn ich ohne schwere Bedenken und eingehende Erläuterungen die Aufgabe
der Mechanik so formuliere: „Die Mechanik hat zu beschreiben, wie die
Körper mit der Zeit ihren Ort im Raume ändern“, so nehme ich einige
Todsünden gegen den heiligen Geist der Klarheit auf mein Gewissen;
diese Sünden sollen zunächst aufgedeckt werden.
Es ist unklar, was hier unter „Ort“ und „Raum“ zu verstehen ist. Ich
stehe am Fenster eines gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagens und
lasse einen Stein auf den Bahndamm fallen, ohne ihm einen Schwung zu
geben. Dann sehe ich (abgesehen vom Einfluß des Luftwiderstandes)
den Stein geradlinig herabfallen. Ein Fußgänger, der die Übeltat vom
Fußwege aus mit ansieht, bemerkt, daß der Stein in einem Parabelbogen
zur Erde herabfällt. Ich frage nun: Liegen die „Orte“, welche der
Stein durchläuft, „in Wirklichkeit“ auf einer Geraden oder auf einer
Parabel? Was bedeutet hier ferner Bewegung „im Raume“? Die Antwort ist
nach den Überlegungen des § 2 selbstverständlich. Zunächst lassen wir
das dunkle Wort „Raum“, unter dem wir uns bei ehrlichem Geständnis
nicht das geringste denken können, ganz beiseite; wir setzen statt
dessen „Bewegung in bezug auf einen praktisch starren Bezugskörper.“
Die Orte in bezug auf den Bezugskörper (Bahnwagen +oder+ Erdboden)
sind im vorigen Paragraphen bereits ausführlich definiert worden.
Indem wir statt „Bezugskörper“ den für die mathematische Beschreibung
nützlichen Begriff „Koordinatensystem“ einführen, können wir sagen:
Der Stein beschreibt in bezug auf ein mit dem Wagen starr verbundenes
Koordinatensystem eine Gerade, in bezug auf ein mit dem Erdboden
starr verbundenes Koordinatensystem eine Parabel. Man sieht an diesem
Beispiel deutlich, daß es eine Bahnkurve an sich nicht gibt, sondern
nur eine Bahnkurve in bezug auf einen bestimmten Bezugskörper.
Eine +vollständige+ Beschreibung der Bewegung kommt aber erst dadurch
zustande, daß man angibt, wie der Körper seinen Ort +mit der Zeit+
ändert; d. h. es muß für jeden Punkt der Bahnkurve angegeben werden,
zu welcher Zeit der Körper sich dort befindet. Diese Angaben müssen
durch eine solche Definition der Zeit vervollständigt werden, daß diese
Zeitwerte kraft jener Definition als prinzipiell beobachtbare Größen
(Resultate von Messungen) angesehen werden können. Dieser Forderung
entsprechen wir — auf dem Boden der klassischen Mechanik stehend — für
unser Beispiel in folgender Weise. Wir denken uns zwei genau gleich
beschaffene Uhren; die eine hat der Mann am Eisenbahnwagenfenster, die
andere der Mann auf dem Fußwege in der Hand. Jeder der beiden stellt
fest, an welcher Stelle des betreffenden Bezugskörpers der Stein sich
gerade befindet, wenn die Uhr tickt, die er in der Hand hat. Dabei
verzichten wir auf ein Eingehen auf die Ungenauigkeit, welche durch die
Endlichkeit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes hereinkommt.
Hiervon und von einer zweiten hier obwaltenden Schwierigkeit wird
später ausführlich die Rede sein.
§ 4. Das Galileische Koordinatensystem.
Bekanntlich lautet das unter dem Namen Trägheitsgesetz bekannte
Grundgesetz der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik: Ein von anderen
Körpern hinreichend entfernter Körper verharrt im Zustande der
Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung. Dieser Satz
sagt nicht nur etwas aus über die Bewegung der Körper, sondern
auch über die in der Mechanik zulässigen Bezugskörper oder
Koordinatensysteme, welche bei der mechanischen Beschreibung
verwendet werden dürfen. Körper, auf welche der Trägheitssatz
sicherlich mit großer Annäherung Anwendung finden kann, sind die
sichtbaren Fixsterne. Benutzen wir nun ein Koordinatensystem,
welches mit der Erde starr verbunden ist, so beschreibt relativ zu
ihm jeder Fixstern im Laufe eines (astronomischen) Tages einen
Kreis von ungeheurem Radius, im Widerspruch mit dem Wortlaut des
Trägheitsgesetzes. Hält man also an diesem Gesetze fest, so darf
man die Bewegungen nur auf Koordinatensysteme beziehen, relativ
zu welchen die Fixsterne keine Kreisbewegungen ausführen. Ein
Koordinatensystem, dessen Bewegungszustand ein solcher ist, daß relativ
zu ihm das Trägheitsgesetz gilt, nennen wir ein „+Galilei+sches
Koordinatensystem.“ Nur für ein +Galilei+sches Koordinatensystem
beanspruchen die Gesetze der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik
Gültigkeit.
§ 5. Das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne).
Wir gehen wieder, um möglichste Anschaulichkeit zu erzielen, von
dem Beispiel des gleichmäßig fahrenden Eisenbahnwagens aus. Seine
Bewegung nennen wir eine gleichförmige Translation („gleichförmig“,
weil von konstanter Geschwindigkeit und Richtung, „Translation“,
weil der Wagen relativ zum Fahrdamm zwar seinen Ort ändert, aber
hierbei keine Drehungen ausführt). Es fliege ein Rabe geradlinig und
gleichförmig — vom Bahndamm aus beurteilt — durch die Luft. Dann ist
— vom fahrenden Wagen aus beurteilt — die Bewegung des Raben zwar
eine Bewegung von anderer Geschwindigkeit und anderer Richtung; aber
sie ist ebenfalls geradlinig und gleichförmig. Abstrakt ausgedrückt:
Bewegt sich eine Masse _m_ geradlinig und gleichförmig in bezug auf
ein Koordinatensystem _K_, so bewegt sie sich auch geradlinig und
gleichförmig in bezug auf ein zweites Koordinatensystem _K′_, falls
letzteres in bezug auf _K_ eine gleichförmige Translationsbewegung
ausführt. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Darlegung des vorigen
Paragraphen:
Ist _K_ ein +Galilei+sches Koordinatensystem, so ist auch jedes andere
Koordinatensystem _K′_ ein +Galilei+sches, wenn _K′_ gegenüber _K_ im
Zustande gleichförmiger Translationsbewegung ist. In bezug auf _K′_
gelten die Gesetze der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik ebenso wie in
bezug auf _K_.
Wir gehen in der Verallgemeinerung noch einen Schritt weiter, indem wir
den Satz aussprechen: Ist _K′_ ein in bezug auf _K_ gleichförmig und
drehungsfrei bewegtes Koordinatensystem, so verläuft das Naturgeschehen
in bezug auf _K′_ nach genau denselben allgemeinen Gesetzen wie in
bezug auf _K_. Diese Aussage nennen wir „Relativitätsprinzip“ (im
engeren Sinne).
Solange man überzeugt war, daß sich alles Naturgeschehen mit Hilfe
der klassischen Mechanik darstellen lasse, konnte man an der
Gültigkeit dieses Relativitätsprinzips nicht zweifeln. Mit der
neueren Entwickelung der Elektrodynamik und Optik aber ward es immer
mehr offenkundig, daß die klassische Mechanik als Grundlage für alle
physikalische Naturbeschreibung nicht zureichend sei. Damit wurde auch
die Frage nach der Gültigkeit des Relativitätsprinzips zu einer wohl
diskutierbaren, und es erschien nicht ausgeschlossen, daß die Antwort
auf diese Frage verneinend sein könnte.
Immerhin gibt es zwei allgemeine Tatsachen, die von vornherein sehr
für die Gültigkeit des Relativitätsprinzips sprechen. Wenn nämlich
die klassische Mechanik auch nicht eine genügend breite Basis für
die theoretische Darstellung +aller+ physikalischen Erscheinungen
liefert, so muß ihr doch ein sehr bedeutender Wahrheitsgehalt zukommen;
denn sie liefert mit bewunderungswürdiger Schärfe die tatsächlichen
Bewegungen der Himmelskörper. Es muß daher auch das Relativitätsprinzip
auf dem Gebiete +der Mechanik+ jedenfalls mit großer Genauigkeit
gelten. Daß aber ein Prinzip von so großer Allgemeinheit, welches
auf einem Erscheinungsgebiete mit solcher Exaktheit gilt, einem
anderen Erscheinungsgebiete gegenüber versage, ist a priori wenig
wahrscheinlich.
Das zweite Argument, auf welches wir später noch zurückkommen
werden, ist folgendes. Wenn das Relativitätsprinzip (im engeren
Sinne) nicht gilt, so werden die relativ zueinander gleichförmig
bewegten +Galilei+schen Koordinatensysteme _K_, _K′_, _K″_ usw.
nicht +gleichwertig+ sein für die Beschreibung des Naturgeschehens.
Dann wäre es kaum anders denkbar, als daß die Naturgesetze besonders
einfach und natürlich sich nur dann formulieren ließen, wenn unter
allen +Galilei+schen Koordinatensystemen +eines+ (_K₀_) von bestimmtem
Bewegungszustande als Bezugskörper gewählt würde. Dieses würden wir
dann mit Recht (wegen seiner Vorzüge für die Naturbeschreibung) als
das „absolut ruhende“ bezeichnen, die übrigen +Galilei+schen Systeme
_K_ aber als „bewegt“. Wäre z. B. unser Bahndamm das System _K₀_,
so wäre unser Eisenbahnwagen ein System _K_, in bezug auf welches
weniger einfache Gesetze gelten würden als in bezug auf _K₀_. Diese
geringere Einfachheit würde darauf zurückzuführen sein, daß der Wagen
_K_ gegen _K₀_ (d. h. „wirklich“) bewegt sei. In diesen in bezug auf
_K_ formulierten allgemeinen Naturgesetzen müßten Größe und Richtung
der Fahrgeschwindigkeit des Wagens eine Rolle spielen. Es wäre z. B. zu
erwarten, daß der Ton einer Orgelpfeife ein anderer wäre, wenn diese
mit ihrer Achse parallel zur Fahrrichtung gestellt wird, als wenn sie
mit ihrer Achse senkrecht zu dieser Richtung gestellt wird. Nun ist
aber unsere Erde wegen ihrer Bahnbewegung um die Sonne einem mit etwa
20 km Geschwindigkeit fahrenden Wagen vergleichbar. Es wäre daher im
Falle der Ungültigkeit des Relativitätsprinzips zu erwarten, daß die
momentane Bewegungsrichtung der Erde in die Naturgesetze eingehe, daß
also die physikalischen Systeme in ihrem Verhalten von der räumlichen
Orientierung gegen die Erde abhängen sollten. Denn wegen der im Laufe
des Jahres stattfindenden Änderung der Richtung der Geschwindigkeit
der Umlaufbewegung der Erde kann diese nicht das ganze Jahr hindurch
relativ zu dem hypothetischen System _K₀_ in Ruhe sein. Bei aller
Sorgfalt hat man aber eine derartige Anisotropie des irdischen
physikalischen Raumes, d. h. eine physikalische Ungleichwertigkeit
der verschiedenen Richtungen, niemals beobachten können. Dies ist ein
schwer wiegendes Argument zugunsten des Relativitätsprinzips.
§ 6. Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen
Mechanik.
Der schon oft betrachtete Eisenbahnwagen fahre mit der konstanten
Geschwindigkeit _v_ auf dem Geleise. Im Eisenbahnwagen durchschreite
ein Mann den Wagen in dessen Längsrichtung, und zwar in Richtung
der Fahrt mit der Geschwindigkeit _w_. Wie rasch bzw. mit welcher
Geschwindigkeit _W_ kommt der Mann relativ zum Bahndamm während des
Gehens vorwärts? Die einzig mögliche Antwort scheint aus folgender
Überlegung zu entspringen:
Würde der Mann eine Sekunde lang still stehen, so käme er relativ zum
Bahndamm um eine der Fahrgeschwindigkeit des Wagens gleiche Strecke _v_
vorwärts. In Wirklichkeit durchmißt er aber außerdem relativ zum Wagen,
also auch relativ zum Bahndamm in dieser Sekunde durch sein Gehen die
Strecke _w_, welche der Geschwindigkeit seines Ganges gleich ist. Er
legt also in der betrachteten Sekunde relativ zum Bahndamm im ganzen
die Strecke
_W_ = _v_ + _w_
zurück. Später werden wir sehen, daß diese Überlegung, welche das
Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik
ausdrückt, nicht aufrecht erhalten werden kann, daß also das soeben
hingeschriebene Gesetz in Wahrheit nicht zutrifft. Einstweilen aber
werden wir auf dessen Richtigkeit bauen.
§ 7. Die scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des
Lichtes mit dem Relativitätsprinzip.
Es gibt kaum ein einfacheres Gesetz in der Physik als dasjenige, gemäß
welchem sich das Licht im leeren Raume fortpflanzt. Jedes Schulkind
weiß oder glaubt zu wissen, daß diese Fortpflanzung geradlinig mit
einer Geschwindigkeit _c_ = 300000 km/Sek. geschieht. Wir wissen
jedenfalls mit großer Exaktheit, daß diese Geschwindigkeit für alle
Farben dieselbe ist; denn wäre dies nicht der Fall, so würde bei
der Bedeckung eines Fixsternes durch seinen dunklen Begleiter das
Emissionsminimum für die verschiedenen Farben nicht gleichzeitig
beobachtet werden. Durch eine ähnliche, an die Beobachtungen der
Doppelsterne sich knüpfende Überlegung konnte der holländische Astronom
+De Sitter+ auch zeigen, daß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
des Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit des das Licht
emittierenden Körpers nicht abhängen kann. Die Annahme, daß diese
Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Richtung „im Raume“ abhänge, ist
an sich unwahrscheinlich.
Kurz, nehmen wir einmal an, das einfache Gesetz von der konstanten
Lichtgeschwindigkeit _c_ (im Vakuum) werde von dem Schulkinde mit Recht
geglaubt! Wer möchte denken, daß dieses simple Gesetz den gewissenhaft
überlegenden Physiker in die größten gedanklichen Schwierigkeiten
gestürzt hat? Diese Schwierigkeiten ergeben sich wie folgt.
Natürlich müssen wir den Vorgang der Lichtausbreitung wie jeden anderen
auf einen starren Bezugskörper (Koordinatensystem) beziehen. Als
solchen wählen wir wieder unseren Bahndamm. Die Luft über demselben
wollen wir uns weggepumpt denken. Längs des Bahndammes werde ein
Lichtstrahl gesandt, dessen Scheitel sich nach dem vorigen mit der
Geschwindigkeit _c_ relativ zum Bahndamme fortpflanzt. Auf dem
Geleise fahre wieder unser Eisenbahnwagen mit der Geschwindigkeit
_v_, und zwar in derselben Richtung, in der sich der Lichtstrahl
fortpflanzt, aber natürlich viel langsamer. Wir fragen nach der
Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum
Wagen. Es ist leicht ersichtlich, daß hier die Betrachtung des
vorigen Paragraphen Anwendung finden kann; denn der relativ zum
Eisenbahnwagen laufende Mann spielt die Rolle des Lichtstrahles.
Statt dessen Geschwindigkeit _W_ gegen den Bahndamm tritt hier die
Lichtgeschwindigkeit gegen diesen; _w_ ist die gesuchte Geschwindigkeit
des Lichtes gegen den Wagen, für welche also gilt:
_w_ = _c_ − _v_.
Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen
ergibt sich also als kleiner als _c_.
Dies Ergebnis verstößt aber gegen das im § 5 dargelegte
Relativitätsprinzip. Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum müßte
nämlich nach dem Relativitätsprinzip wie jedes andere allgemeine
Naturgesetz für den Eisenbahnwagen als Bezugskörper gleich lauten
wie für das Geleise als Bezugskörper. Das erscheint aber nach unserer
Betrachtung unmöglich. Wenn sich jeder Lichtstrahl in bezug auf den
Damm mit der Geschwindigkeit _c_ fortpflanzt, so scheint eben deshalb
das Lichtausbreitungsgesetz in bezug auf den Wagen ein anderes sein zu
müssen — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip.
Im Hinblick auf dies Dilemma erscheint es unerläßlich, entweder das
Relativitätsprinzip oder das einfache Gesetz der Fortpflanzung des
Lichtes im Vakuum aufzugeben. Gewiß wird der Leser, der den bisherigen
Ausführungen aufmerksam gefolgt ist, erwarten, daß das Prinzip der
Relativität, das sich durch seine Natürlichkeit und Einfachheit
dem Geiste als fast unabweislich empfiehlt, aufrecht zu erhalten
sei, daß aber das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum durch ein
komplizierteres, mit dem Relativitätsprinzip vereinbares Gesetz zu
ersetzen sei. Die Entwickelung der theoretischen Physik zeigte aber,
daß dieser Weg nicht gangbar ist. Die bahnbrechenden theoretischen
Forschungen von +H. A. Lorentz+ über die elektrodynamischen und
optischen Vorgänge in bewegten Körpern zeigten nämlich, daß die
Erfahrungen in diesen Gebieten mit zwingender Notwendigkeit zu einer
Theorie der elektromagnetischen Vorgänge führen, welche das Gesetz
der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur unabweisbaren
Konsequenz hat. Deshalb waren die führenden Theoretiker eher geneigt,
das Relativitätsprinzip fallen zu lassen, trotzdem sich keine einzige
Erfahrungstatsache auffinden ließ, welche diesem Prinzip widersprochen
hätte.
Hier setzte die Relativitätstheorie ein. Durch eine Analyse der
physikalischen Begriffe von Zeit und Raum zeigte sich, +daß in
Wahrheit eine Unvereinbarkeit des Relativitätsprinzips mit dem
Ausbreitungsgesetz des Lichtes gar nicht vorhanden sei+, daß man
vielmehr durch systematisches Festhalten an diesen beiden Gesetzen zu
einer logisch einwandfreien Theorie gelange. Diese Theorie, welche wir
zum Unterschiede von ihrer später zu besprechenden Erweiterung als
„spezielle Relativitätstheorie“ bezeichnen, soll im folgenden in ihren
Grundgedanken dargestellt werden.
§ 8. Über den Zeitbegriff in der Physik.
An zwei weit voneinander entfernten Stellen _A_ und _B_ unseres
Bahndammes hat der Blitz ins Geleise eingeschlagen. Ich füge die
Behauptung hinzu, diese beiden Schläge seien +gleichzeitig+ erfolgt.
Wenn ich dich nun frage, lieber Leser, ob diese Aussage einen Sinn
habe, so wirst du mir mit einem überzeugten „Ja“ antworten. Wenn ich
aber jetzt in dich dringe mit der Bitte, mir den Sinn der Aussage
genauer zu erklären, merkst du nach einiger Überlegung, daß die Antwort
auf diese Frage nicht so einfach ist, wie es auf den ersten Blick
scheint.
Nach einiger Zeit wird dir vielleicht folgende Antwort in den Sinn
kommen: „Die Bedeutung der Aussage ist an und für sich klar und bedarf
keiner weiteren Erläuterung; einiges Nachdenken müßte ich allerdings
aufwenden, wenn ich den Auftrag erhielte, durch Beobachtungen zu
ermitteln, ob im konkreten Falle die beiden Ereignisse gleichzeitig
stattfanden oder nicht.“ Mit dieser Antwort kann ich mich aber aus
folgendem Grunde nicht zufrieden geben. Gesetzt, ein geschickter
Meteorologe hätte durch scharfsinnige Überlegungen herausgefunden, daß
es an den Orten _A_ und _B_ immer gleichzeitig einschlagen müsse, dann
entsteht die Aufgabe, nachzuprüfen, ob dieses theoretische Resultat
der Wirklichkeit entspricht oder nicht. Analog ist es bei allen
physikalischen Aussagen, bei denen der Begriff „gleichzeitig“ eine
Rolle spielt. Der Begriff existiert für den Physiker erst dann, wenn
die Möglichkeit gegeben ist, im konkreten Falle herauszufinden, ob der
Begriff zutrifft oder nicht. Es bedarf also einer solchen Definition
der Gleichzeitigkeit, daß diese Definition die Methode an die Hand
gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten entschieden
werden kann, ob beide Blitzschläge gleichzeitig erfolgt sind oder
nicht. Solange diese Forderung nicht erfüllt ist, gebe ich mich als
Physiker (allerdings auch als Nichtphysiker!) einer Täuschung hin, wenn
ich glaube, mit der Aussage der Gleichzeitigkeit einen Sinn verbinden
zu können. (Bevor du mir dies mit Überzeugung zugegeben hast, lieber
Leser, lies nicht weiter.)
Nach einiger Zeit des Nachdenkens machst du nun folgenden Vorschlag
für das Konstatieren der Gleichzeitigkeit. Die Verbindungsstrecke _AB_
werde dem Geleise nach ausgemessen und in die Mitte _M_ der Strecke
ein Beobachter gestellt, der mit einer Einrichtung versehen ist (etwa
zwei um 90° gegeneinander geneigte Spiegel), die ihm eine gleichzeitige
optische Fixierung beider Orte _A_ und _B_ erlaubt. Nimmt dieser die
beiden Blitzschläge gleichzeitig wahr, so sind sie gleichzeitig.
Ich bin mit diesem Vorschlag sehr zufrieden und halte die Sache dennoch
nicht für ganz geklärt, weil ich mich zu folgendem Einwand gedrängt
fühle: „Deine Definition wäre unbedingt richtig, wenn ich schon wüßte,
daß das Licht, welches dem Beobachter in _M_ die Wahrnehmung der
Blitzschläge vermittelt, sich mit der gleichen Geschwindigkeit auf
der Strecke _A_ ⟶ _M_ wie auf der Strecke _B_ ⟶ _M_ fortpflanze. Eine
Prüfung dieser Voraussetzung wäre aber nur dann möglich, wenn man über
die Mittel der Zeitmessung bereits verfügte. Man scheint sich also hier
in einem logischen Zirkel zu bewegen.“
Nach einiger weiterer Überlegung wirfst du mir aber mit Recht einen
etwas verächtlichen Blick zu und erklärst mir: „Ich halte meine
Definition von vorhin trotzdem aufrecht, da sie in Wahrheit gar nichts
über das Licht voraussetzt. An die Definition der Gleichzeitigkeit ist
nur die +eine+ Forderung zu stellen, daß sie in jedem realen Falle
eine empirische Entscheidung an die Hand gibt über das Zutreffen oder
Nichtzutreffen des zu definierenden Begriffs. Daß meine Definition
dies leistet, ist unbestreitbar. Daß das Licht zum Durchlaufen des
Weges _A_ ⟶ _M_ und zum Durchlaufen der Strecke _B_ ⟶ _M_ dieselbe
Zeit brauche, ist in Wahrheit keine +Voraussetzung oder Hypothese+
über die physikalische Natur des Lichtes, sondern eine +Festsetzung+,
die ich nach freiem Ermessen treffen kann, um zu einer Definition der
Gleichzeitigkeit zu gelangen.“
Es ist klar, daß diese Definition benutzt werden kann, um der Aussage
der Gleichzeitigkeit nicht nur +zweier+ Ereignisse, sondern beliebig
vieler Ereignisse einen exakten Sinn zu geben, wie die Ereignisorte
relativ zum Bezugskörper (hier dem Bahndamm) gelagert sein mögen[6].
Damit gelangt man auch zu einer Definition der „Zeit“ in der Physik.
Man denke sich nämlich in den Punkten _A_, _B_, _C_ des Geleises
(Koordinatensystems) Uhren von gleicher Beschaffenheit aufgestellt
und derart gerichtet, daß deren Zeigerstellungen gleichzeitig (im
obigen Sinne) dieselben sind. Dann versteht man unter der „Zeit“ eines
Ereignisses die Zeitangabe (Zeigerstellung) derjenigen dieser Uhren,
welche dem Ereignis (räumlich) unmittelbar benachbart ist. Auf diese
Weise wird jedem Ereignis ein Zeitwert zugeordnet, der sich prinzipiell
beobachten läßt.
Diese Festsetzung enthält noch eine physikalische Hypothese, an deren
Zutreffen man ohne empirische Gründe kaum zweifeln wird. Es ist
nämlich angenommen, daß alle diese Uhren „gleich rasch“ gehen, wenn
sie von gleicher Beschaffenheit sind. Exakt formuliert: Wenn zwei an
verschiedenen Stellen des Bezugskörpers ruhend angeordnete Uhren so
eingestellt werden, daß +eine+ Zeigerstellung der einen mit +derselben+
Zeigerstellung der anderen +gleichzeitig+ (im obigen Sinne) ist, so
sind gleiche Zeigerstellungen überhaupt gleichzeitig (im Sinne obiger
Definition).
§ 9. Die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Bisher haben wir alle Betrachtungen auf einen bestimmten Bezugskörper
bezogen, den wir als „Bahndamm“ bezeichnet haben. Es fahre nun auf
dem Geleise ein sehr langer Zug mit der konstanten Geschwindigkeit
_v_ in der in Fig. 1 angegebenen Richtung. Menschen, die in diesem
Zuge fahren, werden mit Vorteil den Zug als starren Bezugskörper
(Koordinatensystem) verwenden; sie beziehen alle Ereignisse auf den
Zug. Jedes Ereignis, welches längs des Geleises stattfindet, findet
dann auch an einem bestimmten Punkte des Zuges statt. Auch die
Definition der Gleichzeitigkeit läßt sich in bezug auf den Zug in genau
derselben Weise geben, wie in bezug auf den Bahndamm. Es entsteht aber
nun naturgemäß folgende Frage:
Sind zwei Ereignisse (z. B. die beiden Blitzschläge _A_ und _B_),
welche +in bezug auf den Bahndamm+ gleichzeitig sind, auch +in bezug
auf den Zug+ gleichzeitig? Wir werden sogleich zeigen, daß die Antwort
verneinend lauten muß.
[Illustration: Fig. 1.]
Wenn wir sagen, daß die Blitzschläge _A_ und _B_ in bezug auf den
Bahndamm gleichzeitig sind, so bedeutet dies: die von den Blitzorten
_A_ und _B_ ausgehenden Lichtstrahlen begegnen sich in dem Mittelpunkte
_M_ der Fahrdammstrecke _A_–_B_. Den Ereignissen _A_ und _B_
entsprechen aber auch Stellen _A_ und _B_ auf dem Zuge. Es sei _M′_
der Mittelpunkt der Strecke _A_—_B_ des fahrenden Zuges. Dieser Punkt
_M′_ fällt zwar im Augenblick der Blitzschläge[7] mit dem Punkte _M_
zusammen, bewegt sich aber in der Zeichnung mit der Geschwindigkeit _v_
des Zuges nach rechts. Würde ein bei _M′_ im Zuge sitzender Beobachter
diese Geschwindigkeit nicht besitzen, so würde er dauernd in _M_
bleiben, und es würden ihn dann die von den Blitzschlägen _A_ und _B_
ausgehenden Lichtstrahlen gleichzeitig erreichen, d. h., diese beiden
Strahlen würden sich gerade bei ihm begegnen. In Wahrheit aber eilt
er (vom Bahndamm aus beurteilt) dem von _B_ herkommenden Lichtstrahl
entgegen, während er dem von _A_ herkommenden Lichtstrahl vorauseilt.
Der Beobachter wird also den von _B_ ausgehenden Lichtstrahl früher
sehen, als den von _A_ ausgehenden. Die Beobachter, welche den
Eisenbahnzug als Bezugskörper benutzen, müssen also zu dem Ergebnis
kommen, der Blitzschlag _B_ habe früher stattgefunden als der
Blitzschlag _A_. Wir kommen also zu dem wichtigen Ergebnis:
Ereignisse, welche in bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, sind
in bezug auf den Zug nicht gleichzeitig und umgekehrt (Relativität der
Gleichzeitigkeit). Jeder Bezugskörper (Koordinatensystem) hat seine
besondere Zeit; eine Zeitangabe hat nur dann einen Sinn, wenn der
Bezugskörper angegeben ist, auf den sich die Zeitangabe bezieht.
Die Physik hat nun vor der Relativitätstheorie stets stillschweigend
angenommen, daß die Bedeutung der Zeitangaben eine absolute, d. h.
vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängige, sei. Daß diese
Annahme aber mit der nächstliegenden Definition der Gleichzeitigkeit
unvereinbar ist, haben wir soeben gesehen; läßt man sie fallen,
so verschwindet der in § 7 entwickelte Konflikt des Gesetzes der
Vakuum-Lichtausbreitung mit dem Relativitätsprinzip.
Zu jenem Konflikt führt nämlich die Überlegung des § 6, die nun nicht
mehr aufrecht zu erhalten ist. Wir schlossen dort, daß der Mann im
Wagen, der relativ zu diesem die Strecke _w_ +in einer Sekunde+
durchläuft, diese Strecke auch relativ zum Bahndamm +in einer Sekunde+
durchläuft. Da nun aber die Zeit, welche ein bestimmter Vorgang mit
Bezug auf den Wagen braucht, nach den soeben angestellten Überlegungen
nicht gleich gesetzt werden darf der vom Bahndamm als Bezugskörper aus
beurteilten Dauer desselben Vorganges, so kann nicht behauptet werden,
daß der Mann durch sein Gehen relativ zum Geleise die Strecke _w_ in
einer Zeit zurücklegt, welche — vom Bahndamm aus beurteilt — gleich
einer Sekunde ist.
Die Überlegung des § 6 ruht übrigens noch auf einer zweiten
Voraussetzung, die im Lichte einer strengen Überlegung als willkürlich
erscheint, wenn sie auch vor der Aufstellung der Relativitätstheorie
stets (stillschweigend) gemacht wurde.
§ 10. Über die Relativität des Begriffes der räumlichen Entfernung.
Wir betrachten zwei bestimmte Stellen des mit der Geschwindigkeit
_v_ längs des Bahndammes dahinfahrenden Zuges[8] und fragen nach
deren Entfernung. Wir wissen bereits, daß man zur Messung einer
Entfernung eines Bezugskörpers bedarf, mit Bezug auf welchen die
Entfernung ausgemessen wird. Am einfachsten ist es, den Zug selbst als
Bezugskörper (Koordinatensystem) zu verwenden. Ein im Zuge fahrender
Beobachter mißt den Abstand, indem er in gerader Linie seinen Maßstab
etwa längs der Wagenböden so oft aufträgt, bis er von dem einen
markierten Punkte zum anderen gelangt. Die Zahl, welche angibt, wie oft
der Stab angelegt werden muß, ist dann die gesuchte Entfernung.
Anders ist es, wenn die Entfernung vom Geleise aus beurteilt werden
soll. Da bietet sich folgende Methode. Nennt man _A′_ und _B′_ die
beiden Punkte des Zuges, um deren Entfernung es sich handelt, so sind
diese beiden Punkte mit der Geschwindigkeit _v_ längs des Bahndammes
bewegt. Wir fragen nun zuerst nach den Punkten _A_ bzw. _B_ des
Bahndammes, bei welchen die beiden Punkte _A′_ und _B′_ zu einer
bestimmten Zeit _t_ — vom Bahndamm aus beurteilt — gerade vorbeilaufen.
Diese Punkte _A_ und _B_ des Bahndammes sind vermöge der in § 8
gegebenen Zeitdefinition ermittelbar. Hierauf wird der Abstand dieser
Punkte _A_ und _B_ durch wiederholtes Abtragen des Meterstabes längs
des Bahndammes gemessen.
Es ist a priori durchaus nicht ausgemacht, daß diese letztere Messung
dasselbe Ergebnis zeitigen müsse wie die erstere. Vom Bahndamm aus
gemessen kann also die Länge des Zuges eine andere sein als vom Zuge
selbst aus gemessen. Dieser Umstand ergibt einen zweiten gegen die
scheinbar so einleuchtende Betrachtung des § 6 zu erhebenden Einwand.
Legt nämlich der Mann im Wagen in einer Zeiteinheit — +vom Zuge aus
gemessen+ — die Strecke _w_ zurück, so braucht diese Strecke — +vom
Bahndamm aus gemessen+ — nicht auch gleich _w_ zu sein.
§ 11. Die Lorentz-Transformation.
Die Überlegungen der letzten drei Paragraphen zeigen uns, daß die
scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem
Relativitätsprinzip in § 7 durch eine Betrachtung abgeleitet worden
ist, welche der klassischen Mechanik zwei durch nichts gerechtfertigte
Hypothesen entlehnte; diese Hypothesen lauten:
1. Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist vom
Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.
2. Der räumliche Abstand zwischen zwei Punkten eines starren Körpers
ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.
Läßt man nun diese Hypothesen fallen, so verschwindet das Dilemma des §
7, weil das in § 6 abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten
ungültig wird. Es taucht vor uns die Möglichkeit auf, daß das Gesetz
der Lichtausbreitung im Vakuum mit dem Relativitätsprinzip vereinbar
sein könnte. Wir kommen zu der Frage: Wie ist die Überlegung des §
6 zu modifizieren, um den scheinbaren Widerspruch zwischen diesen
beiden fundamentalen Ergebnissen der Erfahrung zu beseitigen? Diese
Frage führt auf eine allgemeine. In der Überlegung des § 6 kommen Orte
und Zeiten in bezug auf den Zug und in bezug auf den Bahndamm vor.
Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug,
wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt
sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß das
Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht
widerspricht? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und
Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar,
derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm +und+ relativ zum
Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit _c_ besitzt? Diese Frage führt zu
einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem ganz bestimmten
Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines Ereignisses beim
Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen.
Bevor wir hierauf eingehen, sei folgende Zwischenüberlegung
eingeschaltet. Wir haben bis jetzt stets nur Ereignisse betrachtet, die
sich längs des Bahndammes abspielten, der mathematisch die Funktion
einer geraden Linie zu übernehmen hatte. Man kann sich aber in der
in § 2 angegebenen Weise diesen Bezugskörper seitlich und nach oben
durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo
stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert
werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit _v_
fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken, so daß
jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite Gerüst
lokalisiert werden könnte. Davon, daß diese Gerüste einander in
Wahrheit wegen der Undurchdringlichkeit der festen Körper immer
wieder zerstören müßten, können wir absehen, ohne in prinzipielle
Fehler zu geraten. In jedem solchen Gerüst denken wir uns drei
aufeinander senkrechte Wände ausgezeichnet und als „Koordinatenebenen“
bezeichnet („Koordinatensystem“). Dem Bahndamm entspricht dann ein
Koordinatensystem _K_, dem Zug ein Koordinatensystem _K′_. Ein irgendwo
stattfindendes Ereignis wird bezüglich _K_ räumlich fixiert durch die
drei Lote _x_, _y_, _z_ auf die Koordinatenebenen und zeitlich fixiert
durch einen Zeitwert _t_. +Dasselbe Ereignis+ wird bezüglich _K′_
raum-zeitlich fixiert durch entsprechende Werte _x′_, _y′_, _z′_, _t′_,
welche mit _x_, _y_, _z_, _t_ natürlich nicht übereinstimmen. Wie diese
Größen als Ergebnisse physikalischer Messungen aufzufassen sind, wurde
früher ausführlich dargelegt.
[Illustration: Fig. 2.]
Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen.
Wie groß sind die Werte _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ eines Ereignisses
in bezug auf _K′_, wenn die Größen _x_, _y_, _z_, _t_ desselben
Ereignisses in bezug auf _K_ gegeben sind? Die Beziehungen müssen so
gewählt werden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes
für einen und denselben Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf
_K_ +und+ _K′_ Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in
der Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der
Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen:
x′ = (x−vt) / sqrt (1 − v²/c²)
y′ = y
z′ = z
t′ = (t − vx/c² ) / sqrt (1 − v²/c²),
welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“
bezeichnet wird.
Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die
stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten
Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir
statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen
x′ = x − vt
y′ = y
z′ = z
t′ = t
gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“
bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der
Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die
Lichtgeschwindigkeit _c_ gleich einem unendlich großen Werte setzt.
Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im
Vakuum sowohl für den Bezugskörper _K_ wie für den Bezugskörper _K′_
erfüllt sein kann, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es werde ein
Lichtsignal längs der positiven _x_-Achse gesandt, und es pflanze sich
die Lichterregung gemäß der Gleichung
x = ct,
also mit der Geschwindigkeit _c_ fort. Gemäß den Gleichungen der
Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen _x_
und _t_ eine Beziehung zwischen _x′_ und _t′_. In der Tat liefert die
erste und vierte Gleichung der Lorentz-Transformation, wenn man in
dieselben für _x_ den Wert _ct_ einsetzt:
x′ = (c−v)t / sqrt (1−v²/c²)
t′ = (1−v/c)t / sqrt (1−v²/c²),
aus welchen dann durch Division unmittelbar
x′ = ct′
folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichterregung, wenn sie
auf das System _K′_ bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die
Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper _K′_ gleich
_c_ ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in beliebiger
anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu verwundern,
denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja nach diesem
Gesichtspunkte abgeleitet.
§ 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren.
Ich lege einen Meterstab in die _x′_-Achse von _K′_ derart, daß sein
Anfang in den Punkt _x′_ = 0, sein Ende in den Punkt _x′_ = 1 fällt.
Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum System _K_? Um das
zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo Stabanfang und Stabende
relativ zu _K_ liegen zu einer bestimmten Zeit _t_ des Systems _K_.
Man findet für diese beiden Punkte aus der ersten Gleichung der
Lorentz−Transformation:
x_{(Stabanfang)} = 0 · sqrt(1−v²/c²)
x_{(Stabende)} = 1 · sqrt(1−v²/c²),
welche beiden Punkte den Abstand sqrt(1−v²/c²) haben. Relativ zu _K_
ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit _v_ bewegt. Es folgt
also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit _v_ in seiner
Längsrichtung bewegten starren Meterstabes sqrt(1−v²/c²) Meter beträgt.
Der bewegte starre Stab ist also kürzer als derselbe Stab, wenn er im
Zustande der Ruhe ist, und zwar um so kürzer, je rascher er bewegt
ist. Für die Geschwindigkeit _v_ = _c_ wäre sqrt(1−v²/c² = 0), für
noch größere Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen
daraus, daß in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit _c_ die
Rolle einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen
Körper erreicht oder gar überschritten werden könnte.
Diese Rolle der Geschwindigkeit _c_ als einer Grenzgeschwindigkeit
folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation
selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn _v_ größer als _c_ gewählt wird.
Hätten wir umgekehrt einen Meterstab betrachtet, der in der _x_-Achse
relativ zu _K_ ruht, so hätten wir gefunden, daß er, von _K′_ aus
beurteilt, die Länge sqrt(1−v²/c²) hat; dies liegt ganz im Sinne des
Relativitätsprinzips, welches unseren Betrachtungen zugrunde gelegt ist.
Daß wir aus den Transformationsgleichungen etwas über das physikalische
Verhalten von Maßstäben und Uhren erfahren müssen, liegt a priori auf
der Hand. Denn die Größen _x_, _y_, _z_, _t_ sind ja nichts anderes
als mit Maßstäben und Uhren zu gewinnende Meßresultate. Hätten wir
die Galilei-Transformation zugrunde gelegt, so hätten wir eine
Stabverkürzung infolge der Bewegung nicht erhalten.
Wir betrachten nun eine Sekundenuhr, die dauernd im Anfangspunkte
(_x′_ = 0) von _K′_ ruht. _t′_ = 0 und _t′_ = 1 seien zwei aufeinander
folgende Schläge dieser Uhr. Für diese beiden Schläge ergeben die erste
und vierte der Gleichungen der Lorentz-Transformation:
t = 0
und
t = 1/sqrt(1−v²/c²).
Von _K_ aus beurteilt ist die Uhr mit der Geschwindigkeit _v_ bewegt;
von diesem Bezugskörper aus beurteilt vergeht zwischen zweien ihrer
Schläge nicht eine Sekunde, sondern 1/sqrt(1−v²/c²) Sekunden, also
eine etwas größere Zeit. Die Uhr geht infolge ihrer Bewegung langsamer
als im Zustande der Ruhe. Auch hier spielt die Geschwindigkeit _c_ die
Rolle einer unerreichbaren Grenzgeschwindigkeit.
§ 13. Additionstheorem der Geschwindigkeiten. +Fizeau+scher
Versuch.
Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen
können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit _c_, so
werden die Ergebnisse des vorigen Paragraphen kaum direkt mit der
Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem
Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie
eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht
abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird.
In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleich gerichtete
Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen
der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht
aus der Galilei-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden
Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum
Koordinatensystem _K′_ nach der Gleichung
x′ = wt′
bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der Galilei-Transformation
kann man _x′_ und _t′_ durch _x_ und _t_ ausdrücken und erhält so:
x = (v + w) t.
Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz des
Punktes gegenüber dem System _K_ (des Mannes gegenüber dem Bahndamm),
welche Geschwindigkeit wir mit _W_ bezeichnen, so daß man, wie in § 6,
erhält: