Pour expliquer la figure du Monde, les Einsteiniens ont essayé de
reprendre à leur profit l’ancienne hypothèse d’un Hyperespace ou espace
à plus de trois dimensions.
Il faut donc de toute nécessité, si l’on veut essayer de comprendre les
relativistes, ou tout au moins suivre leurs raisonnements, posséder
quelques notions sur un sujet paraissant de prime abord complètement
étranger aux études abordées dans cet ouvrage.
Il ne saurait être question ici, je tiens à le déclarer, d’entrer dans
des détails que mon lecteur trouvera beaucoup plus développés dans mon
livre sur la Mort[51]; mais je donnerai l’essentiel, c’est-à-dire la
partie nécessaire à la discussion philosophique du sujet.
[51] TH. MOREUX: _Que deviendrons-nous après la Mort_ (Ed.
Scientifica, Paris 1913). Ce chapitre est en partie un résumé des
notions développées dans cet ouvrage antérieur à celui-ci.
Plaçons une bille sur une table de billard; je vais maintenant vous
prier, après l’avoir enlevée, de la remettre à la place exacte qu’elle
occupait,--Rien de plus simple, direz-vous; il suffit de repérer sa
position au moyen d’un point tracé à la craie.--Eh bien, un géomètre eût
probablement opéré d’autre façon.
Supposons la bille en A; je puis constater que cette bille se trouve à
30 centimètres de la bande de gauche, largeur du billard et à 20
centimètres de la bande représentant la longueur (fig. 10).
Les nombres 30 et 20 sont les _coordonnées_ du point A par rapport aux
bandes qui sont deux axes se coupant à angle droit; le point A est donc
connu si je vous donne ses deux coordonnées.
[Illustration: Fig. 10.]
[Illustration: Fig. 11.]
Maintenant, imprimons un mouvement à la bille et soit la position B
qu’elle prend, après avoir décrit la droite AB. Le point B aura deux
nouvelles coordonnées; il sera à 60 centimètres de la bande de gauche et
à 40 de la bande du haut, sur la figure 11. Pendant tout le temps qu’il
a fallu à la bille pour passer de A en B, cette bille a donc eu à chaque
instant 2 coordonnées, et c’est l’ensemble de ces nombres qui a formé ou
plutôt déterminé la droite AB. On exprime ceci en disant que la position
de la bille est toujours fonction de 2 variables, c’est-à-dire deux
quantités qui varient.
On voit que le calcul de toutes les positions successives de la bille
devient un problème d’algèbre; les coordonnées à trouver seront les deux
inconnues x et y d’une équation.
Mais nous n’avons opéré ainsi que sur une surface plane; cela va bien
pour fixer les positions d’un point sur un plan; le procédé est
insuffisant pour repérer un objet placé dans une chambre par exemple.
Voici une lampe poste sur un guéridon; comment fixerons-nous sa
position? Nous allons d’abord abaisser une verticale de la lampe au
plancher, mesurer la hauteur de cette verticale, puis opérer sur le
plancher comme nous l’avons fait pour la bille du billard.
Je constaterai ainsi que ma lampe se trouve (fig. 12) je suppose:
1º) à 1 mètre au dessus du plancher;
2º) à 3 mètres du mur Ouest;
3º) à 2 mètres du mur Nord.
Ainsi, dans l’espace, la position dépend non plus de 2, mais de 3
nombres, de 3 coordonnées, qui entreront dans les équations et
correspondront à 3 inconnues: x, y et z.
[Illustration: Fig. 12.--Comment on repère un point dans l’espace.]
On voit que pour toute position de la lampe par rapport aux murs et au
plancher de ma chambre, j’aurai nécessairement 3 coordonnées qui
varieront. Si ma lampe se meut suivant une trajectoire quelconque, la
ligne tracée dans l’espace me sera donnée, on le conçoit, par l’étude de
la variation d’une fonction à 3 variables.
Mais ici je ne fais qu’imiter le physicien: nous avons en effet toutes
raisons de croire que la trajectoire d’un objet n’est pas
continue--conclusion de notre dernier chapitre--; ses positions dans
l’espace sont en nombre fini, et si le procédé analytique nous réussit,
ce n’est que grâce à l’énorme multiplicité des positions que présentent
des mobiles, ou si vous le préférez, ce que nous appelons leur trace
dans l’espace.
Et voilà qui va nous permettre de résoudre un problème vieux comme la
Philosophie. On s’est souvent demandé si la Géométrie était fille de
l’expérience ou bien engendrée seulement par notre esprit. Les uns
tiennent pour la première hypothèse, les autres pour la seconde; la
théorie des _Quanta_ appliquée à l’étendue est de nature à lever tous
les doutes.
Notre Géométrie est la science de l’espace; or l’espace n’est que la
généralisation de l’étendue, donc l’abstraction du réel. En tant qu’il
se sert des données sensibles sur lesquelles il applique sa faculté
d’abstraction, notre esprit peut donc fabriquer l’espace et la
Géométrie. Cette dernière science n’a donc rien de mystérieux, ni
d’inné; elle n’est pas davantage issue d’une forme _a priori_ de notre
sensibilité, comme le voulait Kant; elle est l’abstraction du _donné_ et
le donné nous est imposé.
Et puisque l’étendue nous est livrée avec ses trois dimensions, je veux
dire puisque trois coordonnées nous suffisent pour fixer la position
d’un point dans ce que nous appelons l’étendue, il s’ensuit que
l’espace, abstraction de l’étendue phénoménale et base de notre
Géométrie, nous est imposé par la réalité.
H. Poincaré avait coutume de dire que notre Géométrie n’était peut-être
pas plus exacte qu’une autre, mais que nous l’avions choisie pour une
raison de commodité. Le mot prête à équivoque; une Table de Logarithmes
peut n’être pas plus commode qu’une autre, sans que cela infirme son
exactitude; ce que nous désirons savoir dans notre cas, c’est
précisément quelle qualité objective d’exactitude comporte notre
Géométrie.
Nous venons de montrer comment, en raison de la multiplicité des
éléments de l’étendue phénoménale, le géomètre peut appliquer à ce
discontinu physique, une géométrie du continu, c’est une première
réponse.
Que si maintenant nous envisageons le problème de l’étendue en tenant
compte, non seulement des forces élémentaires distinctes, mais aussi de
leurs rapports réciproques, nous arriverons à une conclusion analogue,
car ces rapports sont en nombre inconcevable.
Quant à la question de savoir si nous connaissons tous ces rapports et
si parmi eux, quelques-uns moins importants peut-être, n’échappent pas à
notre sensibilité, même aidée des plus forts instruments et des méthodes
les plus délicates, elle nous échappe totalement.
Notre abstraction de l’espace correspond bien à notre perception de
l’étendue prise en gros, et, du point de vue géométrique seul, nous
n’apercevons jamais une non-concordance, mais il semble que le réel
dépasse en certaines occasions, ce que nous y constatons d’une manière
générale, notamment lorsque nous essayons de pénétrer dans le domaine de
l’atome et dans celui plus mystérieux encore de la gravitation; mais
n’anticipons pas et revenons à l’espace tel que nous l’employons
pratiquement.
* * * * *
Habitué à traiter la Géométrie comme une branche de l’Algèbre, le
mathématicien n’avait aucune raison de s’arrêter à un espace à trois
coordonnées et il s’est demandé où le conduirait le fait d’envisager un
espace à quatre dimensions. L’effort à donner était d’ailleurs
insignifiant, puisqu’il suffisait d’introduire dans ses coordonnées une
quatrième variable. Le problème n’offre en lui-même rien de
contradictoire. La Physique nous a appris depuis longtemps à étudier des
phénomènes dépendant de quatre conditions et même davantage.
Le volume d’un gaz, par exemple, dépend non seulement de l’enceinte qui
le renferme, mais encore de sa pression et de sa température, en tout
cinq variables et l’on en pourrait imaginer d’autres.
Si donc, la position d’un point dans l’espace dépend de trois
coordonnées, hypothèse que nous posons parce que nous y sommes
contraints, il n’y a aucune impossibilité intrinsèque de supposer qu’une
quatrième variable ne pourrait entrer en ligne de compte.
Notez qu’ici, il ne s’agit pas précisément du réel, mais du possible;
nous pensons que le réel est tel parce que le Créateur en a ainsi fixé
les lois, mais ces lois ne sont pas nécessaires et les actions
réciproques des forces élémentaires pourraient avoir été réglées
autrement; de façon par exemple à nous imposer cette quatrième variable.
Mais, direz-vous, quelle serait cette nouvelle coordonnée? Nous
l’ignorons totalement et la question au point de vue mathématique est
bien indifférente; l’important ici est que nos équations soient
construites en toute logique et voilà comment le géomètre doit être
amené peu à peu à édifier des espaces à plus de trois dimensions, c’est
à dire des espaces où les figures sont encore définies à l’aide de
formules analytiques impeccables.
Simple jeu d’esprit, penserez-vous! Peut-être; en tout cas, il est assez
curieux de constater que ces symboles algébriques, nous ont conduits à
des théorèmes ayant élucidé plus d’une partie restée obscure dans le
domaine de la Géométrie à trois dimensions.
* * * * *
Ces questions, hélas! sont loin de nous fixer sur la légitimité des
théorèmes premiers ayant servi de base à notre science géométrique de
l’espace. L’Analyse appliquée à la Géométrie est un merveilleux
instrument, mais elle ressemble un peu à ces machines à calculer qui
opèrent sur des unités quelconques, à la seule condition que ce soient
des unités de même espèce; elle ne saurait, en présence du résultat, en
donner une interprétation adéquate à la réalité.
Prenons, par exemple, notre Géométrie à trois dimensions: deux de ses
coordonnées déterminent un plan; les trois réunies nous donnent un
trièdre de référence, mais les trois faces de ce trièdre sont toujours
des plans; en combinant savamment ces trois coordonnées, nous arrivons à
construire toute la science de l’espace et nos théorèmes s’enchaînent
avec toute la rigueur attachée à la méthode algébrique.
Avons-nous le droit de dire que cette construction n’est pas arbitraire?
Oui, si le point de départ est exact; non, si la base n’en est pas
assurée. Or toute la question revient à définir le plan; on le fait au
moyen de la ligne droite, mais c’est reculer le problème: Qu’est-ce
qu’une ligne droite?
Cherchez dans tous les Traités de Géométrie, je vous mets au défi de
trouver autre chose qu’une énumération de quelques propriétés de la
ligne droite dont l’essence même paraît nous échapper.
Vous y verrez, par exemple, des propositions de ce genre: «Par deux
points de l’espace, on ne peut faire passer qu’une droite.» Oui, à
condition que le plan soit possible; droite et plan apparaissent comme
des notions dépendantes l’une de l’autre et se définissent l’une par
l’autre. Cela ressemble fort à un cercle vicieux et c’est un bien
mauvais début pour une science prétendue exacte.
Ainsi, toutes les Géométries à 3, à 4 et à 5 dimensions ont besoin de
passer par l’étude préalable de l’espace à 2 dimensions qui, lui, nous
offre le _plan_ comme base de nos constructions, et c’est là précisément
que nous sommes arrêtés.
Cette notion de plan est cependant fort claire, penserez-vous;
l’hypothèse suivante pourrait bien être de nature à vous faire changer
d’avis.
Supposons des êtres tout en surface, ayant par conséquent longueur et
largeur sans aucune épaisseur, ou du moins avec une épaisseur
extrêmement petite de l’ordre d’un atome ou même d’un électron.
Plaçons ces êtres sur une surface courbe, par exemple, sur une sphère de
rayon tellement grand que la courbure soit insensible.
L’hypothèse, n’a rien d’absurde en elle-même et si la Terre, quoique
petite, était rigoureusement polie, nous pourrions nous en servir pour y
déposer nos curieux sujets.
Ces êtres pratiquement dépourvus de hauteur, mais possédant deux
dimensions, vont pouvoir, en évoluant à la surface de leur habitat,
fonder une Géométrie tout-à-fait particulière.
Notez que pour eux, ils seront censés faire de la Géométrie plane, à
deux dimensions, par conséquent.
Mais, suivant qu’ils travailleront dans leur cabinet ou qu’ils se
livreront aux opérations sur le terrain, ils arriveront à des résultats
différents.
Aussi inacceptable que soit cette conclusion, de prime abord, il va nous
être facile de la prouver.
S’agit-il de tirer des droites sur un petit espace, nos habitants ne
pourront jamais soupçonner la faible courbure du plan sur lequel ils
évoluent. Nous-mêmes, sur notre sphère terrestre de grand rayon, nous ne
possédons aucun moyen matériel assez délicat pour mettre en évidence la
sphéricité réelle de la surface liquide d’un bassin.
Lorsque nous traçons des triangles sur une telle surface, en y décrivant
des arcs de grands cercles qui se coupent, rien ne nous avertit que nous
avons affaire à des triangles sphériques.
Nos êtres hypothétiques à deux dimensions sont donc en mesure de fonder
une Géométrie plane analogue à celle d’Euclide.
Mais supposez-leur l’esprit des voyages, des explorations et des
découvertes, et les voilà plongés dans les pires incertitudes.
S’il s’avise à l’un d’eux de s’en aller droit devant lui, en ne déviant
ni à droite, ni à gauche, il finira par accomplir sans s’en douter, tout
le tour de la sphère qu’il occupe et reviendra à son point de départ.
Si ce point a été repéré, il conclura non sans raison, que toute droite
est une ligne finie, et pour lui, cette proposition prendra l’allure
d’un axiome.
Imaginons maintenant que le grand cercle ainsi parcouru, soit l’équateur
de la sphère; si, sur ce cercle, il leur vient l’idée d’élever de loin
en loin des perpendiculaires analogues à nos méridiens, rien ne les
avertira que ces perpendiculaires ne sont point rigoureusement
parallèles.
Ils admettront donc leur parallélisme comme un fait à la fois logique et
expérimental; mais qu’il prenne à quelques-uns d’entre eux, la fantaisie
de se rendre compte de la propriété de ces pseudo-parallèles, en
parcourant différents méridiens, le résultat obtenu renversera toutes
leurs notions péniblement acquises.
En continuant leur route dans une direction invariable en apparence, ils
arriveront en effet à se rencontrer forcément aux pôles; d’où ils
concluront que, «par un point donné, on peut abaisser plusieurs
perpendiculaires sur une même droite dans un plan unique», principe
contraire à la Géométrie que nous professons.
Or, qui nous assure que nous ne sommes pas comparables, jusqu’à un
certain point, à ces êtres hypothétiques nécessités par leur situation à
construire une Géométrie différente de la nôtre?
Ce sont des considérations de ce genre qui ont guidé les mathématiciens
dans la construction des Géométries dites non-euclidiennes.
Puisque, disait Lobatchewsky, toute notre géométrie repose sur un
postulat, celui d’Euclide[52], postulat indémontrable, voyons ce qui
arriverait en supposant que, par un point pris hors d’une droite, on
puisse mener plusieurs parallèles à cette droite. Et le savant géomètre
russe est arrivé à construire une géométrie différente de celle
d’Euclide, évidemment, mais dont les propositions sont aussi fortement
enchaînées; on y enseigne, en particulier, que la somme des angles d’un
triangle est _plus petite_ que deux angles droits.
[52] Le _postulatum_ d’Euclide peut être formulé ainsi: «Par un point
pris hors d’une droite, on ne peut mener _qu’une_ parallèle à cette
droite.» On est bien arrivé à démontrer ce postulat, mais c’est
toujours en introduisant à la base de la Géométrie un autre
postulat, donc une autre proposition indémontrable; autant vaut donc
garder celui d’Euclide.
Tout autre est le point de vue de Riemann qui part d’un pseudo-plan dont
la courbure n’est pas nulle: dès lors, par un point, on ne peut faire
passer aucune droite parallèle à une autre droite et on aboutit à une
troisième Géométrie aussi logique que les deux précédentes et dans
laquelle la somme des angles d’un triangle est _plus grande_ que deux
droits. Et nous voilà revenus à la supposition de nos êtres infiniment
plats se débattant sur une surface courbe. De là toute une série de
Géométries liées à la valeur du rayon de courbure; et nous aboutissons
finalement à des espaces sphériques, elliptiques, hyperboliques, etc...
Envisagée sous ce point de vue nouveau, notre Géométrie d’Euclide ne
serait qu’un cas particulier d’une Géométrie plus générale qu’on étudie
aujourd’hui sous le nom de Métagéométrie.
Toutefois, il est bon de faire remarquer que dans notre Géométrie, aussi
bien que dans celle de l’espace elliptique ou hyperbolique, les
conclusions sont les mêmes pour des surfaces extrêmement petites; elles
ne commencent à différer qu’à partir du moment où les figures sont
immenses; mais de telles figures ne sont plus à notre disposition.
Impossible, donc de savoir si l’espace que nous imaginons répond à
l’étendue réelle.
* * * * *
Devant une telle incertitude, quel parti prendre? Le cas paraît bien
embarrassant, mais au fond, n’est-ce pas une querelle de mots? L’espace,
pure abstraction, n’est qu’une idée générale, partant une idée assez
imprécise; cette idée correspond-elle bien en fait à une Géométrie
déterminée? Il est permis d’en douter.
Lorsque nous descendons dans le détail, nous voyons que la Géométrie se
réduit toujours à une question de métrique, et l’idée d’espace paraît
bien, dans tous les cas, s’accorder avec cette conception. Le nœud du
problème n’est donc pas là et la question de fait n’est pas résolue.
Supposer en effet que nous habitons au sein d’un espace courbe, c’est
énoncer une supposition qui n’a aucun sens pour nous, puisque c’est
l’étendue phénoménale qui a provoqué en nous l’idée d’espace,
généralisation du donné. Dès lors, espace et étendue réelle doivent
forcément cadrer.
Que cette dernière contienne des particularités qui échappent à ma
sensation, que je ne perçois pas, qui par conséquent n’entrent pas dans
mes généralisations, cela est possible et tout à fait vraisemblable--la
discontinuité m’en offre un bon exemple--mais pour imparfaite qu’elle
soit, ma notion d’étendue généralisée n’est pas fausse, puisque déjà
elle m’indique des rapports constatés, constants et réels.
Si l’on insiste en disant que notre plan euclidien pourrait être une
surface à courbure peu prononcée, je demanderai comment vous pouvez
avoir acquis cette notion de courbure. Dès lors que vous êtes à même de
supposer une ligne courbe, c’est que vous avez la notion de la droite à
laquelle vous la comparez. Vous me rappellerez, il est vrai, nos êtres
de tantôt, tout en surface. Mais ici, la comparaison ne tient plus, car
nous avons, nous, une épaisseur dont nous nous sommes rendu compte, donc
une notion de troisième dimension et ceci nous suffit pour distinguer
une ligne droite d’une autre qui ne le serait pas, quelle que soit la
longueur envisagée.
Notre droite, a-t-on dit encore, est une pure convention; je vous
l’accorde, mais la couleur rouge rentre dans le même cas. Avant que le
physicien ait pu définir le rouge _objectivement_, jusqu’à un certain
point, c’est-à-dire en fixant quelques conditions de son existence,
cette couleur répondait à une réalité et seuls les daltoniens la
confondaient avec le vert.
Dès lors, pourquoi nier l’existence de la ligne droite, sous prétexte
que nous ne pouvons la définir autrement que par ses propriétés?
Encore une fois, vous ne reprocherez pas au physicien sa croyance à la
vibration lumineuse dont il ne vous a jamais révélé l’essence; ne vous
montrez donc pas plus exigeants pour le géomètre, à propos de la ligne
droite.
En résumé, bien que nous ne connaissions pas l’essence de la ligne
droite, ni celle du plan qui en dérive, nous en possédons une notion
claire déduite de leurs propriétés. Les Géométries non-euclidiennes
autres que celles à trois dimensions nous apparaissent comme des
constructions purement artificielles, simple jeu de formules analytiques
où le mathématicien n’atteint pas ou dépasse le réel.
Dire que notre Géométrie euclidienne est simplement commode, c’est
méconnaître les rapports de l’objectif et du subjectif; c’est nier toute
correspondance entre les données fournies par le monde extérieur et nos
perceptions; c’est mettre en suspicion la légitimité de notre acte de la
connaissance et ouvrir la voie au subjectivisme le plus exagéré.
Nos conclusions ne sont plus les mêmes en ce qui concerne la possibilité
d’une étendue à quatre dimensions. Il se peut que nous ne saisissions
pas tous les rapports qu’échangent entre elles les forces élémentaires
qui provoquent en nous la sensation d’étendue. Celle-ci est à _trois_
dimensions au moins, puisque nous sommes contraints par les faits à
imaginer ce nombre pour rendre compte du réel, mais ce réel peut de
beaucoup dépasser le donné. Les forces extérieures pourraient échanger
des rapports cachés à nos sens grossiers, rapports qui constitueraient
la quatrième dimension. Évidemment, c’est une hypothèse, mais une
hypothèse non contradictoire et qu’on ne peut écarter au nom de la
logique. Au physicien de chercher si, au milieu des faits qu’il
enregistre, surtout dans le domaine de la Physique moléculaire, il n’en
existe pas quelques-uns qui ne pourraient s’expliquer autrement que par
la présence de cette quatrième variable, dimension peut-être réelle
ajoutée aux trois autres.
C’est la prétention des relativistes de l’avoir trouvée: on voit que le
sujet est d’importance; ce sera mon excuse d’avoir imposé à mes lecteurs
le chapitre que je termine. L’étude de la conception d’un Espace-Temps
montrera que la digression était nécessaire.