On a beaucoup discuté depuis les Éléates, sur le nombre infini et malgré
quelques divergences de vues très secondaires, il semble bien que
l’accord entre les spécialistes de cette branche des Mathématiques, est
à l’heure actuelle assez satisfaisant. Cependant, nombreux encore sont
les hommes de science qui emploient à tort à travers, ce vocable:
_nombre infini_; pour quantité d’autres, la question est purement
métaphysique et ne vaut pas la peine qu’on s’y arrête; la plupart, il
faut le dire ouvertement, ne semblent guère mieux fixés à ce sujet que
Zénon et ses contemporains.
Au Moyen-Age, certaine école rejeta le nombre infini comme absurde;
c’était aller un peu loin. Le mot infini, appliqué au nombre, n’est pas
un non-sens et ne répugne pas à notre entendement, mais ce terme doit
être soigneusement défini si l’on veut éviter contradictions et
obscurités. Saint Thomas, qui fut le plus grand savant de son époque,
l’avait fort bien compris; l’emploi qu’il fait du mot infini appliqué au
nombre est fort judicieux, mais ses idées n’ont pas toujours été bien
interprétées. Kant se garde d’une définition; il en profite pour laisser
sa pensée nébuleuse osciller entre deux thèses contraires: ses
antinomies ne sont qu’un simple «jeu renouvelé des Grecs».
Dans cette importante question, le clair esprit de Pascal hésite: «Nous
savons, dit-il, qu’il est faux que les nombres soient finis; donc il est
vrai qu’il y a un infini en nombre; mais nous ne savons ce qu’il est. Il
est faux qu’il soit pair; il est faux qu’il soit impair; car en ajoutant
l’unité, il ne change pas de nature; cependant c’est un nombre et tout
nombre est pair ou impair; il est vrai que cela s’entend de tout nombre
fini.»
Le sujet fut encore obscurci par l’invention du calcul infinitésimal.
Cette proposition a tout l’air d’un paradoxe, mais je vais la justifier.
La plupart des mathématiciens et des physiciens qui usent avec fruit de
ce procédé de calcul merveilleux, s’imaginent que, cette fois, ils
touchent du doigt l’infini: ne manipulent-ils pas les infiniment petits
de tout ordre, puis des infiniment grands, puis des formules où apparaît
à chaque pas le symbole de l’infini?
Leur erreur, au surplus, est fort excusable: professeurs, cours et
Traités de Mathématiques, glissent sur les notions d’infini et
d’infiniment petit avec l’adresse d’un prestidigitateur; finalement, le
mot, entré dans le langage, tient lieu de définition; le sens précis
n’est bientôt plus en cause; il devrait l’être cependant pour résoudre
nombre de difficultés et pour éviter des conclusions souvent erronées.
Cauchy avait, dès son époque, attiré l’attention sur les sens très
différents du mot infini en mathématiques; mais de tout cela, les
étudiants n’ont cure, c’est de la pâtée pour philosophes.
En Algèbre, le symbole ∞, qui représente _l’infini_ ne veut même pas
dire _nombre infini_, comme on le laisse croire communément. Quand il
pose m/0 = ∞, le mathématicien veut simplement faire remarquer qu’une
quantité quelconque, m, divisée par une autre de plus en plus petite,
donc se rapprochant de zéro, donne pour quotient un nombre de plus en
plus grand, qui _tend_ vers l’infini.
La Géométrie va nous fournir un exemple de ce mécanisme. Soit une
hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes comme axes
rectangulaires (fig. 9). Imaginez que l’ordonnée d’un point de la courbe
représente le diviseur de l’expression précédente; à mesure que nous
nous éloignons du sommet, l’ordonnée devient de plus en plus petite et
l’abscisse augmente; la valeur de l’abscisse, c’est notre quotient de
tout à l’heure qui tend comme lui vers l’infini.
[Illustration: Fig. 9]
Si la courbe était continuée à l’infini, asymptote et hyperbole se
rencontreraient et c’est à ce moment seul que l’ordonnée serait réduite
à zéro, tandis que l’abscisse vaudrait l’infini; c’est d’ailleurs ce
qu’expriment les géomètres en disant que la courbe rencontre son
asymptote à l’infini, c’est-à-dire jamais.
Ainsi, le mot _infini_, en Géométrie, est le plus souvent synonyme de
_jamais_ et c’est encore le sens de ce terme dans la phrase bien connue:
«Les parallèles se rencontrent à l’infini.»
Mais dès qu’ils font de l’Analyse, un grand nombre de mathématiciens
perdent très vite de vue une signification aussi nette. La faute en est
aux créateurs de la méthode qui ont détourné de son acception le mot
_infini_ appliqué à des quantités de plus en plus petites. Les
_infiniment petits_ des divers ordres sont essentiellement différents de
zéro, dont ils peuvent se rapprocher toutefois autant qu’il est
nécessaire; le terme propre à employer eût donc été _indéfiniment
petit_; en fait, l’infiniment petit est toujours un nombre fini
variable, mais dont la loi de variation satisfait à une certaine
condition.
L’oubli de ces définitions nettes a plus d’une fois conduit certains
auteurs, qui n’avaient sans doute pas suffisamment réfléchi aux
fondements du calcul infinitésimal, à formuler des propositions
extraordinaires, comme celle-ci que je trouve dans un manuel classique:
«Un cercle est un polygone d’un nombre infini de côtés»; à ce compte, un
cône est une pyramide!
Si l’on veut conserver la rigueur du langage mathématique il faut dire:
«Le cercle est la surface limite vers laquelle _tend_ un polygone
régulier dont on double indéfiniment le nombre des côtés.»
Ainsi, quelle que soit la longueur de nos opérations, nous n’arriverons
jamais à transformer une ligne polygonale régulière en une
circonférence, ou même une ligne brisée en une courbe.
Et cependant c’est le Calcul différentiel et intégral qui nous permet,
grâce à la considération des _indéfiniments petits_, d’évaluer en toute
rigueur une surface limitée par une courbe, _d’intégrer_, comme disent
les mathématiciens. On a donc, par l’Analyse, introduit la notion de
continuité dans la science de l’espace, avant de savoir si elle s’y
appliquait. Il en a été de même en Physique et tout cela n’est guère de
nature à simplifier les fameux problèmes relatifs à l’infini et à la
divisibilité infinie.
Nous verrons qu’en réalité, c’est notre esprit qui a inventé le _continu
physique_, en opérant sur des données sensibles insuffisamment
analysées. Faut-il le regretter? Je ne le pense pas; sans le continu,
création pure de la pensée, l’Analyse infinitésimale n’existerait
probablement pas. J’ai dit «probablement» et plus loin j’expliquerai
pourquoi; mais si nous voulons jeter quelque lueur sur la notion confuse
d’infini appliqué au nombre, les considérations qui précèdent nous
montrent à l’évidence qu’il faut quitter la Géométrie pour s’en tenir à
l’Arithmétique, la vraie science des nombres.
Je n’ignore pas que, même dans ce domaine du discontinu, on a pu
réaliser des progrès sur la théorie des nombres en y introduisant, comme
l’a fait Hermite autrefois, des variables continues; l’Arithmétique
aurait donc pu à la rigueur nous conduire, par une marche inverse de
celle qu’on a suivie, à l’étude de la continuité.
Quoi qu’il en soit, logiquement, c’est au nombre entier que nous devons
remonter pour asseoir notre science et c’est encore à lui qu’il faut
revenir pour élucider le mystère de l’infini, je dirai mieux, pour poser
la question du nombre infini sous son vrai jour.
Un exemple simple, tout d’abord et que tous mes lecteurs comprendront:
Pensez un nombre? Soit 32 ce nombre. Maintenant, répondez à cette
question: Combien auriez-vous pu penser de nombres différents de 32?
Le problème ne comporte qu’une seule réponse: autant de nombres que vous
auriez voulu, c’est-à-dire une infinité. Vous avez donc bien l’idée du
nombre infini et ce nombre, vous ne le confondez avec aucun autre. Mais,
au fond, si vous y réfléchissez, vous voyez que tout revient à dire que
vous constatez la _possibilité_ de penser toujours un nombre différent.
Vous le voyez, dès que nous analysons la notion du nombre infini,
celle-ci s’estompe et paraît moins claire.
Varions notre problème: Combien pouvez-vous penser de nombres
pairs?--Une infinité, évidemment. Et de nombres impairs? Encore une
infinité.
--Voulez-vous maintenant, je vous prie, additionner les deux ensembles.
Vous aurez deux fois le premier nombre, donc celui-ci n’était pas
infini. Voilà où commencent les contradictions.
De même, vous partez d’un point de l’espace et vous menez une droite
vers le Nord; combien y pourrez-vous compter de mètres? une infinité;
mais vous ajouterez un nombre infini au premier si vous comptez les
mètres d’une autre droite partant de l’extrémité de la première et se
dirigeant vers le Sud.
Cette fois, penserez-vous, vous aurez le vrai nombre infini; illusion!
car vous pourrez répéter autant de fois qu’il vous plaira votre première
opération sur d’autres lignes menées dans d’autres directions et même
dans une infinité de directions. Si vous ne vous bornez pas à un plan,
par le point de concours de toutes ces droites vous pourrez à loisir
imaginer une infinité de plans et dans chaque plan, une infinité de
lignes et dans chaque ligne, une infinité de mètres. Etes-vous au bout,
avez-vous atteint l’infini? En aucune façon, car vous pourrez diviser
vos mètres en décimètres, et il y en aura encore une infinité, puis en
centimètres, sans que vous entrevoyiez une raison de cesser la
subdivision.
L’exemple, croirez-vous, est de nature géométrique. Incontestablement;
mais je puis le ramener à une question d’arithmétique. Imaginer une
ligne qu’on peut toujours augmenter d’une unité, c’est retomber dans le
cas du nombre pensé qui peut être aussi grand qu’il vous plaira et
auquel il vous est loisible d’ajouter un nouveau nombre; quant à la
subdivision envisagée, cela revient à intercaler entre 0 et 1, une série
de nombres satisfaisant à la condition d’être à la fois plus grands que
zéro et plus petits que l’unité. Or, ici aucun doute encore, nous en
concevons une infinité.
Les mathématiciens qui se sont occupés de la question, Cantor, Russell,
Poincaré, Zermelo et tant d’autres, nous feraient bien observer que
parmi ces nombres, il en est d’incommensurables et d’irrationnels, qu’on
y pourrait remarquer des sortes de lacunes, des _coupures_, mais pour
notre but il serait superflu de s’arrêter à ces particularités, et nous
admettrons en bloc qu’il y a une infinité de nombres entre zéro et un.
Observons seulement que le mécanisme valable pour les quantités insérées
entre 0 et 1, l’est encore pour les autres intervalles de 1 à 2, de 2 à
3 etc... Voilà donc de nouveaux infinis s’ajoutant aux premiers.
On pourrait multiplier ces exemples, montrer que certaines équations
telles que _sin_ π x = 0 admettent un nombre infini de solutions,
propriété qu’elles partagent avec certaines équations transcendantes;
citer quelques cas de fonctions continues bien connues des géomètres et
dont la dérivée devient infinie ou indéterminée pour une infinité de
valeurs de la variable, toutes comprises entre deux limites
arbitrairement choisies, puis de là passer aux séries discontinues,
etc... le résultat serait toujours le même; toujours nous en pourrions
conclure que le nombre infini ne répugne pas à la raison, n’est pas
absurde en lui-même bien qu’il soit accompagné d’obscurités et de
contradictions.
Analysons donc la notion de nombre infini; peut-être la lumière en
jaillira-t-elle.
* * * * *
On a dit autrefois que le fini supposait la notion innée d’infini. Je ne
le pense pas: _Infini_ veut simplement dire _non-fini_. Or, le fini est
ce qui a une limite et, pour concevoir cette dernière, il suffit de
comparer deux nombres différents, 5 et 10 par exemple; l’un finit après
5 unités, l’autre n’existe plus au delà de 10. Le mot _limite_ inclut
donc le concept d’une certaine négation appliquée au nombre qui, lui,
suppose toujours une certaine quantité d’unités.
Mais, étant donnée notre faculté d’abstraction, nous pouvons restreindre
ou développer notre négation, reculer la limite, penser indéfiniment des
nombres de plus en plus grands; l’imagination ne saurait s’arrêter en si
bon chemin et tout à coup il lui prend fantaisie de nier la limite, de
la nier totalement, cette fois. Et c’est ainsi que nous en arrivons à
associer l’idée de nombre à la négation totale de limite; nous avons
donc bien réellement le concept de nombre non-limité, non-fini
c’est-à-dire _infini_.
L’expression _indéfini_ serait plus heureuse, car en réalité et à y
regarder de plus près, l’application de l’adjectif infini à un nombre
est une façon abusive d’employer les termes du langage.
Qui dit _nombre_, en effet, suppose toujours une énumération d’unités
concrètes et distinctes, d’unités _discrètes_, comme disent les
mathématiciens; sans doute, tous les nombres jouissent de propriétés
générales et communes, de même que tous les triangles ont trois côtés et
trois angles; mais dès que nous examinons un triangle donné, les côtés
et les angles doivent avoir des valeurs déterminées, concrètes et non
générales.
Dès lors, comment pourrons-nous, d’une part, considérer un nombre
d’unités réelles et, d’autre part, accoler à ce nombre le concept de la
négation de limites; nous introduisons de cette manière une cause de
contradiction.
Que si nous voulons à tout prix, garder notre idée de nombre non-fini,
spécifions bien qu’il s’agit seulement de deux concepts généraux
associés, qui font du nombre infini une sorte d’être de raison et
remarquons une fois pour toutes que ce nombre infini conçu dans sa
généralité est essentiellement _indéterminé_. Ainsi, pour que le nombre
infini ne soit pas absurde, il faut que ce terme _infini_ appliqué à
l’idée générale de nombre, ne tienne jamais compte des unités en tant
que distinctes les unes des autres.
Mais alors, nous n’avons plus le droit d’appliquer au nombre infini les
règles ordinaires qui régissent les nombres, en tant que collection
d’objets individualisés et numérotés; d’additionner, de soustraire, de
multiplier et de diviser des nombres infinis; d’ajouter ou de retrancher
à un nombre infini. Toutes les contradictions déjà signalées
s’expliquent par l’oubli de cette remarque; c’est peut-être ce
qu’entrevoyait déjà Pascal lorsqu’il disait qu’il «est faux qu’un nombre
infini soit pair ou impair, car cela s’entend (seulement) de tout nombre
concret et fini».
Ainsi, le nombre infini ne suppose au fond, qu’une possibilité. «Quand
je parle de tous les nombres entiers, écrivait naguère H. Poincaré, dans
la _Logique de l’Infini_[48], je veux dire tous les nombres entiers
qu’on a inventés et tous ceux qu’on pourra inventer un jour; quand je
parle de tous les points de l’espace, je veux dire tous les points dont
les coordonnées sont exprimables par des nombres rationnels, ou par des
nombres algébriques, ou par des intégrales, ou de toute autre manière
que l’on pourra inventer. Et c’est ce que _l’on pourra_ qui est
l’infini.»
[48] H. POINCARÉ: _Dernières Pensées_, p. 131 (Flammarion, Paris
1913).
Concluons donc que si la notion du nombre infini est formée de deux
idées indéterminées--nombre et négation de limite--idées prises dans le
sens le plus général, le _nombre infini_, qui en résulte, est
essentiellement _indéterminé_, lui aussi.
Et c’est bien ce qu’ont voulu marquer certains auteurs qui remplacent
_nombre infini_ par une infinité, expression où s’affirme davantage le
général et l’indéterminé.
Si les deux idées de nombre et de négation de limite prises dans leur
sens le plus général ne s’excluent pas, tant qu’on reste dans l’ordre
purement idéal, allons-nous en conclure qu’il en est de même dans
l’ordre réel? Un abîme sépare ces deux domaines.
J’ai l’idée pure d’un triangle; eh bien, une telle idée est
irréalisable, «parce que tout triangle _réel_ devra contenir quelque
chose que l’idée pure ne contient point: le triangle réel sera
rectangle, obtus etc... propriété dont l’idée pure fait
abstraction»[49].
[49] Cf. BALMÈS: _Philosophie fondam._ t. III, p. 89 (Trad. Manec).
* * * * *
Passons à quelques exemples pour concrétiser notre pensée.
Soit une droite prolongée indéfiniment: elle contient une infinité de
mètres; partageons nos mètres en décimètres: elle en contient encore une
infinité. Nous avons donc deux nombres infinis dont l’un est 10 fois
plus grand que l’autre. Y a-t-il contradiction? Non, parce que l’idée de
négation de limite est subordonnée, dans le premier cas, à une
condition, la division en mètres; et dans le second, à une condition
différente, la division en décimètres. Aucun rapport de comparaison
n’est possible; des deux côtés, nous aboutissons au concept général de
nombre infini essentiellement indéterminé. Voilà pour l’ordre idéal.
Arrivons à l’ordre réel: Le nombre des corps célestes, mettons les
étoiles, est-il fini ou infini? Notez qu’il ne s’agit pas ici de savoir
si le Créateur, par exemple, pourrait augmenter le nombre actuellement
existant des étoiles: ainsi posée, la question est résolue dans le même
sens par tout le monde; il ne s’agit pas de possibilité, mais de
réalité. Il y a actuellement, des étoiles existantes; je dis que leur
nombre ne saurait être infini.
Ce nombre est en effet déterminé, puisque chacune des étoiles est une
individualité qui peut recevoir un numéro d’ordre; la somme de tous ces
corps est donc, elle aussi, concrète, donc déterminée. Essayez
l’hypothèse contraire: admettez que ce nombre soit indéterminé; vous
avouez par le fait même, que parmi les unités formant ce nombre, il en
est qui sont, elles aussi, indéterminées, qui sont susceptibles d’avoir
un numéro tout en n’en portant aucun; vous tombez dans l’absurde.
Un nombre actualisé, concrétisé, désignant des objets réels, ne
peut-être que déterminé; c’est le contraire du nombre infini qui est
indéterminé parce que fruit d’une pure abstraction.
Je sais bien que vous rencontrerez dans les écrits de quelques
philosophes, depuis Lucrèce et Épicure jusqu’à Kant, Hégel et combien
d’autres; chez les poètes, où ceci est plus excusable, des phrases de ce
genre: «Les soleils de l’espace s’étendent à l’infini; derrière la Voie
lactée, par delà les mondes que nous voyons, gravitent d’autres mondes;
le nombre des étoiles est infini...» Phrases creuses et vides,
enseignement grotesque et ridicule qui foule aux pieds toute logique.
On insiste en disant que nous refusons ainsi au Créateur sa condition
d’infinité et que nous limitons sa toute-Puissance. Mais un Etre Infini
ne saurait réaliser des idées contradictoires; il ne peut créer
l’absurde, et il est absurde de vouloir qu’un nombre d’objets concrets
soit infini, puisqu’en le supposant tel, j’admettrais que le nombre de
ces objets serait à la fois déterminé et indéterminé; autant dire que
l’être et le non-être sont identiques!
* * * * *
Notre raisonnement n’est pas seulement valable pour les étoiles, il se
doit appliquer à tous les objets.
L’Univers, avons-nous dit, est formé de particules; celles-ci sont donc
en nombre fini et c’est fort heureux, sans quoi nous ne voyons plus
comment les physiciens pourraient s’en tirer.
Poussons plus loin nos déductions et demandons-nous tout d’abord si
l’espace est infini; encore un point litigieux, mais rendu tel, faute de
notions et de définitions précises.
Posons bien la question: Personne aujourd’hui n’admet que l’espace soit
quelque chose en soi; l’espace n’est pas indépendant des objets
matériels et nous avons vu comment il est possible de dépouiller
l’espace de toute trace de représentation sensible: Ce sont les actions
réciproques de forces, inétendues par leur nature, qui constituent
l’espace.
Dès lors, notre question: l’espace est-il infini, peut s’entendre de
deux manières; puisque l’espace est formé par les forces dont la somme
réalise l’Univers matériel, nous pouvons nous demander si à ces forces
pourraient s’en ajouter d’autres, donc si l’espace pourrait s’étendre.
Évidemment oui; au delà de notre espace, il y a _possibilité_ pour
d’autres forces, donc pour un nouvel espace, ou si vous voulez, pour un
agrandissement d’espace. Une telle possibilité n’implique aucune
contradiction; tout le monde doit être d’accord sur ce point.
Mais le problème peut et doit se poser autrement: lorsque nous nous
demandons si l’espace est infini, nous voulons dire (puisque c’est la
matière qui fait l’espace): la matière s’étend-elle à l’infini?
La réponse, ici encore, ne fait aucun doute; car notre question se
ramène à cette autre: Le nombre de forces matérielles, par quoi se crée
l’espace, est-il infini? Assurément non, puisque nous pouvons appliquer
à ces forces, toutes distinctes, le raisonnement qui nous a servi pour
les étoiles.
L’univers est donc fini; je sais bien que la proposition ainsi présentée
répugne à notre imagination; mais ici, comme en beaucoup d’autres
circonstances, nous sommes victimes de nos sens qu’il faut savoir
refréner. Par delà les dernières étoiles et les dernières particules
matérielles, nous concevons des espaces sans fin; pure illusion,
provenant du fait que nous imaginons des espaces possibles, donc
d’autres forces indéfiniment; et nous ne faisons pas attention que dès
lors nous délaissons le réel pour entrer dans le domaine des
possibilités. Entre l’imagination et la logique, pas d’hésitation, il
faut choisir la dernière.
Nous verrons plus tard que les relativistes arrivent à la conclusion
d’un Univers fini, au nom d’une forme spéciale de notre espace, qui ne
répondrait pas à la Géométrie d’Euclide; nous discuterons leur théorie
au moment opportun, mais d’ores et déjà, il faut s’élever avec force
contre une telle manière de voir.
Les raisons pour lesquelles l’Univers est fini, ne dépendent aucunement
d’une certaine Géométrie; baser la limite du monde matériel sur une
conception géométrique de l’espace, c’est méconnaître les principes les
plus certains d’une saine philosophie; je ne crains aucun démenti en
affirmant qu’en la circonstance, Einstein, Weyl et leurs adeptes se sont
montrés de bien piètres philosophes; quant aux vulgarisateurs de l’idée,
la plupart n’y ont rien compris et c’est merveille de voir leur pensée
aux prises avec de multiples Univers qu’ils comparent à de gigantesques
bulles d’éther se promenant dans le vide, c’est-à-dire dans un espace en
soi, dans un espace qui devient un pur néant.
Non point que nous ne puissions nous demander s’il n’existerait pas
d’autres répliques de notre Univers, mais la question a été mal posée.
La seule réponse que nous devons faire est celle-ci: Une foule d’Univers
autres que le nôtre sont possibles; mais s’ils existent, ils ne sont pas
comme on pourrait le croire d’une façon simpliste, répandus dans une
sorte de vide inconcevable. Chacun d’eux forme son espace propre et s’il
n’y a pas de communication entre les forces de l’un et les forces de
l’autre, ces Univers doivent nécessairement s’ignorer. La difficulté de
concevoir un tel état de choses provient du fait que nous essayons
toujours de l’imaginer: laissons donc de côté tout essai de
représentation sensible et disons seulement ceci: Il peut exister des
groupes de forces liées entre elles et chaque groupe peut être distinct,
former un ensemble à part; chaque groupe constituera un Univers; mais en
aucun cas, si cela est, nous ne pourrons nous en rendre compte, puisque
pour le savoir, il faudrait sortir du nôtre, c’est-à-dire imaginer des
rapports entre des groupes de forces qui, par hypothèse, ne peuvent pas
en posséder. La question est oiseuse et toute spéculative; inutile donc
d’y insister et revenons à des sujets qui nous touchent de plus près.
* * * * *
Dès lors qu’il y a dans notre Univers, un nombre fini de forces et que
les actions réciproques de ces forces constituent l’espace et nous
donnent la sensation d’étendue, il s’ensuit que toute étendue concrète
correspond à un nombre fini de forces; lorsque je considère une longueur
représentée par l’arête d’un cube, je sais que cette arête n’est pas une
droite, mais je la conçois telle parce que ma vision imparfaite ne me
permet pas d’en saisir les sinuosités; la Physique moléculaire m’a
appris que les atomes sont très écartés les uns des autres; les
électrons eux-mêmes, qui les constituent en partie, tournent très loin
de leur noyau central: il y a discontinuité. Cependant, entre les deux
atomes qui fixent les extrémités de l’arête du cube, s’étend une matière
composée, elle aussi, de forces distinctes, particules dernières ayant
leur entité propre. Rien ne m’empêche de choisir celles qui sont
alignées sur une même droite, quelle que soit la définition de la
droite. Cette droite presque idéale, que j’imagine et que je conçois,
existe donc bien spatialement et elle est jalonnée par des forces en
nombre fini. Comme nous avons admis que ces dernières sont inétendues de
leur nature, mais que par leur multiplicité elles forment l’étendue
sensible, j’en conclus que toute étendue est discrète, c’est-à-dire
multiple, mais par définition je la dis continue.
Ainsi, en dehors de moi, il n’y a que multiplicité, mais comme je ne
puis compter les entités distinctes formant cette multiplicité, j’en
arrive à imaginer le continu qui n’est qu’une illusion.
Une telle conclusion n’a rien d’extraordinaire, si l’on veut bien se
rappeler que notre œil et notre oreille nous procurent des sensations de
continu, alors que la cause objective n’est que vibration, donc un
discontinu, le mot étant pris ici dans le sens de multiplicité.
* * * * *
Ces prémisses vont nous conduire à d’intéressantes constatations. Elles
nous permettent tout d’abord de résoudre les difficultés soulevées par
les Éléates. Une ligne n’est pas formée de points. Le point n’est qu’une
création idéale de notre esprit, comme la ligne, d’ailleurs, qui n’est
en réalité qu’une succession de forces élémentaires échangeant des
rapports suivant le schéma de la figure 7. Entre les extrémités d’une
telle ligne, il y a donc un nombre défini de forces et le problème de la
division indéfinie d’une droite ne se pose plus. La Géométrie analytique
est donc aussi une création de notre esprit, qui ne répond pas à la
réalité: pure abstraction analogue à nos concepts généraux. D’où vient
donc que l’étude des fonctions continues, domaine de l’Analyse, paraît
si bien encadrer cette réalité? Simplement parce que la multiplicité des
forces élémentaires, des particules ultimes de la matière est telle
qu’elle équivaut pratiquement pour nos sens grossiers à une véritable
continuité.
Autre déduction capitale: Si, d’une part, la matière est une--et c’est
la conclusion vers laquelle nous acheminent nos expériences--les forces
élémentaires, les dernières particules matérielles sont identiques; mais
si, d’autre part, l’étendue est fonction des rapports entre ces forces,
il existe une unité d’étendue, donc une unité d’espace, donc un espace
absolu.
Remarquons toutefois qu’ici le mot absolu ne veut pas signifier qu’il
existe un espace en soi, mais qu’il doit y avoir _une unité absolue
d’espace_. Lorsque les relativistes nous affirment que l’espace est
relatif, il faut avec soin distinguer leur point de vue: celui-ci est
vrai, si l’on entend dire que dans l’état actuel de nos connaissances,
nous n’avons aucun moyen de mesurer l’espace d’une façon absolue; nos
mesures d’espace sont relatives; mais leur prétention est injustifiable,
s’ils veulent nous imposer cette relativité comme une chose nécessaire
en soi. Nous venons de voir que tout nous porte à croire le contraire:
l’unité absolue d’espace existe; elle est une conséquence obligée de
toute notre Physique et le fait que nous ne la connaissons pas encore,
que nous ne pouvons la mesurer à l’heure actuelle, n’infirme nullement
son existence. Ce sera la tâche de nos successeurs de la fixer, et ils y
parviendront.
* * * * *
Autre question pour terminer ce chapitre.
On a beaucoup discuté en ces dernières années pour chercher s’il
existait des axes privilégiés auxquels nous pourrions rapporter nos
mouvements.
En d’autres termes, avons-nous un plan fixe de référence et un point
origine à partir duquel nous compterons les distances? On peut trouver
dans le système solaire un plan répondant à peu près aux conditions
imposées et prendre pour origine le centre de gravité du système; mais
c’est un pis aller; le Soleil nous emporte en effet dans une direction
connue et toutes les étoiles ont des mouvements propres variés en
intensité et en direction. Nous avions bien autrefois la ressource de
dire qu’il existait tout au moins un plan invariable dans notre système,
plan indiqué par Laplace et qui a reçu le non de _plan du maximum des
aires_[50]. Mais si l’espace absolu n’existe pas, un tel plan perd sa
raison d’être... à moins de le rapporter à un éther immobile qui, lui
aussi, nous échappe; et la relativité apparaissait de nouveau pour nous
sauver.
[50] Cf. TH. MOREUX: _Origine et Formation des Mondes_ pour ce qui
concerne le plan du maximum des aires du système solaire.
Les réflexions qui vont suivre n’ont pas la prétention d’aider les
physiciens et les astronomes à résoudre pratiquement le problème ardu
ainsi posé; mais, du point de vue spéculatif, elles sont de nature, ce
semble, à jeter quelque jour sur la question d’axes absolus de
référence.
Nous venons de parler du plan du maximum des aires appliqué à notre
Système; on tient compte pour le calculer des masses de chaque planète
et de l’aire que décrit leur rayon vecteur dans un temps égal et l’on
démontre que ce plan est invariable dans l’espace; or, ceci est exact
pour tout système mécanique clos, c’est-à-dire pour tout système de
corps célestes formant un ensemble et ne recevant aucun apport nouveau
de l’extérieur. Nous pouvons donc appliquer le théorème à la Voie lactée
dont nous faisons partie et, par extension, à tout l’Univers quel qu’il
soit, puisque, nous l’avons démontré, l’univers est fini.
D’où il suit que le monde matériel dont nous faisons partie possède un
plan du maximum des aires. Dire qu’il est invariable dans l’espace n’a
plus de signification, puisqu’il fait partie lui-même de notre espace
qu’il traverse de part en part; nous ne pourrons même pas imaginer, ni
concevoir, que l’ensemble des corps formant l’Univers, ensemble pris en
bloc, puisse se mouvoir ou tourner sur lui-même, ni changer de position,
puisque ceci supposerait un espace autre que le sien et auquel nous le
rapporterions; il reste néanmoins cette conclusion que tous les corps
célestes opèrent leurs mouvements par rapport à ce plan, qui est
invariable pour eux. Ainsi, nous aurions dans l’Univers, au moins un
plan fixe pour étayer nos coordonnées; nous arriverions par là même à
posséder un plan absolu d’espace et une unité absolue d’espace, comme
nous l’avons démontré.
Ces vues, je le répète, sont, à l’heure actuelle, purement spéculatives.
Il était opportun toutefois de les présenter ici, non seulement à titre
de curiosité, mais parce qu’elles sont de nature à démontrer que rien ne
paraît plus relatif que la théorie même de la relativité.