_Variationem inclinationis orbis lunaris ad planum eclipticæ ex figurâ
terræ spheroidicâ ortam determinare._
Esto ANH (_Fig._ 6.) æquator, AG ecliptica, et A punctum æquinoctii
autumnalis: fit NGRM orbis lunæ secans eclipticam in G et æquatorem in
N, in quo sumantur arcus NL, GR, æquales quadrantibus circuli. Jam
si nodus æquatorius N per temporis particulam vi prædictâ transferri
intelligatur in _n_, et per punctum L describatur circulus _n_L_r_,
exhibebit hic situm orbis lunæ post tempus elapsum, et si in eumdem
demittantur perpendicula N_m_ et R_r_, posterius R_r_ designabit
variationem inclinationis orbitæ lunaris ad eclipticam eodem tempore
genitam. Est autem N_n_: N_m_∷ 1: _m_, itemque N_m_: R_r_∷ 1: sin. LR;
sed ob NL = GR, est NG = LR; unde conjunctis rationibus est N_n_: R_r_∷
1: _m_ × sin. NG; ex quo patet variationem inclinationis momentaneam
esse proportionalem sinui distantiæ nodi lunaris ecliptici à nodo
æquatorio. Ad diametrum NM demittatur perpendiculum GK, et existente
G_h_ decremento arcûs NG facto quo tempore nodus æquatorius N describit
arcum N_n_, agatur _hk_ parallela ipsi GK, eritque 1: GK sive sin.
NG∷ G_h_. K_k_; proindeque jam erit N_n_: R_r_∷ G_h_: _m_ × K_k_,
adeoque summa omnium variationum R_r_, quo tempore nodus eclipticus
G descripsit arcum MG, genitarum erit ad summam totidem motuum N_n_,
hoc est, ad motum nodi æquatorii N eodem tempore factum, ut summa
omnium K_k_ ducta in _m_, ad summam totidem arcuum G_h_, id est, ut
_m_ × MK ad MG. Sit NH motus nodi N tempore revolutionis nodi G ab uno
equinoctio ad alterum, eritque variatio inclinationis eodem tempore
genita, hoc est, variatio tota æqualis ((2_m_ × NH) ⁄ MGN). Unde cùm NH
⁄ MGN exprimat rationem motûs nodi æquatorii ad motum nodi ecliptici,
prodit theorema sequens: _Est motus nodi lunaris ecliptici ad motum
nodi æquatorii, ut sinus duplicatus inclinationis mediocris orbitæ
lunaris ad æquatorem, ad sinum variationis totius inclinationis ejusdem
orbitæ ad eclipticam._
In hoc computo inclinationem mediocrem orbis lunaris ad æquatorem,
nempe 23° 28´ ½, usurpo, cum in revolutione nodi tantum ex unâ
parte augetur, quantum ex alterâ minuitur, et omnes minutias hîc
expendere supervacaneum foret. Motus autem nodi lunaris ecliptici
est ad motum nodi lunaris æquatorii ut 19° 20´ ½ ad 11´´ ½ vel 15´´,
sive ut 6055 vel 4642 ad 1, unde per theorema supra traditum prodit
variatio inclinationis tota æqualis 27´´ vel 35´´, prout differentia
axium terræ statuitur ¹⁄₂₂₉ vel ¹⁄₁₇₇. Hac igitur quantitate augetur
inclinatio orbis lunaris ad eclipticam in transitu nodi ascendentis
lunæ ab æquinoctio vernali ad autumnale, et tantumdem minuitur in
alterâ medietate revolutionis nodi. In loco quolibet G inter æquinoctia
variatio inclinationis est ad variationem totam ut sinus versus arcûs
MG ad diametrum, ut patet; sive differentia inter semissem variationis
totius et variationem quæsitam est ad ipsam semissem variationis totius
ut cosinus arcûs MG ad radium, hoc est, ut _u_ - (_qsvv_ ⁄ _p_) ad 1.
_Q. E. I._