_Invenire motum nodi ex prædictâ causâ oriundum._
Per motum nodi in hac propositione intelligo motum intersectionis
planorum æquatoris planetæ et orbitæ satellitis; orbitam autem
satellitis quamproximé circularem suppono. Esto S locus satellitis in
orbe suo SN cujus centrum C, (_Fig._ 4.) SF arcus centro C descriptus
perpendicularis in circulum æquatoris planetæ FN; SB arcus eodem
centro descriptus perpendicularis ad orbem SN, atque in SB sumatur
lineola S_r_ æqualis duplo spatio, quod satelles percurrere posset
impellente vi DR in Coroll. præced. determinatâ, quo tempore in
orbe suo describeret arcum quàm minimum _p_S: per puncta _r_, _p_,
describatur centro C circulus _rpn_ secans equatorem in _n_, qui
exhibebit situm orbitæ satellitis post illam particulam temporis, nodo
N translato in _n_. Agantur SC, CN, et SH perpendicularis in lineam
nodorum CN, et N_m_ perpendicularis in _rpn_. Jam cum sint lineolæ
S_r_, N_m_, ut sinus arcuum S_p_, SN, erit S_p_. S_r_∷ SH. N_m_; deinde
in triangulo rectangulo N_mn_ habetur _m_. 1∷ N_m_. N_n_; unde per
compositionem rationum S_p_ × _m_. S_r_∷ SH. N_n_ = ((S_r_ × SH) ⁄
(S_p_ × _m_)): dato igitur arcu S_p_, est N_n_ sive motus nodi ut S_r_
× SH. In triangulo sphærico rectangulo SFN est sinus anguli N, hoc est,
anguli inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem planetæ, ad sinum
arcûs SF, ut radius ad sinum arcûs SN, id est, _m_. (_k ⁄ l_)∷ 1. SH,
adeoque _k ⁄ l_ = _m_ × SH; est igitur _k ⁄ l_ ut SH. Vis autem S_r_
per Coroll. Prop. præced. est ut _k ⁄ l_, adeoque ut SH; quamobrem
est S_r_ × SH, proindeque et N_n_, ut (SH)², hoc est, motus horarius
nodi vi præfatâ genitus est in duplicatâ ratione distantiæ satellitis
à nodo. Et quoniam summa omnium (SH)², quo tempore satelles periodum
suam absolvit, est dimidium summæ totidem (SC)², ideò motus periodicus
est subduplus ejus qui, si satelles in declinatione suâ maximâ ab
æquatore planetæ continuò perstaret, eodem tempore generari posset.
Sit igitur satelles in maximâ suâ declinatione sive in quadraturâ cum
nodo, eritque SN quadrans circuli, et N_m_ mensura anguli N_pm_ sive
S_pr_, eritque in hoc casu N_n_ sive motus horarius nodi ad N_m_, hoc
est, ad angulum S_pr_, ut 1 ad _m_; est autem angulus S_pr_ ad duplum
angulum, quem subtendit sinus versus arcûs S_p_ satellitis gravitate
in primarium eodem tempore descripti, id est, ad angulum SC_p_ qui est
motus horarius satellitis circa primarium, ut vis S_r_ ad gravitatem
satellitis in primarium, hoc est (per Coroll. Prop. I.), ut (6_kbcn_) ⁄
5_l_³ ad 1, sive, quia est in hoc casu _k_ ⁄ _l_ = _m_, ut (6_bcmn_) ⁄
5_l_² ad 1. Unde conjunctis rationibus est motus horarius nodi ad motum
horarium satellitis ut (6_bcn_) ⁄ 5_l_² ad 1; et si S denotet tempus
periodicum solis apparens, et L tempus periodicum satellitis circa
primarium suum, cum sit motus horarius satellitis ad motum horarium
solis ut S ad L, erit motus horarius nodi ad motum horarium solis ut
(6_bcn_) ⁄ 5_l_² × S ⁄ L ad 1, et in eadem ratione erit motus nodi
annuus ad motum solis annuum, hoc est, ad 360°. Quarè, si satelles
maneret toto anno in maximâ suâ declinatione ab æquatore primarii, vis
prædicta ex figurâ sphæroidicâ planetæ primarii proveniens generaret
eodem tempore motum nodi æqualem (6_bcn_) ⁄ 5_l_² × S ⁄ L × 360°, et
ex supradictis motus verus nodi annuus erit hujus subduplus, nempe
(3_bcn_) ⁄ 5_l_² × S ⁄ L × 360°. _Q. E. I._