_Corporis longinqui gravitatem ad Sphæroidem oblatam determinare._
Retentis iis quæ sunt in lemmate superiori demonstrata; esto C centrum
sphæroidis, cujus æquatori parallelus sit circulus IMK. Sphæroidis
hujus semiaxis major sit _a_, semiaxis minor _b_, eorum differentia
_c_, quam exiguam esse suppono; et dicatur D circumferentia æquatoris.
Centro C et radio æquali semiaxi minori describi concipiatur
circulus qui secet IK in _i_, eritque gravitas in directione SD, qua
urgetur corpus S versus materiam sitam inter circumferentiam IMKN et
circumferentiam centro X et radio X_i_ descriptam, æqualis gravitati
in lemmate præcedenti definitæ ductæ in rectam I_i_. Sed est I_i_.
_c_∷ IX. _a_, atque _d_. D∷ IX. _a_; unde I_i_ × _d_. D × _c_∷ (IX)².
_aa_, hoc est, ex naturâ ellipseos, ob CX = _z_, et IX = _r_, I_i_
× _d_. D × _c_∷ _bb_ - _zz_. _bb_, adeoque I_i_ × _d_ = (D × _c_) ⁄
(_bb_) × (_bb_ - _zz_), atque _rr_ = _aa_ - (_aazz_) ⁄ (_bb_); scribi
autem potest in sequenti calculo _bb_ - _zz_ pro _rr_ ob parvitatem
differentiæ semiaxium in quam omnes termini ducuntur. Gravitas igitur
corporis S in materiam inter circumferentias supradictas consistentem
exprimetur per (D × _c_) ⁄ (_bb_) × (_bb_ - _zz_) × (_k_ - _z_) in 1
⁄ _l_³ + (3_kz_) ⁄ _l_⁵ - (3_bb_) ⁄ (2_l_⁵) - (15_zz_) ⁄ (4_l_⁵) +
(15_bbhh_) ⁄ (4_l_⁷) + (45_kkzz_) ⁄ (4_l_⁷). Et si addatur gravitas
in similem materiam ex alterâ parte centri C ad æqualem à centro
distantiam, quia tunc CX sive _z_ evadit negativa, gravitas corporis S
in hanc duplicem materiam erit (D × _c_) ⁄ _bb_ × (_bb_ - _zz_) in 2_k_
⁄ _l_³ - 6_kzz_ ⁄ _l_⁵ - 3_kbb_ ⁄ _l_⁵ + 15_k_³_zz_ ⁄ _l_⁷ + 15_hhkbb_
⁄ 2_l_⁷ - 15_hhkzz_ ⁄ 2_l_⁷. Ducatur jam gravitas hæc in _ż_, et sumptâ
gravitatum omnium summâ, factâ _z_ = _b_, gravitatio tota corporis S
in totam materiam globo interiori superiorem secundum directionem SD
æquatori perpendicularem prodit (D × _c_) × (4_kb_ ⁄ 3_l_³ - 4_kb_³ ⁄
5_l_⁵ + 2_khhb_³ ⁄ _l_⁷). Simili ratiocinio gravitatio corporis S in
eamdem materiam secundum directionem SR æquatori parallelam invenitur
æqualis D × _c_ × (4_hb_ ⁄ 3_l_³ + 2_hb_³ ⁄ 5_l_⁵ - 2_hkkb_³ ⁄ _l_⁷).
Tum si addatur gravitatio corporis S in globum interiorem, ex unâ parte
scilicet 2_b_³_k_D ⁄ 3_al_³, et ex alterâ 2_b_³_h_D ⁄ 3_al_³, habebitur
gravitas corporis S in totum sphæroidem. _Q. E. I._