Nous avons promis, pour la marche rentrante en elle-même du cavalier,
d'autres solutions que celle d'Euler. En voici deux, dues à Vandermonde,
géomètre français très-distingué, et représentées dans les deux figures
ci-après. Les 64 points ronds de ces figures sont les centres des cases
de l'échiquier; les traits qui unissent ces points indiquent la marche
du cavalier. Comme la suite de ces traits est sans solution de
continuité depuis un point quelconque pris pour départ jusqu'au retour
au ce même point, ils indiquent très-clairement des marches rentrantes
analogues à celle d'Euler. Les traits pointillés qui établissent la
liaison entre les quatre parties dans lesquelles chaque figure est
décomposée, donnent la trace de la manière dont Vandermonde est arrivé à
la solution du problèmes.
[Illustration: PREMIÈRE SOLUTION DE VANDERMONDE.]
[Illustration: DEUXIÈME SOLUTION DE VANDERMONDE.]
I.. Soit ABC le triangle dont le charpentier peut disposer Il divisera
les deux cotés AB CB en deux parties égales aux points F et G; FG sera
un des côtés du rectangle demandé FGIH, qu'il est facile d'achever. La
superficie de ce rectangle est précisément égale à la moitié de celle du
triangle.
[Illustration.]
On voit facilement, d'après la première figure, que lorsque les trois
angles du triangle sont aigus, il y a trois solutions! Les trois
rectangles FGIH, FKNP, KGML, sont équivalents en surface, quoique de
dimensions inégales.
La seconde figure montre que lorsqu'un des angles A du triangle est
droit, il n'y a plus que deux solutions fournies par les rectangles
FGIA, FINP.
Enfin, si l'un des anges A devenait obtus, il n'y aurait plus qu'une
seule solution, FINP.
II. On sait que le carré d'un nombre n'est autre chose que le produit de
ce nombre par lui-même: 1, 4, 9, 16, 25, etc., sont donc respectivement
les carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5, etc.
On voit donc que 3 et 4 sont les plus petits nombres qui satisfassent à
la question; car leurs carrés sont 9 et 16, dont la somme 25 est
précisément égale au carré de 5; 5 et 12 donnent aussi une solution du
problème, car 25, carré de 5, ajouté à 144, carré de 12, donne 169,
carré de 13.
Mais comment trouver à volonté des nombres entiers qui satisfassent à la
question? Voici le procédé employé dès l'antiquité dans l'école de
Pythagore. On prendra dans la suite des nombres impairs:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc.,
successivement tous les termes 9, 25, 49, etc., qui sont des carrés
parfaits; chacun de ces carrés, ajouté au carré du nombre des termes qui
le précèdent, donnera un carré parfait précisément égal à celui du
nombre qui exprime son rang.
Ainsi, 49 est le vingt-cinquième terme, et en y ajoutant le carré de 24,
ou 576, on a le carré de 25 ou 625.
Platon, qui était aussi habile en géométrie que grand philosophe, a
imaginé un autre procédé qui fournit aussi une infinité de couples de
carrés dont la somme est un carré parfait. Il suffit de prendre un
nombre pair quelconque, tel que 6, son carré est 36; le quart de 36
diminué de 1, c'est-à-dire 8, élevé au carré, ce qui donne 64, ajouté à
56, donnera 100, carré de 10.