振兴算学论
此论系友人金匮华世芳先生所撰录登于报以供众览其文曰数为六艺之一权于隶首而详于周官保氏孔门七十子之徒咸通其理秦汉而降代不乏人如洛下张衡刘焯祖之辈各有著述号为专家唐时设明算科其书颁在学宫令博士弟子分年肄习沿及宋元其学大盛自明人崇尚八股始薄九章为小道或鄙夷而不屑或学之而不精唐顾诸人奋其私智纔学中堕我 国家右文稽古振兴算学 圣祖仁皇帝聪明天亶几务余闲旁及象数 御纂数理精蕴五十三卷立纲明体分条致用以点线面体为经以和较顺逆为纬通中西之异同阐天人之微奥大哉 圣人之制作固当超万古而上一时承学之士若薛仪甫王晓庵梅征君类皆甄明八线洞晓六宗而梅氏著书至七十余种阐明各法意境莹然以故宗其学者益众干嘉以来人才辈出自戴东原表章古籍而算经诸书传自张古愚李尚之罗茗香诸君核算细草而天元四元之术明自明静庵董方项梅侣戴谔士徐钧卿诸家发挥杜术而屡乘屡除之法精自李壬叔读徐李之业而几何曲线重学代数微分积分之学备算学之至今日古义既明新法日出斯诚极古今未有之奇萃中外一家之盛矣然以中国之大人材之众而海内精此学者不过十余家而嘉道时院文达公编辑畴人传为书祗四十六卷罗氏续之得六卷然犹借才于异代借才于异地以中原文献之邦曾不若泰西诸国之盛者何也西国算学列于书院月有考试等其高下而进退之大书院肄业者多至数百人夫聚数百人之心思才力相与计论而研究之其用力少而成功速也明矣中国则不然律令有天文之禁 朝廷无考试之条而钦天监率任世职默守成法习其所当然而不知其所以然功名之士谁肯舍其当务之急而为此不急之务即有一二笃志嗜学之人而或穷乡僻壤既少书籍之考证又无友朋之讲习冥搜暗索劳精疲神焉有不废然中辍者乎同治中大臣有上书请 诏开算学科者格于部议未见施行观礼部原奏云昔康熙年间杨光先与汤若望赌测日影于 午门九卿中无一知其法者由是以推今若开科将不独应试者人数不敷即主试者亦恐骤难其选吁亦可慨矣幸年来当轴诸公有见于西人制器之精无不以算学为本而尤惜从事于此者之少也思有以振兴之由是京师设同文馆闽中沪上两船厂亦开学堂招致生徒讲明算法而学使岁科两试始有录取算学之例可谓求其本矣今两广张制军讲求实用为国储才创建算学馆广致算师诱掖而奖进之语云城中好高髻四方高一尺吾知有志之士必争为有用之学行见家有其书人自为学实事求是精益求精将上以察天星之高远下以辨地域之广轮以制造测量之学西人所矜为独得者更不难发其扃而辟其奥谁得目为小道而忽之哉
推广算学议
礼乐射御书数六艺之中算居其一正字通周髀算经二卷注云数学始包牺氏周公授于商高以九数勾股重差算日月周天行度远近之数算经云黄帝定三数为十算命隶首作数以率其羡要其会隶首因以着九章周礼云保[氏](民)养国子以道乃教之六艺曰九数注数即九章算术也汉平征天下历算小学所在为驾一封又张苍善算故以列侯居相位综理上计唐李淳风明步天历算制浑天仪着法象书七篇又江本撰三位乘除法位算法二卷宋祖之有度景量竿法皆本勾股重差为乘除元博极书凡天文地理历算靡不研究明洪武定科举格中式后十日以骑射书历五术试之郑善夫言汉宋以来皆设算学与儒算同科谓之四门博士古人往籍历历可征算学之行已非一朝一夕即列入考试令典亦早有所由来中朝成宪遵循近时经古中亦许诸生报考然勾股开方弦和测量等术仍不外周髀所遗且命题者非尽精通历算不过抄录前人之说依样葫芦故各处所出算学题苟幕无熟习之人大都不脱范围千篇一律别无翻新花样意见独奇者自利玛窦入中国与徐光启译几何本而后知算学一门厥用甚广一天文也行星之度昼夜之运行风雨阴晴推迁不爽一地舆也经纬之分明道路之远近山川江海高下深阔皆有一定之理一制造也配合勾连大小轻重马力则有多有少运动则有速有迟一军战也鎗炮之准头药弹之增损纬度之平直地势之低昂以上四途仅以旧法应之必至临事茫然格不相入而西学中无不需算欲求事之有济非精于此艺断不为功中兴以后国家风化维新力除积习知西人之学实为富强之原于是竭其才智聪明有心效法十年以前又准臣工之奏特开算学一科将算学生咨送总署覆勘作为算学生员俟乡试之年按册咨取录送顺天乡试每二十名取中一名会试则与诸士子仍归大号既中贡士即为洋务人员如此破格取才朝廷已为郑重然算法包罗甚广罗茗香先生平生习算至不得游息之闲尝谓习算之人须精神充足由童时以至壮岁中无作辍方得旁通曲证参透精微若欲于文章八股余闲兼习其艺以为此乃寻常小学不必甚专此大谬也夫人生记悟之功全在髫龄若使年华已富则心思涣散讵能深入显出体会深微算学变化靡穷纵探讨甚勤尚恐不能精到若偶然涉猎其能造极登乎今天子求才崇尚有用之学张香帅雄才大略又能为国尽心宜算措余资于各省设立公塾招集子弟专教西算西算既习考取之后将进取之生分隶各种学堂或习天文或习地理或习制造开矿各艺不必诵读西文宜由 朝廷明定章程将已有西人各种算书钦定全集其不足者翻译以补之务使简括详明一览便能明晓最妙者各县皆设时务西学书院其中另设算学一斋俾有志者肄业则人才易于培养而算学可推行矣或谓中国之大州县之多若尽聘西师非惟经费太多抑亦有才难之叹然子弟启蒙之始不必良师兹思得简易之法天主耶稣教堂遍于中国皆中国为之保护该教士皆性情肫挚好学多才且立志大公毫无私弊既蒙吾朝恩宠岂无报之心今议各学堂即请若辈以充教师代为化导每县各立学堂各延教士俟子弟学问已进择尤送入省会学堂再求深造此则节糜费而成实效广造就而养真才将来润色升平栋梁大岂非国家之福自强之基哉
学算笔谈序
华蘅芳
孟子言仁义礼智有四端吾谓算亦有端算之端何计较之心也儿童分果必争其大农夫行路必趋快捷方式计较之显然者无论矣他若衣服之工补短截长奇袤合度则有面积之意也烹饪之工味咸而和以水味淡而剂以盐则有比例之意焉此皆能算之端具于生初者也是故有是端而不知扩充之则囿于一艺一能之末有是端而知所以扩充之则统乎万事万物之纲故凡天文之高远地域之广轮居家而布帛粟菽在官而兵河盐漕以至儒者读书考证经史商贾持筹权衡子母莫不待治于算此又算之切于日用斯须不可离者也夫以算之切于日用者既如此具于生初者又如彼宜乎夫人而知之夫人而能之矣而世之学者辄诧为绝业而苦其难明者何哉窃尝论之上古之算本简捷而易明也自后世事物日变人心智虑日出于是设题愈难布算愈繁而精其业者各以心得著书又好为隐互杂糅穷极微奥不屑以浅近示人甚或秘匿其根源以炫异变易其名目以托古此今古畴人之积习作者之恒情算学之境因是而益深而学算之人宜其望洋而兴叹也咸同以来风气稍开四方向学者渐众津逮初学之书亦渐出顾或力求简易语焉不详或稗贩成书无足观览或硁硁然随问演草因题立术亦云曲尽能事矣然无论说以疏达之贯澈之学者病其烦读不终篇辄倦而思卧耳余有鉴于此而重惜人人具有扩充之力而未得其用力之途也思有以诱掖而引进之因举学算次第之大旨并胸中所欲言者一一达之笔而着于篇演为算式以习其数设为问答以穷其趣法由浅而入深语虽繁而易晓聊以扩充其能算之端云尔至于辞句之俚俗体例之参差见哂高明所不计也刻既成因书其缘起于简端以质海内游艺之君子
总论算法之理
华蘅芳
人之心中若果懵懵然茫无知觉则亦不必谈及算学若其稍有知觉而能思维计较者即已有算学之理与有生以俱来试观孩儿嬉戏见果必争取其大者因其胸中已有一多寡之见存焉也由是知算学之理为人心所自有并非自外而入故取算书中不甚繁重之题以语不习算法之人彼亦能积思而得其所求之数惟迟速难易则与能算者大异焉此因算之未得其法则各数悉从心计而出故必甚难苟知算法则无论设数如何皆可以法驭之而心中可不必思索所以能事逸而功倍也夫一切算法其初皆从算理而出惟既得其法则其理即寓于法之中可以从法以得理亦可舍理以用法苟其法不误则其理亦必不误也
识数之法
物生而后有象象而后有滋滋而后有数则物之有数乃人之强立名目以记物之多寡者也故亦谓之数目
数目之名即一二三四五六七八九十是也然数可多至无穷若每数必立一名则不胜其繁且终不能尽纪其数故又立一简便之法名其自一至九为单位之数满十则为进一位之数仍以自一至九之各字记之而名之为当十之位满百则又进一位亦仍以自一至九之各字记之名之为当百之位由此而百进为千千进为万而十万而百万而千万其位均以下一位之数满十而进为一则任数之如何多皆可以此法记之
所以必以十进制者因人手有十指便于屈指计之也凡常用之数大抵以十进制者为多惟天文家度分秒之数则以六十进制
各位之数既俱可用自一至九之各数记之则其空位当以零字记之或作一圈以代零字亦可
凡学算法必先从识数起故识数为算学中第一步工夫不识数之人不可以学算也惟数目之字并无意义可寻其初必从强记而得所以人自孩提之时父母即教其识数聪明之人有数岁即能识数者愚蠢之人有数十岁仍不识数者识数之法先将自一至十之十个字读至极熟能一气贯注而不凌乱错杂便能将十个物任取几个数之知其为何数再从一十一读至一百则能数一百个钱又知十百为千十千为万等意则其人便可为识数之人
识数之工夫由于习练而成非但口中要熟亦须眼中看惯方能敏捷如将子五枚置于桌上则儿童不能随口即言其数必用手一一数过而后知之此因眼光未习练之故也及已看惯则物之不满十个者平常之人皆能一望而知之惟因眼中亦能识数故数物可不必一个一数而可任几个数之然亦各有数法譬如数钱数则以五个一数而口中呼一五一十十五为最便譬如数鸡卵则手中不能持五个鸡卵祗能两个一数而口中呼一双两双至末则云几双或几双多一个此固寻常习用之法而其中已暗以加法乘法为妙用焉维不经道破则人亦不觉耳
大扺物之能随手运动者数之易其不能随手运动者数之稍难因不能将已数过者另置一边也譬如入山林而数丛树往往数之数次不得分明因其已数过者与未数过者易致看错非有遗漏则有重复故不能得其真实之数然此亦有法焉可将他物于每数过之树次第作志则无志者为未数过之树易于遍数而遍志之以得其的确之数其作志之意犹之另置一边也
作志之法惟手所能及之物或手虽不能及而可用长竿及之者则可若其物非手与竿之所能及则此法不能用譬如欲数清天空之星则其事甚难因不能于星上作志也
人虽不能于星上作志然可于纸上作点以肖其星故可观列宿之形而一一绘之于纸以成星图则数图上之星与数天上之星无以异也所以星亦有数此皆识数以后之巧思也算法亦为各种巧思故遇一难算之题则必有一法以解之及解去此难又有一难于此者在前必又有一法以解之如此由浅入深步步各有难处而步步各有巧法故无论题之如何深奥皆可于纸上写之算之以与人共明之
论加减乘除开方之用
华蘅芳
算学中各种题若非用加减乘除开方等法以驭之则不能得其所求之数可见此五者实为算学中各种利器藉以攻坚入深者也有此五者则于寻常浅近之算学中已无不能推算之题
然学算之人每不以加减乘除开方为难而以用此五者为难因题中所言之各数但有其彼此相关之理而未明言其何数为实何数为法何数当加减何数当乘除开方也题之形状万变不穷知其一未必知其二通于此未必通于彼则加减乘除开方虽已习之极熟而不得其用之之道亦几与不习者无异焉
然则如之何而后可惟有将从古迄今所有之各种算学题目由浅及深分门别类一一立术演草或加以图说以明其何以当加减何以当乘除何以当开方则题意明而驭题之法亦明可不致遇题束手矣
吾且掩卷思之古今来所有之算学书流传于世者奚止数百种吾所曾经寓目者亦有数十种此数十种书何种非将算学之题由浅入深分门别类按题立术演草附图以明其加减乘除开方之故者与其抄撮前人之书以侈吾之卷帙曷若请学算之人自观各种算书以明其加减乘除开方之用也哉
果如此说则笔谈之作即可从此而止矣然而仍不能已者何也余于算学中寝馈者已数十年此中之甘苦知之最悉故欲将已历过之境界已见到之地步为学者缕述之以助其观书之功而省其枉费之力俾不致如余之尽从暗中摸索得来则吾愿慰矣
吾于算学生平未尝受业于人即与能算者相友善亦未尝数数问难也惟乐观各种算学之书自十五六岁时偶于故书中检得坊本算法心窃喜之日夕展玩不数月而尽通其义吾父见其癖嗜此学必是性之所近也遂为之购求算学之书爰得周髀九章孙子五曹张邱建夏侯阳辑古海岛益古演测圆海镜俾纵观之除益古海镜二书以外其为常法所能通者以加减乘除开方之法驭之无不迎而解惟于天元之术则格格不相入者几及一年始得涣然冰释后又得秦氏数书九章梅氏历算全书罗氏观我生室季氏遗书董方立遗书衡斋算学焦理堂学算记骆春池游艺录始知算学有古今中西之异同而几何原本当时尚未译全其前六卷世无单行之本惟数理精蕴中有之及购得数理精蕴遂能通几何之学而吾年亦已二十矣是时海内算学名家如项氏梅侣徐氏君青戴氏崿士李氏秋纫其所著各书尚未出因访秋纫于墨海书馆见其方与西士伟烈亚力对译代数学及代微积拾级尚未告竣秋纫谓余曰此为算学中上乘功夫此书一出非特中法几可尽废即西法之古者亦无所用之矣余于是知天元之外更有代数微分积分之术爰从其译稿中录得数条视之迄不得其用意之处又阅数年其译本先后刊竣惠我一编披阅数页外已不知其所语云何也其格格不相入者犹之初读海镜时也诘诸李君则云此中微妙非可以言语形容其法尽在书中吾无所隐也多观之则自解耳是岂旦夕之工所能通晓者哉余信其言反复展玩不辍乃得稍有头绪譬如傍晚之星初见一点旋见数点又见数十点数百点以致灿然布满天空是余之于代数其明也以渐非如天元之术不悟则已一晤则豁然开朗也然后知代数之术其层累曲折多于天元故其致用之处亦比天元更广从此以后无时不究心于代数每觉李氏所译之二种殊非易于入手之书故余又与西士傅兰雅译出代数术微积溯源三角数理代数难题解法流播于世于是今之言算者皆知西法之代数即是中法之四元而其浅深难易则不可同日而语矣
或有问者曰如子之说则必先罗致多书而后可以学算乎抑不必罗致多书而亦可学算乎
答之曰学算不必多书也惟择其要者观之而已其最易入手者为程氏算法统宗屈氏九数通考此二书于加减乘除开方之用言之极详故于初学最相宜且从此又可学得开带纵平方及正立方之法亦可稍知西法中各种名目九章算术为中法最古之书其文义与古书相往来亦学者不可不读之书也能读九章则一切古算书无不能读矣是书锺祥李云门演有细草图说极为详细外间有刻本矣
几何原本为西法中最古之书不言法而言理不言数而言象彻乎立法之源凡九章所不及者无不赅也不读几何则不能明点线面体之理而于加减乘除开方之用终不能了然于心目之间是书第十卷之理甚深非初学所能通晓但观其前六卷可也
几何之界说及各题字字齐力其释题之语无一字不周到无一句无来历学者读惯此书其心思自能缜密则看各种算学之题如禹鼎烛奸可以无遁形矣
论看题之法
华蘅芳
初学之人于题中之各句句中之各字往往模糊看过不能字字尽见虽将其题看之多次算之数遍仍有一两个最要紧之字未曾看清非真未见此数字也见之而不知其用意之所在则此数个最要紧之字依然漠不关心亦犹之乎不见而已
题中之字句有极其力者有不甚力者又有可有可无者惟其可有可无及不甚力之字往往皆显露于面前一望即见而其极力之字则藏伏隐匿于各字之间而使人不易见是在乎看题之眼光能识别之其辞气轻重之间最有关系故于虚字尤不可忽略看过也
凡看算学之题务将其每句每字俱看完全不可有一字遗漏亦不可有一字不从心上经过则可知题之所语云何其注意之处何在即能知其某句某字力不力于是题中所暗藏之意思可以尽显而各数相关之故亦确凿可指而不至有游移两可之见夫而后题中之各数能为我所用而我之加减乘除开方等法亦肯为题中各数所用而不至于捍格不相入矣
算学中各种题譬如用线绾成各种花样之结加减乘除开方等法犹之各种器具可用以解结者也惟欲用各器以解其结必先看清结之丝缕方能有下手之处看题之法亦如是而已
既能看清题中之丝缕则可将题中不要紧之闲字闲句逐渐删汰之而变为另自一种说法惟其各数相关之理则不可与原题稍有背谬
假如有题云某日买笔二枝用钱十四文某日买墨一锭用钱十文某日买纸十张用钱二十文问共享钱若干
题所问者为共享之钱而不计其用去之日故其笔墨纸三物虽非一日所买而其共用去之钱则与一日用去者无异也所以题中之三个某日二字俱与算法不相关可以删去之又因题之所问者为共享之钱非问笔之每枝墨之每锭纸之每张其价若干也所以可改其题云笔十四文墨十文纸二十文共钱若干
然其所买之物实与所用之钱亦无相关因买笔买墨买纸之钱可作买茶买酒买浆之钱算之其共享之钱无异也即作一次买物二次买物三次买物算之其共享之钱亦无异也所以又可改其题云先用十四文后用十文又用二十文问其用钱若干则夫人而知当以此三数相加而得其共享之钱四十四文矣
惟有一种题其字句一气呵成不能稍为删节则只可看明题意而将题中各数别作一简易之说法
假如九章之题云五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀一燕交而处衡适平并雀燕重一斤问雀燕一枚各重几何
则此题之意言五雀重于六燕也其五雀六燕之共重为十六两也又言一雀五燕与四雀五燕其重相等也惟因一雀五燕与四雀一燕相并即为五雀六燕所以可将十六两分为两个八两一为一雀五燕之重一为四雀一燕之重则可改其题之说法云一雀五燕共重八两四雀一燕亦共重八两问雀燕一枚各重几何
凡看数题而觉此题与彼题相似者必将其两题看至极其透彻究竟其中或有略异之处否题有面目虽异而算法则同者亦有面目相似而算法不同者
假如有两题其一云原有钱一千文已用去四百文今剩钱若干其二云原有钱一千文今剩去四百文已用去若干
则此两题之说法虽异而算法则同因用去之钱与今剩之数于原有之中减了今剩即是用去之数也
假如九章之题云今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止问犬不止复行几何步及之
又如代数术中之题云有野兔为猎犬所追兔在犬前五十步犬每行三步兔能行四步而兔之三步等于犬之两步问犬追若干步可得兔 观此知中西皆有犬追兔之题其说法及算法略有不同而所求之数则俱为犬之步数也其第一题不及三十步而止之句其三十是兔之步数若认作犬之步数则误矣
算学之题大抵有比例者居多惟其相比之理每暗藏于所言各事之事其相比之数又颠倒错乱和较杂糅于各数之内观者最易为其混淆
即以四率比例之题而论其一率二率三率有顺列于各句之内者亦有不依次序者试列六题如左
其一题云原有钱二十千文买得米十石今有钱五十千文问可买若干石
其二题云先将米十石售得钱二十千文今又欲得钱五十千文问须售去米若干石
其三题云今有钱五十千文欲以买米先用钱二十千文买得米十石问其钱可共买米若干石
其四题云今有钱五十千文欲以买米已知每米十石其价为二十千文问可买米若干石
其五题云甲有钱二十千文乙有钱五十千文均欲买米甲将其钱买得米十石问乙钱可买米若干石
其六题云甲有米十石乙有钱五十千文甲以其米售得钱二十千文问乙钱可买米若干石
则以上六题其比例之率均为二十与十之比若五十与二十五之比
总言之算学中所有之各题其平正通达简明直捷者固多而其暗藏机械有意难人者亦复不少看题之人如听断疑狱如搜捕伏匿虽具明察之才精细之心苟非老成谙练洞悉此中故智者不能尽知其情伪也
更有一种难题其设题之时已将题中要紧之义藏匿于人所不易留心之处而将题中不应有之算理显豁呈露以使人易于误认若不迟回审顾而后下手鲜有不受其愚弄者
假如有题云今有布一匹共长二十尺每日剪取一尺用之问几日剪毕
则骤观此题必答曰二十日殊不知其数已误矣因题之所问者是几日剪毕非问几日用毕也若问几日用毕则每日用一尺其二十之布当为二十日用毕今问几日剪毕则每日剪去一块其长一尺至第十九日已剪去十九块计共已剪去十九尺其所剩之一块适得一尺可为第二十日之用而第二十日取此一块布时不必再动剪刀则是十九日剪毕也
由此可见前题中末句之剪字乃是最力之字断乎不可轻忽者也看题之时若读至末句不能将此剪字看出而以为与几日用毕几日可毕几日而毕几日乃毕无异则安得不误算耶
其所以易误之故因题中所言之各数俱为整齐易算之数其二十尺为一尺之二十倍而一日剪一尺又明明有一比例之理置于面前则观者不及转念已不觉脱口而出曰二十日是驷不及舌矣
假如有题云今有竿高十尺有虫从平地起缘竿而行每日能上二尺而夜间必缩下一尺问此虫几日能到竿顶
见此题而不细思其故必以为每日上二尺而下一尺则是只上一尺也一日上一尺则十日必上十尺而到竿顶矣所以必答曰十日
殊不知行至第八日其虫之足已至九尺之处及缩下而在高第八尺处过夜至第九日穷日之力再上行二尺已到竿顶矣题所问者是能到竿顶之日其已到而再缩下则不计矣
前题所以易误之故由于始念之差但知其每日只上一尺而忘其第一日上行之数已到二尺之处若以第一日为能到二尺而每日能上一尺固是九日到顶也
大抵看题之法不过是心思细密又能习练眼光令人不能乘我之懈耳非必每题每术一一能强记之也
论驭题之法
华蘅芳
学者既能看明题理即能用加减乘除开方等法以驭其题惟题之形状万变不穷则驭题之法亦当随机应变不能执一以论也
寻常之算学书其每题之下必有答数又必有专算此题之术或更有细草图说附焉则依其术以演其数固是易易惟每题各有一术苦于不能记忆学算之人若非胸有成竹则一掩卷即不能算矣于是有将各术分明别类编成歌诀以便于记诵者殊不知所记者乃是呆法耳题目一变即无所用之矣
既明算理之人于书中所有之各题可不必观其术曰如何自能立术以驭其题其所立之术或与本书之术合或出于本书之外而能殊途同归惟但明几何而未习天元之人其所立之术必枝枝节节而为之不能有一以贯之之理故其用心也苦而用力也劳
不论其题之如何变化而概用一法驭之者惟天元之术能之然天元仍籍几何为用故虽有天元而几何之理要不可以尽废也
算学中有数种常用之法其理皆从几何而出其法必由于学之而后能苟无其法则加减乘除开方无所施其技而天元亦不能用矣兹设数题以明其各法之用
一题 有大小两数之和及大小两数之较求其大小两数
法以和较相加半之得大数以和较相减半之得小数
二题 有四率比例之一二三率求其第四率
法以二三两率相乘一率除之得第四率
三题 有正方形或方形之纵横两边求其方形之面积
法以纵横两边相乘得方形面积
四题 有句股形求其面积
法以句与股相乘半之得句股形面积
五题 有平三角形求其面积
法以底边与中垂线相乘半之得三角形面积
六题 有平圆之周径求其面积
法以周径相乘四除之得平圆面积
七题 句股弦面羃相等之理
凡句之平方与股之平方相并必等于弦之平方
八题 求正立方形及带纵立方形之体积
法以长与相乘又以高乘之即得立方形体积
九题 求堑堵阳马臑之积
堑堵之积居立方二分之一 阳马之积居立分三分之一 臑之积居立方六分之一
十题 求高台之积
法以上长倍之加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之两数相并又以高乘之以六除之得其台积
以上十题仅择算书中最要者略举数端耳读者触类旁通可也
论学算之法
华蘅芳
算学中门径甚多歧途百出非备尝此中之艰苦者不能洞悉其曲折所以学算亦不可无法也
学算之人其志向各有不同故其所学之事遂亦从此分焉综而计之大约可分为两类一为阐明数理以成著作一为推演各数施之实用
算学中可施之实用者皆无难为之事如推田亩之积步仓之积斛商功之积尺测量高深广远推步日月五星皆已有成法在前依其法而演之祗须知加减乘除及比例之法已绰乎有余其须用开方者固不多见也
即进而论造表之法如八线与弧背互相求真数与对数互相求或从纵横两线求各曲线之长及其所函之面积皮积体积若既有其本题之级数式依其式而演之亦不过用加减乘除开方而已并无难为之事也
所以学算者之志向若只求见用于当世为衣食名利之计则祗须熟习整数分数小数之三种加减乘除开方再从各书中摘录测量推步各种成法藏之箧中便已无所不能算矣天元代数之术皆可不必究心也
若非急于求用而务欲阐明数理则其所学之事非株守成法者所可比因数学中深奥之理无穷则其明理之法亦非一端所能尽故必兼综各法乃于理无障之处也
一切算法皆从条之理而生故算学中浅近之理皆可以几何之法明之惟笃信几何之人每自恃其点线面体之学而不信天元且不肯再习天元此乃为几何所囿而不得自脱者也
用几何之法以明算理每题必作一图每图必系以说有图无说有说无图皆不足以发明题义然至立方以上其条之理已不能绘图则几何之术穷矣天元之术不必处处言条而一切条之理无不包括于其中此益古演之所由名也至如积相消而条之理终不肯紊乱所以无论若干乘方亦无论如何带纵不必分别其形象而概以一例推之
惟演元之书其所设之各题大抵务为深奥而不适于用习天元者不能不习其题则从此又生魔障矣此非为天元所误乃为天元书中之题所误也
即如句股弦可以彼此相求又能以和较之互相求又能以和较之和较互相求亦可谓极其变化之妙矣犹不肯已则以同式之各句股又成和较而一一识别其彼此相关之理标名立目条分缕析以解之创之者自诩神奇传之者共推绝学师以此授其弟官以此课其士萃古今能算之才使之困顿老死于句股之中而不自知悔悟者李栾城之力也
几何之学从条以明题理故条明而题理亦明天元之学从题理以明条故题理明而条亦明惟几何之条必藉夫图天元之条则无藉乎图也所以天元所明之理能比几何更深
然天元但能将未知之数明其条而其已知之数则浑和于太极之中不能一望而知其条如何惟代数之术则无论已知之数未知之数其条之理莫不一二分明故代数所明之理又能广于天元
学者既明代数之术则于数理之奥赜者固无不能明矣然犹有言之或甚繁求之或甚难而不得简易之法以赅之者何哉因代数但能推一切常数而不能推其变数也惟微分积分之术则能推一切变数故有微分积分之术而代数之用愈广矣
或有问者曰如子之说天元胜于几何代数胜于天元微分积分又胜于代数则学者何不径习微积而必从几何元代以及微积耶
答之曰不习几何则于如积之理不能尽明故不可径习天元不习天元则于正负开方之理不能尽明虽从代数得其相等之式亦不易求其同数微分积分其算式仍籍代数为用不习代数乌能径习微积所以几何元代微积其学必循序而及不可躐等而进也
或又问曰微积之必由代数而出固无疑矣若谓习代数者必先知天元习天元者必先明几何此乃欺人之论也夫天元中法也几何代数皆西法也中西各创其法曾未彼此相谋则创天元者固不知有几何也创代数者亦不知有天元也不知者尚且能创而谓反不能学者天下有是理乎
答之曰余之所谓循序而及者言如此学之则易于入耳非谓舍此即不能学也创天元者固未见几何之书而天元之理则无非几何之理也创代数者虽未见天元之书而代数之理则犹之天元之理也然则几何元代其明理之法虽异而其所明之理则同惟几何为初学所最易明故必从几何入手天元之书难于几何而易于代数以其有数可核也代数之法繁于天元而其用则广于天元故既明天元方可学代数
又有问者曰演数与明理既分为两途则演数者固不必明理矣惟不知明理者亦能演数否且不知明理者所演之数有异于不明理者所演之数否
答之曰明理之人惟不喜演数耳非不能演数也使强明理之人为演数之事其演得之数亦无异于演数者所演之数也惟专门演数之人因已演之甚熟故速而且准为明理者所不能及耳
或又问曰算法之事所用者数也明其理而不善演其数则是能说而不能行矣又曷取乎明理为哉
答之曰演数者祗能用法而明理者则能创法凡演数者所用之法皆明理者之所创也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如创业演数之人譬如守成其劳逸难易有不可同日而语者明理之人非但能创前所未有之法又能以因为创而将从前已有之法改之使更便于用故有至难之法一变而为至易者亦有至繁之法一变而为至简者即如圆径求周古时用割圆之法开方数十次仅能得数位密率今用屡乘屡除可任求若干位密率而不必开方又如求八线之法古时用六宗三要二简法而不能任求某角之线今则弧背与八线能彼此相求又如真数求对数古时用中比例之法以代开数十百次之方今用级数可以任求而不必用中比例其简易不知几何倍矣
或又问曰明理始能创法是创法之人无有不明其理者也吾见近时算学之书每有但言其所立之各术而于立术之理则不赘一辞岂其理祗能自明而不能与人共明欤抑秘其立术之理而惟恐人之得明欤
答之曰子所言之书其创法之时用天元之术以演各尖堆之积枝枝节节而为之此中曲折之故祗为创法者所自明若欲与人共明其理则取径纡布算繁重演之非易言之甚难不能如微分积分之直捷简明也卷帙既多则刊校均非易事故先刊各术而其释术之书将俟续出后因已见微积之术觉己法不足以传示后世遂焚弃其稿未可知也或身遭兵燹就义成仁而遗稿飘零散失亦未可知也
或又问曰有数种算学之书其所立之术虽未尝自匿其理而观其释术之语终不能明白晓畅其故何也
答之曰立术之理若非从大公至正之轨悟入每觉可以意会而不可以言传故自明其理则易欲使他人共明其理则难其人虽有深致远之心思而笔墨所达未能曲尽其妙则他人观之仍不能明此亦由于观是书者功夫尚浅未能领略其语耳
或又问曰今之算术密矣巧矣简而易矣蔑以加矣吾恐从此以后即有钻研数数之人亦未必能再创新术矣
答之曰他事皆有止境而算学无止境也古人创术之时何尝不自以为巧密逮有功密于古术者则以古术为拙矣后之视今亦犹今之视昔安知此后更无再巧再密之术而视今之巧密者为拙耶
论比例之用
华蘅芳
中法之异乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真为四率比例之题方田差分商功均输虽非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少广盈朒方程句股每章各有专术不必强以比例明之罗茗香作比例汇通将一切算法皆归比例识者讥之
题中所藏之比例其理未必尽显是在乎学者探索题意而得其相比之理则能将题中各数用加减乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用数次比例者所以比例之名甚多有正比例转比例合率比例按分递折比例递加递减比例超位加减比例和较比例等名名目愈多头绪愈乱余以为比例只有一法乃二三两率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此诸率之法随题异形稍有分别耳
新译几何原本序代曾文正公
张文虎
几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰间海李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书子曰此算学家不可少之书今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻木纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相迭而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于籍者欤
象数一原序一
项名达
方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵先生捷法解释焉而未抉其原当自为一书非正释也自董氏术出而方圜率相通之理始显术凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢审定乘除法以明率数倍分率圜所以通方也析分率分所以通圜也其释倍分率以方锥堆而方锥堆实出于三角堆弦之二率即两堆根相并数四率即两立积相并数矢之三率即两平积相并数五率即两三乘积相并数四五率以下多乘积以还莫不如是故递次乘除皆求堆积法也而即以之求弦矢弦之分有奇无偶矢之分奇偶俱全至析分率则三角堆无其数即假倍分之率较量而反释之可为独具只眼矣所疑者堆积既与率数合何以有倍分无析分倍分中弦率又何以有奇分无偶分且弦矢联于圜中于三角堆何与蓄是疑有年丁酉归自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆数起于一递加一得堆根递加根得平积递加平积得立积递加数也弦矢率由圜中两等边三角挨次比例而生亦起于半径之一半径即一率递加一率得二率递加二率得三率递加三率得四率亦递加数也数有整必有零起整分者曰整数递加祗一式即三角堆相连两根积相并与倍分矢率倍分中奇分弦率等数起零分者曰零数递加有无量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率实参列其间不惟若是倍分者一分弧之几常以一为分母析分者几分弧之一常以一为分子今得零分则分子母不必定一任设几分弧之几无不可求因立此弧求他弧两术以补所未备又不惟若是分子母既可任设则六十度通弦倍矢与与半径等诸率齐同取为分母任设某度为分子并诸率本数可省去不求但求递加差数即得逐度分秒之正弦正矢因更立半径求弦矢两术以备制表之用似便于用弧约言之弦矢诸率其比例生于两等边三角其数本于递加两等边三角尖象也递加数尖数也通方圜必以尖故自来割圜术不离勾股而得其象未得其数取数不无繁重自有零整分递加而后象与数会分于是定率亦于是通分即递加数之根率即递加数之积分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶应乎内方就圜也割圜术至此始无余蕴爰乘数月暇着为图说二卷友人王子琴逸嗜算术遍涉中西见是术爱之欲与杜董术合刊为一册嘱余序其大意余因详术所由不嫌辞费者亦以此通贯方圜之率非董氏理无自彰非杜氏法无自立非句股割圜等法以为导亦无自察象稽数以底于至精然则古人创始之难其可忽哉
象数一原序二
项名达
向玩弦矢诸率会得递加数复析圜得两等边三角其象适与数会因草成图解一册聊自达意而脱甚多丙午冬谢去紫阳讲席笔墨就闲渐编定整分半分起度两种弦矢率而梁楚香中丞复以紫阳大小课艺嘱选辞不获遂又见阻杨缃芸农都在京见旧刻割圜捷术序中言及图解亟思一见丁未冬来杭见访因示以所编缃芸谓书未半而君年垂迈是书断不可不成且不可缓成克期以一载临别尚谆切致嘱余感其意为之定书名曰象数一原卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦矢率论卷五曰诸术通诠卷六曰诸术明变随将卷三编定选课毕复阻于病今夏始将卷四着有六纸不料病躯重感湿热兼肝乘脾几不可救医治两月无起色乃又重感燥火致脏腑无不病者遍体血脉不行医尽束手自知残灯微焰断难久延而是书从此搁笔矣缺而不完世间事大都如是何必恋恋所歉者负缃芸谆嘱之心耳然书虽未完而零分各腰率零分递加数卷三中已衍成其式惟义赜绪繁拟分条详论于卷四业论至易率法之相当率寄分毕则论用率寄分论定率寄分皆宜分别奇偶论之而易率法毕次论衍递加数法亦论寄分论子母论正负论奇行偶行积子母互异论直行并行积子母互异而递加数毕次论递加数即各形腰率而正负不同论心角形腰与腰较率正负相反论并积即弦矢率易正负有定法论矢率弦率子母全半之不同而弦矢率毕末乃依半分起度式分六术以明其算特彼论全半此论子母异同处略一分别可也至卷五卷六皆有旧稿且经编定只须照式录之今将各卷总为一束设有本鄙意而续成者惟条论稍难六术则易于从事无续成者卷四作未完之书亦无不可
对数简法跋
项名达
求对数旧法言之綦详而数重绪多初学恒未易了鄂士先生揭其精要而变通之着为对数简法首论开方自浅入深而约以七术继复立累除法省数十次开方用表已备极能事尤妙者舍开而求假设数夫对数折半真数开方开至单一下空多位之零数于是真数对数遂得其会通此开方所由重也顾必累开不已始得会通何如径就会通处假一数以通之迨展转相通而七十二对数之等差已备具于假设诸数中一比例而定准之数出矣以是知数之为用带零求整难设整御零易凭所知课所求顺推而入难借所求通所知逆转而出易苟悟此可以得用数之方岂惟是对数一门有裨后学耶
对数简法识
戴煦
对数以加减代乘除用之甚便而求之甚难旧法求诸对数皆先求自一至九递至单一下九空位零一至九之九十九数而求之之法大略有三先定十百千万之对数而其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方得中率之真数以首率末率两假数相加折半得中率之假数渐求渐近以至适合如旧法求九之假数用中比例求至二十六次而得八位之对数此一法也凡假数之首位因真数之位数而递加以真数递次自乘至多位而其位数即假数首位以前之数然后以自乘第几率除之即得真数第一率之假数如旧法求二之对数自乘至一千三百余亿率除自乘之位数四百十余亿位而得十二位之假数又一法也既定十之对数为一乃以真数十开方五十四次三十三位以假数折半五十四次为逐次假数列为开方表乃以第五十四次真假两数比例得单一下十五空位零一之假数为率于是以应求对数之真数开方四五十次求得十五空位与为比例然后以开方第几次之率数乘之而得二十二位之假数或真数开方二十余次求得九空位与表内九空位开方数为比例亦以率数乘之而得十三四位之假数如旧法求二与六之对数又一法也顾此数法布算极繁甚至经旬累月而不能竟求一数故言算者鲜不望之而生畏夫立泣太繁则较算不易深虑寖久而失其真也因复详加探索始悟求十一二位之对数开方表祗须二十一次一十四位已属敷用而既有开方表则求诸对数可不必更开方较之旧法省算数倍且不特此也凡诸对数皆定于十之对数而实生于单一下五六空位零一之对数今欲以十之对数求单一下五六空位零一之对数势不得不屡次开方若借一算为单一下五六空位零一之对数转求十之借数即可得其比例之率知累除之法可代开方而用二十一次之开方表犹属舍易求难然是术也立法殊简用意非深西士若往讷白尔之徒既能立对数虑无有不知此者意者彼时欧逻巴人故匿其易而术其难以夸中土欤兹为揭出俾求对数者有取焉
续对数简法
戴煦
前岁之秋予以对数简法呈梅侣项先生翼日谓予曰递求数可开平方亦可开诸乘方会得二术属稿未定予归而思之亦得二术以呈先生而先生亦以定稿见示其逐数皆正一术与予正负相间者不同其第一数正而以下皆负一术则若合符节焉于是开诸乘方遂有三术予思既有三术必更有一术因补衍之将呈先生而先生适以补衍一术见示又若合符节焉惟先生以乘数加一为廉率谓诸乘方第一廉与末一廉之数也而予以连比例率推之复一一合因以其法用代累乘求积亦无不可通乃知廉率本生于连比例率也夫对数开平方多次以开方旧法至十二乘已属繁重断难开至亿兆乘故以平方代开耳今开诸乘方既通为一法可不必代开由是因繁得简复推得开极多位九乘方之法而对数之简法出矣前术用假设对数乃立天元一术即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法为母今须累除数百次则寄母极繁不可算不得不径用除法则数百次之畸零累积其差甚大故难求至多位不如连比例递求数之所差极微也至对数还原即代累乘求积之法而变通之因亦类焉
对数生于连比例率如设一数为本数第一率命为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然析小各率则不然倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如０五即折小第二率之率数０三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数为一率为一０故一０之对数为一即一率之一而一００为本数倍大第二率其对数亦为二一０００为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一０以下自二至九则不满一率故对数首位为０而下带畸零一０以上一００以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣
倍大率
率数一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００
一率
方根
二率
平方积
三率
立方积
四率
三乘方积
五率
四乘方积
六率
五乘方积
七率
六乘方积
八率
七乘方积
九率
八乘方积
十率
九乘方积
率分一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００
折小率
率数一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００
一率
方积
二率
平方根
三率
立方根
四率
三乘方根
五率
四乘方根
六率
五乘方根
七率
六乘方根
八率
七乘方根
九率
八乘方根
十率
九乘方根
率分一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００
以本数为积求折小各率
第一术
法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正 次以本数为除法以初商实减本数其减余数为乘法其所求第几率名为率分乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正 以乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正 如是递求至应求位数乃并诸正数得所求
按此术项氏所定
第二术
法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正 次以初商实为除法以初商实减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正 乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负 乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负 如是递求至应求位数乃并诸正数并又诸负数减之得所求
按此术予所定
第三术
法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正 次以初商实为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负 乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负 乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负 如是递求至应求位数乃并诸负数减第一正数得所求
按前开平方七术即此法
第四术
法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正 次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第一数负 乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正 如是递求至应求位数乃并诸正数又并诸负数减之得所求
按前二术予所定与项氏所定暗合
以本数为根求倍大各率
第一术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为一数正 次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃并诸正数得所求
第二术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃并诸正数得所求
第三术
法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃并诸正数又并诸负数减之得所求
第四术
法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正 次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃并诸正数又并诸负数减之得所求
按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除
论对数根
对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一０为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一０为积开方五十四次即以一０为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也
今定一０之对数为单一求对数根
法先以一０开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四０三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法 递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六为第一数正 除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０为第二数正 除法除第二数二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二为第三数正 除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五为第四数正 除法除第四数四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三为第五数正 如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正０三五五四六一六三一三为第七数正 二一五九四一０四六为第八数正 一三三二六五三０为第九数正０八三二七一０为第十数正 五二五五七为第十一数正 三三四五为第十二数
正 二一四为第十三数正 一四为第十四数正 一为第十五数正 乃并诸正数得二三０二五八五０九二九九四０四五七七为首率单一为中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即对数根也
用数 一０七四六０七八二八三二一三一七四九七
除法 一四四０三四一九二一八八六八六五三九
第一数 二二二一六九四六九０二四九六三二六六 除法除之一乘二除得
二 七七一二三八六四０一０六七八三０ 同 二 三
三 三五六九七０一六四九二五一二二 同 三 四
四 一八五八七七八二四九九八０五 同 四 五
五 一０三二四０九四四二０八三 同 五 六
六 五九七三一七三三七四一 同 六 七
七 三五五四六一六三一三 同 七 八
八 二一五九四一０四六 同 八 九
九 一三三二六五三０ 同 九 十
十 八三二七一０ 同 十 十一
十一 五二五五七 同 十一十二
十二 三三四五 同 十二十三
十三 二一四 同 十三十四
十四 一四 同 十四十五
十五 一
得数 首率 二三０二五八五０九二九九四０四五七七
中率 一
末率 ０四三四二九四四八一九０三二五一八一一
按此即以一０为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣苴非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子并此减差而无之稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方并此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六倍若欲增求一位必须再开[三四]次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名其折小第一无量数率耳
论用数
前言有本数求折小第一无量数率可以径求此立法也而法有所穷必须先求三十二率何也多率之开方初商表其数极繁惟初商单一则任折小至多率而初商实亦必仍为单一幸而求折小多率者其首位必为单一故用第一第二两术其第一数必为单一而初商实犹可知若用第三四术则初商必为二而初商实即极繁而不可求矣然即用第一二术而其中又有窒今试以一０为本数依第一术求之则以一０为除法初商实一减一０得九为乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能递求依第二术则一除九乘位不惟不降而反升尤不能递求是窒也夫求折小多率者其本数必须单一下有空位空位后带零数则减余数小而可求今本数一０既非单一又无零数则必假一单一下有空位带零数之数以求之此用数之所由来也而求用数约有四法以本数先求折小第几率为用数其第一数以折小率若干乘之然后递求此一法也以本数首位降为单位以自二至九自一一至一九诸数累除之为用数求得数后以除法对数加之视降几位再首位加几又一法也以本数先求倍大第几率以首位降为单位为用数求得数后视降几位则首位加几然后以倍大率若干除之又一法也置本数以自二至九累乘之以首位降为单位为用数求得数后视降几位首位加几然后以乘法之对数减之又一法也然第一法取数不易而有畸零惟求对数根不得已而用之第二法亦有畸零第三法虽无畸零而不得必得诸数之倍大率不能辄得首位为一而下有空位也惟第四法既无畸零且可必得故求用数可以倍大率求者则用倍大率其不可用倍大率者则用借数累乘法为便也
假如以倍大率求二之用数
法以二自乘九次得一千零二十四为二之倍大第十率降三位得一０二四为二之用数
假如以累乘法求七之用数
法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八为七之用数
假如兼用倍大率及累乘法求三之用数
法以三自乘再乘得二十七为三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八为三之用数
论借数
借数者自二至九共八数借为累乘之数也凡诸数择八数内之数乘之皆可得首位为一而下有空位故借数不必广求即八数而已足但由用数求得之对数必以乘法之对数加之则必先求借数之对数而借数虽有八数实止三数何也二五四八本通为一数三六九亦通为一数惟七则自为一数故有三数之对数而八数之对数已备有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣
假如有对数根求二与四与五与八之对数
法依前求得二之用数一０二四减去单一得００二四为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在单位下则乘得数小于原数为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得三六０二二一二一五０七为第四数负 如是递求得六九一六二四七三三为第五数正０一三八三二四九五为第六数负 二八四五五四为第七数正 五九七六为第八数负 一二七为第九数正 三为第十数负 乃并诸正数得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并诸负数得００００一二五一一二八四六七四八一一八以负减正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九为一千零二十四之对数以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小余四九为二之对数也
求四之对数者以四即二之倍大第二率乃以二之对数二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三０００
求五之对数者００００相乘即十乃以十之对数单一内减二之对数得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之对数
求八之对数者以八即二之倍大第三率乃以二之对数三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之对数
用数 一０二四
乘法 ００二四
第一数 ００一０四二三０六七五六五六七八０四三 乘法乘之一乘二除得
二 一二五０七六八一０七八八一三七 同 二 三
三 二００一二二八九七二六一０ 同 三 四
四 三六０二二一二一五０七 同 四 五
五 六九一六二四七三三 同 五 六
六 一三八三二四九五 同 六 七
七 二八四五五四 同 七 八
八 五九七六 同 八 九
九 一二七 同 九 十
十 三
正数 ００一０四二五０六九四八六五六００六七
负数 ００００一二五一一二八四六七四八一一八
减得 ００一０二九九九五六六三九八一一九四九
首位加三 三０一０二九九九五六六三九八一一九四九
十除之 ０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 二之对数
二乘之 ０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八 四之对数
以减单一 ０六九八九七０００四三三六０一八八０五一 五之对数
三乘之 ０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七 八之对数
假如求三与六与九之对数
法依前求得三之用数一０八减去单一得００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三为四数负 如是递求得二八四六一九二三一六六０一为第五数正０一八九七四六一五四四四０为第六数负０一三０一一一六四八七六为第七数正 九一０七八一五四一为第八数负 六四七六六六八七为第九数正 四六六三二０一为第十数负 三三九一四二为第十一数正 二四八七０为第十二数负 一八三七为第十三数正 一三六为第十四数负 一０为第十五数正 一为第十六数负乃 并诸正数得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并诸负数得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以负减正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为用数之对数以用数系降二位于乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为一百零八之对数以系借四乘再减四之对数得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四为二十七之对数以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之对数也
求六之对数者以二三相乘即六乃以二之对数加三之对数得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之对数
求九之对数者以九系三之倍大第二率乃以三之对数二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之对数
用数 一０八
乘法 ００八
第一数 ００三四七四三五九八五五二二六０一四四九 乘法乘之一乘二除得
二 一三八九七四二三四二０九０四０五八 同 二 三
三 七四一一九五九一五七八一五五０ 同 三 四
四 四四四七一七五四九四六八九三 同 四 五
五 二八四六一五二三一六六０一 同 五 六
六 一八九七四六一五四四四０ 同 六 七
七 一三０一一一六四八七六 同 七 八
八 九一０七八一五四一 同 八 九
九 六四七六六六八七 同 九 十
十 四六六三二０一 同 十 十一
十一 三三九一四二 同 十一十二
十二 二四八七０ 同 十二十三
十三 一八三七 同 十三十四
十四 一三六 同 十四十五
十五 一０ 同 十五十六
十六 一
正数 ００三四八一七九六四０七０六九七二一五二
负数 ０００一三九四二０八五八三七四七五一四０
减得 ００三三四二三七五五四八六九四九七０一二
首位加二 二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二
内减四之对数 一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四
三除之 四七七一二一二五四七一九六六二四三七一 三之对数
内加二之对数 ０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０ 六之对数
二乘三之对数 ０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二 九之对数
假如求七之对数
法依前求得七之用数一００八减去单一得０００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０００三四七四三五五八五五二二六０一四五为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负 如是递求得二八四六一九二三为第五数正 一八九七四六为第六数负 一三０一为第七数正 九为第八数负 乃并诸正数得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一 又并诸负数得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六 为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０三四六０五三二一０九五０六四八六０为一千零八之对数以系二与八与九迭乘所得乃并二八九之三对数得二一五八三六二四九一０九五二四九六五三八减之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之对数也
用数 一００八
乘法 ０００八
第一数 ０００三四七四三五五八五五二二六０一四五 乘法乘之一乘二除得
二 一三八九七四二三四二０九０四一 同 二 三
三 七四一一九五九一五七八二 同 三 四
四 四四四七一七五四九五 同 四 五
五 二八四六一九二三 同 五 六
六 一八九七四六 同 六 七
七 一三０一 同 七 八
八 九
正数 ０００三四七四四二五九七七六六三九一五一
负数 ０００００一三八九七八六八一五七四二九一
减得 ０００三四六０五三二一０九五０六四八六０
首位加三 三００三四六０五三二一０九五０六四八六０
三对数 二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八
减得 ０八四五０九八０四００一四二五六八三二二 七之对数
按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一０二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者而此用第二术者对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也
假如有借数求二十三之对数
法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一０三五为二十三之用数减去首位单一得００三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一五二００三０六八六六六一三八一三四为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得二六六０五三七０一六五七四一七第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得六二０六七九一九七０五三四０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五第四数负 如是递求得四五六一九九二０九八三为第五数正 ０一三三０五八一０二九为第六数负 三九九一七四三一为第七数正 一二二二四七一为第八数负 三八０三二为第九数正 一一九八为第十数负 三八为第十一数正 一为第十二数负 乃并诸正数得０一五二０六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得０一四九四０三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九迭乘所得乃以五与九两对数相并得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之对数也
用数 一０三五
乘法 ００三五
第一数 ００一五二００三０六八六六六一三八一三四 乘法乘之一乘二除得
二 二六六００五三七０一六五七四一七 同 二 三
-17-2-
三 六二０六七九一九七０五三四０ 同 三 四
四 一六二九二八二八九二二六五 同 四 五
五 四五六一九九二０九八三 同 五 六
六 一三三０五八一０二九 同 六 七
七 三九九一七四三一 同 七 八
八 一二二二四七一 同 八 九
九 三八０三二 同 九 十
十 一一九八 同 十 十一
十一 二八 同 十一十二
十二 一
正数 ００一五二０六五一八二二四五七一九九五八
负数 ００００二六六一六八四三一六三五四三八一
减得 ００一四九四０三四九七九二九三六五五七七
首位加三 三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七
二与九对数共 一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三
减得 一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 二十三之对数
按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也
附对数还原
论借用本数
对数为真数之率数而恒以一０为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一０不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一０为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一０００００一何以言之用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得０００００一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一为便也惟诸对数系以一０为第一率之率数今用一０００００一为第一率则率数不合矣法先求得一０００００一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一００００００一为本数第一率之率数也
假如以一０００００一为借用本数求其对数为除法
法以对数根降六位得００００００四三四二九四四八一九０三三为第一数正 以第一数降六位一乘之二除之得一二七一四七二为第二数负 以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正 乃以第一第三两数相并内减第二数得０００００００四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也
本数 一０００００一
乘法 ００００００一
第一数 ０００００００四三四二九四四八一九０三三 乘法乘之一乘二除
二 二一七一四七二 同 二 三
三 一
得数 ０００００００四三四二九四四八一九０三四
减得 ０００００００四三四二九四二六四七五六二 一０００００一之对数
论借用率数
前言以一０００００一之对数除所设对数为率数而一０００００一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一０００００九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也
求备减表
自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若００一至一０九则原数即可递求不必再用数至一００一至一００九则递求各数与一０一至一０九相同止须逐数递降一位并减之即得若一０００一至一０００九则再降一位并减之以后各数并同此法
真数 假数 小余
二 ０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九
三 ０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一
四 ０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八
五 ０六九八九七０００四三三六０一八八０五一
六 ０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０
七 ０八四五０九八０四００一四二五六八三二二
八 ０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七
九 ０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二
一一 ００四一三九二六八五一五八二二五０四一七
一二 ００七九一八一二四六０四七六二四八二六九
一三 ０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六
一四 ０一四六一二八０三五六七八二四八０二七一
一五 ０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二
一六 ０二０四一一九九八二六五五九二四七七九六
一七 ０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八
一八 ０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一
一九 ０二七八七五三六００九五二八二八九六一九
真数 假数 小余
一０一 ０００四三二一三七三七八二六四二五六六五
一０二 ０００八六００一七一七六一九一七五五九八
一０三 ００一二八三七二二四七０五一七二二０四六
一０四 ００一七０三三三三九二九八七八０三五四三
一０五 ００二一一八九二九九０六九九三八０七四四
一０六 ００二五三０五八六五二六六六八四一二六四
一０七 ００二九三八三七七七六八五一０九六四０二
一０八 ００三三四二三七五五四八六九四九七０一二
一０九 ００三七四二六四九七九四０六二三六三三八
一００一 ００００四三四０七七四七九三一八六四０七
一００二 ００００八六七七二一五三一二二六九一二五
一００三 ０００一三００九三三０一０四一八一一四六
一００四 ０００一七三三七一二八０九０００五二九七
一００五 ０００二一六六０六一七五六五０七六七六二
一００六 ０００二五九七九八０七一九九０八六一二二
一００七 ０００三０二九四七０五五三六一八００七０
一００八 ０００三四六０五三二一０九五０六四八六０
一００九 ０００三八九一一六六二三六九一０五二一六
真数 假数 小余
一０００一 ０００００四三四二七二七六八六二六六九六
一０００二 ０００００八六八五０二一一六四八九五七二
一０００三 ００００一三０二六八八０五二二七０六０九
一０００四 ００００一七三六八三０五八四六四九一八七
一０００五 ００００二一七０九二九七二二三０二０八二
一０００六 ００００二六０四九八五四七三九０三四六九
一０００七 ００００三０三八九九七八四八一二四九一九
一０００八 ００００三四七二九六六八五三六三五四０八
一０００九 ００００三九０八六九二四九九一０一三一０
一００００一 ００００００四三四二九二三一０四三０八四
一００００二 ００００００八六八五八０二七八０六二六三
一００００三 ０００００一三０二八六三九０二八四八九三
一００００四 ０００００一七三七一四三一八四九八０九二
一００００五 ０００００二一七一四一八一二四五一五五一
一００００六 ０００００二六０五六八八七二一五三九六九
一００００七 ０００００三０三九九五四九七六一三九八六
一００００八 ０００００三四七四二一六八八八四０三三三
一００００九 ０００００三九０八四七四四五八四一六七五
真数 假数 小余
一０００００一 ０００００００四三四二九四二六四七五六二
一０００００二 ０００００００八六八五八八０九五二一八七
一０００００三 ００００００一三０二八八一四九一三八八五
一０００００四 ００００００一七三七一七四四五三二六六四
一０００００五 ００００００二一七一四六六九八０八五三三
一０００００六 ００００００二六０五七五九０七四一五０一
一０００００七 ００００００三０四００五０七三三一五七七
一０００００八 ００００００三四七四三四一九五六八七六七
一０００００九 ００００００三九０八六三二七四八三０八三
假如有００００００００七八三六０一七五九二八七八四求借用率数
法置所设对数去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得００二九三五一五五一九五三八六六四一八又足减一０四之对数减得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足减一００五之对数减得００００一０五七五四一四０ 九八六一一三又足减一０００二之对数减得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足减一００００四之对数减得０００００一五三二四九六五九九八四四九又足减一０００００三之对数减得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０为借用率数也
一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 首位减一得
０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 内减二之对数
０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 减得
００六０六九七八四０三五三六一一六八三五 内减一一之对数
００四一二九二六八五一五八二二五０四一七 减得
００一九三０五一五五一九五三八六六四一八 内减一０四之对数
００一七０三三三三九二九八七八０三五四三 减得
０００二二七一八一五八九六六０六二八七五 内减一００五之对数
０００二一六八０六一七五六五０七六七六二 减得
００００一０五七五四一四００九八六一一三 内减一０００二之对数
０００００八六八五０二一一六四八九五七二 减得
０００００一八九０三九二八四四九六五四一 内减一００００四之对数
０００００一七三七一四三一八四九八０九二 减得
００００００一五三二四九六五九九八四四九 内减一０００００三之对数
００００００一三０二八八一四九一三八八五 减得
０００００００二二九六一五一０八四五六四 以借用本数之对数
０００００００四三四二九四二六四七五六二 除之得
０五二八七０八五九０二一二０ 借用率数
假如有对数一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真数
法依前求得借用率数０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本数首位单一下加十九空位得一０００００００００００００００００００为第一数正 次以借用本数减去单一得００００００一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七０八五九０二一二０为第二数正 乘法乘第二数又以率数反减一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负 乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正 乃并诸正数得一０００００五二八七０八五九０二一二一内减第三负数得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一０００００三与一００００四与一０００二与一０五与一０四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也
本数 一０００００一
乘数 一０００００一
第一数 一０００００００００００００００００００ 降六位率数乘之得
二 五二八七０八五九０二一二０ 降六位率数减一乘之二除之得
三 一二四五九二九 降六位率数减二乘之三除之得
四 一
本数 一００００００五二八七０八五九０二一二一
减得 一００００００五二八七０八四六五六一九二 以一０００００三乘之得
一０００００三五二八七一００五一七四四六 以一００００四乘之得
一００００四三五二八八五一二００一四六七 以一０００二乘之得
一０００二四三五三七五五六九七０三八六七 以一００五乘之得
一００五二四四七五五二四四七五五二四四八 以一０四乘之得
一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一 以一一乘之得
一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八 以二乘之得
二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八 弃零进一升一位
二三
按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大干单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣
割圜连比例术图解序
董佑诚
元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示海张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反复寻绎究其立法之原即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢互求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉
割圜连比例后序
董佑诚
割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反复推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜杂而不越师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元鉴菱草形果垛迭藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之
少广缒凿
夏鸾翔
开平方捷术一
小初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之为三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止
此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根
算例
假如平积一百二十一求方根
小初商□０为一借根 一借根除本积得一□二一为二借根 并一二借根半之得一□一０五为三借根 三借根除本积得一□０九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根 并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根
开平方捷术二
大初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之得三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根
算例
假如平积九十九求方根
大初商一 为一借根 一借根除本积得□九九为二借根 并一二借根半之得□九五为三借根 三借根除本积得□九九四九七四借根 并三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根
开诸乘方捷术一
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷
算例
假如平积五十求方根
以□七一之平积五０四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法 小初商□七为一借根 一借积四□九减本积余以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四为二借根 二借积四□九九０五五六减本积余以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五为三借根截去末二位得□七０七一０即方根
开诸乘方捷术二
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法 大初商□三为一借根 一借积□九内减本积余以除法除之得００三三三三三以减一借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根
开诸乘方捷术三
小初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根 下皆如是求至借根小者渐小与方根密合而止
算例
假如平积五十求方根
以□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法 小初商□七为一借根 一借积四□九减本积余以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六为三借根截去末一位得□七０七一０即方根
开诸乘方捷术四
大初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根以下逐数皆一减一加相间下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法 大初商□三为一借根 一借积□九内减本积余以除法除之得 □三四四八二七以减根余□九六五五为二借根 二借积□八七九四一九 减本积余以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五为三借根 三借积□八八００一二二二内减本积余以除法除之得 ００００二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根
天元开诸乘方捷术一较数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与元数密合而止
算例
假如平方负积十六正方二正隅一求元数
以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法 小初商□三为一借根 一借积一□五减本积余以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九 为二借根 二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三 为三借根 三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三为四借根截去末三位得□三一二三即元数
天元开诸乘方捷术二和数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积于外根加一之积相减又加一为递次除法 一借积减本积除以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求小元数
以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法 小初商 九为一借根 一借积□二七九减本积余以除法除之得００五五以加一借根得 九五五为二借根 二借积０九０七九七五内减本积余以除法除之得□０００三九八七以减二借根余０九五一０一为三借根 三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０为四借根 四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得０００００九二八以减四借根得 九五一一九 为五借根截去末一位得０九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一昔积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三０之积二四０为外积三０为外根求得三□八为递次除法 大初商三０为一借根 一借积二四 内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根 二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得００九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根 三借积一六□八三四内减本积余以除法除之得０００八九四以减二借根余二□八００一为四借根 四借积一六□八０三内减本积余以除法除之得００００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一 积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借根积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得００五以加一借根得□三０五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得０００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根 三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三 又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法 除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方方可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相并减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二 为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数
方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同相加异名相减 以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一０为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五 为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积一 借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆０九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四 以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
按正诸乘方亦可用右术
天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也
算例
假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八０□三欲增求之
以六一八０□三为外根如前又求得二二三六０因为递次除法 六一八０□三为一借根 一借积九九九九九一０八０□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六０□六为初变方正一为正隅 置初变积以除法除之得 三九八八七有奇截用四位得□０三九八八为次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八为二借根 次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得 七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八为三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八为三借根 三小根借积一□六七六六０三七六八九六七００００四减次变积余０００二一二０八七０三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅 置三变积以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四为四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四为四借根即元数
按右例所得十六位数即理分中末之大分数也
截球解义
徐有壬
几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明风用方今用圆其理则无二也述截球解义
设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘羃因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径羃内容一象限为此体之凑心立面各一
图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径
图略于此体横切之去其上截则高为余弦
图略下半截上面截成两象限一大一小
图略
此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径 句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推 其理易见
然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也
又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也
底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等
于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也
小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也
余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累迭积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷 薄切之皆相等之象限面圆球横 切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣
是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣
是故三倍圆球两倍圆囷其积必等
夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣是故球之外面皮积与囷之皮积必等是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积
再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥
再依前法将截球壳外圆囷所藏之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半小象限截球止弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣
圆囷既剜去内锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二
求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣
是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等
是故截球余弦高乘球之中周大圆即截球之外面皮截积
全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即余弦乘周也上截球之外面皮积即矢乘周也
球径求积术
径自乘再乘半之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数 诸数相并即球积
球径求球壳积术
径自乘三之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并即球外面皮积
截球余弦求截球积术
识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍 半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍 两积相并为截球积
半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球积
截球矢求截球上积
识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍 矢乘矢径差为正弦羃求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减
余为积
矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球上积
附录椭圜求周术
椭圜求周无法可驭借乎圜周求之则有三术以为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方
堆垛术曰一为第一数 一乘三乘第一数四除之为第二数 三乘五乘第二数九除之为第三数 五乘七乘第三数十六除之为第四数 七乘九乘第四数二十五除之为第五数 九乘十一乘第五数三十六除之为第六数 依次列之为初表
招差术曰广各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根
招差又术曰以为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径
堆垛又术曰三因借圜径为第一数 四分第一数之一二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一八分去一九分去二为第五数 四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数 递求至若干位相并为椭圜周
右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下
招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径
此即戴氏术变通得之余三层皆同前
若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也
四元解序
顾观光
四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则羃与羃乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也翻阅之暇每欲改易算式而其道无由乙巳冬海李君秋纫以所著四元解示余余受而读之见其以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反复辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也
对数探原序
顾观光
对数探原者海李君秋纫所著也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为０而百亿之对数亦为０故尖堆下之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为０此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二之积不得不同于三四两之积以三因代再乘则二之积不得不又同于五六七八四之积此尖堆二以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也
数学跋
顾观光
江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日历指再意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四０三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫