Nota. Les problèmes I et II, ainsi que leurs solutions, ont été extraits
de l'excellent ouvrage intitule: _Exposition de la Théorie des chances
et des probabilités_, par M. Cournot.
III. Le problème proposé se décompose en trois questions partielles,
savoir:
1° Reconnaître la fraude. Pour cela, il suffit de transposer les poids.
Si les balances sont fausses et préparées de telle sorte qu'elles
paraissent justes étant chargées de poids inégaux, tout aussi bien que
vides, leur fausseté sera manifestée par la simple transposition du
poids et de la marchandise qui se font équilibre dans les deux bassins.
On verra la marchandise enlevée alors par le poids qu'on croyait être le
sien.
2° Le principe sur lequel ces balances sont fondées est connu sous le
nom de _principe du levier_, et consiste en ce que les forces parallèles
appliquées aux deux bras d'un levier mobile autour d'un point d'appui,
doivent être en raison inverse des distances de leur point d'application
au point d'appui, pour se faire équilibre.
Cela posé, pour fabriquer des balances fausses, on a du prendre d'abord
des bras de fléau inégaux en longueur, mais on les a pris aussi
inégalement pesants, de telle sorte qu'ils se fassent équilibre autour
de l'axe de suspension. On bien encore, s'ils sont également pesants, on
leur donne une forme différente, de sorte que le centre de gravité du
bras le plus long soit à la même distance de l'axe du fléau que le
centre de gravité du fléau le plus court.
Ensuite on a muni les extrémités de ces deux bras du fléau de bassins
dont les poids sont aussi en raison inverse des longueurs des deux
liras. Ainsi, ces deux bras étant supposés, l'un de 30 l'autre de 322
centimètres de longueur, il faudrait que si le bassin adapté au bras de
32 centimètres pèse 80 grammes, le bassin du bras de 32 seulement
pesât 75.
A chaque pesée qu'on ferait avec cette balance, en mettant le poids dans
le bassin le plus pesant et la marchandise dans l'autre, l'acheteur
serait trompé d'un seizième. Mais nous avons indiqué le moyen de
découvrir la fraude.
3º Pour se faire donner un poids exact, il y a un procédé très-simple
qui réussit infailliblement, quel que soit l'état de la balance.
Équilibrez d'abord la marchandise placée dans un des bassins avec de la
grenaille de plomb ou de fer, avec une matière quelconque que vous
mettrez dans l'autre bassin. Enlevez ensuite la marchandise, et
remplacez-la par un poids qui fasse équilibre à la grenaille que vous
avez laissée à la place où vous l'aviez mise. Ce poids sera exactement
celui que l'on cherche. On connaîtra donc le poids de sa marchandise
avec une exactitude qui ne dépendra plus aucunement de celle de la
balance, mais seulement de celle des poids.
Cette méthode, si simple à concevoir, qui paraît se présenter si
naturellement à l'esprit, n'a été imaginée que vers la fin du siècle
dernier, par notre illustre navigateur et physicien Borda. Elle est
connue sous le nom de _Méthode des doubles pesées_. Pour apprécier ce
qu'une découverte, en apparence si modeste, peut avoir d'importance, il
suffira de dire qu'elle a rendu les plus grands services pour la
détermination du système métrique des poids et mesures, et qu'elle en
rend encore tous les jours dans les laboratoires des physiciens et des
chimistes.
Avant de la connaître, on procédait ainsi: on plaçait alternativement la
substance à peser dans l'un et l'autre bassin; on cherchait les poids
qui y faisaient équilibre et on prenait la racine carrée de leur
produit.--Ainsi, l'un des deux poids étant de 80 grammes, l'autre de 90,
et la racine du produit de 80 par 90 étant de 84, 83, on en concluait
que le véritable poids était de 84 grammes 83 centigrammes.