[Sidenote: As superficies dos solidos semelhantes são entre si, como os
quadrados dos seus lados homologos.]
[Sidenote: EST. XIV.]
A primeira proposição ensina, que as superficies de dous corpos
semelhantes são entre si como os quadrados dos seus lados homologos;
que ha, por exemplo, a mesma razão entre as superficies das duas
pyramides semelhantes _z_, e Z, (Fig. 5. e 6.) como entre os quadrados
_a b c d_, ABCD, feitos sobre os lados _a b_, AB, que se correspondem
nestas duas pyramides.
Para se demonstrar esta proposição, não se necessita mais do que dos
discursos, que fizemos na I. Parte Art. XLIII. e XLIV. isto he, que
basta sómente considerar que se P he o petipé da pyramide Z, e _p_ o
petipé da pyramide semelhante _z_, as linhas, de que se usar para se
medir a superficie Z, e a do quadrado ABCD, terão o mesmo numero de
P, como haverá de partes _p_ naquellas, de que se usar para medir a
superficie _z_, e a do quadrado _a b c d_.
[Sidenote: EST. XIV.]
Porque disto se segue, que o producto das linhas, que entrarem na
medida de Z, e de ABCD, dará o mesmo numero de quadrados X feitos por
P, como o producto das linhas, de que se usar para medir _z_; e _a b
c d_, dará de quadrados _x_ feitos por _p_. Isto he, que os numeros,
que exprimirem a proporção da superficie da pyramide Z para o quadrado
ABCD, serão os mesmos que os que exprimiráõ a proporção da superficie
_z_ para o quadrado _a b c d_.
O mesmo discurso se faria na comparação de todos os mais corpos
semelhantes, seja que estes corpos fossem terminados por planos,
ou que elles fossem terminados por superficies curvas; porque as
linhas, que servissem para se medirem as superficies de todos estes
corpos, teriam sempre o mesmo numero de partes dos seus petipés, e por
consequencia os productos destas linhas conterião hum mesmo numero de
vezes os quadrados destas mesmas partes.
[Sidenote: EST. XIV.]
E se as linhas necessarias para se medirem as superficies dos corpos
semelhantes fossem incommensuraveis, he evidente que a demonstração
sempre subsistiria, com tanto que nisto se usasse dos principios, de
que nos servimos (Part. II. Art. XXVIII.) para comparar as figuras
semelhantes, cujos lados erão incommensuraveis.