[Sidenote: E estas figuras são sempre entre si, como os quadrados dos
seus lados homologos.]
[Sidenote: EST. VII.]
Com razões semelhantes se verá, que as proposições explicadas nos
Artigos XLIV., e XLVII. da primeira Parte, onde se demonstrou que
as áreas dos triangulos, e das figuras semelhantes tem entre si a
mesma proporção, que tem os quadrados dos seus lados homologos, são
sempre em geral verdadeiras, ainda quando os lados destas figuras são
incommensuraveis.
Tomemos por exemplo os triangulos semelhantes ABC, _a b c_, dos quaes
supporemos as alturas incommensuraveis com as suas bases; neste caso
não haverá quadrado algum, por pequeno que seja, que possa servir de
medida commua a estes triangulos, e aos quadrados feitos sobre as
suas bases; isto he, as áreas _a b c_, e _a b d e_ serão entre si
incommensuraveis, como tambem as áreas ABC, e ABDE; porém não será
menos certo, que o triangulo ABC será para o quadrado ABDE, como o
triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_.
[Sidenote: EST. VII.]
Do que nos certificaremos, observando que quanto mais se suppuzerem
ser pequenas as partes do petipé, de que nos servirmos para medir AB,
e CK, tanto mais nos approximaremos a ter os numeros, que exprimiráõ a
proporção de ABC para ABDE. Logo dividindo sempre o petipé do triangulo
_a b c_ no mesmo numero de partes, e abandonando os restos, se verá que
os mesmos numeros serviráõ sempre para exprimir a razão do triangulo
ABC para o quadrado ABDE, e a do triangulo _a b c_ para o quadrado _a b
d e_. Imaginemos que a divisão dos petipés seja infinita, e ver-se-ha
que os restos viráõ a ser absolutamente nada; e poder-se-ha dizer, que
os numeros, que exprimirem a razão do triangulo _a b c_ para o quadrado
_a b d e_, exprimiráõ tambem a razão do triangulo ABC para o quadrado
ABDE; e que da mesma sorte o triangulos _a b c_ será para o quadrado
_a b d e_, como o triangulo ABC para o quadrado ABDE.
O mesmo será de todas as mais figuras semelhantes.