Ainda que a Geometria seja abstracta em si mesma, devemos não obstante
conceder que as difficuldades, que encontram aquelles, que a ella se
principiam a applicar, provém as mais das vezes do modo, com que esta
se ensina nos Elementos ordinarios. Nelles se principia sempre por hum
grande numero de definições, de postulados, de axiomas, e de principios
preliminares, que parece não promettem senão cousas seccas ao Leitor.
As proposições, que depois se seguem, não fixando o espirito sobre
objectos mais interessantes, sendo por outra parte difficeis de se
conceberem, ordinariamente succede que os Principiantes se fatigam,
e desanimam antes de terem alguma idéa distincta do que se lhes quer
ensinar.
He verdade que por evitar esta sequidão, naturalmente unida ao estudo
da Geometria, cuidáram alguns Authores em mostrar, depois de cada
proposição essencial, o uso, que della se podia fazer na prática;
porém com isto provam a utilidade da Geometria, sem facilitarem muito
os meios de se aprender; porque vindo sempre as proposições antes do
seu uso, o espirito não encontra idéas sensiveis, senão depois de ter
soffrido o trabalho de passar pelas idéas abstractas.
Algumas reflexões, que fiz sobre a origem da Geometria, me deram a
esperança de poder evitar estes inconvenientes, com reunir as duas
ventagens de interessar, e illuminar os Principiantes. Pensei que assim
esta, como todas as mais sciencias, se deviam ter formado por gráos;
que verisimilmente alguma precisão tinha sido a que lhe tinha feito dar
os primeiros passos, e que estes se não podiam dar fóra da capacidade
dos Principiantes, pois que eram Principiantes aquelles, que os tinham
dado.
Prevenido desta idéa, propuz comigo de remontar ao que podia ter dado
nascimento á Geometria, e cuidei em mostrar os seus principios por hum
methodo bastantemente natural, para se poder suppôr ser o mesmo, de que
usáram os primeiros Inventores, procurando sempre de evitar todas as
falsas tentativas, que elles necessariamente fariam.
A medição dos Terrenos me pareceo ser o mais proprio que havia para
dar nascimento ás primeiras proposições da Geometria, o que com
effeito he a origem desta Sciencia, pois que Geometria significa
_medição de Terreno_. Pretendem alguns Authores, que vendo os Egypcios
continuadamente os limites das suas heranças destruidos pelas
inundações do Nilo, deitáram os primeiros fundamentos da Geometria,
procurando os meios de se segurarem exactamente das situações,
da extensão, e da figura dos seus dominios. Porém quando não nos
conformassemos com estes Authores, ao menos não se poderá duvidar que
desde os primeiros tempos os homens não procurassem methodos para
medir, e repartir as suas Terras. Querendo depois aperfeiçoar estes
methodos, as investigações particulares os conduzíram pouco a pouco
a investigações geraes; e tendo comsigo proposto de saber a relação
exacta entre toda a sorte de grandezas, formáram huma Sciencia de hum
objecto muito mais vasto, do que aquelle, que no principio tinham
abraçado, á qual não obstante conserváram o nome, que lhe tinham dado
na sua origem.
A fim de seguir nesta Obra hum caminho semelhante ao dos Inventores,
applico-me primeiramente a fazer descubrir aos Principiantes os
principios, de que póde depender a simples medição dos Terrenos,
e das distancias accessiveis, e inaccessiveis, &c. dalli passo a
outras investigações, que tem tal analogia com as primeiras, que a
curiosidade, que he natural a todos os homens, os conduz a deterem-se
nellas; e justificando depois esta curiosidade com algumas applicações
uteis, venho a fazellos discorrer por quanto ha de interessante na
Geometria elementar.
Parece-me que não haverá dúvida sobre ser este methodo ao menos proprio
para excitar aquelles, que poderáõ estar desanimados com as verdades
seccas da Geometria, sem serem applicadas a cousa alguma; antes espero
que nelle haverá tambem huma utilidade ainda mais importante, que
he o costumar o espirito a procurar, e a descubrir, porque eu evito
cuidadosamente de dar alguma proposição debaixo da fórma de theoremas,
isto he, daquellas proposições, onde se demonstra que esta, ou aquella
verdade o he, sem mostrar como ella se veio a descubrir.
Se os primeiros Authores das Mathematicas apresentáram os seus
descubrimentos com theoremas, foi sem dúvida para darem hum ar mais
maravilhoso ás suas producções, ou por evitar o trabalho de tornarem a
seguir as idéas, que nos seus descubrimentos os tinham conduzido. Seja
o que for, pareceo-me muito mais a proposito o occupar continuadamente
os meus Leitores a resolver Problemas, isto he, a procurar os meios
de fazer alguma operação, ou a descubrir alguma verdade incognita,
determinando a relação que ha entre as grandezas dadas, e as grandezas
desconhecidas, que se querem achar. Seguindo os Principiantes este
caminho, percebem a cada passo, que se lhes faz dar, a razão, pela
qual se conduz o Inventor, e assim podem mais facilmente adquirir o
espirito de invenção.
Talvez se me notará em alguns lugares destes Elementos de me sujeitar
demaziadamente ao que os olhos me fazem ver, e de não seguir
bastantemente a exacção rigorosa das demonstrações. Peço aos que sobre
isto me poderiam criticar, queiram observar, que eu não passo levemente
senão as proposições, cuja verdade se descobre, por pouco que nellas
se faça reflexão. Uso deste modo maiormente nos principios, onde se
encontram mais a miudo as proposições deste genero; porque tenho
notado, que aquelles, que tinham disposição para a Geometria, faziam
gosto de exercitar alguma cousa o seu espirito; e que pelo contrario se
desanimavam, quando eram opprimidos com demonstrações, por assim dizer,
inuteis.
Tome Euclides o trabalho de demonstrar, que dous circulos, que se
cortam, não tem ambos o mesmo centro; que hum triangulo comprehendido
em outro, tem a somma dos seus lados menor do que a dos lados
do triangulo, em que elle está comprehendido, que disto nos não
admiraremos. Este Geometra tinha para convencer a Sofistas obstinados,
que punham a sua gloria em negar as mais evidentes verdades: era pois
preciso que naquelle tempo tivesse a Geometria, como tem a Logica, o
soccorro dos raciocinios em fórma para tapar a boca a quem a quizesse
contrariar. Porém as cousas mudáram de face. Todo o discurso, que se
faz sobre aquillo, que a boa razão por si só anticipadamente decide,
se tem hoje por pura perda, e não he proprio senão para obscurecer a
verdade, e desgostar os Leitores.
Outra cousa, que se me poderia notar, sería o ter eu omittido
differentes proposições, que acham lugar nos Elementos ordinarios; e de
me contentar, quando trato das proporções, de dar sómente os principios
fundamentaes dellas.
Ao que respondo, que neste Tratado se acha tudo o que he necessario
para completar o meu projecto; que as proposições, que eu omitto, são
aquellas, que não podem ser de alguma utilidade por si mesmas; e além
disto não contribuiriam para facilitar a intelligencia daquellas,
de que importa ser instruido; que a respeito das proporções o que
eu dellas digo he sufficiente para dar a entender as proposições
elementares, que as suppõem. He esta huma materia, de que tratarei
fundamentalmente nos Elementos de Algebra, que depois publicarei.
Em fim, tendo eu escolhido a medição dos Terrenos para interessar os
Principiantes, não devo temer que alguns confundam estes Elementos
com os Tratados ordinarios de Medição? Este pensamento só o podem ter
aquelles, que não considerarem que a medição dos Terrenos não he o
verdadeiro objecto deste Livro; porém que ella me serve sómente de
motivo para fazer descubrir as principaes verdades Geometricas. Eu
podia da mesma sorte remontar a essas verdades, fazendo a Historia da
Fysica, da Astronomia, ou de qualquer outra parte das Mathematicas, que
eu quizesse escolher; porém então a multiplicidade de idéas estranhas,
nas quaes sería necessario occupar-se, teria como soffocado as idéas
Geometricas, nas quaes eu sómente devia fixar o espirito do Leitor.
[Illustration]